湖北省武汉 49 中等部分重点中学 2020 届高三起点考试
数学文试卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知全集 , , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由全集 U=R,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的公共部分,即可确定出所求的集合.
【详解】∵
又由全集 U=R,∴ ={y|y≤0 },
则 A∩(∁UB)={x| ≤0 }= .
故选:B.
【点睛】本题考查了交、补集的混合运算,求出集合 B 的补集是关键,属于基础题.
2.在复平面内,复数 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
,
∴复数 对应的点位于第二象限
故选:B
点睛:复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把 的幂写
成最简形式.
3.下列关于命题的说法错误的是( )
U = R { | 1 1}A x x= − < < { | 0}B y y= > ( )A C B∩ =R
( 1 0)− , ( 1 0]− , (0 )1, [01),
{ }0B y y=
RC B
1 x− < ( ]1 0− , 2 1 iz i = − ( ) ( )( ) 2 12 2 2i 1 i1 1 1 2 i iiz i i i + − += = = = − +− − + 2 1 iz i = − i
A. 命题“若 ,则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”
B. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件
C. 若命题 : , ,则 ,
D. 命题“ , ”是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】
利用原命题与逆否命题的关系可判断出 A 选项的正误;根据充分必要性判断出 B 选项的正误;
利用特称命题的否定可判断出 C 选项的正误;利用作商法和指数函数的单调性可判断出 D 选
项的正误.
【详解】对于 A 选项,命题的逆否命题,只需把原命题的结论否定当条件,条件否定当结论
即可,A 选项正确;
对于 B 选项,若函数 在区间 上为增函数,则 ,所以,“ ”
是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件,B 选项正确;
对于 C 选项,特称命题的否定为全称,C 选项正确;
对于 D 选项,当 时,由于函数 为增函数,则 ,
,D 选项错误.故选:D.
【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题
真假的判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.
4.已知 , , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【 详 解 】 , 故
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+
p n N∃ ∈ 2 1000n > :p n¬ ∀ ∈N 2 1000n ≤
( ),0x∃ ∈ −∞ 2 3x x< ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > 2a =
( ) logaf x x= ( )0, ∞+
0x < 3 2 x y = 03 3 3 12 2 2 xx x = < = 2 3x x∴ >
0.21.1a = 0.2log 1.1b = 1.10.2c =
a b c> > b c a> > a c b> > c a b> >
0.2 0 1.1 0
0.2 0.2a 1.1 1.1 1, b log 1.1 log 1 0, 0 c 0.2 0.2 1= > = = < = < = < =
故选:C
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,熟记指对函数的单调性与底的关系是关
键,属于基础题.
5.已知等差数列 满足 ,则 中一定为 0 的项是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式即可得到结果.
【详解】由 得, ,解得: ,
所以, ,
故选 A
【点睛】本题考查等差数列通项公式,考查计算能力,属于基础题.
6.已知 ,sin4x 的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式和二倍角的余弦公式即可求得 sin4x 的值.
【详解】因为 ,
所以 sin4x=cos( 4x)=1–2 ,故选 A.
【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式的应用,属于中等题.
7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 时,f(x)= , ,
则实数 ( )
a c b> >
{ }na 3 24 3a = a { }na
6a 8a 10a 12a
3 24 =3a a ( )1 14( +2d)=3a a d+ 1 5 0a d+ =
6 1 5 0a a d= + =
π 3sin 24 5x − =
7
25
7
25
±
π 3sin 24 5x − =
π
2
− 2 πsin 24 x −
7
25
=
0x < ( )2log x m− + 1( ) 22f = m =
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇函数得 ,代入 f(x)= 即可求解 m.
【 详 解 】 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , , 则
故选:D.
【点睛】本题考查函数奇偶性,对数的运算,是基础题.
8.函数 , 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,已
知 是偶函数,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析:由图象变换得到 的表达式,再由 是偶函数,得到 值,代入
求值即可.
详解:函数 , 的图象向左平移 个单位
得到函数 ,又 是偶函数,
∴ ,又 ,∴ ,
2
2
2
2
− 2 1+ 2 1− +
1 22f − = −
( )2log x m− +
1 1 22 2f f ∴ − = − = −
2
1 1 2, m 2 1,2 2f log m − = + = − = − + 解
( ) ( )sin 2f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈
12
π ( )g x
( )g x tan 6
πϕ − =
3− 3 3
3
− 3
3
( )g x ( )g x ϕ tan 6
πϕ −
( ) ( )sin 2f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈
12
π
( ) sin 2 12g x x
π ϕ = + +
( )g x
sin 16
π ϕ + = ±
( )0,ϕ π∈
3
πϕ =
∴ .
故选:D
点睛:由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的
图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的区
别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)
再平移变换,平移的量是 个单位.
9.如图, 、 分别是三棱锥 的棱 、 的中点, , ,
,则异面直线 与 所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过辅助线将 、 平移至同一个平面内,再通过长度以及余弦定理计算所成角.
【详解】如图所示:取 中点 ,连接 ,
因为 、 分别是棱 、 的中点,且 为 中点,所以 且
3tan tan6 3 6 3
π π πϕ − = − =
ϕ
ω
E F P ABC− AP BC 10PC = 6AB =
7EF = AB PC
30° 60° 0° 120°
AB PC
AC G ,EG FG
E F AP BC G AC GE PC
,所以 且 ;所以异面直线 与 所成的角即为
或其补角,则 ,所以 ,所以异面直线
与 所成的角即为 的补角: .
故选:B.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,难度一般.当通过余弦定理计算出的角是钝角时,
一定要注意取其补角,这里异面直线所成角的范围是: .
10.某多面体的三视图如图所示,其中正视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形,侧视图是
两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形,俯视图为一矩形,则该多面体的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将几何体为一个三棱锥,放在长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体中,此三棱锥和长方体的
外接球是同一个,长方体的外接球的球心在体对角线的中点处,进而求得半径.
【详解】由三视图可得,该几何体为一个三棱锥,放在长、宽、高分别为 2,1,2 的长方体
中,此三棱锥和长方体的外接球是同一个,长方体的外接球的球心在体对角线的中点处,易
得其外接球的直径为 ,从而外接球的表面积为 .
故答案为:C.
【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、
切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的
1 52GE PC= = GF AB∥ 1 32GF AB= = AB PC
EGF∠
2 2 25 3 7 1cos 2 3 5 2EGF
+ −∠ = = −× × 120EGF∠ = °
AB PC EGF∠ 60°
0, 2
π
7π 8π
9π 10π
2 2 22 2 1 3+ + = 9π
关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几
何体已知量的关系,列方程(组)求解.
11.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实
验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值:先请 名同学每人随机写下
一个都小于 的正实数对 ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 的个数
,最后再根据统计数 估计 的值,假如统计结果是 ,那么可以估计 的值约为
( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过条件列出不等式组,画出可行域;根据满足条件 概率 可行域面积比上总面积,
由此计算出 的值..
【详解】由条件可知: ,作出可行域如图阴影部分所示:
所以落在阴影部分的概率: ,解得: ,
故选:B.
【点睛】本题考查几何概型的应用,难度一般.当几何概型的概率和随机数的模拟产生联系时,
可通过将概率表示成随机数的个数之间的比率关系.
12.已知抛物线 : 的交点为 ,准线为 , 是 上一点,直线 与曲线 相交
于 , 两点,若 ,则 ( )
的
π 120
1 ( , )x y ( , )x y
m m π 34m = π
94
29
47
15
51
16
53
17
120
m= =
m
2 2
1
1
0 1
0 1
x y
x y
x
y
+ >
+
( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = a
( ) ( ) 2lng x f x x= −
( )f x m n 2ln 2 3m n+ < − (0,1)x∈ ( )g x (1, )x∈ +∞ ( )g x a ( )g x a a m n+ a
【详解】(1)解:由 ,得 ,
∴ ,
又曲线 在点 处的切线与直线 垂直,
∴ ,即 .
则 ,得 ,
当 时, , 单调递减,当 时, , 单调递增;
(2)设 , 为方程 的两个实数根,则 , ,
由题意得 ,解得 ,
又因为函数 的极大值和极小值分别为 , ,
则 ,
.
令 ,
则 ,当 时, ,所以 是增函数,
则 ,即 .
【点睛】本题考查导数的综合应用,难度较难.对于同时出现极大值点和极小值点的情况,可
对导函数分析,最好可以将极大值点和极小值点与韦达定理联系在一起,后面去求解范围或
者证明时可以用韦达定理形式作替换,使变量能够统一,这样即可构造新函数来解决问题.
2( ) ln ( 0)f x ax x x a= − + >
22 1( ) ax xf x x
− +=′
(1) 2f a′ =
( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ =
2 2a = 1a =
2( ) lng x x x x= − − 1( ) 2 1g x x x
= − −′ (2 1)( 1) ( 0)x x xx
+ −= >
(0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
1x 2x ( ) 0f x′ = 1 2
1
2x x a
+ = 1 2
1
2x x a
=
1 2
1 2
1 8 0
0
0
a
x x
x x
∆ = − >
+ >
>
10 8a< < ( )f x m n ( ) ( )1 2m n f x f x+ = + 2 2 1 1 1 2 2 2ln lnax x x ax x x= − + + +− ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2ln 2x x a x x x x x x = + + − − − 1ln ln 2 14a a = − − − 1( ) ln ln 2 14g a a a = − − − 2 4 1( ) 4 ag a a ′ −= − 10 8a< < ( ) 0g a′ > ( )g a
1( ) 2ln 2 38g a g < = − 2ln 2 3m n+ < −