高三上学期第一次考试
数学试题（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 ，则 （ ）
A. 5 B. C. 10 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算法则求出 ,再利用向量的模的计算公式即可求出．
【详解】由题知 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查向量的运算以及向量的模的计算公式的应用．
2.等比数列 4，6，9，…的公比为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的定义，即可求出公比．
【详解】由等比数列的定义知， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列的定义应用．
3.若 ， ，则 （）
A. B. C. D.
( ) ( )5 2i 1 iz = + − − z =
17
z
2 24 3i, 4 3 5z z= + = + =
2
3
3
2
6 3
4 2q = =
(1,2)AC = (1,0)BC = AB =
2 2（ ，） 2 0（ ，） 0 2（ ，） 0 2−（ ， ）
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加法，减法的坐标运算即可得解.
【详解】由向量的加法，减法运算可得： ，
故选 C.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.
4.若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数代数形式的运算法则求出 ，利用共轭复数的定义即可求出 ．
【详解】因为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则的应用以及共轭复数概念的应用．
5.已知两个单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由数量积的性质，将 两边平方可求出 ，再由向量的夹角公式即可求出．
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， ， 则 ， 解 得 ， 所 以
，向量 与 的夹角为 ．
故选：C．
(0,2)AB AC CB AC BC= + = − =
5 i
1 iz
−= − z =
3 2i+ 3 2i− + 3 2i− − 3 2i−
z z
( )( )5 i 1 i 6 4i 3 2i, 3 2i2 2z z
− + += = = + = −
,a b a b a+ =
a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b a+ =
a b⋅
1a b= = 2
2 2 1a b a b+ = + ⋅ = 1
2a b⋅ = −
1cos , 2a b< >= − a b 2
3
π
【点睛】本题主要考查向量夹角公式、 等数量积的性质应用．
6.将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的曲
线的一条对称轴方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ,横坐标伸长为原来的 2 倍,即周期 变为原来的 2 倍，故 变为原来的一半，可
得函数解析式，再结合正切函数的对称轴，即可得解。
【详解】解：依题意得变换后 函数解析式为 ，令 ,
解得 ,再结合选项，
故选 .
【点睛】本题考查 函数的伸缩变换，及其对称轴的求法，属于基础题。
7.在 中， ， ， ，则 的最大内角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形的性质可得 边最长，所以 A 最大，
再结合余弦定理 运算可得解.
【详解】解：因为 边最长，所以 A 最大，
.
的
2 2
a a=
2sin 4 5y x
π = +
3
80x
π= 3
80x
π= −
3
20x
π= 3
20x
π= −
2T
π
ω= T ω
2sin 2 5y x
π = + 2 ( )5 2x k k Z
π π π+ = + ∈
3 ( )20 2
kx k Z
π π= + ∈
C
( )siny A ωx φ= +
ABC∆ 3AC = 4AB = 6BC = ABC∆
43
48
1
4
− 7
12
− 11
24
−
BC
2 2 2
cos 2
AB AC BCA AB AC
+ −= ⋅
BC
由余弦定理可得 ,
故选 D.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力.
8.下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断每个式子与 0,1 的大小关系，排除 A,B,C，再判断 D 选项得到答案.
【详解】∵
，
，
∴排除 A，B，C
故答案选 D.
【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力
9.设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 结合通项和前 n 项和的关系，求得 n=1 及n≥2 时的 ，再由等比数列的定义
求解.
【详解】当 时， ；
当 时， ，解得 .
2 2 2 9 16 36 11cos 2 2 3 4 24
AB AC BCA AB AC
+ − + −= = = −⋅ × ×
3sin130 sin 40 log 4° > ° > tan 226 ln 0.4 tan 48° < < ° ( )cos 20 sin 65 lg11− ° < ° < 5tan 410 sin80 log 2° > ° >
3sin 40 1 log 4° < < ln 0.4 0 tan 226< < ° ( )cos 20 cos20 sin 70 sin 65− = = >° ° ° °
5
1tan 410 tan50 1 sin80 log 22
° = ° > > ° > >
{ }na n nS ·2 3n
nS k= − ka =
4 8 12 16
·2 3n
nS k= − na
2n ≥ 1
1 ·2n
n n na S S k −
−= − =
1n = 1 1
1 1 2 3 ·2a S k k −= = − = 3k = ， 3 1
3 3·2 12ka a −∴ = = =
故选 C.
【点睛】本题主要考查了利用通项与前 n 项和之间的关系求通项的问题，是数列考查中常考
的问题，要熟练掌握．
10.已知 ，则 的近似值为（）
A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81
【答案】B
【解析】
【分析】
化简式子等于 ，代入数据得到答案.
【 详 解 】
，
所以 的近似值为 1.78.
故答案选 B
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力
11.函数 在 上的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除 C，根据取值 ， 排除 B,D，故选 A
cos27 0.891° = ( )2 cos72 cos18°+ °
2cos27°
( )cos72 cos18 sin18 cos18 2 sin 18 45 2 sin 63 2 cos27= + =°+ ° ° ° ° = =°+ ° °
( )2 cos72 cos18 2 0.891 1.782°+ ° ≈ × =
( )2 cos72 cos18°+ °
22cos( ) x
x xf x
e
−= [ ]π,π−
02f
π −
【详解】易知 为偶函数，排除 C
因为 ， ，所以排除 B，D
故答案选 A.
【点睛】本题考查函数图象 识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，
考查推理论证能力
12. 的内角 的对边分别为 .已知 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用平方关系求出 ，然后利用正弦定理将 化角为边，再根据
余弦定理即可找出 的关系．
【详解】∵ ，∴ .又 .
∴ ，由正弦定理，得 ，
由余弦定理，得 ，整理得 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题.把答案填在答题卡的相应位置.
13.复数 的实部为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用复数代数形式的运算法则求出 ．即可由复数的定义知 的实部．
【详解】因为 ，所以 的实部为－4．
的
( )f x
02f
π − > −
ABC△ , ,A B C , ,a b c 110sin 5sin 2 6,cos 5A C B− = =
c
a
=
5
6
7
6
6
7
6
5
sin B 10sin 5sin 2 6A C− =
,a c
1cos 5B = 2 6sin 5B = 10sin 5sin 2 6A C− =
2sin sin sinA C B− = 2a c b− =
( )2 2 2 12 2 5a c a c ac− = + − × 5 6a c= 5
6
c
a
=
( )i 1 4iz = +
4−
z z
4 iz = − + z
故答案为：－4．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则和复数的定义的应用．
14.在等差数列 中， ，则公差 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，列出关于公差 的不等式，即可求出其范围．
【详解】∵ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用．
15.函数 在 上的极________(填“大”或“小”）值点为_________.
【答案】 (1). 大 (2).
【解析】
【分析】
先求导函数，根据导函数的正负，求得函数先增后减，即可得出答案。
【详解】解：令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调
递减，所以 有极大值点，为 。
故答案为：大；
【点睛】本题考查函数单调性和导函数的关系，注意极值点不是点，属于基础题。
16.函数 的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
{ }na 2 1 73, 10a a a= + > d
( )1,+∞
d
( )1 7 4 22 2 2 6 4 10a a a a d d+ = = + = + > 1d >
( )1,+∞
2 4cosy x x= + ,2 2
π π −
6
π
( ) 2 4cosf x x x= + ( ) 2 4sinf' x x= − '( ) 0f x =
6x
π=
,2 6x
π π ∈ − '( ) 0f x > ( )f x ,6 2x
π π ∈ '( ) 0f x < ( )f x ( )f x 6x π= 6 π sin 4 3 cos4( ) sin 2 3 cos2 x xf x x x += − [ ]2 2− ,
对原函数进行化简得到 ，即可得到答案。
【详解】解：
，所以 .
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式、辅助角公式，以及三角函数的值域，属于中档题。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在平行四边形 中， 为 上一点，且 .
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） , （2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量的加法、减法运算及其几何意义，向量数乘的运算律，以及向量共线定理即可
得到所求向量；
（2）由第一问结论，把 作为一组基底，运用向量数量积的运算性质，计算即可求
出．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
( ) 2sin(2 )6f x x
π= − +
2sin(4 ) 2sin(2 )cos(2 )sin 4 3 cos4 3 6 6( )
sin 2 3 cos2 2sin(2 ) sin (2 )3 6 2
x x xx xf x
x x x x
π π π
π π π
+ + ++= = = − − + −
2sin(2 )cos(2 )6 6 2sin(2 )6cos(2 )6
x x
x
x
π π
π
π
+ +
= = − +
− +
[ ]( ) 2,2f x ∈ −
[ ]2 2− ,
ABCD E BD 2BE ED=
,AB AD ,EA EC
1, 1, 3AB AD AD AB⋅ = = = EA EC⋅
1 2
3 3EA AB AD= − − 2 1
3 3EC AB AD= + 13
9
−
,AB AD
2BE ED= ( )2 2
3 3BE BD AD AB= = −
( )2 1 2
3 3 3EA EB BA BE AB AD AB AB AB AD= + = − − = − − − = − −
.
（2）
．
【点睛】本题主要考查向量的加法、减法运算及其几何意义，向量共线定理的应用以及向量
数量积的计算．
18.设等差数列 的前 n 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列 的通项公式表
示出 ，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 d，由 ，
，即 ，
解得 ， ，
所以 .
（2）由 ，所以 ，
所以
.
( )2 2 1
3 3 3EC EB BC AD AB AD AB AD= − = − − + = +
( )2 21 2 2 1 1 2 2 53 3 3 3 9EA EC AB AD AB AD AB AD AB AD ⋅ = − + ⋅ + = − + + ⋅
( )1 132 3 2 1 59 9
= − × × + × + = −
{ }na nS 2 2 5+ = −a S 5 15= −S
{ }na
1 2 2 3 1
1 1 1
+
+ +…+
n na a a a a a
na n= −
1
n
n +
{ }na
1
1
n na a +
{ }na 2 2 13 2 5+ = + = −a S a d
5 15 10 15= + = −S a d 1 2 3+ = −a d
1 1a = − 1d = −
( )1 1= − − − = −na n n
na n= −
1
1 1 1 1
( 1) 1+
= = −+ +n na a n n n n
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 1+
+ +…+ = − + − +…+ − + n na a a a a a n n
11 1 1
n
n n
= − =+ +
【点睛】利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相
等．
19. 分别为 的内角 的对边.已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，将 ，化角为边，即可求出 ，再利用正弦定
理即可求出 ；
（2）根据 ，选择 ，所以当 的面积取得最大值时， 最大，
结合（1）中条件 ，即可求出 最大时，对应的 的值，再根据余弦定理求出边
，进而得到 的周长．
详解】（1）由 ，得 ，
即 .
因为 ，所以 .
由 ，得 .
（2）因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
因为 的面积 .
所以当 时， 的面积取得最大值，
此时 ，则 ，
所以 的周长为 .
【
, ,a b c ABC△ , ,A B C ( )sin 4sin 8sina A B A+ =
1, 6b A
π= = sin B
3C
π= ABC△ ABC△
1sin 8B = 5 13+
( )sin 4sin 8sina A B A+ = a
sin B
3C
π= in1
2 sS ab C= ABC△ ab
4 8a b+ = ab ,a b
c ABC△
( )sin 4sin 8sina A B A+ = ( )4 8a a b a+ =
4 8a b+ =
1b = 4a =
4 1
sinsin 6
B
=π 1sin 8B =
4 8 2 4 4a b ab ab+ = ≥ =
4ab ≤ 4 4a b= =
ABC△ 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C
π= ≤ × × =
4 4a b= = ABC△
2 2 24 1 2 4 1 cos 133c
π= + − × × × = 13c =
ABC△ 5 13+
【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在
考查学生的转化能力和数学运算能力．
20.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据图像得到 ， ，代入点 得到 .
（2）由（1）知， ，代入数据化简得到 ，
， 代入数据得到答案.
【详解】解；（1）由图可知
故 ，则
又 的图象过点 ，则 ，得 .
而 ，所以
( ) 3sin( )( ,| | )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < ω ϕ 9 2 5f α = 5,3 6a π π ∈ sinα 2ω = 3 πϕ = − 3 4 3 10 + πT = 2 2T πω = = 5 ,312 π 3 πϕ = − ( ) 3sin 2 3f x x π = − 3sin 3 5 πα − = 4cos 3 5 πα − = sin sin 3 3 π πα α = − + 3 5 3 4 12 3 4T π π π = − − = πT = 2 2T πω = = ( )f x 5 ,312 π 5 312f π = 5sin 16 + = π ϕ | | 2 ϕ π< 3 πϕ = −
（2）由（1）知， ，则
则
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
.
【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中 是解题
的关键.
21.在数列 中， （ ）.
（1）证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析, （2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义即可证明数列 为等比数列，并能写出数列 的通
项公式，故可求出 的通项公式；
（2）依照数列 的通项公式形式可知，利用错位相加法即可求出该数列的前 项和
．
【详解】证明：当 时，
∵ ．
∴数列 为首项 2，公比是 2 等比数列．是
( ) 3sin 2 3f x x
π = −
93sin2 3 5f
α πα = − =
3sin 3 5
πα − =
5,3 6
π πα ∈ 0,3 2
π πα − ∈
4cos 3 5
πα − =
sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3
π π π π π πα α α α = − + = − + −
1 3 3 4 3 4 3
2 5 2 5 10
+= × + × =
sin sin 3 3
π πα α = − +
{ }na 2
1 11, 2 4 2n na a a n n−= = + − + 2n ≥
{ }2
na n+ { }na
{ }3
nna n+ n nS
22n
na n= − ( ) 11 2 2n
nS n += − ⋅ +
{ }2
na n+ { }2
na n+
{ }na
{ }3
nna n+ n
nS
2n ≥
( ) ( )
2 2 2 2
1 1
2 2 2
11 1
2 4 2 2 2 4 2 22 11 1
n n n
nn n
a n a n n n a n n
a n na n a n
− −
−− −
+ + − + + + − += = =+ − ++ − + −
{ }2
na n+
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）知， ，
则 ，
，
两式相减得，
，
故 .
【点睛】本题主要考查等比数列的证明、利用定义求等比数列的通项公式，以及错位相减法
求数列的前 项和，意在考查学生的数学运算能力。
22.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象.
（1）若 为偶函数， ，求 的取值范围.
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，得到 ，根据偶函数
得到 ，化简得到 ，代入数据得到答案.
2 2n
na n+ =
22n
na n= −
3 2n
nna n n+ = ⋅
2 32 2 2 3 2 2n
nS n= + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
2 3 4 12 2 2 2 3 2 2n
nS n += + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
2 3 12 2 2 2 2n n
nS n +− = + + +⋅⋅⋅+ − ⋅
( )1 12 2 2 2 1 2 21 2
n
n nn n+ +− ×= − ⋅ = − ⋅ −−
( ) 11 2 2n
nS n += − ⋅ +
n
( ) 4sin cos 6g x x x
π = ⋅ + 0 2
πϕ ϕ < ≤ ( )f x ( )f x tan 2α > ( )f α
( )f x 7, 6
ππ
ϕ
113, 5
− − ,6 2
π πϕ ∈
( ) 2sin 2 16g x x
π = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x
π ϕ = + + −
6
π=ϕ 2
4( ) 31 tanf α α= −+
（2）计算 ，根据单调性得到 ，计
算得到答案.
【详解】解：（1）
∴
又 为偶函数，则 ，∵ ，∴
∴
∵ ，∴
又 ，∴ 的取值范围为 .
（2）∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∵ 在 上是单调函数，∴
∴ .
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和
对于三角函数公式性质的灵活运用.
2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
26 2
0 2
π πϕ
πϕ
+ ≥
< ≤ 3 1( ) 4sin cos sin 3sin 2 (1 cos2 ) 2sin 2 12 2 6g x x x x x x x π = − = − − = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x π ϕ = + + − ( )f x 2 ( )6 2 k k π πϕ π+ = + ∈Z 0 2 πϕ< ≤ 6 π=ϕ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 1 tan ( ) 2sin 2 1 2cos2 1 1 12 cos sin 1 tan x x x f x x x x x x π − − = + − = − = − = − + + tan 2α > 2 2
4 4 11( ) 3 31 tan 1 2 5f α α= − < − = −+ + 2 4( ) 3 31 tanf α α= − > −+ ( )f α 113, 5
− −
7, 6x
ππ ∈ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
0 2
πϕ< ≤ 72 ,6 6 6 π π πϕ + ∈ 32 ,2 2 2 π π πϕ + ∈ ( )f x 7, 6 ππ 26 2 0 2 π πϕ πϕ + ≥ < ≤ ,6 2 π πϕ ∈
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