2017 级高三 10 月月考
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.若集合 ，且 ，则集合 可能是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出 A＝（0，2），根据 A∪B＝A 可得出 B⊆A，依次看选项中哪个集合是 A 的子集即可．
【详解】A＝（0，2）；
∵A∪B＝A；
∴B⊆A；
选项中，只有{1}⊆A．
故选：C．
【点睛】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于基
础题．
2.已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则首先求得 z 的值，然后求解其共轭复数即可确定其所在的象限.
【详解】由题意可得： ，则 ，
故 ，其所对的点 位于第二象限.
故选：B.
( ){ | 2 0}A x x x= − < ( )A B A∪ = B ( ) { }1− { }0 { }1 { }2 z 1 1 i z z = + z z 1zi z= + ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 iz ii i i − −= = = − −− − + − − 1 1 2 2z i= − + 1 1,2 2 −
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
3.下列判断正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 函数 最小值为 2
C. 当 时，命题“若 ，则 ”为真命题
D. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】C
【解析】
【分析】
求解对数不等式之后即可考查选项 A 是否正确，利用换元法可确定选项 B 中函数的最小值，
利用原命题与逆否命题的关系可判断 C 选项是否正确，否定全称命题即可确定选项 D 是否正
确.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
对于选项 A：由 可得 ，即 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；
对于选项 B：令 ，
由对勾函数的性质可知函数 单调递增，其最小值为 ，则题中的
命题为假命题；
对于选项 C：考查其逆否命题：“若 ，则 ”，
很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；
对于选项 D：命题“ ， ”的否定是“ ，
”，则题中的命题为假命题；
故选：C.
【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：
的
2x < − ln( 3) 0x + < 2 2 1( ) 9 9 f x x x = + + + , Rα β ∈ sin sinα β≠ α β≠ 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ ≤ 02019 2019 0x + ≤
ln( 3) 0x + < 0 3 1x< + < 3 2x− < < − 2x < − ln( 3) 0x + < ( )2 9 3t x t= + ≥ ( ) ( )1 3f t t tt = + ≥ ( ) 103 3f = α β= sin sinα β= 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ >
02019 2019 0x + ≤
①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
4.若正项等比数列 满足 ，则 的值是
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
分析：设正项等比数列 的公比为 ，由 ，可得 ，
解得 ，解得 ，代入即可得结果.
详解：设正项等比数列 的公比为 ，
，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
则 ，故选 D.
点睛：本题主要考查数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考查推理能力与计算能力以
及基本概念与基本公式的掌握的熟练程度，属于中档题.
5.函数 的部分图象大致为（ ）
A. B. C.
{ }na ( )2 *
1 2 n
n na a n N+ = ∈ 6 5a a−
2 16 2− 16 2
{ }na 0q > ( )2
1 2 n
n na a n N ∗
+ = ∈
( )2 1
1 2
2
1
2
2
n
n n
n
n n
a a
a a
+
+ +
+
=
2,q = 2 22 2 , 0n
n na a∴ × = > 2 1
22
n
na
−
=
{ }na 0q >
( )2
1 2 n
n na a n N
∗
+ = ∈
( )2 1
21 2
2
1
2 42
n
n n
n
n n
a a qa a
+
+ +
+
= = = 2q =
2 22 2 , 0n
n na a∴ × = > 2 1
22
n
na
−
=
11 9
2 2
6 5 2 2 16 2a a− = − =
2 tan( ) 1 xf x x x
= + +
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．
【详解】因为 ，
所以函数 为偶函数，
故函数的图象关于 轴对称，故可排除 A，C；
又当 ， ，所以 ，故可排除 B．
从而可得选项 D 正确．
故选 D．
【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数
为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．
6.已知 为 的外接圆的圆心，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定 的大小，然后建立平面直角坐标系，
结合向量的运算法则求得 的值即可确定 的值.
【详解】由题意可得： ，且 ，
( ) ( )21 tanxf x x f xx
− = + + =
( )f x
y
0, 2x
π ∈ 0tanx > ( ) 0f x >
O ABC∆ 3 4 5OA OB OC+ = − C∠
4
π
2
π
6
π
12
π
AOB∠
cosC C∠
| | | | | |OA OB OC= = 1 (3 4 )5OC OA OB= − +
，
，∴∠AOB=90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，设 ， ，
由 可知： ，则：
， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角
度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知 ，则 ， ， ， 中值最大的为（ ）
A. B. C. D.
2 21| | (3 4 )25OC OC OC OA OB∴ ⋅ = = +
2 29 24 16| | | |25 25 25OA OA OB OB= + ⋅ +
2 24| | 25OC OA OB= + ⋅
24 025 OA OB∴ ⋅ =
( )0,1A ( )10B ,
( )3 4 4,3 5OA OB OC+ = = − 4 3,5 5C − −
4 8,5 5CA =
9 3,5 5CB =
36 24
225 25cos 24 5 3 10
5 5
CA CBC
CA CB
+⋅= = =
× ×
4C
π∠ =
,4 2
∈
π πα sin(sin ) αα cos(sin ) αα sin(cos ) αα cos(cos ) αα
cos(cos ) αα sin(sin ) αα cos(sin ) αα
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先确定 的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给
选项中最大的数即可.
【详解】由于 ，故 ，且 .
由指数函数的单调性可得： ， ，
由幂函数的单调性可得： ，
综上可得， ， ， ， 中值最大的为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.设数列 满足 ，且对任意正整数 ，总有 成立，则数列
的前 2019 项的乘积为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. .3
【答案】D
【解析】
分析】
由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解
数列 的前 2019 项的乘积即可.
【详解】由题意可得： ，故：
， ， ，
【
sin(cos ) αα
sin ,cosα α
,4 2
∈
π πα 0 sin 1,0 cos 1α α< < < < sin cosα α>
( ) ( )sin cossin sinα αα α< ( ) ( )sin coscos cosα αα α< ( ) ( )cos cossin cosα αα α>
sin(sin ) αα cos(sin ) αα sin(cos ) αα cos(cos ) αα cos(sin ) αα
{ }na 1 2a = n ( )( )1 1 1 2n n na a a+ − − = { }na
1
2
{ }na
1
21 1
n
n
n
aa a+ = + −
1 2a = 1
2
1
21 31
aa a
= + = −−
2
3
2
2 11 1 2
aa a
= + = −−
， ，
据此可得数列 是周期为 的周期数列，
注意到 ，且： ，
故数列 的前 2019 项的乘积为： .
故选：D.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
9.将函数 （ ）的图象向右平移 个单位，得取函数
的图象，若 在 上为减函数，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
由题意可得函数 的解析式为 ，函数 的一
个单调递减区间是 ，若函数 在区间 上为减函数，则 ，
只要 ，∴ ，则 的最大值为 ，故选 B．
点睛：已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间 是单调
区间的子集；
10.已知数列 满足 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3
4
3
2 11 1 3
aa a
= + =−
4
5 1
4
21 21
aa aa
= + = =−
{ }na 4T =
2019 4 3MOD = 1 2 3 4 1a a a a =
{ }na ( ) 12 3 32
× − × − =
( ) 2cos( )4f x x
πω= + 0>ω
4
π
ω ( )y g x=
( )y g x= [0, ]3
π ω
( )g x π π( ) 2cos 2cos4 4g x x xω ωω
= − + = ( )g x
π0 ω
， ( )y g x= π0 3
，
π π0 03 ω
⊆ ， ，
π π
3ω ≥ 3ω ≤ ω 3
π0 3
，
{ }na 1 1a = ( )*1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n Nn n
+
+− = ∈+ 10a
2
3
1
2
10
19
5
2
【解析】
【分析】
首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得 的值.
【详解】由 可得: ，
则：
，
则 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
11.已知数列 前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
A. －5 B. －10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合 的值可得 的值.
【详解】由题意可得： ， ，
两式作差可得： ， ①
进一步有： ， ②
①-②可得： ，
故数列的偶数项为等差数列，且公差为 4，
据此可得： ，即： ，解得： .
故选：C.
的
10a
1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n n
+
+− = + ( )1
1 1 1 1 1
1 1n na a n n n n+
− = = −+ +
10 10 9 9 8 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
a a a a a a a a
= − + − + + − +
1 1 1 1 1 191 19 10 8 9 2 10
= − + − + + − + =
10
10
19a =
{ }na n nS ( )2 *
1 2n nS S n n+ + = ∈N 10 28a = 2a =
10a 2a
2
1 2n nS S n+ + = ( )2
1 2 1n nS S n−+ = −
( )1 2 2 1 4 2n na a n n++ = − = −
( )1 4 1 2 4 6n na a n n− + = − − = −
1 1 4n na a+ −− =
10 2 4a a d= + 228 4 4a= + × 2 12a =
【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用 转化为 an 的
递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求
an.
12.已知 ，又 有四个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数 的性质，然后结合二次函数的性质研究
复合函数 的性质即可确定实数 的取值范围.
【详解】 ，
当 x⩾0 时, 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数；
当 x0,f(x)为增函数，
当 x∈(−1,0)时,f′(x)=−ex(x+1)
在区间 和 上， ；在区间 上 ，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
③当 时， ，故 的单调递增区间是 .
④当 时， ，在区间 和 上， ；区间 上
，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）设 ， ， ， 为增函数，
由已知， .据此可得 .
由（Ⅰ）可知，
①当 时， 在 上单调递增，
故 ，
所以， ，解得 ，故 .
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 .
由 可知 ， ， ，
所以， ， ，
综上所述， .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的
知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解
析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参
(0,2) 1 ,a
+∞ ( ) 0f x′ > 12, a
( ) 0f x′ < ( )f x (0,2) 1 ,a +∞ 12, a 1 2a = 2( 2)( ) 02 xf x x −′ = ≥ ( )f x (0, )+∞ 1 2a > 10 2a
< < 10, a (2, )+∞ ( ) 0f x′ > 1 ,2a
( ) 0f x′ < ( )f x 10, a (2, )+∞ 1 ,2a ( ) 1xg x e′ = − 2( ]0,x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x
( )max g(2) 0g x = = max( ) 0f x < 1 2a ≤ ( )f x (0,2] max( ) (2) 2 2(2 1) 2ln 2f x f a a= = − + + 2 2 2ln 2a= − − + 2 2 2ln 2 0a− − + < ln 2 1a > − 1ln 2 1 2a− < ≤ 1 2a > ( )f x 10, a
1 ,2a
max
1 1( ) 2 2ln2f x f aa a
= = − − −
1
2a > 1 1ln ln ln 12 ea > > = − 2ln 2a > − 2ln 2a− < 2 2ln 0a− − < max( ) 0f x < ln 2 1a > −
数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应
用．
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