江苏省黄桥中学 2019 年秋学期高三第一次质量检测
数 学 试 卷（文）
一.填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答題卡相应位置）
1.命题“ ， ”的否定为__________．
【答案】 ，使
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2≥0”的否定为：∃x＞0，使
x2＜0．
故答案为：∃x＞0，使 x2＜0．
【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的
否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.
2.若复数 ( ， 是虚数单位)是纯虚数，则 a＝__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解．
【详解】根据复数的除法运算得到：∵ 是纯虚数，
∴ 得 a=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．复数问题高
考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减
乘除运算，复数的模长的计算.
3.半径为 ，圆心角为 的扇形面积为 .
【答案】
0x∀ > 2 0x ≥
0x∃ > 2 0x < 1 2 aiz i += − Ra∈ i ( )( ) ( )( ) 1 2+i1 2 2 1=2 2 i 2+i 5 5 aiai a az ii ++ − += = +− − 2-a=0 2 1 0a + ≠ 3 cm 120° 2cm 3π
【解析】
试题分析：因为扇形面积为 ，所以 本题在运用公式求面
积时需将圆心角化为弧度，这是与初中的扇形面积公式的区别.
考点：扇形面积
4.已知 ， ，若向量 与 共线，则实数 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求出 的坐标，然后根据向量的共线得到 的值．
【详解】因为 ， ，
所以 .
又向量 与 共线，
所以 ，
解得 ．
故答案为 1．
【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的
坐标表示．
5.设实数 x，y 满足 ，则 x＋y 的最小值为_______
【答案】2
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过 B 点时取得最值.
【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数 z＝x+y 经过点 B（1,1）时，
.
21 1
2 2S lr rα= = 21 2 3 3 .2 3S
π π= ⋅ ⋅ =
(1, )a λ= (2,1)=b 2a b+ (8,6)c = λ
2a b+ λ
( )1,a λ= ( )2,1b =
( )2 4,2 1a b λ+ = +
2a b+ ( )8,6c =
( )8 2 1 24λ + =
1λ =
1
0
2 3
x
y
x y
≥
≥
+ ≥
x+y 有最小值为：1+1＝2，
故答案为：2.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ 型）、斜
率型（ 型）和距离型（ 型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
6.两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的模的平方等于向量的平方，求得两个向量的关系，再利用向量的数量积和向量的
夹角公式，即可求解.
详解】由题意，两个非零向量 满足 ，可得
即 ，解得 ，
又由 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ， ，
由向量的夹角公式，可得 ，
【
ax by+
y b
x a
+
+ ( ) ( )2 2x a y b+ + +
,a b 2a b a b a+ = − = b a b+
4
π
,a b
→ → a b a b+ = − 2 2
a b a b+ = −
2 2 2 2
2 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ + 0a b⋅ =
2a b a− = 2 2( 2 )a b a− =
2 2 2
2 2a a b b a− ⋅ + = 2 2
b a= b a=
22 2
( )b a b a b b b a
→
⋅ + = ⋅ + = = 2 2 2
( ) 2a b a a bb a+ = + = + =
2
)( 2cos , 22
abb
b
a ba b
a b a a
⋅= = =
×
++
+
又由 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模和向量的夹角的求解，其中解
答中熟记向量的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题.
7.已知函数 （A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）在 R 上的部分图象如图所示，
则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图像先得到解析式为： ，将 x=36 代入得到函数值.
【详解】由图可知：A＝3，T＝7－（－1）＝8＝ ，所以， ，
图象经过（3,0），所以， ， ， ，
因为 ，所以， ，
解析式为： ，
＝－
, [0, ]a bb π∈+ , 4bb a
π+ =
b
→
a b+
4
π
4
π
( ) Asin( )f x xω ϕ= + ω ϕ π
(36)f
3 2
2
−
( ) 3sin( )4 4f x x
π π= +
2π
ω 4
πω =
3sin( 3 ) 04
π ϕ× + = 34 k
π ϕ π× + = 3
4k
πϕ π= −
0 ϕ π< < 4 πϕ = ( ) 3sin( )4 4f x x π π= + (36) 3sin( 36 ) 3sin(8 ) 3sin4 4 4 4f π π π ππ π= × + = + + = − 3 2 2
故答案为： .
【点睛】已知函数 的图象求解析式
(1) .
(2)由函数的周期 求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求
8.在 中， 若 的面积为 则 边的长度为______.
【答案】 或
【解析】
【分析】
利用三角形的面积公式，求得角 ，再利用余弦定理，即可求解 边的长度，得到答案.
【详解】由题意，在 中， ， ，且面积为 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 或 ，
当 时， ，
由余弦定理，可得 ；
当 时， ，
由余弦定理，可得 ，
综上， 边的长度为 或 .
【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目
时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关
键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3 2
2
−
( )sin ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > >
max min max min,2 2
y y y yA B
− += =
T 2, .T
πω ω=
ϕ
ABC∆ 3, 4,AB AC= = ABC∆ 3 3， BC
13 37
A BC
ABC∆ 3AB = 4AC = 3 3
1 1sin 3 4sin 3 32 2AB AC A A⋅ = × × = 3sin 2A =
(0, )A π∈
3A
π= 2
3A
π=
3A
π= 1cos 2A =
2 2 2 2 12 cos 3 4 2 3 4 132BC AB AC AB AC A= + − ⋅ = + − × × × =
2
3A
π= 1cos 2A = −
2 2 2 2 12 cos 3 4 2 3 4 ( ) 372BC AB AC AB AC A= + − ⋅ = + − × × × − =
BC 13 37
9.已知 x＞0，y＞0，x＋y＝1，则 最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，x+y+1=2，从而 = [x+（y+1）]，展开利用基本不等式可
求．
【详解】∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴x+y+1=2，
则 = [x+（y+1）] ，
当且仅当 且 x+y=1 即 x= ，y= 时取得最小值
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．本题考查了“乘 1
法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者
最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
10.已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】(0， ) (100， )
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数 f（x）=x（2 x﹣2﹣x）为偶函数且在 R 上是增函数，则不等式 f
（﹣2）＜f（lgx）可以转化为|﹣2|＜|lgx|，解可得 x 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，对于函数 f（x）=x（2x﹣2﹣x），
有 f（﹣x）=（﹣x）（2﹣x﹣2x）=x（2x﹣2﹣x）=f（x），
则函数 f（x）为偶函数，
函数 f（x）=x（2x﹣2﹣x），
的1 4
1x y
+ +
9
2
1 4
1x y
+ +
1 1 4
2 1x y
+ +
1 4
1x y
+ +
1 1 4
2 1x y
+ +
( )1 1 4 1 9= 5+ 5 42 1 2 2
y x
x y
+ + ≥ + = +
y 1 4
1
x
x y
+ = +
2
3
1
3
9
2
9
2
( ) (2 2 )x xf x x −= − ( 2) (lg )f f x− < 1 100 +∞
其导数 f′（x）=x（2x﹣2﹣x）+x•ln2（2x+2﹣x）＞0，
则 f（x）为增函数；
不等式 f（﹣2）＜f（lgx）
⇒|﹣2|＜|lgx|，
解可得：0＜x 或 x＞100
即不等式的解集是（0， ）∪（100，+∞）；
故答案为：（0， ）∪（100，+∞）．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性
的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，
可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的
解集
11.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为
，则 的值为_______.
【答案】3e
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到 ，再由曲线 在点 处的切线方程为
，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
又曲线 在点 处的切线方程为 ，
当 时， ，即 ，
所以有 ，解得 .
因此 ，所以 .
故答案为
1
100
< 1 100 1 100 ( ) ( ) xf x ax b e= + y f x= （ ） (0, (0))f 3 1 0x y− + = (1)f (0)′ = +f a b y f x= （ ） (0, (0))f 3 1 0x y− + = ( ) ( ) xf x ax b e= + ( (( )) )+ + = + +′ = x x xax bf x ae ae x b ea (0)′ = +f a b y f x= （ ） (0, (0))f 3 1 0x y− + = 0x = 1y = (0) 1f = 3 1 a b b + = = 2, 1a b= = ( ) (2 1) xf x x e= + (1) 3f e= 3e
【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常
考题型.
12.已知 是边长为 2 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接
并延长到点 ，使得 ，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理表示出 ，再利用数量积的运算即可解决问题。
【详解】点 ， 分别是边 ， 的中点，且
所以：
所以 = ，
又 是边长为 2 的等边三角形，则
所以 =
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理及向量运算知识，还考查了数量积的定义，考查
计算能力，属于基础题。
13.已知函数 ．若函数 的图象关于直线 x＝2π 对
称，且在区间
上是单调函数，则 ω 的取值集合为______.
【答案】
【解析】
是一条对称轴，
，得 ，
ABC△ D E AB BC DE
F 3DE EF= AF BC⋅
1
3
1 2
2 3AF AB AC= +
D E AB BC 3DE EF=
1 4 1 4 1 1 2
2 3 2 3 2 2 3AF AD DF AB DE AB AC AB AC = + = + = + = +
AF BC⋅ ( ) 2 21 2 1 1 2
2 3 2 6 3AB AC AC AB AB AB AC AC + ⋅ − = − − ⋅ +
ABC 2 2 cos 23AB AC
π⋅ = × × =
AF BC⋅ 2 21 1 2 1
2 6 3 3AB AB AC AC− − ⋅ + =
( ) ( ) ( 0)6f x sin x cos x
πω ω ω＝ ＋ － ＞ ( )f x
[ , ]4 4
π π−
1 5 4, ,3 6 3
( ) 3 1sin cos sin cos sin6 2 2 6f x x x x x x
π πω ω ω ω ω = + − = − = −
2x π=
2 = +6 2 k
π ππω π∴ − ( )1= +3 2
k k Zω ∈
又 在区间 上单调，
，得 ，
且 ，得 ，
，集合表示为 。
14.已知 是定义在 R 上且周期为 3 周期函数，当 时， .若函数
且 在 上有 3 个互不相同的零点，则实数 a 的取值范围
是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 有 3 个互不相同的零点，转化为函数 和 的图象
由 个不同的交点，通过作出两个函数的图象，结合图象列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数 且 在 上有 3 个互不相同的零点，
即函数 和 的图象由 个不同的交点，
在同一坐标系作出两个函数的图象，如图所示，
可得 或 ，解得 或 ，
即实数 a 的取值范围是 .
故答案为： .
的
( )f x 4 4
，π π −
2T
π πω∴ = ≥ 2ω ≤
4 6 2{
4 6 2
π π πω
π π πω
− − ≥ −
− ≤
40 3
ω< ≤ 1 5 4= 3 6 3 ω∴ ，， 1 5 4 3 6 3 ，， ( )f x (0,3]x∈ ( ) 1 1f x x= − − ( ) log ( 0ay f x x a= − > 1)a ≠ (0, )+∞
( )1 1 4 79 6
∪ ， ，
( ) logay f x x= − ( )y f x= logay x=
3
( ) log ( 0ay f x x a= − > 1)a ≠ (0, )+∞
( )y f x= logay x= 3
1
log 4 1
log 7 1
a
a
a >
0 1
log 6 1
log 9 1
a
a
a<
( )u x (0, )+∞ ln 2xx b bx
− − − − (0, )+∞
( ) lnt x x x= − ln 1x
x
< 2 2 ln x xb x x − − 2 2( ) ln x xF x x x −= − 2b = ( ) 2lng x x x= − 2 2( ) 1 xg x x x ′ −= − = ( ) 0g x′ = 2x = (0, )+∞ (0,2)x∈ ( ) 0g x′ < (2, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
(2, )+∞
（2）因为 ，所以
当 时，由 恒成立，
则有当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时， ，
所以 .
综上， .
当 时，由 恒成立，即 恒成立.
设 ，则 .
令 ，得 ，
且当 时， ；当 时， ，
所以 ，所以 .
综上所述，b 的取值范围是 .
（3） .
因为 u(x)在 上存在零点，所以 在 上有解，
即 在 上有解.
又因为 ，即 ，
所以 在 上有解.
设 ，则 ，
令 ，得 ，且当 时， ；当 时， ，所以
0a b+ =
2 ( 1) , 1( )
ln , 1.
x b x b xh x
x b x x
− − += − >
，
1x ≤ 2( ) ( 1) 0h x x b x b= − − +
1 12
b −
3b min( ) (1) 2 0h x h= =
1 12
b − < 3b < 2 min 1 6 1( ) 02 4 b b bh x h − − + − = = 3 2 2 3b− ( ) ln 0h x x b x= − ln
xb x
( ) ( 1)ln
xm x xx
= > 2
ln 1( ) (ln )
xm x x
′ −=
( ) 0m x′ = ex=
(1,e)x∈ ( ) 0m x′ < (e, )x∈ +∞ ( ) 0m x′ >
min( ) (e) em x m= = eb
3 2 2 eb−
2( ) lnu x x ax b x= + +
(0, )+∞ 2 ln 0x ax b x+ + = (0, )+∞
ln xa x b x
= − − (0, )+∞
2a b+ − 2a b− −
ln 2xx b bx
− − − − (0, )+∞
( ) lnt x x x= − 1 1( ) 1 xt x x x
−′ = − =
( ) 0t x′ = 1x = (0,1)x∈ ( ) 0t x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0t x′
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