2019-2020 学年度第一学期高三年级 10 月
调研测试数学试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上．
1.设集合 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算求解即可
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2.函数 的定义域是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复合型对数函数的定义域进行求解
【详解】 ，
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数的定义域，是基础题.
3.命题“ ”的否定是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将全称量词改存在量词，再否定结论即可，“都有”改为“有”，大于号改成小于等于号
【详解】全称量词改存在，再否定结论，即“ ”的否定是：
{1,2,3,4}P = { | 2 2, }Q x x x R= − ≤ ≤ ∈ P Q =
{ }1,2
{ }{1,2,3,4}, { | 22 1,2 },P Q x x P Q= = − ≤ ≤ ∴ =
{ }1,2
( ) 2ln(3 )= −f x x x
(0,3)
( ) 2 2ln(3 ), 3 0f x x x x x= − ∴ − > (0,3)x∴ ∈
(0,3)
20, 0x x∀ >< 都有 20, 0x x∃ < ≤有 20, 0x x∀ >< 都有 20, 0x x∃ < ≤有
故答案为：
【点睛】本题考查全称命题的否定，全称改存在，再否定结论
4.已知 ，且 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由正切的和角公式求出 ，再根据 ，利用同角三角函数基本关系求出
【详解】由 ，又因 ，
根据同角三角函数的基本关系，可求得
故答案为：
【点睛】本题考查正切三角函数和角公式的求法，同角三角函数的基本求法，解题关键是正
确掌握四象限对应三角函数的正负值
5.若直线 ： ( )与直线 ： 的距离为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可.
【 详 解 】 直 线 ： ( ) 与 直 线 ： 平 行 ， 直 线 ：
可 化 为 ， 利 用 两 直 线 平 行 的 距 离 公 式 ：
，可求得 或 ，因为
20, 0x x∃ < ≤有 1tan( )4 2 πα + = 02 π α− < < sinα = 10 10 − tanα 02 π α− < < sinα tan tan 1 tan 1 14tan( ) tan4 1 tan 2 31 tan tan 4 παπ αα απ αα + ++ = = = ⇒ = −−− ⋅ 02 π α− < < 10sin 10 α = − 10 10 − 1l 3 0+ + =x y m 0m > 2l 2 6 3 0x y+ − = 10 m =
17
2
1l 3 0+ + =x y m 0m > 2l 2 6 3 0x y+ − = 2l
2 6 3 0x y+ − = 33 02x y+ − =
1 2
2 2
3
2 10
10
mc cd
A B
+−= = =
+
23
2m = − 17
2m = 0m >
故答案为：
【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中， 的系数需化成一
致，以免造成误解.
6.已知函数 f(x)＝sin .若 y＝f(x－φ) 是偶函数，则 φ＝________.
【答案】
【解析】
利用偶函数定义求解．y＝f(x－φ)＝sin ＝sin 是偶函数，所以－
2φ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，得 φ＝－ － ，k∈Z.又 0＜φ＜ ，所以 k＝－1，φ＝ .
7.设函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，当 时，解 ，当 时，解 ，即可求出.
【详解】当 时,由 得 ，解得 ，又 ，所以无解，当
时，由 得 ，解得 ，故填 .
【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式及分类讨论的思想，属于中档题.
8.定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则在 上方程
的实根个数为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
将 转 化 成 ， 令 ，
，根据两函数图像交点，再结合奇函数性质求出零点个数即可
17
2
,x y
(2 )6x
π+ (0, )2
π
3
π
2 1, 03( ) 1 , 0
x x
f x
xx
− ≥=
( , 1)−∞ −
0a ≥ 2 13 a a− > 0a < 1 aa >
0a ≥ ( )f a a> 2 13 a a− > 3a < − 0a ≥ 0a < ( )f a a> 1 aa
> 1a < − ( ), 1−∞ − R ( )f x 0x > 2019( ) 2019 logxf x x= + R
( ) 0f x =
2019( ) 2019 log 0xf x x= + = 20192019 logx x=− ( ) 2019xg x =
( ) 2019 1
2019
log logh x x x= − =
【 详 解 】 由 可 得 ， 令 ，
，分别画出两个函数图像，如图所示
当大于零时， 与 有一个交点，根据奇函数的对称性，在 时还存在一个
关于原点对称的交点，又因 定义域 ，所以
所以在 上方程 的实根个数为 3 个
故答案为：3
【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，函数与方程转化，数形结合的重要思想，通过
构造函数，转化成两函数交点问题，往往能将问题简化，这也是解决零点问题常用的基本方
法
9.若 是不等式 成立的充分不必要条件,则实数 的范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
【详解】不等式可转化为 ，解得 ，由于 是
的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到 .
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集
合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等
式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、互异性
2019( ) 2019 log 0xf x x= + = 20192019 logx x=− ( ) 2019xg x =
( ) 2019 1
2019
log logh x x x= − =
( )g x ( )h x ( ),0x∈ −∞
( )f x x∈R ( )0 0f =
R ( ) 0f x =
{ }1,∈ −x m 22 3 0− − ≤x x m
31, 2
−
m
( )( )1 2 3 0x x+ − ≤ 31 2x− ≤ ≤ { }1,∈ −x m 31 2x− ≤ ≤
31, 2m ∈ −
以及无序性.
10.已知直线 的方程是 ， 是直线 上的两点，且 是正三角形（ 为
坐标原点），则 外接圆的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
取 AB 中点 D，连结 OD，由已知得圆心在 OD 上，且半径为 ，由此能求出圆的方
程
【详解】如图所示：
取 AB 中点 D，连结 OD， 是正三角形， ， 过 点的直线为 ，
联立 得 D 点坐标为 ，
则 ，由已知得圆心在 OD 上，且半径为 （重心性质）
圆心为 ， 圆的方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形外接圆的方程的求法，正三角形是解题的关键，数形结合思想的合
理运用更能辅助解题
11.在平面直角坐标系 中，若曲线 ( 为常数)过点 ，且该曲线在点
处的切线与直线 垂直，则 的值是_______.
【答案】5
l 6 0x y+ − = ,A B l OAB∆ O
OAB∆
2 2( 2) ( 2) 8x y− + − =
2 2 23 OD =
OAB∆ OD AB∴ ⊥ ∴ ,O D y x=
6 0x y
y x
+ − =
= (3,3)
3 2O D = 2 2 23 OD =
∴ (2,2) ∴ 2 2( 2) ( 2) 8x y− + − =
2 2( 2) ( 2) 8x y− + − =
xOy 2
by ax x
= + ,a b (1,4)P
P 3 0x y+ + = 2+a b
【解析】
【分析】
将点 代入曲线求出关于 的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在 点的导数
求解即可
【 详 解 】 将 点 代 入 曲 线 可 得 ， 曲 线 的 导 数 为
，根据曲线在点 处的切线与直线 垂直，所以过曲线上点 的切线斜率为
，联立 得， ，则
故答案为：5
【点睛】本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型.
12.在三角形 中， ， ，若 对任意的 恒成立，
则角 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
采用平面向量数量积公式，以 为基底，表示出 的关系式，再利用不等
式的关系进行求解即可
【详解】
如图，由 ，即
恒成立，同时除以 得： ， ，
(1,4)P a b， P
(1,4)P 2
by ax x
= + 4a b+ = 2
by ax x
= +
3
2' by a x
= −
P 3 0x y+ + = P
( )' 1 2 =1k y a b= = − 4
2 =1
a b
a b
+ =
−
3
1
a
b
=
= 2 5a b+ =
ABC∆ =4AB 0AC λ λ= >（ ） 2CA CB⋅ ≥ − 0λ >
A
,4
π π
,AB AC 2CA CB⋅ ≥ −
( ) 2
2 2 2CA CB AC AB AC AC AB AC⋅ ≥ − ⇒ − ⋅ − ≥ − ⇒ ⋅ − ≤
2 4 cos 2 0Aλ λ− + ≥ λ ( )24 cos , 0,A λ λλ≤ + ∈ +∞ 2 2 2λ λ+ ≥
当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因 ，所以
故答案 ：
【点睛】本题考查根据向量数量积公式求解参数问题，基本不等式求最值问题，是中档题
13.已知函数 ，记 为函数 图像上的点到直线
的距离的最大值，那么 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数 图象的关系，其中函
数图象完全在某相邻的两条平行直线 与 之间，图象上的个别点在直线上．
设两条平行直线 与 之间的距离为 ．我们发现只有 经过点 ， ， 与图象
相切于点 时， 的最小值 ．求出即可
【详解】
我们研究平行直线系与函数 图象的关系，
为
2λ = 2cos 2A≤
( )0,A π∈ ,4A
π π ∈
,4
π π
( ) 1 1 22f x xx
= ≤ ≤ d ( ),k m ( )y f x=
y kx m= + d ( ),k m
2
8
( ) 1 1 22f x xx
= ≤ ≤
1l 2l
1l 2l d 1l 1( ,2)2A 1(2, )2B 2l
P d ( ),k m 1
2 d=
( ) 1 1 22f x xx
= ≤ ≤
其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线 与 之间，图象上的个别点在直线上．
设两条平行直线 与 之间的距离为 ．
我们发现只有 经过点 ， ， 与图象相切于点 时，
的最小值 ．
设 ， ．
， ，解得 ．
，直线 的方程为： ．
（点 到直线距离）
的最小值 ．
的最小值为： ．
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离
公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题
14.若存在 ，使得关于 的方程 有四个不等的实数根，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，把关于 的方程 有四个不等的实数根转化为
与 的图象有四个不同交点，利用导数研究 的单调性并画简图，得
到 ，即存在 ，有 ，再由导数得到
的单调性，求得最小值即可求得实数 的取值范围
1l 2l
1l 2l d
1l 1( ,2)2A 1(2, )2B 2l P
d ( ),k m 1
2 d=
0
0
1( , )P x x 20
0
1( )f x x
′ = −
1ABk = −
0
2
1 1x
∴− = −
0 1x =
(1,1)P∴ AB 5
2y x= − +
5|1 1 | 22
42
d
+ −
∴ = = P
( ),d k m∴ 1 2
2 8d =
d ( ),k m 2
8
[ ]1,2a∈ x
2
2 ( )( ) a a tx a x
+− = t
3( ,0)9
−
3
3
, 0( )
, 0
x ax xf x
x ax x
− >= − + +
( )g a
3
2
2
2 3
9 a
a a
−
= +
t
【详解】由 ，
得 ，
令 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
在 上为减函数，在 上为增函数；
当 上， ，当 时， ，当 时， ，
在 上为减函数，在 上为增函数．
则 ．
作出函数 的图象，如图：
由图可知，要是关于 的方程 有四个不等的实数根，
则需 与 的图象有四个不同交点，则 ，
即存在 ，有 ，令 ，则 ．
在 上为增函数，则 ，
又 ， 实数 的取值范围是
故答案为：
2
2 ( )
| |
a a tx a x
+− =
3
2 2
3
, 0( ) ( )
, 0
x ax xa a t x a x
x ax x
− >+ = − = − + = − + 2( ) 3f x x a′ = − (0, )3
ax∈ ( ) 0f x′ < ,3 ax ∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ (0, )3
a ,3
a +∞
0x < 2( ) 3f x x ax′ = − + ( , )3 ax∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ,03 ax ∈ − ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( , )3
a−∞ − ,03
a −
3
3 22 3( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 9min
a a af x f a a= = − = −
( )f x
x
2
2 ( )
| |
a a tx a x
+− =
2( )y a a t= + ( )y f x= 3
222 3 ( ) 09 a a a t− < + < [ ]1,2a∈ 3 2 2 2 3 9 a t a a − > + ( )
3
2
2
2 3
9 a
g a a a
−
= +
( )
3
2
2
3 ( 1)' 09
a ag a a a
−= ⋅ +
( )g a∴ [ ]1,2 3( ) (1) 9ming a g= = −
0t < ∴ t 3( ,0)9 − 3( ,0)9 −
【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合的解题思想方法，利用导数求最值，
属于难题
二、解答题: 本大题共 6 小题．共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ， ，求函数 的单调递增区间．
【答案】（1） （2） ．
【解析】
【分析】
（1）采用二倍角公式化简 表达式，根据 求周期
（2）先求出 ，根据复合函数的定义域和复合函数
的增减性，结合 进行求解即可
【详解】解：（1） ，
的最小正周期
（2）由（1）知 ，
故 ，得 ，
结合 单调递增得 ，
，
， 函数 的单调递增区间为 ．
【点睛】本题考查结合二倍角公式化简求解三角函数，求解复合三角函数定义域，复合三角
2 2( ) 2sin cos 3(sin cos )4 4 4 4
x x x xf x = − −
( )f x
[ ],x π π∈ − [ ]( ) lg ( ) 1g x f x= − ( )g x
4π ,3 3
π π −
( )f x 2T
π
ω=
[ ]( ) lg ( ) 1 lg 2sin( ) 12 3
xg x f x
π = − = + −
[ ],x π π∈ −
( )f x sin 3 cos2 2
x x= + π2sin 2 3
x = +
( )f x∴
2π 4π1
2
T = =
[ ]( ) lg ( ) 1 lg 2sin( ) 12 3
xg x f x
π = − = + −
1sin( )2 3 2
x π+ > 52 26 2 3 6
xk k
π π ππ π+ < + < + [ ]( ) lg ( ) 1g x f x= − 2 26 2 3 2 xk k π π ππ π+ < + ≤ + 4 43 3k x k k Z π ππ π∴ − < ≤ + ∈， [ ],x π π∈ − ∴ ( )g x ,3 3 π π −
函数在定区间内增减区间的判断，属于中档题
16.在 中， ， ．
（1）求 三边的平方和；
（2）当 的面积最大时，求 的值．
【答案】（1）16（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 求得 ，再用余弦定理整体代换，可得 的整
体数值，即可求得三边的平方和
（2）先利用重要不等式代换出 ，再根据 求出
，结合同角三角函数的基本关系表示出 ，采用正弦定理的面积公式进行求解即可
【详解】解：（1）因为 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，于是 ，
故 为定值．
（2）由（1）知： ，
所以 ，当且仅当 时取“=”号，
因为 ，所以 ，
从而 ．
的面积 ，
，
当且仅当 时取“=”号．
ABC∆ 6=BC 2AB AC⋅ =
ABC∆
ABC∆ cos B
30
10
2AB AC⋅ = cosAB AC A⋅ ⋅ 2 2AB AC+
2 2
52
AB ACAB AC
+⋅ ≤ = cos 2AB AC A⋅ ⋅ =
cos A sin A
2AB AC⋅ = cos 2AB AC A⋅ ⋅ =
ABC∆ 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅
2 2 2( 6) 4AB AC= + − 2 2 10AB AC+ =
2 2 2 10 6 16AB BC AC+ + = + =
2 2 10AB AC+ =
2 2
52
AB ACAB AC
+⋅ ≤ = AB AC=
cos 2AB AC A⋅ ⋅ = 2cos A AB AC
= ⋅
2
2 2
4sin 1 cos 1A A AB AC
= − = − ⋅
ABC∆
2 2
1 1 4sin 12 2S AB AC A AB AC AB AC
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅
2 21 1 214 25 42 2 2AB AC= − ≤ − =
AB AC=
因为 ，所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题考查利用向量的数量积公式和余弦定理求解三边关系，利用正弦的面积公式与
不等式求解具体的三角函数值，体现了不等式在解三角函数中的重要应用
17.已知直线 ： ( ).
（1）证明：直线 过定点；
（2）若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ， 的面积为 ( 为坐标原点)，
求 的最小值并求此时直线 的方程．
【答案】（1）证明见解析（2） ，此时直线 方程为 ．
【解析】
【分析】
（1）将直线变形化简即可求得
（2）根据题意表示出 ， ，结合三角形面积公式
和均值不等式进行求解即可
【详解】解:(1)证明：∵直线 的方程可化为 ，
令 ，解得： ，
∴无论 取何值，直线总经过定点 .
(2)解：由题意可知 ，再由 的方程，得 ， ．
依题意得： ，解得 ．
∵ ，
当且仅当 ，即 ，取“＝”
∴ ，此时直线 的方程为 ．
的
2 2 10AB AC+ = AB AC= 5AB AC= =
6 302cos 102 5
BC
B AB
= = =
l 1 2 0kx y k− + + = k ∈R
l
l x A y B AOB∆ S O
S l
min 4S = l 2 4 0x y− + =
1 2( ,0)kA k
+− (0 1 2 )B k+， 1
2S OA OB= ⋅ ⋅
l ( 2) (1 ) 0k x y+ + − =
2 0
1 0
x
y
+ =
− =
2
1
x
y
= −
=
k ( 2,1)−
0k ≠ l 1 2( ,0)kA k
+− (0 1 2 )B k+，
1 2 0
1 2 0
k
k
k
+−
0k >
21 1 1 2 (1 2 ) 1 1 11 2 (4 4) (2 2 4) 42 2 2 2 2
k kS OA OB k kk k k
+ += ⋅ ⋅ = ⋅ + = = + + ≥ × × + =
14 0k k
= > 1
2k =
min 4S = l 2 4 0x y− + =
【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值
的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力
18.如图，某市有一条东西走向的公路 l，现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路
m，在施工过程中发现 O 处的正北方向 1 百米的 A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决
定以 A 为圆心，1 百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路 l，m，欲再新建一条公路
PQ，点 P，Q 分别在公路 l，m 上（点 P，Q 分别在点 O 的正东、正北方向），且要求 PQ 与圆 A
相切.
（1）当点 P 距 O 处 2 百米时，求 OQ 的长；
（2）当公路 PQ 的长最短时，求 OQ 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于 q 的方
程解之即可；
（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，
再利用勾股定理将 PQ 表示成关于 q 的函数，利用函数的单调性求其最值即可
试题解析：如图，以 O 为原点、直线 l，m 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系.
设 P（p, 0），Q（0, q）且 PQ 与圆 A 相切于点 B，连结 AB，以 1 百米为单位长度，则圆 A 方
程为
的
8
3
3 5
2
+
（1）由题意可设直线 PQ 的方程为 ，
即
因为 PQ 与圆 A 相切，
所以 ，解得 ，
故当点 P 与 O 处 2 百米时，OQ 的长为 百米.
（2）设直线 PQ 的方程为 ，
即 .
因为 PQ 与圆 A 相切，
所以 ，化简得
在 Pt△POQ 中， .
令
则
当 时， ，即 f(q)在（ 上单调递减；
当 时， ，即 f(q)在 上单调递增.
所以 f(q)在 时取得最小值，
故当公路 PQ 的长最短时，OQ 的长为 百米.
答：（1）当点 P 距 O 处 2 百米时，OQ 的长为 百米；（2）当公路 PQ 的长最短时，OQ 的长
为 百米.
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用
19.已知 ，函数 的图象与 轴相切．
（1）求实数 a 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）当 时，恒有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．（3）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 题 意 ， 设 切 点 为 ， 求 出 函 数 的 导 数 表 达 式 ， 根 据 图 像 特 征 ， 可 得
，解方程即可求得实数 a
（2）由（1）得 ，再令导数为 0，根据导数正负判断函数增减性即可
（3）当 时，恒有 等价于 ，当 时恒
成立，再利用 来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判
断正负，故需求解二阶导数，由于参数 的存在，还需对参数进行分类讨论，进一步验证函
数 的恒成立问题即可
【详解】解：（1） ，设切点为 ，
a∈R ( ) 1xf x e ax−= − x
( )f x
1x > ( ) ( 1)lnf x m x x> − m
1a = ( ,1)−∞ (1, )+∞ 1( , ]2
−∞
0( ,0)x
0
0
( ) 0,
( ) 0,
f x
f x
=
=′
( ) 1e 1xf x −′ = −
1x > ( ) ( 1)lnf x m x x> − ( ) ( ) ( 1)ln 0g x f x m x x= − − > 1x >
1 1( ) e (ln ) 1x xg x m x x
− −′ = − + −
m
( )f x
( ) 1exf x a−′ = − 0( ,0)x
依题意， 即 解得 ，所以 ．
(2) ，当 时， ；当 时， ．
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（3）令 ， ．
则 ，令 ，则 ，
（ⅰ）若 ，因为当 时， ， ，
所以 ，所以 即 在 上单调递增．
又因为 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递增，而
，
所以 ，即 成立．
（ⅱ）若 ，可得 在 上单调递增．
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，且当 时， ，
所以 即 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，
从而 在 上单调递减，
而 ，所以当 时， ，即 不成立
综上所述 的取值范围是
【点睛】本题考查根据导数和函数表达式求解参数，根据导数求解函数单调区间，根据函数
在定区间恒成立利用导数求解参数取值范围问题，前两小问比较基础，最后一问难度偏大，
其中二阶导数的应用容易自乱阵脚，建议涉及二阶导数时，配合草图加以理解，同时参数
的范围判断至关重要，一般是通过试值法确定特殊点，本题中当 时是一个特殊值，以此
对 进行分类讨论，此法可在同类型题中借鉴
0
0
( ) 0,
( ) 0,
f x
f x
=
=′
0
0
1
0
1
e 0,
e 0,
x
x
ax
a
−
−
− =
− =
0 1,
1,
x
a
=
= 1a =
( ) 1e 1xf x −′ = − 1x < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
( ) ( ) ( 1)lng x f x m x x= − − 1x >
1 1( ) e (ln ) 1x xg x m x x
− −′ = − + − ( ) ( )h x g x′= 1
2
1 1( ) e ( )xh x m x x
−′ = − +
1
2m ≤ 1x > 1e 1x− > 2
1 1( ) 1m x x
+ < ( ) 0h x′ > ( )h x ( )g x′ (1, )+∞
(1) 0g′ = 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x [1, )+∞
(1) 0g =
( ) 0>g x ( ) ( 1)lnf x m x x> −
1
2m > 1
2
1 1( ) e ( )xh x m x x
−′ = − + (0, )+∞
(1) 1 2 0h m′ = − < ( ) 2 1 11 ln(2 ) 2 01 ln(2 ) [1 ln(2 )]h m m m m m ′ + = − + > + +
1 (1,1 ln(2 ))x m∈ + 1( ) 0h x′ = 1(1, )∈x x ( ) 0h x′ < ( )h x ( )g x′ 1(1, )x (1) 0g′ = 1(1, )∈x x ( ) 0g x′ < ( )g x 1(1, )x (1) 0g = 1(1, )∈x x ( ) 0 −
m 1( , ]2
−∞
m
=1x
m
20.已知函数 f (x)＝xlnx－x．
（1）设 g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e 为自然对数的底数．
①当 时，判断函数 g(x)零点的个数；
② 时，求函数 g(x)的最小值．
（2）设 0＜m＜n＜1，求证：
【答案】（1）① g(x)有且仅有两个零点．②a－e．（2）证明见解析
【解析】
分析】
（1）将 代入 g(x)＝f(x)＋|x－a|，化简得 g(x)＝xlnx＋ ，再根据导数正负判断
在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取 验证求解
（2）由于参数的不确定性，需根据 将参数 分成 a≤ ，a≥e， ＜a＜e 三段进
行讨论，进一步判断函数的单调区间
（3）可先构造函数 h(x)＝ ，求得 h′(x)＝ ＞0，于是 h(x)在(0，1)单调递
增，因 0＜m＜n＜1，所以 h(m)＜h(n)，从而有
，再设 φ(x)＝ ，x＞0 ，
通过导数来验证 φ(x)增减性，进一步通过增减性求得最值，即可求证不等式成立
【详解】解：（1）①当 时， g(x)＝xlnx－x＋|x＋ |＝xlnx＋ ，
g′(x)＝1＋lnx，
当 0＜x＜ 时，g′(x)＜0；当 x＞ 时，g′(x)＞0；
因此 g(x)在(0， )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增，
又 ，g( )＝－ ＋ ＜0，g(1)＝ ＞0，
所以 g(x)有且仅有两个零点．
【
3
2a e
= −
1 ,x ee
∈
( ) 2
2 01
mf n m
+
1
e
1
e
2
3 3
2 2 e
e e
−= 3
2
e
②（i）当 a≤ 时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，
因为 x∈[ ，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0 恒成立，
所以 g(x)在[ ，e]上单调递增，所以此时 g(x)的最小值为 g( )＝－ －a．
（ii）当 a≥e 时，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，
因为 x∈[ ，e]，g′(x)＝lnx－1≤0 恒成立，
所以 g(x)在[ ，e]上单调递减，所以此时 g(x)的最小值为 g(e)＝a－e．
（iii）当 ＜a＜e 时，
若 ≤x≤a，则 g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，
若 a≤x≤e，则 g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，
由（i），（ii）知 g(x)在[ ，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，
所以此时 g(x)的最小值为 g(a)＝alna－a，
综上有：当 a≤ 时，g(x)的最小值为－ －a；
当 ＜a＜e 时，g(x)的最小值为 alna－a；
当 a≥e 时，g(x)的最小值为 a－e．
（2）设 h(x)＝ ，
则当 x∈(0，1)时，h′(x)＝ ＞0，于是 h(x)在(0，1)单调递增，
又 0＜m＜n＜1，所以 h(m)＜h(n)，
从而有
设 φ(x)＝ ，x＞0
则 φ′(x)＝
因此 φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
2
2
1
x
x +
( )
( )
2
22
2 1
1
x
x
−
+
( ) ( ) ( )2 2
2 2ln 11 1
mf n f n h n n nm n
+ < + = − + + + 2 2ln 1 1n n − + + ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 11 4 0 1 1 xx x x x x − − = ≥ + +
因为 0＜n＜1，所以 φ(n)＜φ(1)＝0，即 lnn－1＋ ＜0，
因此
即原不等式得证．
【点睛】本题考查通过导数研究不含参函数零点个数问题，通过导数研究含参函数单调区间
的问题，通过构造数列和放缩法结合导数求证不等式恒成立问题，属于难题
2019-2020 学年度第一学期高三年级 10 月调研
测试数学加试试卷（物理方向考生作答）
解答题（共 4 小题，每小题 10 分共 40 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21.设 实数 满足 （其中 ）， 实数 满足 ．若 是 的
必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）观察命题 对应的式子 ，可由因式分解法求得 ，再解分
式不等式 得 ，设 ， ，由 是 的必
要不充分条件可判断 ，根据范围进行判断即可
【详解】解：设 ， ， 是 的必要不充分条件，则 ；
则 ，所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，根据包含关系求解参数范围问题，
属于中档题
22.已知函数 ．若 ，求函数 的值域.
【答案】
【解析】
【分析】
2
2
1n +
( ) 2 2
2 2ln 1 01 1
mf n n nm n
+ < − + :q x 3 02
x
x
− ≤− p q
a
1 2a< ≤ p 2 24 3 0x ax a− + < 3a x a< < 3 02 x x − ≤− 2 3x< ≤ { }3A x a x a= < < { }2 3B x x= < ≤ p q B A { }3A x a x a= < < { }2 3B x x= < ≤ p q B A 0 2 3 3 a a < ≤ >
a 1 2a< ≤ ( ) 2sin cos3f x x x π = + ⋅ 0 2x π≤ ≤ ( )f x 30,1 2 +
将 展开，再结合二倍角公式化简三角函数表达式，根据给定区间求解值域即可
【详解】解：
由 得， ， ．
∴ ，即函数 的值域为 ．
【点睛】本题考查根据二倍角公式进行三角函数的化简求值，求解给定区间三角函数值域的
问题，是基础题型
23.二次函数 图像与 轴交于 ， 两点，交直线 于 ， 两点，
经过三点 ， ， 作圆 ．
（1）求证：当 变化时，圆 的圆心在一条定直线上；
（2）求证：圆 经过除原点外的一个定点．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 联 立 ， 求 得 点 ， 联 立 与 求 得 点
，设圆 C 的方程为 ，根据 点到圆心距离相等求得圆
心坐标 x0 与 y0 的联系，消参即可求得定直线
（2）由（1）知，设圆 C 过定点（m，n），则 m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理成关于 b 的一次函
数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可
【详解】解：（1）在方程 中．令 ，易得
设圆 C 的方程为
则 ⇒ ，
故经过三点 O，A，B 的圆 C 的方程为 x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，
sin 3x
π +
( ) ( ) 2sin 3 cos cos sin cos 3 cosf x x x x x x x= + = +
1 3 3 3sin 2 cos2 sin 22 2 2 3 2x x x
π = + + = + +
0 2x
π≤ ≤ 423 3 3x
π π π≤ + ≤ 3 sin 2 12 3x
π − ≤ + ≤
3 30 sin 2 13 2 2x
π ≤ + + ≤ +
( )f x 30,1 2
+
2 ( 0)y x bx b= + ≠ x O A :l y x= O B
O A B C
b C
C
2y x bx= + 0,y = ( ),0A b− 2y x bx= + y x=
( )1 ,1B b b− − 2 2 0x y Dx Ey+ + + = ,A B
2y x bx= + 0,y y x= = ( ) ( ),0 , 1 ,1A b B b b− − −
2 2 0x y Dx Ey+ + + =
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
0
1 1 1 1 0
b bD
b b b D b E
− = − + − + − + − = 2
D b
E b
=
= −
设圆 C 的圆心坐标为（x0，y0），
则 ，∴y0=x0+1，
这说明当 b 变化时，（1）中的圆 C 的圆心在定直线 y=x+1 上
（2）设圆 C 过定点（m，n），则 m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，
它对任意 b≠0 恒成立，∴
故当 b 变化时，（1）中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．
【点睛】本题考查根据函数图像求解交点问题，根据圆的定义和消参法求证圆心过定直线问
题，恒成立问题的转化，是中档题
24.已知函数 .（ ）
（1）若 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）若在区间 上，函数 的图象恒在曲线 下方，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数在 上单调递减转化为 在 上恒成立问题，再通过不等
式恒成立条件求解即可
（2）令 ，根据在区间 上，函数 的图
象恒在曲线 下方转化成 在区间 上恒成立，求得
，分别对 和 进行分类讨论，
结合 正负判断 单调性，再结合恒成立问题进一步求解即可
【详解】解：（1） 在区间 上单调递减，
则 区间 上恒成立．
即 ，而当 时， ，故 ．
所以 ．
在
0 0
2,2 2
b bx y
−= − = −
2 2
0 1 0
2 0 1 0
m n m m
m n n n n
+ = = − = ⇒ + − = = =
或
21( ) ( )2
xf x a e x= − + a R∈
( )f x (0 )+ ∞， a
(0, )+∞ ( )f x 2 xy ae= a
0a ≤ 1 1[ , ]2 2a∈ −
(0 )+ ∞， ( ) 0f x′ ≤ (0 )+ ∞，
21( ) ( ) 2 ( ) 22
x x xg x f x ae a e ae x= − = − − + (0, )+∞ ( )f x
2 xy ae= ( ) 0 1
2a ≤
( )g x′ ( )g x
( )f x (0 )+ ∞，
2( ) (2 1) 1 0xf x a e= − + ≤′ (0 )+ ∞，
2
11 2 xa e
− ≥ 0( )x∈ + ∞， 2
1 1xe
< 1 2 1a− ≥ 0a ≤
（2）令 ，定义域为 .
在区间 上，函数 的图象恒在曲线 下方等价于 在区间 上
恒成立.
∵
①若 ，令 ，得极值点 ， ，
当 ，即 时，在（ ，+∞)上有 ，此时 在区间 上
是增函数，并且在该区间上有 ，不合题意；
当 ，即 时，同理可知， 在区间 上，
有 ，也不合题意；
②若 ，则有 ，此时在区间 上恒有 ，从而 在区间
上是减函数；
要使 在此区间上恒成立，只须满足 ，
由此求得 的范围是
综合①②可知，当 时，函数 的图象恒在直线 下方.
【点睛】本题考查根据函数在某区间单减，求解参数取值范围问题，通过函数图像特点构造
新函数，用导数研究新函数恒成立问题来求解参数问题，属于难题
21( ) ( ) 2 ( ) 22
x x xg x f x ae a e ae x= − = − − + R
(0, )+∞ ( )f x 2 xy ae= ( ) 0 ( ) 0g x′ = 1 0x = 2
1ln 2 1x a
= −
2 1 0x x> = 1 12 a< < 2x ( ) 0g x′ > ( )g x 2( , )x +∞
2( ) ( ( ), )g x g x∈ +∞
2 1 0x x≤ = 1a ≥ ( )g x (0, )+∞
( ) ( (0), )g x g∈ +∞
1
2a ≤ 2 1 0a − ≤ (0, )+∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0, )+∞ ( ) 0
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