广东省深圳市2019-2020学年高三下学期第二次线上统一测试数学（理）试题（解析版）

2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学 本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求解指数不等式与对数不等式化简集合 、 ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】 ， ， 或 ，则 ． 故选：B． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题. 2.棣莫弗公式 （ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发 现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意 ，根据复数的几何意义结合 、 即可得 解. 1 1| 2 2 , | ln 02 2 xA x B x x     = < ≤ = − ≤         ( )RA B =  ∅ 11, 2  −   1 ,12     ( ]1,1− A B 1{ | 2 2} { | 1 1}2 xA x x x= < = − + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 a x ax ax x x x x ϕ + +′ = + =+ + ( ) 2h x x ax a= + + 2 4a a∆ = − 2 4 0a a∆ = − ≤ 0 4a≤ ≤ ( ) 0xϕ′ ≥ ( )xϕ ( )1,0− ( )0, ∞+ ( )xϕ 2 4 0a a∆ = − > 0a < 4a > ( ) 2h x x ax a= + + 2 1 4 2 a a ax − − −= 2 2 4 2 a a ax − + −= 0a < 2 1 2 41 2 a a ax − + + −− − = = 2 24 4 4 02 a a a a− − − + < 2 10 1x x> > > − ( )xϕ ( )11, x− ( )1,0x ( )20, x ( )2x + ∞ ( )xϕ 4a > 2 2 2 41 2 a a ax − + − −− − = = 2 24 4 4 02 a a a a− + − − > 1 2 1x x< < − ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( )1,0− ( )0, ∞+ 0a ≥ ( )xϕ 0a < ( )xϕ（2）证明：因为 ，所以切线 的方程可表示为 ， 设直线 与曲线 相切于点 ， 因为 ，所以 ， 消去 并整理得 ， 由（1）可知，当 时，函数 在 单调递增， 又 ， . 所以函数 在 上有唯一的零点， 又因为 在 单调递增， 所以方程 在 上存在唯一的根， 故在区间 上存在唯一的 ，使得直线 与曲线 相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转 化化归思想和推理能力，属于中档题. 21.2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一， 截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下 面的频数分布表： 年 龄 人 数 2 6 12 18 22 22 12 4 2 ( ) 1 1f x x ′ = + l ( )0 0 0 1 1y xy x x− = −+ l ( )y g x= ( )1 1, xB x e ( ) xg x e′ = ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 ln 1 1 1 x x e x y x e y x xx  = + = +   − = −+ 1x ( ) 0 0 0 1ln 1 0xx x ++ − = 1a = ( ) ( ) 1ln 1 xx x x ϕ += + − ( )1x > − ( )0, ∞+ ( ) 11 01e e ϕ − = − − ( )xϕ ( )21, 1e e− − ( )xϕ ( )0, ∞+ ( ) 0 0 0 1ln 1 0xx x ++ − = ( )0, ∞+ ( )0, ∞+ 0x l ( )y g x= [ ]10,20 ( ]20,30 ( ]30,40 ( ]40,50 ( ]50,60 ( ]60,70 ( ]70,80 ( ]80,90 ( ]90,100由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 服从正态分布 ，其中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（ ）的患者比例； （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占 10%，以这些密切接 触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 （ 且 是 20 的约 数）个人一组平均分组，并将同组的 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对 该组的 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 个人中患者的人数为 ，以化验次数的期望值为决策依据 ，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 的值. 参考数据：若 ，则 ， ， ， ， ， . 【答案】（1）15.87%（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意计算出 ，由正态分布 性质可得 ，即可得解； （2）由题意 的可能取值为 2，4，5，10， ，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的 化验次数 满足 ， ，表示出 ，进而可得化验总次数 ，代入比较即可得解. 【详解】（1）由题意 ， 所以 ， ， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上 患者比例为 15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为 ， 的 的 Z ,15( ).22N µ µ 70≥ n 1 20n< < n n n n nX n ( )2,Z N µ σ: ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < < + = ( )2 2 0.9544P Zµ σ µ σ− < < + = ( )3 3 0.9973P Yµ σ µ σ− < < + = 40.9 0.66≈ 50.9 0.59≈ 100.9 0.35≈ 4n = 54.8µ = ( )39.6 70 0.6826P Z< < = n 1,10nX B n    : Y ( ) 91 10 n P Y  = =    ( ) 91 1 10 n P Y n  = + = −   ( )E Y ( )f n 2 15 6 25 12 35 18 45 22 55 22 65 12 75 4 85 2 95 100 µ × + × + × + × + × + × + × + × + ×= 54.8= ( )54.8 15.2 54.8 15.2P Z− < < + ( )39.6 70 0.6826P Z= < < = ( ) ( )1 39.6 7070 2 P YP Z − < 1 2 6ρ ρ+ = 1 2 2ρ ρ = 1 0ρ > 2 0ρ > 1 1 1 1 3sin2 3 6 2AS π πρ ρ ρ = ⋅ ⋅ − =   2 2 2 2 1 3sin2 6 2S OC πρ ρ= ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 2 1 2 1 S S S S ρ ρ ρ ρ+ = + = ( )2 2 1 2 1 2 1 2 2 6 2 2 162 ρ ρ ρ ρ ρ ρ + − − ×= =的应用，属于中档题. 23.已知 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若存在实数 ，使得关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意得 ，分 、 两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得 ，利用基本不等式求出 的最小值即可得解. 【详解】（1）当 时，即解不等式 ， ①当 时，原不等式等价于 ，所以 ， 所以不等式 的解集为空集， ②当 时，原不等式等价于 ，解得 ， 综上所述，不等式 的解集为 . （2）因为 ，显然等号可取. 又 ， 故原问题等价于关于 的不等式 在 上有解， 又因为 ， 当且仅当 时取等号，所以 ，即 . ( ) 2f x x a= − 1a = ( ) 2 1f x x> + (1, )∈ +∞a x ( ) 2 1f x x ma + + + 2x ≥ 2x < ( ) 2 2 22 21 1 1f x x a aa a a + + ≥ + = +− − − 22 1a a + − 1a = 2 2 1x x− > + 2x ≥ 2 2 1x x− > + 3x < − ( ) 2 1f x x> + 2x < 2 2 1x x− > + 1 3x < ( ) 2 1f x x> + 1, 3  −∞   ( ) 2 21f x x x aa + + = −− 2 221 1x aa a + + ≥ +− − ( )1,a∈ +∞ a 22 1a ma + ( )6,m∈ +∞【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档 题.