2017 级高三 10 月月考数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.若集合 ，且 ，则集合 可能是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出 A＝（0，2），根据 A∪B＝A 可得出 B⊆A，依次看选项中哪个集合是 A 的子集即可．
【详解】A＝（0，2）；
∵A∪B＝A；
∴B⊆A；
选项中，只有{1}⊆A．
故选：C．
【点睛】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于基
础题．
2.已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则首先求得 z 的值，然后求解其共轭复数即可确定其所在的象限.
【详解】由题意可得： ，则 ，
故 ，其所对的点 位于第二象限.
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化
( ){ | 2 0}A x x x= − < ( )A B A∪ = B ( ) { }1− { }0 { }1 { }2 z 1 1 i z z = + z z 1zi z= + ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 iz ii i i − −= = = − −− − + − − 1 1 2 2z i= − + 1 1,2 2 −
能力和计算求解能力.
3.下列判断正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 函数 的最小值为 2
C. 当 时，命题“若 ，则 ”为真命题
D. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】C
【解析】
【分析】
求解对数不等式之后即可考查选项 A 是否正确，利用换元法可确定选项 B 中函数的最小值，
利用原命题与逆否命题的关系可判断 C 选项是否正确，否定全称命题即可确定选项 D 是否正
确.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
对于选项 A：由 可得 ，即 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；
对于选项 B：令 ，
由对勾函数的性质可知函数 单调递增，其最小值为 ，则题中的
命题为假命题；
对于选项 C：考查其逆否命题：“若 ，则 ”，
很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；
对于选项 D：命题“ ， ”的否定是“ ，
”，则题中的命题为假命题；
故选：C.
【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：
①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
2x < − ln( 3) 0x + < 2 2 1( ) 9 9 f x x x = + + + , Rα β ∈ sin sinα β≠ α β≠ 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ ≤ 02019 2019 0x + ≤
ln( 3) 0x + < 0 3 1x< + < 3 2x− < < − 2x < − ln( 3) 0x + < ( )2 9 3t x t= + ≥ ( ) ( )1 3f t t tt = + ≥ ( ) 103 3f = α β= sin sinα β= 0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ >
02019 2019 0x + ≤
4.若正项等比数列 满足 ，则 的值是
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
分析：设正项等比数列 的公比为 ，由 ，可得 ，
解得 ，解得 ，代入即可得结果.
详解：设正项等比数列 的公比为 ，
，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
则 ，故选 D.
点睛：本题主要考查数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考查推理能力与计算能力以
及基本概念与基本公式的掌握的熟练程度，属于中档题.
5.函数 的部分图象大致为（ ）
A. B. C.
{ }na ( )2 *
1 2 n
n na a n N+ = ∈ 6 5a a−
2 16 2− 16 2
{ }na 0q > ( )2
1 2 n
n na a n N ∗
+ = ∈
( )2 1
1 2
2
1
2
2
n
n n
n
n n
a a
a a
+
+ +
+
=
2,q = 2 22 2 , 0n
n na a∴ × = > 2 1
22
n
na
−
=
{ }na 0q >
( )2
1 2 n
n na a n N
∗
+ = ∈
( )2 1
21 2
2
1
2 42
n
n n
n
n n
a a qa a
+
+ +
+
= = = 2q =
2 22 2 , 0n
n na a∴ × = > 2 1
22
n
na
−
=
11 9
2 2
6 5 2 2 16 2a a− = − =
2 tan( ) 1 xf x x x
= + +
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．
【详解】因为 ，
所以函数 为偶函数，
故函数的图象关于 轴对称，故可排除 A，C；
又当 ， ，所以 ，故可排除 B．
从而可得选项 D 正确．
故选 D．
【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数
为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．
6.已知 为 的外接圆的圆心，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定 的大小，然后建立平面直角坐标系，
结合向量的运算法则求得 的值即可确定 的值.
【详解】由题意可得： ，且 ，
( ) ( )21 tanxf x x f xx
− = + + =
( )f x
y
0, 2x
π ∈ 0tanx > ( ) 0f x >
O ABC∆ 3 4 5OA OB OC+ = − C∠
4
π
2
π
6
π
12
π
AOB∠
cosC C∠
| | | | | |OA OB OC= = 1 (3 4 )5OC OA OB= − +
，
，∴∠AOB=90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，设 ， ，
由 可知： ，则：
， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角
度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知 ，则 ， ， ， 中值最大的为（ ）
A. B. C. D.
2 21| | (3 4 )25OC OC OC OA OB∴ ⋅ = = +
2 29 24 16| | | |25 25 25OA OA OB OB= + ⋅ +
2 24| | 25OC OA OB= + ⋅
24 025 OA OB∴ ⋅ =
( )0,1A ( )10B ,
( )3 4 4,3 5OA OB OC+ = = − 4 3,5 5C − −
4 8,5 5CA =
9 3,5 5CB =
36 24
225 25cos 24 5 3 10
5 5
CA CBC
CA CB
+⋅= = =
× ×
4C
π∠ =
,4 2
∈
π πα sin(sin ) αα cos(sin ) αα sin(cos ) αα cos(cos ) αα
cos(cos ) αα sin(sin ) αα cos(sin ) αα
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先确定 的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给
选项中最大的数即可.
【详解】由于 ，故 ，且 .
由指数函数的单调性可得： ， ，
由幂函数的单调性可得： ，
综上可得， ， ， ， 中值最大的为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.设数列 满足 ，且对任意正整数 ，总有 成立，则数列
的前 2019 项的乘积为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. .3
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解
数列 的前 2019 项的乘积即可.
【详解】由题意可得： ，故：
， ， ，
sin(cos ) αα
sin ,cosα α
,4 2
∈
π πα 0 sin 1,0 cos 1α α< < < < sin cosα α>
( ) ( )sin cossin sinα αα α< ( ) ( )sin coscos cosα αα α< ( ) ( )cos cossin cosα αα α>
sin(sin ) αα cos(sin ) αα sin(cos ) αα cos(cos ) αα cos(sin ) αα
{ }na 1 2a = n ( )( )1 1 1 2n n na a a+ − − = { }na
1
2
{ }na
1
21 1
n
n
n
aa a+ = + −
1 2a = 1
2
1
21 31
aa a
= + = −−
2
3
2
2 11 1 2
aa a
= + = −−
， ，
据此可得数列 是周期为 的周期数列，
注意到 ，且： ，
故数列 的前 2019 项的乘积为： .
故选：D.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
9.将函数 （ ）的图象向右平移 个单位，得取函数
的图象，若 在 上为减函数，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
由题意可得函数 的解析式为 ，函数 的一
个单调递减区间是 ，若函数 在区间 上为减函数，则 ，
只要 ，∴ ，则 的最大值为 ，故选 B．
点睛：已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间 是单调
区间的子集；
10.已知数列 满足 ， ，则 的最小值是（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
3
4
3
2 11 1 3
aa a
= + =−
4
5 1
4
21 21
aa aa
= + = =−
{ }na 4T =
2019 4 3MOD = 1 2 3 4 1a a a a =
{ }na ( ) 12 3 32
× − × − =
( ) 2cos( )4f x x
πω= + 0>ω
4
π
ω ( )y g x=
( )y g x= [0, ]3
π ω
( )g x π π( ) 2cos 2cos4 4g x x xω ωω
= − + = ( )g x
π0 ω
， ( )y g x= π0 3
，
π π0 03 ω
⊆ ， ，
π π
3ω ≥ 3ω ≤ ω 3
π0 3
，
{ }na 1 1a = ( )*1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n Nn n
+
+− = ∈+ nna
1
2
【解析】
【分析】
将已知的数列递推式变形，可得 ，然后用累加法求出数列通项公式，
【详解】解：由 ，得
，
即 ，
，
当 时，上式成立，
要 取最小值，则 要最大，
当 时， 取最小值，最小值为 1.
故选：C.
【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，以及有关最值的求解，考查学生的计算能力，是
中档题.
11.已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则
1
1 1 1 1
1n na a n n+
− = − +
( )*1
1 ( 1)
n n
n n
a aa a n Nn n
+
+− = ∈+
1
1
1
( 1)
1 1
1
n n
n n
a a
a a n n n n
+
+
− = = −+ +
1
1 1 1 1
1n na a n n+
− = − +
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n na a a a a a a a− − −
∴ = − + − +…+ − +
1 2 1 1
1 1 1 1 1
2 1
1 1
n n n n
= − + − +…+ − + − − −
11 1n
= − +
12 ( 2)nn
= − ≥
( 2)2 1n
na nn
∴ = −
1n =
2 1n
na n
∴ = −
2
2
2 2
2 1 2 1 12 1 ( 1) 1
1 1 1
n
n
n
n n n n n
na = =∴ =− − − − − +
=
nna 21( 1) 1n
− − +
∴ 1n = nna
{ }na n nS ( )2 *
1 2n nS S n n+ + = ∈N 1 0a ≠ 10 28a = 1a
的值为（ ）
A. －8 B. 6 C. －5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 ，可得 ，通过构造等比数列，求得 的通项公式，进
而可以求出 的值.
【详解】对于 ，
当 时有 ，即
，
，
两式相减得：
，
由 可得
即 从第二项起是等比数列，
所以 ，
即 ，
则 ，故 ，
由 可得 ，
故选：C.
【点睛】本题考查递推式求通项公式，关键是要通过观察递推式构造出等比数列，利用等比
数列来解决问题，本题难度较大，对学生的计算能力要求较高.
12.设 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ），则
1 1n n na S S+ += − 1 4 2n naa n+ + = − na
1a
2
1 2n nS S n+ + =
1n = 2 1 2S S+ = 12 2 2a a− = −
2
1 2n nS S n+ + =
2
1 2( 1)n nS S n−∴ + = − ( 2)n
1 4 2n naa n+ + = −
[ ]1 2 2( 1)n na n a n+ − = − − − ( 2)n
1 0a ≠ 2 12 2 0,a a− = − ≠
1 2 1( 2)2( 1)
n
n
a n na n
+ −∴ = −− −
{ }2( 1)na n− −
( ) 2
22( 1) 2 ( 1)n
na n a −− − = − −
( ) 2
2 2 ( 1) 2( 1)n
na a n−= − − + −
10 2 2 18 28a a= − + = 2 12a =
12 2 2a a− = − 1 5a = −
1x 2x ( ) xf x x a−= − ( ) log 1ag x x x= − 1a > 2 2
1 2x x+
的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问
题，从而求解.
【详解】由 ， 分别是函数 和 的零点（其中 ）可知
是方程 的解； 是方程 的解；
则 ， 分别为函数 的图象与函数 和函数 的图象交点的横坐标；
设交点分别为
由 ，知 ；
又因为 和 以及 的图像均关于直线 ，
所以两交点一定关于 对称，
由于点 ，关于直线 的对称点坐标为 ，
所以 ，
有 ，，
则 ，由于 ，故等号不能成立，
的取值范围 .
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数，关键是要将零点问题转化
为两个函数的图像的交点问题，充分利用函数的对称性，得到交点的对称性，难度较大.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上）
( )2,+∞ [ )2,+∞ ( )5,+∞ [ )5,+∞
1x 2x ( ) xf x x a−= − ( ) log 1ag x x x= − 1a >
1x 1xa x
= 2x 1 loga xx
=
1x 2x 1y x
= xy a= logay x=
1 2
1 2
1 1, , ,x xx xA B
1a > 1 20 1, 1x x< < >
xy a= logay x= 1y x
= y x=
y x=
1
1
1,A x x
y x=
1
1
1 , xx
1
2
1x x
=
1 2 1=x x
2 2
1 2 1 22 2x x x x≥ =+ 1 2x x≠
2 2
1 2x x∴ + ( )2,+∞
13.曲线 在点 处的切线方程为___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得
切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计
算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ______．
【答案】 .
【解析】
【详解】分析：先计算 ，再利用向量模的公式求 .
详解：由题得 ，
所以
故答案为： .
点睛：(1)本题主要考查向量 模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能
力.(2)若 ，则 .
15.已知定义在 上的奇函数 满足 ， ， 为数列
的前 项和，且 ， _________.
【答案】
【解析】
【分析】
的
23( )exy x x= + (0,0)
3 0x y− =
/ 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e= + + + = + +
/
0| 3xk y == =
23( )exy x x= + (0,0) 3y x= 3 0x y− =
a b 45 ( )1, 1a = − b 1 = a 2b+ =
10
| |a 2a b+
2a| |=
2a b+ = 2 2 04 4 2 4 4 2 cos45 6 4 10.a b a b+ + ⋅ = + + = + =
10
( , )a x y= 2 2 2a x y a= + =
R ( )f x ( )1 12f x f x + = −
( )1 1f = nS { }na
n ( )4 2 1n na S n N+− = ∈ ( ) ( )3 5f a f a+ =
2−
利用题中条件可推出函数 是以 为周期的周期函数，由 可得出数列
为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出 、 的值，再利用周期性和奇函数的
性质求出 的值.
【详解】对任意的 ， ，当 时， ，得 ；
当 时，由 得 ，
上述两式相减得 ，整理得 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ， .
， ，由于函数 为奇函数，
， ，
则函数 是以 为周期的周期函数， ，
，因此， ，故答案为： .
【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性求值，同时也考查了利用前 项和公式求数列的通项，
考查运算求解能力，属于中等题.
16.已知 点为 的重心，且 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图，由于 G 为重心，利用重心性质-重心分中线的比为 2：1，可得：
，由于
， ，可得勾股定理，再根据条件利用正弦定理，将条件转化为边的关
系，再利用正弦定理代入即可求出。
( )y f x= 3 4 2 1n na S− =
{ }na 3a 5a
( ) ( )3 5f a f a+
n∈ +N 4 2 1n na S− = 1n = 1 14 2 1a S− = 1
1
2a =
2n ≥ 4 2 1n na S− = 1 14 2 1n na S− −− =
14 4 2 0n n na a a−− − =
1
2n
n
a
a −
=
{ }na 1
2 2 2
3
1 2 22a∴ = × = 4
5
1 2 82a = × =
( )1 12f x f x + = − ( )3
2f x f x ∴ + = −
( )y f x=
( ) ( )3
2f x f x f x ∴ + = − = −
( ) ( )33 2f x f x f x ∴ + = − + =
( )y f x= 3 ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 1f a f f f∴ = = − = − = −
( ) ( ) ( )5 8 2 1f a f f= = = − ( ) ( )3 5 2f a f a+ = − 2−
n
G ABC∆ AG BG⊥ (tan tan ) tan
tan tan
A B C
A B
+ ⋅
⋅
1
2
1 1 1 1( ), ( ) ( ) ( 2 )3 3 3 3AG AB AC BG BA BC AB AC AB AC AB= + = + = − + − = −
AG BG⊥ 0AG BG⋅ =
【详解】解：如图：
因为 G 为重心，
，
由于 ，
，
化 ，
所以根据条件，
，
故答案为： .
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，其中对于重心的性质要牢记，重心分中线的
比为 2:1,本题是中档题，计算要仔细。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设函数 .
（Ⅰ）当 时，解不等式： ；
（Ⅱ）若存在 ，使得 ，试求实数 的取值范围.
为
1 1 1 1( ), ( ) ( ) ( 2 )3 3 3 3AG AB AC BG BA BC AB AC AB AC AB∴ = + = + = − + − = −
AG BG⊥
( )2 21 2 09AG BG AC AB AB AC∴ ⋅ = − − ⋅ =
2 22 cos 0b c bc A∴ − − =
2 2 2
2 22 02
b c ab c
+ −∴ − − =
2 2 25a b c+ =
sin sin sin( )(tan tan ) tan (sin cos sin cos ) sincos cos cos
sin sintan tan sin sin cos
cos cos
A B C
A B C A B B A CA B C
A BA B A B C
A B
+ ⋅+ ⋅ + ⋅= =⋅ ⋅ ⋅⋅
2
2 2 2 2
2 2 2
sin 2 2 1
sin sin cos co 4s 2
C c c c
A B C ab C a b c c
= = = = =+ −
1
2
( ) | 1| | |f x x x a= + + −
2a = ( ) 5f x x≥
0x R∈ ( )0 2 0f x − < a
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式
的解集；
(Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得 的最小值，据此得到关于 a 的不等式即
可确定实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ） ，
或 或 ，
所以， 或 或 ，
不等式解集为 .
（Ⅱ）即若存在 ，使得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论 思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18.已知 ， .记
的
3, 5
−∞
{ }| 3 1a a− < < | 1| | |x x a+ + − a | 1| | 2 | 5x x x+ + − ≥ 1 1 2 5 x x x x ≤ − − − − + ≥ 1 2 1 2 5 x x x x − <
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