2020 届江西省第一次高三大联考试卷文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的定义，即可求出结果。
【详解】 ，故选 C。
【点睛】本题主要考查交集的运算。
2.命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
按规则写出存在性命题的否定即可.
【详解】命题“ ”的否定为“ ”，
故选 C.
【点睛】全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的
一般形式是 ， ，其否定为 .
3.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
{ } { }= 1 1 , = 1,0,1,2A x x B− < ≤ − A B = { }-1 0 1，， { }1,0− { }0,1 { }1,2 { }0,1A B = ( )0 0 00, ln 1x x x∃ ∈ +∞ = +， ( )0 0 00, ln 1x x x∃ ∈ +∞ ≠ +， ( )0, ln 1x x x∀ ∉ +∞ ≠ +， ( )0, ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ +， ( )0 0 00, ln 1x x x∃ ∉ +∞ ≠ +， ( )0 0 00, ln 1x x x∃ ∈ +∞ = +， ( )0, ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ +， x M∀ ∈ ( )p x ( ),x M p x∃ ∈ ¬ x M∃ ∈ ( )p x ( ),x M p x∀ ∈ ¬ { }| 1 2M x x= − < < { }|N x x a= ≤ M N⊆ a ( )2,+∞ [ )2,+∞ ( ), 1−∞ − ( ], 1−∞ −
【解析】
【分析】
根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.
【详解】已知 ， ，且 ，
所以 .故实数 取值范围为 ，故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.
4.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题“若 ，则 ”的否命题
B. 命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题
C. 命题“若 x＝1，则 ” 否命题
D. 命题“已知 ，若 ，则 a＞b” 逆命题、否命题、逆否命题均为真命题
【答案】B
【解析】
【分析】
根据否命题的定义写出 A，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；
根据逆命题的定义写出 B 中命题的逆命题，判断真假;
根据 D 命题是假命题可知 D 的逆否命题为假命题.
【详解】A．命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题为“若 x≤1，则 ”假命题；
B．命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题为“若 x＞|y|，则 x＞y”真命题．
C．命题“若 x＝1，则 ”的否命题为“若 x≠1，则 ”假命题．
D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．
【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
5.已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
的
的
的
{ }| 1 2M x x= − < < { }|N x x a= ≤ M N⊆ 2a ≥ a [ )2,+∞ 1x > 2 1x >
2 2 0x x+ − =
, ,a b c∈R 2 2ac bc>
2 1x ≤
2 2 0x x+ − = 2 2 0x x+ − ≠
( ) 2 2 2f x x ax= + + ( ),4−∞ a
[ )4,+∞ ( ],4−∞ ( ), 4−∞ − ( ], 4−∞ −
根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与 4 的关系即可求解.
【详解】由于二次函数 的二次项系数为正数，对称轴为直线 ，
其对称轴左侧的图像是下降的，∴ ，故 ，
因此，实数 的取值范围是 ，故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中
档题.
6.函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项得到答案.
【详解】 排除 BD
排除 C
故答案选 A
【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手
得到答案.
( ) 2 2 2f x x ax= + + x a= −
4a− ≥ 4a ≤ −
a ( ], 4−∞ −
sin( ) ln( 2)
xf x x
= +
sin( ) (0) 0ln( 2)
xf x fx
= ⇒ =+
1sinsin 1 2( ) ( ) 05ln( 2) 2 ln( )2
xf x fx
= ⇒ = >+
7.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量（单位：
公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2019 年 1 月 1 日 4000 0.125 280
2019 年 1 月 2 日 4100 0.126 146
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗
的电量，平均耗电量= ，剩余续航里程= ，下面对该车在两次记录时
间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是
A. 等于 12.5 B. 12.5 到 12.6 之间
C. 等于 12.6 D. 大于 12.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据累计耗电量的计算公式，即可求解．
【详解】由题意，可得 ，
所以对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是：大于 12.6，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公
式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8.若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
/kW h⋅
累计耗电量
累计里程
剩余电量
平均耗电量
4100 0.126 4000 0.125 516.6 500 16.6× − × = − =
tan 2α =
2
2
sin 3sin cos
cos 1
α α α
α
+ =+
5
3
5
4
5
2
已知正切值，观察所求式子，采取弦化切思想，分子分母同除以 即可求解.
【 详 解 】 ∵ ， 则
.选 A.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的关系，弦化切的思想，属于中档题.
9.三个数 ， ， 的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数性质，分析 3 个数与 0，1 的大小即可.
【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知： ， ， ，
所以 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.
10.对于实数 ， ，若 ： 或 ， ： ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值 ， ,可知 p q，利用逆否命题与原命题等价，可确定 q p, 即可得出
结论.
【详解】取 ， ，满足条件 p,此时 ，即 p q，故 是 的不充分条件，
： ： 或 等价于 且 ，易知成立，所以 是
2cos α
tan 2α =
2 2
2 2 2
sin 3sin cos sin 3sin cos
cos 1 2cos sin
α α α α α α
α α α
+ +=+ +
2
2
tan 3tan 5
tan 2 3
α α
α
+= =+
0.23 30.2 0.2log 3
0.2 3
0.23 0.2 log 3< < 0.2 3 0.23 log 3 0.2< < 0.2 3 0.2log 3 3 0.2< < 3 0.2 0.2log 3 0.2 3< < 0.23 1> 30 0.2 1< < 0.2log 3 0< 3 0.2 0.2log 3 0.2 3< < x y p 4x ≠ 1y ≠ q 5x y+ ≠ p q 6x = 1y = − ⇒ 6x = 1y = − 5x y+ = p q q 5x y+ ≠ ⇒ p 4x ≠ 1y ≠ 4x = 1 5y x y= ⇒ + = p
的必要条件.
故答案选 B.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.
11. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
，则 （ ）
A. B. 40 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理，化角为边可得 ，利用余弦定理化角为边可得 ，得
到 关系，再根据正弦定理求解即可.
【详解】由已知及正弦定理可得 ，由余弦定理推论可得
，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， .故选 A.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，边角互化的思想，属于中档题.
12.已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段研究，当 时,可得 ，所以只需 时， 取值为
的子集即可.
【详解】当 时， ，所以 ；
q
ABC∆ A B C a b c sin sin 4 sina A b B c C− =
1cos 4A = − sin
sin
A
C
=
2 10
2 2 24a b c− =
2 24 1
2 4
c c
bc
− = −
a c、
2 2 24a b c− =
2 2 21 cos4 2
b c aA bc
+ −− = =
2 24 1
2 4
c c
bc
− = − 3 1
2 4
c
b
= 3 4 62
b
c
= × = 6b c=
2 2 24a b c− = 2 10a c= sin 2 10sin
A
C
=
( )
2 2 ,0 5
11 , 04
x
x x x
f x
a x
− + ≤ ≤
= − ≤ − ( ) ( )1 1f f> −
1x = − 2y = ( )1 1 1xy a a+= + > ( )1,2−
( )f m ( )f n ( ) ( ) 0f m f n⋅ < 3 3log l 2 3 og 12 log4 9 12 2 2x x x x−= = − ⇒⇒ = ⇒ = p [ ]0,1x∈ 22 3 4x m m− ≥ − q [ ]1,1x∈ − 2 2 1 0x x m− + − ≤ p m p q∧ p q∨ m 1 3m≤ ≤ 1m < 2 3m< ≤ [ ]0,1x∈ 22 3 4x m m− ≥ − ( ) 2 min2 3 4x m m− ≥ − p q m p ( ) 2 min2 3 4x m m− ≥ − [ ]0,1x∈ ( )min2 3 3x − = − 23 4m m− ≥ − 1 3m≤ ≤ q [ ]1,1x∈ − 2 2 1 0x x m− + − ≤ ( )2 min 2 1 0x x m− + − ≤ ( )2 min 2 1 2x x m m− + − = − + 2 0m− + ≤ 2m ≤ p 1 3m≤ ≤ p q∧ p q∨ p q
若 为假命题， 为真命题，则 ，所以 ；
若 为假命题， 为真命题，则 ，所以 .
综上， 或 .
【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档
题.
18.已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的最小正周期及单调递减区间.
【答案】（1）2；（2） ， ， .
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式及二倍角公式，两角和正弦公式的逆用化简，代入求值即可（2）根据正
弦型函数的周期、单调性求出周期，递减区间即可.
【详解】（1） .
则 .
（2）因为 .所以 的最小正周期是 .
由正弦函数的性质得
， ，
解得 ， ，
所以， 的单调递减区间是 ， .
q p 1 3
2
m
m
≤ ≤
> 2 3m< ≤ p q 1 3 2 m m m ≤ 或 1m < 1m < 2 3m< ≤ ( ) ( )21 2cos 2 3sin cosf x x x x x R= − − ∈ 2 3f π ( )f x π ,3 6k k π ππ π − + + k Z∈ ( ) 21 2cos 2 3sin cosf x x x x= − − cos2 3sin 2 2sin 2 6x x x π = − − = − + 2 42sin 23 3 6f π π π = − + = ( ) 2sin 2 6f x x π = − + ( )f x π 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− + ≤ + ≤ + k Z∈ 3 6k x k π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈ ( )f x ,3 6k k π ππ π − + + k Z∈
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，属于中档题.
19.已知函数 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）设函数 ，若 在 上没有零点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程 在 上无实数解，求
的值域即可得到 k 的范围.
【详解】（1）因为 ，即： ，
所以 .
（2）由题意可知， ，
函数 在 上没有零点等价于方程 在 上无实数解，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上取得极小值，也是最小值，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档
题.
( ) xf x e=
( )2 4f a = a
( ) ( )2xg x e kx k R= − ∈ ( )g x ( )0, ∞+ k
ln 2a =
2
4
ek < 2 xek x = ( )0, ∞+ ( ) ( )2 0 xeh x xx = >
( ) 22 4af a e= = 2ae =
ln 2a =
( ) 2xg x e kx= −
( )g x ( )0, ∞+
2
xek x
= ( )0, ∞+
( ) ( )2 0
xeh x xx
= > ( ) ( ) ( )3
2' 0
xe xh x xx
−= >
( )h x ( )0,2 ( )2,+∞
( )h x 2x =
( ) ( ) 2
2 4
eh x h≥ =
2
4
ek ( )f x ( )2,− +∞
2x < − ( )' 0f x < ( )f x ( ), 2−∞ − ( ) ( ) 2min 22f x f e = − = − [ ]2 , 1t t− ∈ + 3 2t− ≤ ≤ − t 3 2t− ≤ ≤ −
21.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ， 等式右边可化为余弦定理形式，根据
求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出 的最大值，即可求出三角面积的最大值.
【详解】（1）由 得： ，
即： .
∴ ，又 ，∴ .
（2）由 ，当且仅当 等号成立.
得： .
.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.
22.已知函数 在区间 上的最小值为 1.
（1）求 的值；
（2）若存在 使得不等式 在 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
ABC∆ A B C a b c 2 2 12 sin 2ac B a c= + −
2
2b =
B
ABC∆ S S
4
π 2 1
8
+
2
2b = 2 2 12 sin 2ac B a c= + − sin cosB B=
ac
2 2 12 sin 2ac B a c= + − 2 2 22 sin 2 cosac B a c b ac B= + − =
sin cosB B=
tan 1B = ( )0,B π∈
4B
π=
( )2 2 2 2 cos 2 2b a c ac B ac= + − ≥ − a c=
2 2
4ac
+≤
( )max
1 2 2 1sin2 4 8ABCS ac B ac∆
+= = ≤
( ) 2 2 1f x x ax= − + [ ]2,3
a
0x
( )3
33
x
x
x
f
k< ⋅ [ ]1,1x∈ − k ( )0, ∞+
【分析】
（1）二次函数写出对称轴，分 ， ， 三种情况讨论即可求出最小值，根
据最小值为 1，写出 （2）分离参数可得 ，令 ，换元后求最小值，
只需 k 大于最小值即可.
【详解】（1） .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，不符合题意.
综上所述，
（2）因为 ，
可化为 ，
令 ，则 .
因 ，故 .故不等式 在 上有解.
记 ， ，故 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中
档题.
.
2a < 2 3a≤ ≤ 3a >
a
21 11 23 3x x k + − ⋅ ( ) ( )min 3 10 6 1f x f a= = − = 3
2a =
1a =
( ) 23 3 2 3 13 33 3
x x x
x x
x x
f
k k
− ⋅ +< ⋅ ⇒ < ⋅ 21 11 23 3x x k + − ⋅ − +
[ ]1,1x∈ − 1 ,33t ∈
2 2 1k t t> − + 1 ,33t ∈
( ) ( )22 2 1 1h t t t t= − + = − 1 ,33t ∈
( ) ( )min 1 0h t h= =
k ( )0, ∞+
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