2019-2020 学年第一学期期中考试
高一数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.设集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由补集的概念，得 ，故选 C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几
何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而
对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
2.若函数 ，则 （ ）
A. -10 B. 10 C. -2 D. 2
【答案】C
【解析】
试题分析：由 ，故选 C．
考点：分段函数的求值．
3.下列集合 A 到 B 的对应中，不能构成映射的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
{ } { }0,2,4,6,8,10 , 4,8A B= = AB
{4,8} {0 2,6}， {0 2 6,10}，，
{0 2 4 6 8,10}，，，，
{ }0,2,6,10AB =
( ) 2 2, 0{2 4, 0x
x xf x x
+ ≤= − > ( )( )1f f =
( )( ) 11 (2 4) ( 2) 2 ( 2) 2 2f f f f= − = − = × − + = −
【答案】A
【解析】
对于①，由于 的值可能是 4 或 5，不唯一，且 没有值，故①中的对应不能构成映
射；对于②， 没有值，故②中的对应不能构成映射；对于③，由于 的值可能是 3
或 4 ， 不 唯 一 ， 故 ③ 中 的 对 应 不 能 构 成 映 射 ； 对 于 ④ ， 满 足 ， 且
，满足映射的定义，故④中对应能构成映射，故选 A.
4.若 则化简 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选 B.
点睛：( )n＝a(a 使 有意义)；当 n 为奇数时， ＝a，当 n 为偶数时， ＝|a|＝
5.函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断.
( )1f ( )2f
( )2f ( )1f
( )1f a= ( )2f c=
( )3f b=
1 ,4a < ( )24 4 1a − 4 1a − 1 4a− 4 1a− − 1 4a− − ( )241 , 4 1 0. 4 1 4 1 1 4 .4a a a a a< ∴ − < ∴ − = − = − n a n a n na n na , 0 , 0 a a a a ≥ − 1x >
( )g x ( )1, ∞+
3( ) log 3f x x x= + −
( )2 0.3691f = − ( )2.5 0.3340f =
那么方程 的一个近似根（精确度 0.1）为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先研究函数 ，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数
据可得 ,且 ,可得解．
【 详 解 】 解 ： 由 函 数 为 增 函 数 ， 由 参 考 数 据 可 得
,且 ,
所以当精确度 时,可以将 作为函数 零点的近似值,也即方程
根的近似值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用二分法求函数零点，重点考查了函数的单调性，属基础题.
8.下列结论：①函数 和 是同一函数；②函数 的定义域为 ，
则函数 的定义域为 ；③函数 的递增区间为 ；其
中正确的个数为（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】A
【解析】
试题分析：对于①，由于函数 的定义域为 R， 的定义域为[0，+∞），这两
( )2.25 0.0119f = − ( )2.375 0.1624f =
( )2.3125 0.0756f = ( )2.28125 0.0319f =
3log 3 0x x+ − =
2.1 2.2 2.3 2.4
3( ) log 3f x x x= + −
( ) ( )2.25 2.3125 0f f⋅ < 2.3125 2.25 0.0625 0.1− = < ( ) 3f x log= 3x x+ − ( ) ( )2.25 2.3125 0f f⋅ < 2.3125 2.25 0.0625 0.1− = < 0.1 2.3 ( ) 3f x log= 3x x+ − 3 3 0log x x+ − = 2y x= 2( )y x= ( 1)f x − [1,2] 2(3 )f x 3[0, ]3 2 2log ( 2 3)y x x= + − ( 1, )− +∞ 2y x= 2( )y x=
个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．
对于②，由于函数 f（x-1）的定义域为[1，2]，故有 0≤x-1≤1．
对于函数 f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得 x∈ ,
故函数 f（3x2）的定义域为[- , ]，故②不正确．
对于③，函数 y=log2（x2+2x-3），令 t=x2+2x-3＞0，求得 x＜-3，或 x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），本题即求 t 在定义域内的增区间，
利用二次函数的性质可得 t 的递增区间为（1，+∞），故③不正确．
考点：函数的定义域，单调性。
9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的
“高斯函数”为：设 ,用 表示不超过 x 的最大整数,则 称为高斯函数 例如：
, ,已知函数 ,则函数 的值域为（ ）
A. B. C. 1, D. 1,2,
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式函数值域的求法得： ,又 ,所以
,由高斯函数定义的理解得：函数 的值域为 ,得解．
【详解】解：因为 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
3[0, ]3
3
3
3
3
x R∈ [ ]x [ ]y x= .
[ ]2.1 3− = − [ ]3.1 3= ( ) 1
2 3
1 2
x
xf x +
+= +
( )y f x =
1 ,32
( ]0,2 {0, 2} {0,
3}
( ) 1
1 1
1 2 6 1 5· 12 1 2 2 1 2
x
x xf x
+
+ +
+ = = + + +
( )11 2 1,x ∞++ ∈ +
( ) 1 ,32f x ∈
( )y f x = { }0,1,2
( ) 1
2 3
1 2
x
xf x +
+= +
( ) 1
1 1
1 2 6 1 5· 12 1 2 2 1 2
x
x xf x
+
+ +
+ = = + + +
( )11 2 1,x ∞++ ∈ +
( ) 1 ,32f x ∈
由高斯函数的定义可得：函数 的值域为 ,
故选：C．
【点睛】本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题．
10.若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项 A 错误，
，选项 B 错误， ，选项 D 错误，
因为
选项 C 正确，故选 C．
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数
或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
11.已知函数 （ ，且 ）在 上单调递减，且关
于 x 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
A. B. [ ， ] C. [ ， ] { } D. [ ， ）
{ }
【答案】C
( )y f x = { }0,1,2
1a b> > 0 1c< < cca b< c cab ba< log logb aa c b c< log loga bc c< 3a = 2b = 1 2c = 1 1 2 23 2>
1 1
2 23 2 2 3× > × 3 2
1 1log log2 2
>
lg lglog log lg ( ) lg ( ), 1 1lg lg lg lg
a b
b b a
b a
a b a ba c b c c c a b b a ab a b a
−− = ⋅ − = ⋅ > > ∴ < < < < ∴ < ∴
（ ）
1 ,4
∞ − +
1, 4
∞ − −
( ),0∞− ( )0, ∞+
2( ) ln( 1 )x xg x e e x x−= − + + + ( )g x
( ) ( ) ( )3 1g x g x g x+ > − = − ( )g x
( ) ( )2 1 2x xf x e e ln x x−= − + + + + 2( ) ln( 1 )x xg x e e x x−= − + + +
( ) ( ) 2f x g x= + 2 21x x x x+ > = ≥ − 2 1 0x x∴ + + >
( )g x∴
设 ，则
是奇函数,并且是增函数,
设 ，
则
,
即函数 为奇函数，
则函数 为奇函数,
又 当 时, 为单调增函数,
在 R 上单调递增,
,
,
即
又函数 为增函数,
所以 ,解得 ,
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,对数函数指数函数的运算性质,属于难题．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
,
( )( ) x xh x e e−= − ( ) ( )( ) ( )xx x x x xh x e e e e e e h x− −− − −− = − = − = − − = −
x xy e e−∴ = −
( )xϕ = 2ln( 1 )x x+ +
( ) ( )x xϕ ϕ− + = 2 2ln[ ( ) 1 ( )] ln( 1 )x x x x− + + − + + +
2 2ln[ ( ) 1 )] ln( 1 )x x x x= − + − + + +
2 2 2ln ( 1) ln1 0x x = + − = =
( )xϕ
( )y g x=
0x ≥ ( )g x
( )g x∴
( ) ( )3 1 4f x f x+ + >
( ) ( )3 1 2 2 4g x g x∴ + + + + >
( ) ( ) ( )3 1g x g x g x+ > − = −
( )g x
3 1x x+ > − 1
4x > −
13. =______．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ：
．
考点：对数的运算．
14.已知 是 上的偶函数，且在 ， 单调递增，若 ，则 的取值范
围为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由偶函数的性质 将不等式表示为 ，再由函数 在区
间 上的单调性得出 与 的大小关系，解出不等式即可。
【详解】 函数 是 上的偶函数，所以 ，
由 ，得 ，
函数 在区间 上单调递增， ，得 ，
解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： 。
【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，
将不等式转化为 （若函数为偶函数，可化为 ），结合单调性
得出 与 的大小（或 与 的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等
题。
15.若函数 存在零点，则 m 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
15 1lg 2lg 22 2
− + −
1−
15 1 5 5lg 2lg 2 ( ) lg lg 4 2 lg( 4) 2 lg10 2 1 2 12 2 2 2
−+ − = + − = × − = − = − = −
( )f x R [0 )+∞ ( 3) (4)f a f− < a 1 7a− < < ( ) ( )f x f x= ( ) ( )3 4f a f− < ( )y f x= [ )0,+∞ 3a − 4 ( )y f x= R ( ) ( )f x f x= ( ) ( )3 4f a f− < ( ) ( )3 4f a f− < ( )y f x= [ )0,+∞ 3 4a∴ − < 4 3 4a− < − < 1 7a− < < a ( )1,7− ( )1,7− ( ) ( )1 2f x f x< ( ) ( )1 2f x f x< 1x 2x 1x 2x 11( )2 xy m−= +
试 题 分 析 ： 解 ： 设 ， 因 为 ， 所 以 函 数 函 数
存在零点时，则满足 m 的取值范围是-1 m＜0，故答案为
考点：函数的零点
点评：本题考查函数的零点，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
16.已知函数 y＝f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时， ，
若关于 x 的方程[f（x）]2＋af（x）＋b＝0（a，b∈R）有且只有 7 个不同的实数根，则 的
取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数 y＝f（x）的图像，观察图像可知：关于 x 的方程 、
有且只有 7 个不同实数根等价于方程 必有两个根 , ,其中 ,
,由根与系数的关系知, , ，即可得解.
【详解】解：函数 y＝f（x）图象如图所示：
由题意, 在 和 上是减函数,在 和 上是增函数,
时,函数取极大值 1, 时,取极小值 , 时, ,
关于 x 的方程 、 有且只有 7 个不同实数根,则方程
必有两个根 , ,其中 , ,由根与系数的关系知, ,
则 ，
11( )2
xy m−= + 11 0 0 ( ) 12
tx t− = ≥ ∴ < ≤ 11( )2 xy m−= + ≤ ( ) [ ) [ )16 1 , 0,22 log , 2, x xf x x x ∈ = ∈ +∞ b a 1 1,2 5 − − ( ) ( )2[ ] 0(f x a f x b a+ ⋅ + = )b R∈ 2 0t at b+ + = 1t 2t 1 1t = 2 1 ,14t ∈ 5 ,24a − ∈ 1 ,14b ∈ ( )f x ( ], 2−∞ − [ ]0,2 [ ]2,0− [ )2,+∞ 0x∴ = 2x = ± 1 4 16x ≥ ( ) 1f x ≥ ∴ ( ) ( )2[ ] 0(f x a f x b a+ ⋅ + = )b R∈ 2 0t at b+ + = 1t 2t 1 1t = 2 1 ,14t ∈ 5 ,24a − ∈ 1 ,14b ∈ 1 1,2 5 b a ∈ − −
故答案为
【点睛】本题考查分段函数及复合函数的根的个数问题,较难,数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.设集合 ,集合 ．
（1）若 ,求 ；
（2）若 ,求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）当 时,求出集合 A,B,由此能求出 ．
（2）根据 和 ,进行分类讨论,能求出实数 m 的取值范围．
【详解】解：（1）因为集合 ,集合 ．
当 时, ,
．
（2）①若 ,则 ,解得 ．
②若 ,则 ,解得 ,
要使 ,则 或 ,解得 ．
综上,实数 m 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注
意交集、并集性质的合理运用．
1 1, .2 5
− −
{ | 2 1 }A x m x m= − < < { | 4 5}B x x= − ≤ ≤ 3m = − A B A B φ∩ = { | 7 5}A B x x∪ = − < ≤ { | 4m m ≤ − 1}m ≥ 3m = − A B A φ= A φ≠ { | 2 1 }A x m x m= − < < { | 4 5}B x x= − ≤ ≤ ∴ 3m = − { | 7 3}A x x= − < < − { | 7 5}A B x x∴ ∪ = − < ≤ A φ= 2 1m m≤ − m 1≥ A φ≠ 2 1m m> − 1m < A B φ∩ = 4m ≤ − 2 1 5m − ≥ 4m ≤ − { | 4m m ≤ − 1}m ≥
18.已知函数 是定义在 R 上的偶函数,当 时, ．
（1）求 ；
（2）求 的解析式.
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】
根 据 题 意 , 由 函 数 的 解 析 式 可 得 与 的 值 , 又 由 函 数 为 偶 函 数 , 可 得
即可得答案；
根据题意,设 ,即 ,分析可得 的解析式,结合函数的奇偶性分析可得答
案；
【详解】解： 根据题意,当 时, ．
则 , ,
又由函数为偶函数,则 ,
则 ；
设 ,即 ,则 ,
又由函数为偶函数,则 ,
则
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的综合应用,关键是求出函数的解析式,属于基础
题．
19.攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种 76 种，探明储量 39 种，
其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%，占全球的 11%和 35%，因此其素有“钒钛之都”
的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据
测得该产品的性能指标值 （ 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量 （单位：
( )f x 0x ≥ ( ) 1f x x= −
( ) ( )0 2f f+ −
( )f x
( ) 1 , 0,1 , 0
x xf x x x
+ ( )f x−
( )1 0x ≥ ( ) 1f x x= −
( ) 10 1 0f = − = ( )2 1 2 1f = − = −
( ) ( )2 2 1f f− = = −
( ) ( )0 2 1 1 0f f+ − = − =
( )2 0x < 0x− > ( ) ( )1 1f x x x− = − − = +
( ) ( ) 1f x f x x= − = +
( ) 1 , 0,1 , 0
x xf x x x
+ 0 时,f(x)x2,则 x1-x2>0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
又∵x>0 时,f(x)0,
∴f(x1-x2)0 时,f(x)0,
∴f(x1-x2) 2
28 6 1,9 3
1( ) 3 , 33
12 6 , 3
a a
h a a a
a a
−
2m = − 0n =
( )2 2g mx x m+ + R 2 2 0mx x m+ + > x
( ) ( )2 2 3y f x af x = − +
2
2
2 4
2 4
m m m
n n n
− =
− =
2 2 0x x+ =
2 2 0mx x m+ + > x
0m =
∴
∴
（2）令 ,则
∴
（3）∵
∴ ∴
∴ 函数 在[ , ]单调递增,
∴ 又∵
∴ ，
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图形特征，利用换元法构造新函数，分类讨论求函
数的最值以及函数单调性的应用，属中等题．
22.已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取
值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上 最大值与最小值的差不
超过 1，求 的取值范围.
【答案】（1） ．（2） ．（3） ．
的
2
0{ 4 4 0
m
m
>
∆ = − < 1m >
( ) 1 ,33f x t t
= ∈
( )22 22 3 3y t at t a a= − + = − + −
( ) 2
28 6 1,9 3
13 , 33
12 6 , 3
a a
h a a a
a a
−
( )2
3
22 ( 1)2 og 1l 12y f x x xx x= + = − = − − + ≤
4 1n ≤ 1
4n ≤
2y 2x x= − m n
2
2
2 4
2 4
m m m
n n n
− =
− =
m n< 2m = − 0n = a R∈ ( ) 2 1logf x ax = + 5a = ( ) 0f x >
x ( ) ( )2log 4 2 5 0f x a x a − − + − = a
0a > 1 ,12t ∈
( )f x [ ], 1t t +
a
( )1, 0,4x ∈ −∞ − ∪ +∞
( ] { }1,2 3,4
2 ,3
+∞
【解析】
【详解】试题分析：（1）当 时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化
简 ， 转 化 为 一 元 二 次 方 程 ， 讨 论 的 取 值 范 围 进 行 求 解 即 可 ； （ 3 ） 根 据 条 件 得 到
，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由 ，得 ，解得 ．
（2）由 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 得 log2（ a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝
0．
即 log2（ a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即 a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当 a＝4 时，方程②的解为 x＝﹣1，代入①，成立
当 a＝3 时，方程②的解为 x＝﹣1，代入①，成立
当 a≠4 且 a≠3 时，方程②的解为 x＝﹣1 或 x ，
若 x＝﹣1 是方程①的解，则 a＝a﹣1＞0，即 a＞1，
若 x 是方程①的解，则 a＝2a﹣4＞0，即 a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则 1＜a≤2．
综上，若方程 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素，
则 a 的取值范围是 1＜a≤2，或 a＝3 或 a＝4．
（3）函数 f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得 f（t）﹣f（t+1）≤1，
即 log2（ a）﹣log2（ a）≤1，
即 a≤2（ a），即 a
设 1﹣t＝r，则 0≤r ，
5a =
a
1 1f t f t− + ≤（ ） （ ）
2
1log 5 0x
＞ +
1 5 1x
+ ＞ ( )1, 0,4x ∈ −∞ − ∪ +∞
1
x
+
1
x
+
1
x
+
1
4a
= −
1
x
+
1
4a
= −
1
x
+
1
t
+ 1
1t
++
1
t
+ 1
1t
++ ( )
1 2 1
1 1
t
t t t t
−≥ − =+ +
1
2
≤
，
当 r＝0 时， 0，
当 0＜r 时， ，
∵y＝r 在（0， ）上递减，
∴r ，
∴ ，
∴实数 a 的取值范围是 a ．
【一题多解】（3）还可采用：当 时， ，
，
所以 在 上单调递减．
则函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ，对任意 成立．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，
时， 有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范围为 ．
( ) ( )( ) 2
1
1 1 2 3 2
t r r
t t r r r r
− = =+ − − − +
2 3 2
r
r r
=− +
1
2
≤ 2
1
23 2 3
r
r r r r
=− + + −
2
r
+ 2
2 1 942 2r
+ ≥ + =
2
1 1 2
2 93 2 33 32
r
r r r r
= ≤ =− + + − −
2
3
≥
1 20 x x＜ ＜
1 2
1 1a ax x
+ +＞
2 2
1 2
1 1log loga ax x
＞
+ +
( )f x ( )0, ∞+
( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t +
( ) ( ) 2 2
1 11 log log 11f t f t a at t
− + = + − + ≤ +
( )2 1 1 0at a t+ + − ≥ 1 ,12t ∈
0a＞ ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12
1
2t = y 3 1
4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2
3a ≥
a 2 ,3
+∞
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