2019-2020学年八年级下期中数学试卷5（含答案）

八年级（下）期中数学试卷 一、选择題（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正 确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑． 1．若式子 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（  ） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 2．若 ＝4﹣b，则 b 满足的条件是（  ） A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4 3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（  ） A．2，3，4 B．1，1， C． D．5，12，13 4．在平行四边形 ABCD 中，已知∠A＝60°，则∠D 的度数是（  ） A．60° B．90° C．120° D．30° 5．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 6．如图，一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，木頂端落在地面离木杆底端 3 米处，木杆折断之前的 高度为（  ） A．7 米 B．8 米 C．9 米 D．12 米 7．如图，▱ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点 D 的坐标为（  ） A．（5，5） B．（5，6） C．（6，6） D．（5，4） 8．如图，A（0，1），B（3，2），点 P 为 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值为（  ） A．3 B． C． D． 9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为 的平行四边形．在 1×3 的正方形 网格中最多作 2 个，在 1×4 的正方形网格中最多作 6 个，在 1×5 的正方形网格中最多作 12 个， 则在 1×8 的正方形网格中最多可以作（  ） A．28 个 B．42 个 C．21 个 D．56 个 10．如图，正方形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，直线 EF 过点 O 分别交 AB、CD 于 E、F 两点（ BE＞EA），若过点 O 作直线与正方形的一组对边分別交于 G、H 两点，满足 GH＝EF，则这样 的直线 GH（不同于直线 EF）的条数共有（  ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．无数条 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分 11．16 的平方根是   ． 12．计算： ÷ ＝   ． 13．已知等边三角形的边长为 6，则面积为   ． 14．如图，菱形 ABCD 的周长为 8，对角线 BD＝2，则对角线 AC 为   ． 15．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1， 3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 E 的坐标    ． 16．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5 ，则 BD 的长为    ． 三、解答题（共 8 小題，共 72 分） 17．（8 分）计算： ① ； ② ． 18．（8 分）计算： ① ② 19．（8 分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2 米，一阵风吹来，芦苇的顶端 D 恰好 到达水面的 C 处，且 C 到 BD 的距离 AC＝6 米，求水的深度（AB）为多少米？ 20．（8 分）如图，AE∥BF，AC 平分∠BAD，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABC，且交 AE 于点 D， 连接 CD．求证：四边形 ABCD 是菱形． 21．（8 分）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1． （1）求△ABC 的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点 P 为直线 AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为   ． 22．（10 分）如图 1，点 D、E、F、G 分别为线段 AB、OB、OC、AC 的中点． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）如图 2，若点 M 为 EF 的中点，BE：CF：DG＝2：3： ，求证：∠MOF＝∠EFO． 23．（10 分）已知点 A 为正方形 BCDE 内一动点，满足∠DAC＝135°，且 b＝ +5． （1）求 a、b 的值； （2）如图 1，若线段 AB＝b，AC＝a，求线段 AD 的长； （3）如图 2，设线段 AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量 m2、n2、h2 之间满足的数 量关系． 24．（12 分）在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC（不含 B 点）上的一动点，AE⊥EF，且 AE＝EF， FG⊥BC 的延长线于点 G． （1）如图 1，求证：BE＝FG； （2）如图 2，连接 BD，过点 F 作 FH∥BC 交 BD 于点 H，连接 HE，判断四边形 EGFH 的形状，并 给出证明； （3）如图 3，点 P、Q 为正方形 ABCD 内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP 平分∠QBC，BP＝ DP，若 BC＝ +1，求线段 PQ 的长． 2016-2017 学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择題（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正 确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑． 1．若式子 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（  ） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，a﹣3≥0， 解得 a≥3． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．若 ＝4﹣b，则 b 满足的条件是（  ） A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：∵ ＝4﹣b， ∴4﹣b≥0， 解得，b≤4， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： ＝|a|是解题的关键． 3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（  ） A．2，3，4 B．1，1， C． D．5，12，13 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求； B、∵12+12＝（ ）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； C、∵（ ）2+（ ）2＝（ ）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2＝c2，那么这 个三角形就是直角三角形． 4．在平行四边形 ABCD 中，已知∠A＝60°，则∠D 的度数是（  ） A．60° B．90° C．120° D．30° 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解． 【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∠A＝60°， ∴∠D＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点． 5．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得． 【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、4 ﹣3 ＝3 ，此选项错误； C、 × ＝ ，此选项正确； D、（3 ）2＝18，此选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混 合运算顺序及其法则． 6．如图，一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，木頂端落在地面离木杆底端 3 米处，木杆折断之前的 高度为（  ） A．7 米 B．8 米 C．9 米 D．12 米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这 棵树折断之前的高度． 【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面 4 米处折断，頂端落在地面离木杆底端 3 米处， ∴折断的部分长为 ＝5（米）， ∴折断前高度为 5+4＝9（米）． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 7．如图，▱ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点 D 的坐标为（  ） A．（5，5） B．（5，6） C．（6，6） D．（5，4） 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2）， ∴AB＝3， ∴点 D 的坐标为（5，5）． 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等． 8．如图，A（0，1），B（3，2），点 P 为 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值为（  ） A．3 B． C． D． 【分析】作点A 关于 x 轴的对称点 A′．连接 BA′交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小．根据勾股 定理求出 BA′即可； 【解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A′．连接 BA′交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小． PA+PB 的最小值＝BA′＝ ＝3 ， 故选：B． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解 决最短问题，属于中考常考题型． 9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为 的平行四边形．在 1×3 的正方形 网格中最多作 2 个，在 1×4 的正方形网格中最多作 6 个，在 1×5 的正方形网格中最多作 12 个， 则在 1×8 的正方形网格中最多可以作（  ） A．28 个 B．42 个 C．21 个 D．56 个 【分析】根据已知图形的出在 1×n 的正方形网格中最多作 2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得． 【解答】解：∵在 1×3 的正方形网格中最多作 2＝2×1 个， 在 1×4 的正方形网格中最多作 6＝2×（1+2）个， 在 1×5 的正方形网格中最多作 12＝2×（1+2+3）个， …… ∴在 1×8 的正方形网格中最多作 2×（1+2+3+4+5+6）＝42 个， 故选：B． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n 的正方形网格中最多作 2×（1+2+3+…+n﹣2）个． 10．如图，正方形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，直线 EF 过点 O 分别交 AB、CD 于 E、F 两点（ BE＞EA），若过点 O 作直线与正方形的一组对边分別交于 G、H 两点，满足 GH＝EF，则这样 的直线 GH（不同于直线 EF）的条数共有（  ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．无数条 【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示； 【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有 3 条，如图所示； 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分 11．16 的平方根是 ±4 ． 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2＝a，则 x 就是 a 的平方 根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16 的平方根是±4． 故答案为：±4． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0 ；负数没有平方根． 12．计算： ÷ ＝ 3  ． 【分析】根据二次根式是除法法则进行计算． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝3 ． 故答案是：3 ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则： ÷ ＝ （a≥0，b＞0）． 13．已知等边三角形的边长为 6，则面积为 9  ． 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D 为 BC 的中点，即 BD＝CD，在直角三角形 ABD 中 ，已知 AB、BD，根据勾股定理即可求得 AD 的长，即可求三角形 ABC 的面积，即可解题． 【解答】解：等边三角形高线即中线，故 D 为 BC 中点， ∵AB＝6， ∴BD＝3， ∴AD＝ ＝3 ， ∴等边△ABC 的面积＝ BC•AD＝ ×6×3 ＝9 ． 故答案为：9 ． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定 理计算 AD 的值是解题的关键． 14．如图，菱形 ABCD 的周长为 8，对角线 BD＝2，则对角线 AC 为 2  ． 【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出 AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO ＝OC，求出 OB，根据勾股定理求出 OA，即可求出 AC． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC， ∵菱形的周长是 8， ∴DC＝ ×8＝2， ∵BD＝2， ∴OD＝1， 在 Rt△DOC 中，OC＝ ＝ ， ∴AC＝2OC＝2 ， 故答案为：2 ． 【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相 等． 15．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1， 3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 E 的坐标 （ 0， ） ． 【分析】先证明 EA＝EC（设为 x）；根据勾股定理列出 x2＝12+（3﹣x）2，求得 x＝ ，即可解决 问题． 【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC， ∴∠ECA＝∠BAC， ∴∠ECA＝∠DAC， ∴EA＝EC（设为 x）；由题意得： OA＝1，OC＝AB＝3； 由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴OE＝3﹣ ＝ ， ∴E 点的坐标为（0， ）． 故答案为：（0， ）． 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、 判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 16．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5 ，则 BD 的长为   ． 【分析】作DM⊥BC，交 BC 延长线于 M，由勾股定理得出 AC2＝AB2+BC2＝25，求出 AC2+CD2＝AD2 ，由勾股定理的逆定理得出△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出 CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出 BM＝BC+CM＝7， 再由勾股定理求出 BD 即可． 【解答】解：作 DM⊥BC，交 BC 延长线于 M，如图所示： 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25， ∴AC＝5， ∵AD＝5 ，CD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， 在△ABC 和△CMD 中 ∴△ABC≌△CMD， ∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4， ∴BM＝BC+CM＝7， ∴BD＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角 形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键． 三、解答题（共 8 小題，共 72 分） 17．（8 分）计算： ① ； ② ． 【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得； ②根据二次根式的乘法运算法则计算可得． 【解答】解：①原式＝3 ﹣4 +2 ＝ ； ②原式＝ ＝ ＝3． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混 合运算顺序及其法则． 18．（8 分）计算： ① ② 【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得； ②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得． 【解答】解：①原式＝2+6+4 +3﹣6＝5+4 ； ②原式＝6× ﹣ ×6 ＝3 ﹣15 ＝﹣12 ． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混 合运算顺序和运算法则． 19．（8 分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2 米，一阵风吹来，芦苇的顶端 D 恰好 到达水面的 C 处，且 C 到 BD 的距离 AC＝6 米，求水的深度（AB）为多少米？ 【分析】先设水深为 x，则 AB＝x，求出 x 的长，再由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵先设水深为 x，则 AB＝x，BC＝（x+2）， ∵AC＝6 米， 在△ABC 中，AB2+AC2＝BC2，即 62+x2＝（x+2）2，解得 x＝8（米）． 答：水深 AB 为 8 米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是 解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领 会数形结合的思想的应用． 20．（8 分）如图，AE∥BF，AC 平分∠BAD，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABC，且交 AE 于点 D， 连接 CD．求证：四边形 ABCD 是菱形． 【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝ ∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出 AB ＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，即可得出答案． 【解答】证明： ∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA， ∵AC、BD 分别是∠BAD、∠ABC 的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝BC，AB＝AD ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形 ABCD 是菱形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD 是平行四边形是解此题的关键． 21．（8 分）如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1． （1）求△ABC 的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点 P 为直线 AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为 2 ． 【分析】（1）运用勾股定理求得 AB，BC 及 AC 的长，即可求出△ABC 的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得 AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°． （3）过 B 作 BP⊥AC，解答即可． 【解答】解：（1）AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ， △ABC 的周长＝2 + +5＝3 +5， （2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°． （3）过 B 作 BP⊥AC， ∵△ABC 的面积＝ ， 即 ， 解得 BP＝2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 22．（10 分）如图 1，点 D、E、F、G 分别为线段 AB、OB、OC、AC 的中点． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）如图 2，若点 M 为 EF 的中点，BE：CF：DG＝2：3： ，求证：∠MOF＝∠EFO． 【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝ BC，EF∥BC，EF＝ BC，则 DG＝BC，DE∥ BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）先根据已知的比的关系设未知数：设 BE＝2x，CF＝3x，DG＝ x，根据勾股定理的逆定理 得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得 OM＝FM，由等边对等角可得结论 ． 【解答】证明：（1）∵D 是 AB 的中点，G 是 AC 的中点， ∴DG 是△ABC 的中位线， ∴DG∥BC，DG＝ BC， 同理得：EF 是△OBC 的中位线， ∴EF∥BC，EF＝ BC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； （2）∵BE：CF：DG＝2：3： ， ∴设 BE＝2x，CF＝3x，DG＝ x， ∴OE＝2x，OF＝3x， ∵四边形 DEFG 是平行四边形， ∴DG＝EF＝ x， ∴OE2+OF2＝EF2， ∴∠EOF＝90°， ∵点 M 为 EF 的中点， ∴OM＝MF， ∴∠MOF＝∠EFO． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中 位线定理是解题的关键． 23．（10 分）已知点 A 为正方形 BCDE 内一动点，满足∠DAC＝135°，且 b＝ +5． （1）求 a、b 的值； （2）如图 1，若线段 AB＝b，AC＝a，求线段 AD 的长； （3）如图 2，设线段 AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量 m2、n2、h2 之间满足的数 量关系． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案； （2）把△CAD 旋转 90°得到△CA′B，根据勾股定理求出 AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股 定理计算即可； （3）仿照（2）的计算方法解答． 【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0， ∴a＝3，b＝5； （2）把△CAD 旋转 90°得到△CA′B， 则 AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B， ∴∠ACA′＝90°， ∴∠AA′C＝45°，AA′＝ ＝3 ， ∴∠AA′B＝90°， ∴A′B＝ ＝ ， ∴AD＝A′B＝ ； （3）由（2）得，AA′＝ ＝ n， ∴m2﹣2n2＝h2． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式 的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键． 24．（12 分）在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC（不含 B 点）上的一动点，AE⊥EF，且 AE＝EF， FG⊥BC 的延长线于点 G． （1）如图 1，求证：BE＝FG； （2）如图 2，连接 BD，过点 F 作 FH∥BC 交 BD 于点 H，连接 HE，判断四边形 EGFH 的形状，并 给出证明； （3）如图 3，点 P、Q 为正方形 ABCD 内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP 平分∠QBC，BP＝ DP，若 BC＝ +1，求线段 PQ 的长． 【分析】（1）欲证明 BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题； （2）四边形 EGFH 是矩形．首先证明四边形 ECMH 是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°， 推出四边形 EGFH 是矩形； （3）如图 3 中，连接 PC，作 PE⊥BC 于 E，PF⊥BQ 于 F．∴由 PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD ＝45°，可证 PE＝EC，设 PE＝EC＝a，在 Rt△PEB 中，由∠PBE＝30°，推出 PB＝2PE，BE＝ a，由 BC＝ +1，可得 a+a＝ +1，推出 a＝1，再求出 FQ、FP 即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 1 中， ∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF， ∴△ABE≌△EGF， ∴BE＝FG． （2）结论：四边形 EGFH 是矩形． 理由：如图 2 中，设 FH 交 CD 于 M． ∵△ABE≌△EGF， ∴AB＝EG＝BC， ∴BE＝CG＝FG， ∵FM∥CG，FG∥CM， ∴四边形 CMFG 是平行四边形， ∵GC＝FG，∠MCG＝90°， ∴四边形 CMFG 是正方形， ∴CM＝CG＝BE， ∵BC＝CD， ∴CE＝DM， ∵FH∥BC， ∴∠DMH＝∠DCB＝90°， ∵∠MDH＝45°， ∴∠MDH＝∠MHD＝45°， ∴DM＝HM＝EC， ∵HM∥EC， ∴四边形 CEHM 是平行四边形， ∵∠ECM＝90°， ∴四边形 ECMH 是矩形， ∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°， ∴四边形 EGFH 是矩形． （3）如图 3 中，连接 PC，作 PE⊥BC 于 E，PF⊥BQ 于 F． ∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD， ∴△PCB≌△PCD， ∴∠PCB＝∠PCD＝45°， ∵PE⊥EC， ∴∠PCE＝∠EPC＝45°， ∴PE＝EC，设 PE＝EC＝a， 在 Rt△PEB 中，∵∠PBE＝30°， ∴PB＝2PE，BE＝ a， ∵BC＝ +1， ∴ a+a＝ +1， ∴a＝1， ∴PB＝2 在 Rt△PFB 中，∵∠PBF＝30°， ∴PF＝1，BF＝ ， ∵BQ＝BQ＝BC＝ +1， ∴FQ＝1， ∴PQ＝ ＝ ． 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、 勾股定理、直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，属于中考压轴题．