湖北四地七校联盟2020届高三数学（理）10月联考试卷（附解析Word版）

2019 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三 10 月联考 理科数学试题 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1.设集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 集合 表示函数 的值域，集合 表示函数 的定义域，由函数的定义 域、值域的求法，求出集合 、 ，再求 即可. 【详解】解：因为 ，则 ，即 ， 又 ， ,由 ，解得 ，即 ， 即 ， 故选 D. 【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2.函数 的零点之和为（） { }| 3 ,xA y y x R= = ∈ { }| 1 2 ,B x y x x R= = − ∈ A B = 1 2     ( )0,1 10, 2      10, 2      A 3 ,xy x R= ∈ B 1 2y x= − A B A B 3 ,xy x R= ∈ 0y > ( )0,A = +∞ 1 2y x= − x∈R 1 2 0x− ≥ 1 2x ≤ 1, 2B  = −∞   A B = 10, 2      ( ) 3 3 2, 0 log 6, 0 x xf x x x  − >=  + ≤ A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数零点与方程的根的关系可得函数 的零点即方程 ， 的根，解方程后再将两根相加即可得解. 【详解】解：令 ，解得 ， 令 ，解得 ， 则函数 的零点之和为 ， 故选 A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题. 3.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由定积分的运算可得 | = ， 再由以 为底的对数函数的单调性可得 ，再由以 的单调性可得 ，比较即可得解. 【详解】解： = | = ， 又 ， ， 即 ， 故选 D. ( ) 3 3 2, 0 log 6, 0 x xf x x x  − >=  + ≤ 3 2 0x − = 3log 6 0x + = 3 2 0x − = 3log 2x = 3log 6 0x + = 3log 6x = − ( )f x 3 3 3 1log 2 log 6 log 13 − = = − ln 2a = 1 25b −= 2 0 1 cos2c xdx π = ∫ a b c a b c< < b a c< < c b a< < b c a< < c = 1 sin2 x 2 0 π 1 1(sin sin 0)2 2 2 π − = e 1ln 2 ln 2a e= > = 1 2y x −= 1 1 2 2 15 4 2b − −= < = 2 0 1 cos2c xdx π = ∫ 1 sin2 x 2 0 π 1 1(sin sin 0)2 2 2 π − = 1 1 2 2 15 4 2b − −= < = 1ln 2 ln 2a e= > = b c a< x∈R 2 0x x− ≤ ( )f x ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ < log 0a b > 0a > 1a ≠ 1a > 1b > 0a > 0a < ( )2019,2020 0a > 2 2 2 2 2sin 555(2 ) a a aa a α = = = + 0a < 2 2 2 2 2sin 555(2 ) a a aa a α = = = − + 0x R∈ 2 0 0 0x x− > x∈R 2 0x x− ≤ ( )f x ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ < ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ < ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ < 1a > 1b > log 0a b > 0a > 1a ≠ 当“ （ 且 ）”时，则“ ， ”或“ ， ”， 即④正确， 故选 C. 【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重 点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型. 5.已知 ，且 ，则 的值为（） A. -7 B. 7 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 由了诱导公式得 ，由同角三角函数的关系可得 ， 再由两角和的正切公式 ，将 代入运算即可. 【详解】解：因为 ， 所以 ，即 ， 又 ， 则 ， 解得 = 7， 故选 B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6.已知 ，则函数 的图象大致为（） A. B. log 0a b > 0a > 1a ≠ 1a > 1b > 0 1a< < 0 1b< < ( )cos 2cos2 π α π α − = +   ( ) 1tan 3 α β+ = tan β sin 2cosα α= − tan 2α =- ( )tan α β+ = tan tan 1 tan tan α β α β + − tan 2α =- ( )cos 2cos2 π α π α − = +   sin 2cosα α= − tan 2α =- ( ) 1tan 3 α β+ = tan tan 1 1 tan tan 3 α β α β + =− tan β ( ) 1 2 1sin2 2 1 x xf x x x − = − ⋅  +  ( )y f x= C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数解析式可得 ，则函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，再取 特殊变量 得 ，即可得在 存在变量使得 ，再观察图像即可. 【详解】解：因为 ， 则 = ， 即 ， 则函数 为偶函数，其图像关于 轴对称， 不妨取 ，则 ， 即在 存在变量使得 ， 故选 D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 7.若函数 是幂函数，且其图像过点 ，则函数 的单调递增区间为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 ( ) ( )f x f x= − ( )y f x= y 4 π 04f π  ( ) ( ) ( )3 ,af x m x m a R= + ∈ 3 1m + = 2m = − ( )2, 2 2 2α = 1 2 α = ( ) ( )2 1 2 log 2 3g x x x= − − ( ) ( )2 1 2 log 2 3g x x x= − − 2 2 3,( 0)t x x t= − − > 2 2 3,( 0)t x x t= − − > ( ), 1−∞ − ( ) sin 2 6f x x π + =  6 π ( )g x ( )g x ,03 π−     ( )g x 2 π ( )g x 6x π= ( )g x 2,6 3 π π     由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得 ， 再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数 的图象向右平移 ，所得图像的解析式为 ，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） 得到函数 的图象，则 ， 令 ，则 ，即函数 的图象关于点 ， 对称,即 A 错误； 令 ，则 ，即函数 的图象关于直线 ， 对称,及 C 错误； 由 ，即 C 错误； 令 ，得 ，即函数 的单调递增区 间为 ， ，故 D 正确， 故选 D. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质， 属中档题. 9.已知定义在 上 函数 满足对任意 都有 成立，且函数 的图像关于直线 对称，则 （） A. 0 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ，可得 ， 的 ( ) sin( )6g x x π= − ( ) sin 2 6f x x π + =  6 π sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6y x x π π π= − + = − ( )g x ( ) sin( )6g x x π= − 6x k π π− = 6x k ππ= + ( )g x ,06k ππ +     k Z∈ 6 2x k π ππ− = + 2 3x k ππ= + ( )g x 2 3x k ππ= + k Z∈ 2 21T π π= = 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 22 23 3k x k π ππ π− ≤ ≤ + ( )g x 22 ,23 3k k π ππ π − +   k Z∈ R ( )f x x∈R ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( )1f x+ 1x = − ( )2019f = ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( ) ( )2 0f x f x+ + − = 又由函数 的图像关于直线 对称，可得函数 的图像关于 轴对称，即 ，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为 4，再运算即可. 【详解】由 ，则 ，① 又函数 的图像关于直线 对称，则函数 的图像关于 轴对称，即 ，② 联立①②可得 ，即函数 的周期为 ， 即 ， 又因为 ， 令 得 ，又函数 的图像关于 轴对称，则 ， 即 ， 故选 A. 【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题. 10.已知函数 有极值，则实数 的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数 有极值，等价于 =0 有变号根，即 ， 均有解，又 ，即 ，运算即可得解. 【详解】解：因为 ， 所以 ， 令 ， ( )1f x+ 1x = − ( )f x y ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( ) ( )2 0f x f x+ + − = ( )1f x+ 1x = − ( )f x y ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )4f x f x= + ( )f x 4 ( )2019f = (505 4 1) ( 1)f f× − = − ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = 0x = (1) 0f = ( )f x y ( 1) 0f − = ( )2019f = 0 ( ) ( )sinxf x e x a= − a ( )1,1− [ ]1,1− 2, 2 −  ( )2, 2− ( ) ( )sinxf x e x a= − sin cosx x a+ − ( ) 0>g x ( ) 0 ( ) 2 2cosf x x x= + [ ]1,1x∈ − ( ) 2( ) 2cos( )f x x x− = − + − = 2 2cos ( )x x f x+ = ( )f x ( )' 2( sin ) 0f x x x= − ≥ [ ]0,1x∈ ( )f x [ ]0,1 又 ， 则 ，解得 ， 即不等式 的解集为 故选 B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应 用，属中档题. 12.已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 满足： ， ，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设函数 ，求导可得函数 在 为增函数， 在 为减函数， 再由 ，得 ，即函数 的图像关于直线 对称，再结 合函数 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令 ，则 因为 ， 所以当 时， ， 当 时， ，即函数 在 为增函数， 在 为减函数， 又 ，所以 ， 则 ，即函数 的图像关于直线 对称， ( ) ( )1 2f x f x− > 1 1 1 1 2 1 1 2 x x x x − ≤ − ≤ − ≤ ≤  − > 10 3x≤ < ( ) ( )1 2f x f x− > 10, 3     ( )f x R ( )'f x ( )f x ( ) ( ) ( )1 ' 0x f x f x− − ( ) ( )5 1 4e f f− < ( )( ) x f xg x e = ( )g x ( ,1)−∞ ( )g x (1, )+∞ 2 (2 ) ( ) x x f x f x e e− − = ( ) (2 )g x g x= − ( )g x 1x = ( )g x ( )( ) x f xg x e = ' ' ( ) ( )( ) x f x f xg x e −= ( ) ( ) ( )1 ' 0x f x f x− − ' ( ) 0g x < 1x < ' ( ) 0g x > ( )g x ( ,1)−∞ ( )g x (1, )+∞ ( ) ( ) 2 22 xf x f x e −− = 2 (2 ) ( ) x x f x f x e e− − = ( ) (2 )g x g x= − ( )g x 1x = 则 ，即 即 A 错误； ，即 即 B 错误； ，即 ，即 ，即 C 正确； ，即 ，即 D 错误. 故选 C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调 性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求函数 的导函数 ，再由导数的几何意义，求 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为 7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为 ， 所以 ， 则 ， 即曲线 在点 处的切线方程是 ，即 ， 故答案为 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能 力，属基础题. 14.已知函数 且 ，则 __________． 【答案】5 【解析】 【分析】 (0) (1)g g< ( ) ( )1 0f ef> (1) (2)g g> ( ) ( )1 2ef f> (0) (3)g g> 0 3 (0) (3)f f e e > ( ) ( )3 0 3e f f> ( 1) (4)g g− > ( ) ( )5 1 4e f f− > ( ) 3ln 2f x x x x= + ( )y f x= ( )1,2 7 5 0x y− − = ( )f x ( )'f x ( )' 1 7f = ( )y f x= ( )1,2 ( ) 3ln 2f x x x x= + ( )' 2ln 1 6f x x x= + + ( )' 21 ln1 1 6 1 7f = + + × = ( )y f x= ( )1,2 2 7( 1)y x− = − 7 5 0x y− − = 7 5 0x y− − = ( ) ( ) ( )3 2 2log 1 1f x ax x x a R= + + + + ∈ ( )1 3f = − ( )1f − = 先观察函数 的结构，再证明 ，再利用函数的性质求解即可. 【详解】解：因为 ， 所以 ， 又 ，则 ， 故答案为 5. 【点睛】本题考查了对数的运算及函数 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能 力，属中档题. 15.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 且满足 ， ，则 ___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】 由余弦定理可得 ， ， 再由正弦定理可得 ， 再结合运算即可得解. 【详解】解：因为 ， 则 ，则 ， 又因为 ，则 ， 则 ， 将 ， 代入得， , 即 ， 故答案为-3. ( )f x ( ) ( ) 2f x f x+ − = ( ) ( )3 2 2log 1 1f x ax x x= + + + + ( ) ( )3 2 3 2 2( ) log 1 ( ) log( ( ) 1) 2 2f x f x ax x x a x x x+ − = + + + + − + − + − + + = ( )1 3f = − ( )1f − = 2 (1) 2 3 5f− = + = ( )f x ABC∆ A B C a b c sinb C a= 2 2 2 8 5a c b ac+ − = tanC = cos 4 5B = 3sin 5B = sin sin sin cos cos sinB C B C B C= + 2 2 2 8 5a c b ac+ − = 2 2 2 4cos 2 5 a c bB ac + −= = 3sin 5B = sinb C a= sin sin sinB C A= sin sin sin sin( ) sin cos cos sinB C A B C B C B C= = + = + cos 4 5B = 3sin 5B = sin 3cosC C= − sintan 3cos CC C = = − 【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式 及运算能力，属中档题. 16.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，利用导数再分情况讨论当 ，当 ，当 时，当 时函数 的最小值，即可求得实数 的取值范围. 【详解】解：由 ， 则 ， 由函数 在 上单调递增， 则 在 恒成立， 设 ， ①当 时， ， 为增函数， 要使 ，则只需 ，求得 ， ②由 ， 当 时， ，即函数 为减函数，即 ， 要使 ，则只需 ，即 ， 当 时，有 ，即函数 为增函数， 要使 ，则只需 ，即 ， 当 时，有当 时， ，当 时， ， 即函数 在 为减函数，在 为增函数，即 ( ) 2 2 x kf x e x kx= − + [ ]0,2 k 21,e −  ( )' xf x e kx k= − + 0k ≤ 2k e≥ 0 1k< ≤ 21 k e< < ( ) xg x e kx k= − + k ( ) 2 2 x kf x e x kx= − + ( )' xf x e kx k= − + ( )f x [ ]0,2 ( )' 0xf x e kx k= − + ≥ [ ]0,2 ( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈ 0k ≤ ( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈ ( ) 0g x ≥ ( )0 0g ≥ 1 0k− ≤ ≤ ( )' xg x e k= − 1 2k e≥ ( )' 0g x ≤ ( )g x ( ) 2 min (2)g x g e k= = − ( ) 0g x ≥ ( ) 2 min 0g x e k= − ≥ 2k e= 2 0 1k< ≤ ( )' 0xg x e k= − ≥ ( )g x ( ) 0g x ≥ ( )min (0) 1 0g x g k= = − ≥ 0 1k< ≤ 3 21 k e< < 0 lnx k< < ( )' 0g x < 2ln k x e< < ( )' 0g x > ( )g x (0,ln )k 2(ln , )k e ，要使 ，则只需 ， 即 ， 综上可得实数 的取值范围是 ， 故答案 . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学 思想方法，属综合性较强的题型. 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 正 弦 定 理 化 边 为 角 可 得 ， 再 由 两 角 和 的 正 弦 可 得 ，即得 ，得解； （2）由三角恒等变换结合倍角公式可得 ，再 结合 求解即可. 【详解】解：（1）由 得到 ， 即 ，即 ， 又∵ 为三角形内角，∴ ，所以 ，从而 . （2） 为 ( )min (ln ) 2 lng x g k k k k= = − ( ) 0g x ≥ ( )min 2 ln 0g x k k k= − ≥ 2k e< k 21,e −  21,e −  ABC∆ A B C a b c 2 cos cos a c C b B − = B 23cos sin cos2 2 2 C A A− 3B π= 3 3 3,4 4       2sin sin cos sin cos A C C B B − = 2sin cos sinA B A= 1cos 2B = 23 cos sin cos2 2 2 C A A− = 1 3cos2 6 2C π + +   20 3C π< < 2 cos cos a c C b B − = 2sin sin cos sin cos A C C B B − = ( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A= A sin 0A ≠ 1cos 2B = 3B π= ( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2 C A A C A− = + − ， ∵ ，∴ ， ∴ ，所以 . 所以 的取值范围为 . 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查 了运算能力，属中档题. 18.湖北省第二届（荆州）园林博览会于 2019 年 9 月 28 日至 11 月 28 日在荆州园博园举办， 本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更 多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智 能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为 50 万 元，每生产一台需另投入 80 元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每万台的销 售收入 （万元）与年产量 （万台）满足如下关系式： . （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成 本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为 29 万台时，该公司获 得的利润最大为 1360 万元 【解析】 【分析】 3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +   π 3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C π = − + = + +   20 3C π< < 5 6 6 6C< +  + 0 20x< ≤ ( ) ( )222 100 50 2 25 1200W x x x x= − + − = − − + ( ) ( )max 20 1150W x W= = 20x > ( ) 90010 1 19601W x x x  = − + + + +  ( ) 90010 2 1 1960 13601x x ≤ − × + × + =+ 9001 1x x + = + 29x = ( ) ( )max 29 1360W x W= = 1360 1150> ABCDE DE AB∥ AC BC⊥ 2 4BC AC= = 2AB DE= DA DC= DAC ⊥ ABC F BC EF ⊥ ABC BE ABC 60 B AD C− − 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）由四边形 为平行四边形.∴ ，再结合 平面 ，即可证明 平面 ； （2）由空间向量的应用，建立以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线 为 轴， 所在直线为 轴的空间直角坐标系，再求出平面 的法向量 ， 平面 的法向量 ，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ∵在 中 ，∴ . ∴由平面 平面 ，且交线为 得 平面 . ∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 . 又 ， ，∴ ，且 . ∴四边形 为平行四边形.∴ ， ∴ 平面 . （2）∵ 平面 ， ， ∴以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴， 建立空间直角坐标系.则 ， ， . ∵ 平面 ，∴直线 与平面 所成的角为 . ∴ .∴ . 可取平面 的法向量 ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，则 ， .∴ ， 3 4 DEFO EF DO DO ⊥ ABC EF ⊥ ABC O OA x O CB y OD z ADC ( )0,1,0m = ADB ( )2 3, 3,1n = AC O EF OF DAC∆ DA DC= DO AC⊥ DAC ⊥ ABC AC DO ⊥ ABC O F AC BC OF AB 2AB OF= DE AB∥ 2AB DE= OF DE OF DE= DEFO EF DO EF ⊥ ABC DO ⊥ ABC AC BC⊥ O OA x O CB y OD z ( )1,0,0A ( )1,0,0C − ( )1,4,0B − EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ =  tan 60 2 3DO EF BF= = = ( )0,0,2 3D ADC ( )0,1,0m = ADB ( ), ,n x y z= ( )2,4,0AB = − ( )1,0,2 3AD = − 2 4 0 2 3 0 x y x z − + =− + = 1z = 2 3x = 3y = ( )2 3, 3,1n = ∴ ， ∴二面角 余弦值为 . 【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想 象能力，属中档题. 20.如图，过点 作两条直线 和 ： 分别交抛物线 于 ， 和 ， （其中 ， 位于 轴上方），直线 ， 交于点 . （1）试求 ， 两点的纵坐标之积，并证明：点 在定直线 上； （2）若 ，求 的最小值. 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）联立直线方程与抛物线方程求得 ，从而可得 ， 再由点斜式方程求得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，消去 求出 ，得解； 的 3cos , 4 m nm n m n ⋅< >= =      B AD C− − 3 4 ( )2,0P 2x = l ( )2 0x my m= + > 2 2y x= A B C D A C x AC BD Q C D Q 2x = − PQC PBD S S λ ∆ ∆ = λ 2 2 3+ 2 2 4 0y my− − = 1 2 4y y = − AC ( ) 1 22 22y xy − = −+ BD ( ) 2 22 22y xy + = −− y 2x = （2）由题意有 ，再令 ，则 ，再由重要 不等式求最小值即可得解. 【详解】解：（1）将直线 的方程 代入抛物线 得： ， 设点 ， ，则 . 由题得 ， ，直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ，消去 得 ， 将 代入上式得 ，故点 在直线 上. （2）∵ ， ， 又 ，∴ . 令 ，则 ， 当且仅当 即 时， 取到最小值 . 【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题， 属中档题. 21.已知函数 ， （ 是 的导 函数）， 在 上的最大值为 . （1）求实数 的值； （2）判断函数 在 内的极值点个数，并加以证明. 【答案】（1） （2） 在 上共有两个极值点，详见解析 【解析】 ( ) ( )1 1 1 2 2 2 PQC PBD S x x S x λ ∆ ∆ += = − ( )1 2 0t x t= − > 4 32 t t λ = + + l 2x my= + 2 2y x= 2 2 4 0y my− − = ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1 2 4y y = − ( )2,2A ( )2, 2B − AC ( ) 1 22 22y xy − = −+ BD ( ) 2 22 22y xy + = −− y ( )1 2 1 2 1 2 2 4 y y y yx y y − += − + 1 2 4y y = − 2x = − Q 2x = − ( )1 1 1 2 22PQCS AP x x∆ = + = + ( )2 2 1 2 22PBDS BP x x∆ = − = − 2 2 1 2 1 2 16 42 2 4 y yx x = ⋅ = = ( ) ( )1 11 1 2 1 1 22 2 42 2 22 PQC PBD S x xx x S x x x λ ∆ ∆ ++ += = = =− −− ( )1 2 0t x t= − > ( )( )2 4 4 3 2 2 32 2 t t t t t λ + += = + + ≥ + 2 2t = 1 2 2 2x = + λ 2 2 3+ ( ) ( ) ( )1sin cos 2f x a x x x x a R= − − ∈ ( ) ( )'g x f x= ( )'f x ( )f x ( )g x 0, 2 π     1 2 π − a ( )f x ( )0,π 1a = ( )f x ( )0,π 【分析】 （1）先求得 ，再求得 ，再讨论 的符 号，判断函数 的单调性，再求最值即可得解； （2）利用（1）的结论，结合 ， ，由零点定理可 在 上有且仅有一个变号零点；再当 时，由导数的应用可 使 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，再结合特殊变量所对应 的函数值的符号可得 在 上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：（1）由 则 ， 则 ， ①当 时 ，不合题意，舍去. ②当 时 ，∴ 在 上单调递减，∴ ， 不合题意，舍去. ③当 时 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，解得 ， ∴综上： . （2）由（Ⅰ）知 ， ， ( ) ( ) 1' sin 2g x f x ax x= = − ( ) ( )' sin cosg x a x x x= + a ( )g x ( ) 10 02g = − < 1 02 2 2g π π  = − >   ( )g x 0, 2 π     ,2x π π ∈   0 ,2x π π ∃ ∈   ( )0' 0g x = ( )g x 0,2 x π     ( )0 ,x π ( )g x ,2 π π     ( ) ( ) ( )1sin cos 2f x a x x x x a R= − − ∈ ( ) ( ) 1' sin 2g x f x ax x= = − ( ) ( )' sin cosg x a x x x= + 0a = ( ) 1 2g x = − 0a < ( )' 0g x < ( )g x 0, 2 π     ( ) ( )max 1 10 2 2g x g π −= = − ≠ 0a > ( )' 0g x > ( )g x 0, 2 π     ( )max 1 1 2 2 2 2 ag x g π π π − = = − =   1a = 1a = ( ) 1sin 2g x x x= − ( )' sin cosg x x x x= + 当 时， 在 上单调递增， ， ， ∴ 在 上有且仅有一个变号零点； 当 时， ，∴ 在 上单调递减. 又 ， ， ∴ 使 且当 时 ，当 时 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. 又 ， ， ，∴ 在 上有且仅 有一个变号零点. ∴ 在 和 上各有一个变号零点，∴ 在 上共有两个极值点. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了 函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极 坐标方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经 过点 ，且倾斜角为 . （1）写出曲线 的直角坐标方程以及点 的直角坐标； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值. 【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ； 点的直角坐标为 （2） 0, 2x π ∈   ( )g x 0, 2 π     ( ) 10 02g = − < 1 02 2 2g π π  = − >   ( )g x 0, 2 π     ,2x π π ∈   ( )'' 2cos sin 0g x x x x= − < ( )'g x ,2 π π     ' 1 02g π  = >   ( )' 0g π π= − < 0 ,2x π π ∃ ∈   ( )0' 0g x = 0,2x x π ∈   ( )' 0g x > ( )0 ,x x π∈ ( )' 0g x < ( )g x 0,2 x π     ( )0 ,x π 1 02 2 2g π π  = − >   ( )0 02g x g π > >   ( ) 1 02g π = − < ( )g x ,2 π π     ( )g x 0, 2 π     ,2 π π     ( )f x ( )0,π xOy O x C 2cos 4sin 0ρ θ θ− = P 3, 2 π     l P 60 C P l C A B 1 1 PA PB + C 2 4x y= P ( )0,3 6 6 【解析】 【分析】 （1）由极坐标与直角坐标的互化可得 的直角坐标方程为 ， 点的直角坐标为 ； （2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中 的几何意义 ，再求解即可. 【详解】解：（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， 点的极坐标为： ，化为直角坐标为 . （2）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）， 将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 整理得： ， 显然有 ，则 ， ， ， ， 所以 . 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中 的几 何意义，属中档题. 23.已知函数 ， . （1）解不等式 ； （2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 C 2 4x y= P ( )0,3P l C t 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − C 2 4x y= P 3, 2P π     ( )0,3P l cos 3 3 sin 3 x t y t π π  =  = + 1 2 33 2 x t y t  =  = + t l C 21 12 2 34 t t= + 2 8 3 48 0t t− − = > 0∆ 1 2 48t t⋅ = − 1 2 8 3t t+ = 1 2 1 2 48PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − ( )2 1 2 1 24 8 6t t t t= + − = 1 1 6 6 PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ t ( ) 5f x x= − ( ) 5 2 3g x x= − − ( ) ( )f x g x< x∈R ( ) ( )2 f x g x a− ≤ a ( )1,3 2a ≥ 【分析】 （1）由绝对值的意义，分别讨论 ， ， 即可； （2）原命题等价于 的最小值小于或等于 ， 再利用绝对值不等式的性质可得 . 即 的最小值为 2，即可得解. 【详解】解：（1）原不等式即 ， ∴ 或 或 ， 所以 无解或 或 ，即 , ∴原不等式的解集为 . （2）若存在 使不等式 成立，则 的最小值小于或等于 . . 当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 2. ∴ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数 学思想方法，属中档题. . 5x≥ 3 52 x≤ < 3 2x < ( ) ( )2 f x g x− a ( ) ( )2 f x g x− = ( )2 10 2 3 5 2 10 2 3 5 2x x x x= − + − − ≥ − − − − = ( ) ( )2 f x g x− 5 2 3 5x x− + − < 5 5 2 3 5 x x x ≥  − + −