2019-2020 学年度第一学期广东二师附中中段测试高一级试题
数学
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓
名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.设集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由补集的概念，得 ，故选 C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几
何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而
对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
2.函数 的定义域为（ ）
A. [ ，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）
{ } { }0,2,4,6,8,10 , 4,8A B= = AB
{4,8} {0 2,6}， {0 2 6,10}，，
{0 2 4 6 8,10}，，，，
{ }0,2,6,10AB =
1( ) 2 3 3f x x x
= − + −
3
2
C. [ ，+∞） D. （3，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】因为函数 ，
解得 且 ；
函数 的定义域为 , 故选 A．
【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式
(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已
知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
A 是增函数，不是奇函数；B 和 C 都不是定义域内的增函数，排除，只有 D 正确，因此选 D.
点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.
4.设函数 = 则 ( )
A. B. C. 1 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式得到 = ， .
3
2
2 3 012 3 , 3 03
xy x xx
− ≥= − + ∴ − ≠−
3
2x ≥ 3x ≠
∴ ( ) 12 3 3f x x x
= − + −
( )3 ,3 3,2
+∞
( )f x [ ],a b ( )( )f g x ( )a g x b≤ ≤
1y x= + 2y x= − 1y x
= y x x=
( )f x
, 0,
1 , 0,2
x
x x
x
≥
b a c> > a b c> > a c b> >
a b c 2 2xy = a b c
( )0.90.9 2 1.84 2 2a = = = ( )0.483 1.442 2b = = ( )1.5
1.51 1.51 2 22c
−
−− = = =
2xy = R 1.8 1.5 1.442 2 2> > a c b> >
1
xy x
= +
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，化简为 ，再根据图象的变换，即可得到答案.
【详解】由题意，函数可化简得：
则可将反比例函数 的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，
即可得到函数 的图象，答案为选项 C.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与图象的变换，其中解答中正确化简函数的解析式，
合理利用函数的图象变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础
题.
7.已知函数 在区间 上单调递减，则 取值的集合为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：首先求出函数的对称轴，以及函数的单调递减区间，根据题意可知 是函数单调
递减区间的子集.
详解：函数的对称轴是 ，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是 ，
若函数在区间 上单调递减，所以 ，即 ，解得 ，故选
C.
点睛：本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，意在考查学生转化与化归的能力，
属于基础题型.
1 11 1
xy x x
−= = ++ +
1 11 1
xy x x
−= = ++ +
1y x
−=
1
xy x
= +
2( ) 2 1f x x mx= − + − [1, )+∞ m
{ }4 { }| 4m m < { }| 4m m ≤ { }| 4m m ≥ [ )1,+∞ 4 mx = ,4 m +∞ [ )1,+∞ [ )1, ,4 m +∞ ⊆ +∞ 14 m ≤ 4m ≤
8.已知函数 ，且 ，则 的值为
A. -2017 B. -3 C. -1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
设 函 数 =g +2, 其 中 g 是 奇 函 数 ， = -g +2 ，
=g +2，故 g ，g 是奇函数，故 g ，代入求值
即可.
【详解】函数 =g +2,其中 g 是奇函数， = g +2=
-g +2
= g +2，故 g g 是奇函数，故 g ，故
= g +2= 3.
故答案 ：D.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性，奇偶函数常见的性质有：奇函数关于原点中心对称，
在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于 y 轴对称，在对称点处的函数值相等，中
经常利用函数的这些性质，求得最值.
9.已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 为偶函数，得出定义域关于原点对称，可求得 的值，再由二次函数
的对称轴为 轴得出 ，然后由二次函数的单调性可得出函数 的最大
值.
【详解】由于函数 是定义在 上的偶函数，则定义域 关于
为
3( ) 2f x x ax= + + (2018) 1f = ( 2018)f −
( ) 3 2f x x ax= + + ( )x ( )x ( )2018f − ( )2018
( )2018 1f = ( )2018 ( )2018 1= − ( )x ( )2018 1− =
( ) 3 2f x x ax= + + ( )x ( )x ( )2018f − ( )2018−
( )2018
( )2018 1f = ( )2018 ( )2018 1= − ，( )x ( )2018 1− =
( )2018f − ( )2018−
( ) 2f x ax bx= + [ ]1,2a a− ( )f x
0 4
3
4
27 1
( )y f x= a
( )y f x= y 0b = ( )y f x=
( ) 2f x ax bx= + [ ]1,2a a− [ ]1,2a a−
原点对称，所以， ，解得 ， ，
对称轴为直线 ，得 ， ，定义域为 .
由二次函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
由于 ，因此，函数 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了二次函数的最值问题，在考查函
数的奇偶性时，需要注意定义域关于原点对称这一条件的应用，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
10.函数 是 上的减函数，则 的取值范围是( )
A. （0，1） B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当 x＜0 时，函数 f（x）是减函数，当 x≥0 时，若函数 f（x）=ax 是减函数，则 0＜a＜1．要
使函数 f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足 0+3﹣3a≥a0，
从而求得 a 的取值范围．
【详解】当 x＜0 时，函数 f（x）=﹣x+3﹣3a 是减函数，当 x≥0 时，若函数 f（x）=ax 是减
函数，则 0＜a＜1．
要使函数 f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤ ，故有
即 0＜a≤ ．
故答案为:B．
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档
1 2 0a a− + = 1
3a = ( ) 21
3f x x bx∴ = +
3 02x b= − = 0b = ( ) 21
3f x x∴ = 2 2,3 3
−
( )y f x= 2 ,03
−
20, 3
22 2 1 2 4
3 3 3 3 27f f − = = × =
( )y f x= 4
27
( ) 3 3 , 0
, 0x
x a xf x a x
− + − ≠ ( ) 2 1xf x a −= +
( )2,2
mx ny ka c−= + ,n k cm
+
2
0( ) { 0
x xf x x x
− ≤= > ( ) 4f a = a =
先根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式列方程，解出结果.
【详解】当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以
故 .
【点睛】本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力.
15.已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用换元法求出函数 的解析式，然后可计算出 的值.
【详解】令 ，得 ， ，
，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了函数值的计算，解题的关键就是利用换
元法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.
16.设 a>0，且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1，1]上的最大值是 14，则实数 a 的值为
________．
【答案】 或 3
【解析】
【分析】
首先换元，设 ，函数变为 ，再分 和 两种情况讨论 的范围，
根据 的范围求二次函数的最大值，求得实数 的范围.
【详解】令 t＝ax(a>0，且 a≠1)，
则原函数化 y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当 0 t
t a
1[ , ]a a
1[ , ]a a
所以 f(t)max＝f ＝ －2＝14.
所以 ＝16，解得 a＝－ (舍去)或 a＝ .
②当 a>1 时，x∈[－1，1]，t＝ax∈ ，
此时 f(t)在 上是增函数．所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3 或 a＝－
5(舍去)．综上得 a＝ 或 3.
【点睛】本题考查了二次型函数求值域，考查了分类讨论的思想，属于中档题型.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.化简求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据指数的运算律可计算出结果；
（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式
以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.
18.已知集合 ， .
1
a
21 1a
+
21 1a
+
1
5
1
3
1[ ]aa
，
1[ ]aa
，
1
3
( ) ( )01 3 6 433 4 470.001 16 2 3 38
π− − + + ⋅ + −
3log 2
2 3
1 1lg 25 lg 2 log 9 log 22 3
+ + − ×
86 π+ 1
2
−
( ) ( ) 66 111 3
3 4 323 40.1 1 2 2 3 3 10 1 8 72 3 86π π π− = − + + × + − = − + + + − = +
( ) 3log 22 1 2
2 3
1 lg5 lg 2 3 log 3 log 22
−= + + − ×
( ) ( )3
1log 2 1
2 3
1 1lg5 lg 2 3 2 log 3 log 2 lg10 2 2 1 22 2
− −= + + − × × = + − = + − = −
{ }1 2A x x= − ≤ ≤ { }1B x m x m= ≤ ≤ +
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入集合 ，利用并集、补集的定义可得出集合 和 ；
（2）由 得出 ，可得出关于 的不等式组，解不等式组即可得出实数 的
取值范围.
【详解】（1）当 时，集合 ，
因为集合 ，所以 ，
因此， 或 ；
（2）因为集合 ， 且 ，则 ，
所以 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查集合并集和补集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，在处
理无限数集的运算时，可充分结合数轴来理解，考查运算求解能力，属于中等题.
19.已知函数 f(x)＝x＋ ，且 f(1)＝2.
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)判断函数 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)若 f(a)>2，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) 奇函数；（2）证明见解析；（3）(0，1)∪(1，＋∞).
【解析】
【详解】∵ ，且
∴ ，解得 ，
(1) 为奇函数，
2m = − A B ( )R A B∪
A B A∪ = m
{ }2 2A B x x∪ = − ≤ ≤ ( ) { 2R A B x x∪ = < − }2x > [ ]1,1−
2m = − B A B ( )R A B∪
A B A∪ = B A⊆ m m
2m = − { }2 1B x x= − ≤ ≤ −
{ }1 2A x x= − ≤ ≤ { }2 2A B x x∪ = − ≤ ≤
( ) { 2R A B x x∪ = < − }2x >
{ }1 2A x x= − ≤ ≤ { }1B x m x m= ≤ ≤ + A B A∪ = B A⊆
1
1 2
m
m
≥ −
+ ≤ 1 1m− ≤ ≤ m [ ]1,1−
m
x
( )f x
( ) mf x x x
= + (1) 2f =
1 2m+ = 1m =
( )y f x=
证：∵ ，定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数；
（2） 在 上的单调递增，
证明：设 ，
则
∵ ，
∴ ， ，
故 ，即 ， 在 上的单调递增；
（3）又 ，即 ，显然 ，
化简 ，即 ，
解得 且 .
本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，
下结论的步骤进行．（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到
结论；（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解；（3）
根据函数单调性，得到不等式的解集.
20.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．现已画出函数
在 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
1( )f x x x
= + ( ,0) (0, )−∞ +∞
1 1( ) ( ) ( ) ( )f x x x f xx x
− = − + = − + = −−
( )y f x=
( )f x (1, )+∞
1 21 x x< < 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )(1 )f x f x x x x xx x x x − = + − + = − − 1 21 x x< < 2 1x x− 0>
1 2
11 x x
− 0>
2 1( ) ( )f x f x− 0> 2 1( ) ( )f x f x> ( )f x (1, )+∞
( ) 2f a > 1 2a a
+ > 0a >
2 2 1a a− + 2( 1) 0a − >
0a > 1a ≠
( )f x R 0x ≤ 2( ) 2f x x x= +
( )f x y
（1）写出函数 的增区间；
（2）写出函数 的解析式；
（3）若函数 ，求函数 的最小值．
【答案】（1） 和 ；（2） ；
（3） .
【解析】
试题分析：（1）根据偶函数的图象关于 轴对称，可作出 的图象，由图象可得
的单调递增函数；
（2）令 ，则 ，根据条件可得 ，利用函数 是定义在 上
的偶函数，可得 ，从而可得函数的解析式；
（3）先求出抛物线对称轴 ，然后分当 时，当 ，当
时三种情况，根据二次函数的增减性解答.
试题解析：
（1） 在区间 ， 上单调递增.
（2）设 ，则 .
∵函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .
∴ ，
∴ .
（3） ，对称轴方程为： ，
当 时， 为最小；
当 时， 为最小；
当 时， 为最小.
( )( )f x x R∈
( )( )f x x R∈
[ ]( ) ( ) 2 2( 1,2 )g x f x ax x= − + ∈ ( )g x
[ ]1,0− [ )1,+∞ ( ) 2
2
2 , 0
2 , 0
x x xf x
x x x
− >= +
( )f x ( )1,0− ( )1, ∞+
x 0> x 0− < ( )f x R x 0≤ ( ) 2f x x 2x= + ( ) ( ) ( ) ( )2f x f x x 2 x= − = − + × − = 2x 2x(x 0)− >
( ) ( )
2
2
x 2 ( 0)f x x 2 0
x x
x x
+ >= − ≤
( ) 2g x x 2x 2ax 2= + − + x a 1= −
a 1 1− ≤ ( )g 1 5 2a= −
1 a 1 2< − < ( ) 2g a 1 a 2a 1− = − + + a 1 2− ≥ ( )g 2 10 4a= −
综上，有： 的最小值为 .
点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段
函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的
关键.
21.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品 （百台），其总成本为 万元 ，
其中固定成本为 42 万元，且每生产 1 百台的生产成本为 15 万元 总成本 固定成本 生产成
本 销售收入 万元 满足 ，假定该产品产销平衡 即生
产的产品都能卖掉 ，根据上述条件，完成下列问题：
写出总利润函数 的解析式 利润 销售收入 总成本 ；
要使工厂有盈利，求产量 的范围；
工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？
【答案】(1) (2)当产量大于 100 台，小于 820 台时，能使
工厂有盈利 (3) 当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元．
【解析】
【分析】
（1）根据利润=销售收入﹣总成本，且总成本为 42+15x 即可求得利润函数 y=f（x）的解析
式．
（2）使分段函数 y=f（x）中各段均大于 0，再将两结果取并集．
（3）分段函数 y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．
【详解】解：（1）由题意得 G（x）=42+15x．
∴f（x）=R（x）﹣G（x）= ．
（2）①当 0≤x≤5 时，由﹣6x2+48x﹣42＞0 得：x2﹣8x+7＜0，解得 1＜x＜7．
( )g x
( )
( )
2
5 2 2
a 2 1(2 3)
10 4 3
a a
a a
a a
− ≤
− + + < (
)
( )1 ( )y f x= ( = - )
( )2 x
( )3
26 48 42,0 5( ) {
123 15 , 5
x x xf x
x x
− + − ≤ ≤=
− >
26 48 42 0 5
123 15 5
x x x
x x
− + − ≤ ≤
−
，
， ＞
所以：1＜x≤5．
②当 x＞5 时，由 123﹣15x＞0 解得 x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．
综上得当 1＜x＜8.2 时有 y＞0．
所以当产量大于 100 台，小于 820 台时，能使工厂有盈利．
（3）当 x＞5 时，∵函数 f（x）递减，
∴f（x）＜f（5）=48（万元）．
当 0≤x≤5 时，函数 f（x）=﹣6（x﹣4）2+54，
当 x=4 时，f（x）有最大值为 54（万元）．
所以，当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元．
【点睛】解决函数模型应用 解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不
能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错
误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对
值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
22.已知指数函数 满足： ，又定义域为 的函数 是奇函
数.
（1）确定 的解析式；
（2）求 的值；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】① ;② ， ;③ ．
【解析】
试题分析：①设指数函数 ，过点 ，代入求 ;
② 因为定义域为 R,且是奇函数，所以 解得 ，又根据是奇函数，满
足 代入 后解得 ;
③根据奇函数将不等式化简为 恒成立，根据②所求得函数 的解
析式，判定函数的单调性，从而得到 恒成立，根据 求 的范围．
的
( )y g x= ( )3 8g = R ( ) ( )
( )2
n g xf x m g x
−= +
( )y g x=
,m n
t R∈ ( ) ( )2 22 3 0f t t f t k− + − > k
( ) 2xg x = 1n = 2m = 1( , )2
+∞
( )f x =
1
2
2
x
x
n
m +
−
+
2 2(2 3 ) ( )f t t f k t− > −
2 22 3t t k t− < −
试题解析：解：①设 ，∵ ，则 ，∴ ，
∴ ．
②由①知 ．∵ 是奇函数，且定义域为 R，∴ ，
即 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ． 故 ， ．
③由②知 ，易知 在 R 上为减函数．
又∵ 是奇函数，从而不等式 等价于 ，
即 恒成立，
∵ 在 R 上为减函数，∴有 ，
即对于一切 R 有 恒成立，∴判别式 ，
∴ ．
故实数 的取值范围是 ．
考点：1．指数函数的性质；2．抽象不等式．
( ) xg x a= ( 0 1)a a> ≠且 (3) 8g = 3 8a = 2a =
( ) 2xg x =
( )f x =
1
2
2
x
x
n
m +
−
+ ( )f x (0) 0f =
1 02
n
m
− =+ 1n =
1
1 2( ) 2
x
xf x m+
−= +
11 1 22
1 4m m
− −= −+ +
2m = 1n = 2m =
1
1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x +
−= = − ++ + ( )f x
( )f x 2 2(2 3 ) ( ) 0f t t f t k− + − > 2 2(2 3 ) ( )f t t f t k− > − −
2 2(2 3 ) ( )f t t f k t− > −
( )f x 2 22 3t t k t− < − t ∈ 22 2 0t t k− + > 2( 2) 4 2 0k∆ = − − × × < 1 2k >
1( , )2
+∞
微信/支付宝扫码支付