辽宁省铁岭市六校协作体2020届高三数学（理）11月月考试卷（附解析Word版）

铁岭市六校协作体 2019—2020 学年高三二联考试数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.设集合 ,则 （  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合 ，然后根据交集定义求结果 【详解】解： 则 故选：C 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题 2.设复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析： 考点：复数的运算 此处有视频，请去附件查看】 3.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【 ( ){ } { }lg 1 , 2xA x y x B y y= = − = = A B = ( )0,+∞ [ )1,0− ( )0,1 ( ),1−∞ ,A B 1 0 1x x− ∴ ＞ ， ＜ ( ),1A∴ = −∞ ( )2 0 0 +x B∴ = ∞ ＞ ， ， ( )0,1A B = z ( 2 )(2 ) 5z i i− − = z = 2 3i+ 2 3i− 3 2i+ 3 2i− 5( 2 )(2 ) 5 2 2 2 32z i i z i i z ii − − = ∴ − = = + ∴ = +− 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c= = = a b c< < a c b< < c a b< < b c a< = 0.3 00 0.2 0.2 1,< < = 0 1,c a c b< < < < { }na 5 3 13 4a a a= + 3a = 5 3 13 4a a a= + { }na 3a { }na q 0q > 5 3 13 4a a a= + 4 2 1 1 13 4a q a q a= + 1 0a > 4 23 4q q= + 2 2( 4)( 1) 0q q− + = 2 4q = 0q > 2q = { }na n nS 4 1 4 (1 ) 1 a qS q −= − 4 1(1 2 )15 1 2 a −= − 1 1a = 所以 , 故选 . 【点睛】本题考查了等比数列通项公式和前 项和公式,属于基础题. 5.设 是非零向量，已知命题 P：若 ， ，则 ；命题 q：若 ，则 ，则下列命题中真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可知，命题 P 是假命题；命题 q 是真命题，故 为真命题. 考点：命题的真假. 6.若 ， ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数 、 、 的大小关系。 【详解】由于函数 在 上是增函数， ，则 ， 由基本不等式可得 ， 因此， ，故选：B。 【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要 注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题。 7.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是 2 2 3 1 1 2 4a a q= = × = C n , ,a b c  0a b⋅ = 0b c⋅ =  0a c ⋅ = / / , / /a b b c   / /a c  p q∨ p q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q∨ ¬ p q∨ 1a b> > lg lgP a b= ⋅ ( )1 lg lg2Q a b= + lg 2 a bR + =    R P Q< < P Q R< < Q P R< < P R Q< < P Q R lgy x= ( )0, ∞+ 1a b> > lg lg 0a b> > ( ) ( )1 1lg lg lg lg lg lg lg2 2 2 a bP a b a b ab ab R += ⋅ < + = = < = P Q R< < + )PA PB PC⋅  （ (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系， 则 设 ， 则 ， 所以 ， 当 时， 取得最小值，为 。 故选：B。 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本 题的关键． 8.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分， 2− 3 2 − 4 3 − 1− (0, 3), ( 1,0), (1,0),A B C− ( , )P x y ( , 3 ), ( 1 , ), (1 , ),PA x y PB x y PC x y= − − = − − − = − −   2 2 2 3 3+ ) 2 2 3 2 2[ ( ) ]2 4PA PB PC x y y x y⋅ = − + = + − −  （ 30, 2x y= = + )PA PB PC⋅  （ 3 2 − 8 6π 4 6π 2 6π 6π PB ⊥ PAC 2PA PB PC= = = P ABC− 进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一: 为边长为 2 的等边三角形， 为正三 棱锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， 平 面 ， ， 正方体一部分， ，即 ，故选 D． 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为 2 的等边三角形， 又 为 ,PA PB PC ABC= = ∆ P ABC∴ − PB AC∴ ⊥ E F PA AB / /EF PB∴ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ ,CE AC C EF= ∴ ⊥ PAC PB ⊥ PAC 2APB PA PB PC∴∠ = 90°,∴ = = = P ABC∴ − 2 2 2 2 6R = + + = 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R= ∴ = π = × = ππ 2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB / /EF PB∴ 1 2EF PB x= = ABC∆ 3CF∴ = 90CEF∠ = ° 2 13 , 2CE x AE PA x∴ = − = = 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， 两两垂直， ， ， ，故选 D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到 三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 9.已知点 ， 为坐标原点， 分别在线段 上运动，则 的周长的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分 别 求 出 设 关 于 直 线 对 称 的 点 ， 关 于 对 称 的 点 ， 当 共线时， 的周长 取得最小值，为 ，利用两点间的距离公式，求出答案. 【详解】过 两点的直线方程为 设 关于直线 对称的点 ， 则 ，解得 即 ， AEC∆ ( )2 24 3 cos 2 2 x x EAC x + − − ∠ = × × PD AC⊥ D PA PC= D AC 1cos 2 ADEAC PA x ∠ = = 2 24 3 1 4 2 x x x x + − +∴ = 2 2 1 22 1 2 2 2x x x∴ + = ∴ = = 2PA PB PC∴ = = = = = =2AB BC AC , ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6 2R∴ = 34 4 6 6 63 3 8V R∴ = π = π× = π ( ) ( ) ( )3,0 , 0,3 , 1,0A B M O ,P Q ,AB BO MPQ∆ 4 5 2 5 34 ( )1 0M ， 3 0x y+ − = N M O E N P Q E， ， ， MPQ MQ PQ QM NP EQ PQ+ + = + + NE ( ) ( )3,0 , 0,3A B 3 0x y+ − = ( )1 0M ， 3 0x y+ − = ( ),N x y 11 1 1 3 02 2 y x x y  = − + + − = 3 2 x y =  = ( )3,2N 同理可求 关于 对称的点 ， 当 共线时 的周长 取得最小值为 . 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 10.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比 例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【 详 解 】 设 人 体 脖 子 下 端 至 肚 脐 的 长 为 x cm ， 肚 脐 至 腿 根 的 长 为 y cm ， 则 ，得 ．又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端 的长度为 26cm，所以其身高约为 42．07+5．15+105+26=178．22，接近 175cm．故选 B． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利 用转化思想解题． ( )1 0M ， O ( )1,0E − N P Q E， ， ， MPQ MQ PQ QM NP EQ PQ+ + = + + ( )23 1 4 2 5NE = + + = 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 26 26 5 1 105 2 x x y + −= =+ 42.07 , 5.15x cm y cm≈ ≈ 11.若 是方程 的解， 是方程 的解，则 等于（ ） A. B. 1 C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数 与 互为反函数，推出函数图象交 点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题． 【详解】因为 是方程 的解， 是方程 的解； 所以 是方程 的解， 是方程 的解， 是 图象交点的横坐标； 是 图象交点的横坐标， 因为 与 互为反函数， 所以 与 的图象关于 对称， 又因为 的图象也关于 对称， 所以 关于 对称， 可得 ， ，故选 B. 【点睛】本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题．转化是 数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低， 本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键. 12.已知定义在 上的函数 满足： ① ； ②对所有 ，且 ，有 . 1x xxe 1= 2x ln 1x x = 1 2x x e 1 e lny x= xy e= 1x 1xxe = 2x ln 1x x = 1x 1xe x = 2x 1lnx x = 1x 1,xy e y x = = 2x 1ln ,y x y x = = lny x= xy e= lny x= xy e= y x= 1y x = y x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y y x= 2 1 1 2,x y x y= = 1 2 1 1 1 1 1 1x x x y x x = = × = [0,1] ( )f x (0) (1) 0f f= = , [0,1]x y∈ x y≠ 1( ) ( ) 2f x f y x y− < − 若对所有 ， ，则 k 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：不妨令 ，则 法一： ， 即得 ， 另一方面，当 时， ，符合题意， 当 时， ， 故 法二：当 时， ， 当 时， ， 故 考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 , [0,1]x y∈ ( ) ( )f x f y k− < 1 2 1 4 1 2π 1 8 0 1x y≤ < ≤ ( ) ( ) 1 2f x f y x y− < − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1f x f y f x f f x f y f y f − = − + − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1f x f f x f y f y f≤ − + − + − ( ) ( )1 1 1 1 1 1 10 1 12 2 2 2 2 2 2x x y y x y x y< − + − + − = + − + − = ( ) ( ) 1 4f x f y− < 10, 2u  ∈   ( ) ( ) 1,0 2{ 11 , 12 ux x f x u x x ≤ ≤ = − − < ≤ 1 2u → ( )1 102 2 4 uf f  − = →   1 4k ≤ 1 2x y− ≤ ( ) ( ) 1 1 2 4f x f y x y− < − ≤ 1 2x y− > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1f x f y f x f f y f   − = − − −    ( ) ( ) ( ) ( )1 0f x f f y f≤ − + − ( ) ( )1 1 1 1 1 1 11 0 12 2 2 2 2 2 4x y x y y x< − + − = − + = + − < 1 4k ≤ 13.函数 （ ）的最大值是__________． 【答案】1 【解析】 【详解】化简三角函数的解析式， 可得 ， 由 ，可得 ， 当 时，函数 取得最大值 1． 14.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， ，则 ___________. 【答案】4. 【解析】 【分析】 根据已知求出 和 的关系，再结合等差数列前 n 项和公式求得结果. 【详解】因 ，所以 ，即 ， 所以 ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转 化思想得出答案． 15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________. ( ) 2 3s 3 4f x in x cosx= + − 0, 2x π ∈   ( ) 2 23 11 cos 3 cos cos 3 cos4 4f x x x x x= − + − = − + + = 23(cos ) 12x− − + [0, ]2x π∈ cos [0,1]x∈ 3cos 2x = ( )f x 1 2 10 3a a a=≠ ， 10 5 S S = 1a d 2 13a a= 1 13a d a+ = 12a d= 10 5 S S = 1 1 1 1 10 910 1002 45 4 255 2 a d a aa d ×+ = =×+ 【答案】38 【解析】 【分析】 由几何体的三视图可知，该几何体是长方体中间挖去一个圆柱体，根据数据计算表面积即 可． 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体由几何体的三视图可知，该几何体是 长方体中间挖去一个圆柱体．表面积应为长方体表面积减去圆柱底面积，再加上圆柱侧面 积． 长方体长宽高分别为 4，3，1，其表面积为（4×3+4×1+3×1）×2=38 圆柱底面半径为 1，高为 1 圆柱底面积为 2×π×12=2π，侧面积为 2π×1×1=2π 所以所求的表面积为 38-2π+2π=38 及答案为 38. 【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原几何体直观图，考查柱体 的表面积公式，本题是一个基础题． 16.已知函数 若方程 恰有两个不同的实数根 ，则 的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 不妨设 ，则 ，令 ，可得 ，利用 导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果. 22 , 0,( ) , 0,x x xf x e x  ≤=  > 2[ ( )]f x a= 1 2,x x 1 2x x+ 3ln 2 2− 1 2x x< 22 12 xx e a= = ( 1)a t t= > ( )1 2 ln 2 tx x t g t+ = − = 【详解】 作出 的函数图象如图所示， 由 ，可得 ， 即 ， 不妨设 ，则 ， 令 ，则 ， ，令 ，则 ， 当 时， ， 在 上递增； 当 时， ， 在 上递减； 当 时， 取得最大值 , 故答案为 . 【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及 求函数的极值与最值，属于难题.求函数 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)判断 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大 值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则 在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的 大小. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. ( )f x ( ) 2f x a=   ( ) , 1f x a a= ∴ > 1a > 1 2x x< 22 12 xx e a= = ( 1)a t t= > 1 2, ln2 tx x t= − = 1 2 ln 2 tx x t∴ + = − ( ) ln 2 tg t t= − 4 2'( ) 4 tg t t −= ∴ 1 8t< < ( )' 0g t > ( )g t ( )1,8 8t > ( )' 0g t < ( )g t ( )8,+∞ ∴ 8t = ( )g t g(8)=ln8 2=3ln2 2− − 3ln 2 2− ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x ( )f x 0x ( )f x 0x 17.已知 定义域为 ，对任意 都有 ，当 时， ， . （1）求 和 值； （2）试判断 在 上的单调性，并证明； （3）解不等式： . 【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）令 代入 ，即可求出 ；令 代入 ，即可求出 ； （2）根据函数单调性的定义，结合题中条件，即可判断出结果； （3）根据题意，将原不等式化为 ，再由（2）的结果，即可求出不等式 的解集. 【详解】（1）因为对任意 都有 ， 所以，令 ，则 ，所以 ； 令 ，则 ，因为 ， 所以 ； （2）任取 ， 则 ， ，当 时， ， ， 在 上单调递减； （3）因 ， 的 为 ( )f x R ,x y R∈ ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − 0x > ( ) 1f x < (1) 0f = (0)f ( 1)f − ( )f x R ( )22 3 2 ( ) 4f x x f x− − + > (0) 1f = ( 1) 2f − = 1 12x x x  > < −    或 0x y= = ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − (0)f 1, 1x y= = − ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ( 1)f − ( )22 ( 1)f x x f− − > − ,x y R∈ ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − 0x y= = (0) (0) (0) 1f f f= + − (0) 1f = 1, 1x y= = − (0) (1) ( 1) 1f f f= + − − (1) 0f = ( 1) 2f − = 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 2 1 1f x f x x x f x f x x= − + = + − − 2 1 0x x− > ( )2 1 1f x x− < 0x > ( ) 1f x < ( ) ( )2 1f x f x∴ < ( )y f x∴ = R ( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 ( ) 2 3 (2 ) 1 2 3 2 2f x x f x f x x f x f x x x− − + = − − + + = − − + + 所以原不等式可化为 ；即 ， 由（2）可得 ， 解得 或 ； 即原不等式的解集为 . 【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，抽象函数单调性的判定，以及根据函数单调性解不 等式等问题，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型. 18.设等差数列 的公差为 d，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ．已知 ， ， ， ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）当 时，记 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当 d＞1 时，由（1）知 cn ，写出 Tn、 Tn 的表达式，利用错位相减法及等 比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设 a1＝a，由题意可得 ， 解得 ，或 ， 当 时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当 时，an （2n+79），bn＝9• ； ( )22 3 2 2 4f x x x− − + + > ( )22 2 ( 1)f x x f− − > = − 22 1x x− − < − 1 2x > 1x < − 1 12x x x  > < −    或 { }na n nS { }nb q 1 1b a= 2 2b = q d= 10 100S = { }na { }nb 1d > n n n ac b = { }nc n nT 1 2 36 2n n − +− 1 2 1 2n n − −= 1 2 10 45 100 2 a d ad + =  = 1 2 a d =  = 9 2 9 a d = = 1 2 a d =  = 9 2 9 a d = = 1 9 = 12( )9 n− （2）当 d＞1 时，由（1）知 an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn ， ∴Tn＝1+3• 5• 7• 9• （2n﹣1）• ， ∴ Tn＝1• 3• 5• 7• （2n﹣3）• （2n﹣1）• ， ∴ Tn＝2 （2n﹣1）• 3 ， ∴Tn＝6 ． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方 法的积累，属于中档题． 19. 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解 得 .(2)根据三角形面积公式 ，又根据正弦定理和 得到 关于 的函数，由于 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 来计算 的定义域， 最后求解 的值域. 【详解】(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因 为 ，故 ，消去 得 。 ， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故 不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以 . 1 2 1 2 n n n a n b − −= = 1 2 + 2 1 2 + 3 1 2 + 4 1 2 + + 1 1 2n− 1 2 1 2 + 2 1 2 + 3 1 2 + 4 1 2 + + 1 1 2n− + 1 2n 1 2 2 3 4 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n −+ + + + + + − 1 2n = 2 3 2n n +− 1 2 3 2n n − +− ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin2 A Ca b A + = B ABC∆ 1c = ABC∆ 3B π= 3 3( , )8 2 3B π= 1 sin2ABCS ac B= ⋅  1c = ABCS C ABC△ 2 π C ( )ABCS C sin sin2 A Ca b A + = sin sin sin sin2 A CA B A + = 0 A π< < sin 0A > sin A sin sin2 A C B + = 0 < B π< 0 2 A C π+< < 2 A C B + = 2 A C B π+ + = A B C π+ + = 2 A C B π+ + = 2 A C B + = A B C π+ + = 3B = π 3B π= (2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ， 故 ，解得 . 又应用正弦定理 ， ， 由三角形面积公式有： . 又因 ,故 ， 故 . 故 的取值范围是 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以 用余弦定理求解），最后考查 是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道 很好的考题. 20.如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯形， ∥ ， ，且 ， ， 是棱 的中点 ． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； ABC△ 3B π= A B C π+ + = 2 3A C π+ = 0 2 20 3 2 C C π π π  < 2 2 2 1 5 12 10 1 1 110 12 5 1 3 710 5 5 x x x x x x = = − +  × − × + =    × − +   当 ，即 时， 取得最大值，且 ． 【点睛】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题. 21.(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0 时， (2)证明：当 时，函数 有最小值.设 g（x）的最小值为 ，求函数 的值域. 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时， 证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数 的最值，再构造新函数 ，用导数法求解. 试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 . 且仅当 时， ，所以 在 单调递增， 因此当 时， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 单调递增，对任意 因此，存在唯一 使得 即 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增. 因此 在 处取得最小值，最小值为 1 3 5x = 5 3x = sinθ ( )max 35sin 7 θ = ( ) 2 2 xxf x ex −= + x ( )2 2 0;xx e x− + + > [ )0,1a∈ 2x = ( 0) xe ax ag xx − − >（ ） ( )h a ( )h a (0, )x∈ +∞ ( ) (0)f x f> ( )g x 0 0 e( ) 2 x h a x = + ( )f x ( , 2) ( 2, )−∞ − ∪ − +∞ 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2)( ) 0,( 2) ( 2) x x xx x e x e x ef x x x − + − −= = ≥+ + ′ 0x = ( ) 0f x′ = ( )f x ( , 2),( 2, )−∞ − − +∞ (0, )x∈ +∞ ( ) (0) 1,f x f> = − ( 2) ( 2),( 2) 2 0x xx e x x e x− > − + − + + > 3 3 ( 2) ( 2) 2( ) ( ( ) ), xx e a x xg x f x ax x − + + += = +′ ( )f x a+ [0,1), (0) 1 0, (2) 0,a f a a f a a∈ + = − < + = ≥ 0 (0,2],x ∈ 0( ) 0,f x a+ = 0( ) 0g x′ = 00 x x< < ( ) 0, ( ) 0, ( )f x a g x g x ( ) 0, ( ) 0, ( )f x a g x g x>′+ > ( )g x 0x x= 于是 ，由 单调递增 所以，由 得 因为 单调递增，对任意 存在唯一的 使得 所以 的值域是 综上，当 时， 有最小值 ， 的值域是 【考点】函数的单调性、极值与最值 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： （1）确定函数 f （x）的定义域； （2）求导数 f ′（x）； （3）由 f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）解出相应的 x 的范围． 当 f ′（x）＞0 时，f （x）在相应的区间上是增函数；当 f ′（x）＜0 时，f （x）在相应 的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论； 另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． 请考生在第 22~24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分 选修 4−4：坐标系与参数方程 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 ( 1) + ( )( 1)( ) .2 x x xe a x e f x x eg x x x x − + += = = + 0 0 e( ) 2 x h a x = + 2 ( 1)( ) 0,2 ( 2) 2 x x xe x e eyx x x += > =′ + + +知 0 (0,2],x ∈ 00 2 2 0 1 ( ) .2 0 2 2 2 2 4 xe e e eh a x = < = ≤ =+ + + 2 xey x = + 21( , ],2 4 eλ ∈ 0 (0,2],x ∈ 0( ) [0,1),a f x= − ∈ ( ) ,h a λ= ( )h a 21( , ],2 4 e [0,1)a∈ ( )g x ( )h a ( )h a 21( , ].2 4 e 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【答案】（1） ； ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的 直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距 离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由 得： ，又 整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为： 则 上的点到直线 的距离 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 2 2: 1, ( 1,1]4 yC x x+ = ∈ − : 2 3 11 0l x y+ + = 7 C l C 2 2 1 1 tx t −= + 2 1 0, ( 1,1]1 xt xx −= ≥ ∈ −+ ( ) 2 2 22 16 1 ty t = + ( )( )2 2 2 116 1 4 1 1 4 4 11 1 x xy x x x x x −× +∴ = = + − = − − + +  C 2 2 1, ( 1,1]4 yx x+ = ∈ − cosx ρ θ= siny ρ θ= l∴ 2 3 11 0x y+ + = C ( )cos ,2sinθ θ C l 4sin 112cos 2 3sin 11 6 7 7 d πθθ θ  + + + +  = = 当 时， 取最小值 则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距 离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三 角函数的最值求解问题. 选修 4-5：不等式选讲 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ，M 为不等式 的解集. （Ⅰ）求 M； （Ⅱ）证明：当 a，b 时， . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即 可 得 ； （ II ） 采 用 平 方 作 差 法 ， 再 进 行 因 式 分 解 ， 进 而 可 证 当 ， 时 ， ． 试题解析：（I） 当 时，由 得 解得 ； 当 时， ； 当 时，由 得 解得 . 所以 的解集 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ，从而 sin 16 πθ + = −   d min 7d = 1 1( ) 2 2f x x x= − + + ( ) 2f x < M∈ 1a b ab+ < + { | 1 1}M x x= − < < 1 2x ≤ − 1 1 2 2x− < < 1 2x ≥ Μ a b∈Μ 1a b ab+ < + 12 , ,2 1 1( ) {1, ,2 2 12 , .2 x x f x x x x − ≤ − = − < < ≥ 1 2x ≤ − ( ) 2f x < 2 2,x− < 1x > − 1 1 2 2x− < < ( ) 2f x < 1 2x ≥ ( ) 2f x < 2 2,x < 1x < ( ) 2f x < { | 1 1}M x x= − < < ,a b M∈ 1 1, 1 1a b− < < − <