2020 年 3 月高三高考适应性测试试题
数学
本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1.复数 的共轭复数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，
所以 的共轭复数是 ，
故选：A.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌
握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复
数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2.已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的取值集合为（ ）
A. {1} B. { } C. {1，-1} D. { ，- }
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到 或 ，计算得到答案.
【详解】集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A
1
1 i+
1 1
2 2 i+ 1 1
2 2 i− 1 i− 1 i+
1
1 i+
( )( )
1 1 1 1
21 21 1
i
i i ii
−
+ − −= =+
1
1 i+
1 1
2 2 i+
⊆
3 3 3
2 1m = 2 2m = −
⊆则 或 ，解得
故选：
【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.
3.在 的展开式中， 的系数是（ ）
A. B. C. 5 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，则 系数是 .
故选 A
【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
4.在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出 的等价条件为 ，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出
“ ”是“ ”的充分必要条件.
【详解】 余弦函数 在区间 上单调递减，且 ， ，
由 ，可得 ， ，由正弦定理可得 .
因此，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应
用，考查推理能力，属于中等题.
的
2 1m = 2 2m = − 1m = ±
C
( )52x − 2x
80− 10−
( )52x − ( ) ( )5 5
1 5 52 2k kk k k k
kT C x C x− −
+ = − = −
3k = 2x ( )33
5 2 80C × − = −
ABC∆ cos cosA B< sin sinA B>
cos cosA B< A B>
cos cosA B< sin sinA B>
cosy x= ( )0,π 0 A π< < 0 B π< <
cos cosA B< A B> a b∴ > sin sinA B>
cos cosA B< sin sinA B>5.设 且，“不等式 ”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 且 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.
【详解】不等式 ，可整理得 ，
解得 且 .
故当 是 且 的必要不充分条件；
而其它选项都不满足必要性.
故选：A.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及命题的必要条件的求解，属综合基础题.
6.已知两条直线 ， 与两个平面 ， ， 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线线、线面、面面位置关系，结合选项，进行逐一分析即可求得.
【详解】对 ：若 ， ，则 的位置关系不确定，故 错误；
对 ：若 ， ，则 的关系可以平行，可以垂直，故 错误；
对 ：若 ， ，则 的位置关系不确定，故 错误；
对 ：若 ， ，且 ，故可得 // ，故 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查线线，线面，面面位置关系的判断，属基础题.
m R∈ 4 4m m
+ >
1m > − 0m > 2m ≠ 2m > 2m ≥
4 4m m
+ > ( )22 0m
m
− >
0m > 2m ≠
1m > − 0m > 2m ≠
l m α β m β⊄
//l α l m⊥ m α⊥
//l α //l β α β⊥
//l α //m α //l m
//α β //m α //m β
A //l α l m⊥ m α， A
B //l α //l β ,α β B
C //l α //m α ,l m C
D //α β //m α m β⊄ m β D7.已知两条直线 和 互相平行，则 等于（ ）
A. 0 或 3 或-1 B. 0 或 3 C. 3 或-1 D. 0 或-1
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两直线平行的充要条件构造方程进行求解．
【详解】 两条直线 和 互相平行
，或 和 同时不存在
解得： 或
本题正确选项：
【点睛】本题考查两条直线平行的应用，是基础题，解题时易错点是忽略其中一条直线斜率不存在的情况．
8.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，故此可以判断.
【详解】根据三视图还原几何体为 如下：
2 6 0x a y+ + = ( 2) 3 2 0a x ay a− + + = a
2 6 0x a y+ + = ( )2 3 2 0a x ay a− + + =
21 6
2 3 2
a
a a a
−∴ = ≠− − 1 2
1k a
= − 2
2
3
ak a
−= −
1a = − 0a =
D
A BCDE−故可得侧面三角形 直角三角形，合计 3 个.
故选：C.
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及考查棱锥的结构，属基础题.
9.已知正 的边长为 4，点 为边 的中点，点 满足 ，那么 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得 tan∠BED，即可求得 cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即
可．
【详解】
由已知可得：EB=EC= ，
又
所以
所以
故选 B．
为, ,ACB ACD ADE
ABC∆ D BC E AE ED = EB EC⋅
8
3
− 1−
7
2 2 3tan BED 33
BD
ED
∠ = = =
2
2
1 tan 1cos 1 tan 7
BEDBEC BED
− ∠∠ = = −+ ∠
1| | cos 7 7 17EB EC EB EC BEC ⋅ = ∠ = × × − = −
‖【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
10.当 x∈[0，1]时，下列关于函数 y= 的图象与 的图象交点个数说法正确的是（ ）
A. 当 时，有两个交点 B. 当 时，没有交点
C. 当 时，有且只有一个交点 D. 当 时，有两个交点
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图象、二次函数性质，分类讨论判断选择项真假.
【详解】设 f（x）= ，g（x）= ，其中 x∈[0，1]
A．若 m=0，则 与 在[0，1]上只有一个交点 ，故 A 错误．
B．当 m∈（1，2）时，
即当 m∈（1，2]时，函数 y= 的图象与 的图象在 x∈[0，1]无交点，故 B 正确，
C．当 m∈（2，3]时， ，
当 时 ，此时无交点，即 C 不一定正确．
D．当 m∈（3，+∞）时，g（0）= ＞1，此时 f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故
D 错误，
故选 B．
【点睛】本题考查函数图象以及二次函数性质，考查分类讨论思想方法与基本判断求解能力，属中档题.
2( 1)mx − y x m= +
[ ]m 0,1∈ ( ]m 1,2∈
( ]m 2,3∈ ( )m 3, ∞∈ +
2( 1)mx − x m+
( ) 1f x = ( )g x x= (1,1)
1 1 1 ( ) (0) 1, ( ) (0) 1 ( ) ( )2 f x f g x g m f x g xm
< < ∴ ≤ = ≥ = > ∴ − ( ) ( )f x g x<
m第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分.
11.已知函数 的周期为 ，则 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用降幂扩角公式以及诱导公式化简函数，根据周期求得参数.
【详解】因为 .
因为其周期为 ，故可得 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及由函数周期求参数，属综合基础题.
12.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线方程列出 关系式，据此即可求得结果
【详解】因为渐近线方程为 ，且双曲线焦点在 轴上，
故可得 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查由双曲线渐近线求参数值，属基础题.
13.已知点 在圆 上，则点 到直线 的距离为 3 的 点个数为__________个.
【答案】0
【解析】
【分析】
先判断直线与圆的位置关系，根据其位置关系判断结果.
.
( ) 2 πcos 4f x xω = + π ω =
( ) 2 πcos 4f x xω = +
1 1 11 cos 2 sin 22 2 2 2x x
πω ω = + + = − +
π 22 2T
πω = = 1ω =
1
2
2 1yx m
− = 2x y= m =
1
4
,a b
2x y= x
1 , 02
b m ma
= = > 1
4m =
1
4
( ),P x y ( )22 1 4x y+ − = P y x= P【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
故可得圆心到直线 的距离 ；
则直线与圆相交.
故圆上任意一点到直线 的距离 ，不可能为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.
14.若函数 在区间 上为增函数，写出一个满足条件的实数 的值__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
将 写成分段函数，根据二次函数的图像，结合对称轴的分类讨论，即可容易求得.
【详解】根据题意可知
对 ，其对称轴 .
当 ，即 时，（为方便说明，略去 轴以及坐标原点）
其示意图图像如下所示：
由图可知，此时要满足题意，只需 或 ，
解得 或 .又因为 ，
故此时要满足题意，只需 ；
( )22 1 4x y+ − = ( )0,1 2r =
y x= 1 2 222
d = = <
y x= 20,2 2
∈ +
3
0
( ) ( )1f x x x a= − + ( )1,2 a
( )f x
( ) ( )
( )
2
2
1 ,
1 ,
x a x a x af x x a x a x a
+ − − ≥ −= − − − + < −
( )2 1y x a x a= + − − 1
2
ax
−=
1
2
a a
− ≥ − 1a ≥ − y
2a− ≥ 1 12
a− ≤
2a ≤ − 1a ≥ − 1a ≥ −
1a ≥ −当 ，即 时，（为方便说明，略去 轴以及坐标原点）
其示意图图像如下所示：
此时要满足题意，只需 或 ，
解得 或 ，又因为 ，
故此时要满足题意，只需 .
综上所述： 或 .
具体到本题答案可以 此区间中任取一个数即可.
本题中，选取 .
故答案为： .
【点睛】本题考查分段函数的图像，以及根据分段函数的单调区间求参数范围，属中档题.
15.对于集合 ，给出如下三个结论：
①如果 ，那么 ；
②若 ，对于 ，则有 ；
③如果 ， ，那么 .
④如果 ， ，那么
其中，正确结论的序号是__________.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据集合的定义，对选项进行逐一分析即可.
【详解】对①：对 ，
在
1
2
a a
− < − 1a < − y
1a− ≤ 1 22
a− ≥
1a ≥ − 3a ≤ − 1a < −
3a ≤ −
1a ≥ − 3a ≤ −
0a =
0
{ }2 2 , ,M a a x y x Z y Z= = − ∈ ∈
{ }2 1,B b b n n N= = + ∈ B M⊆
{ }2 ,C c c n n N= = ∈ c C∀ ∈ c M∈
1a M∈ 2a M∈ 1 2a a M∈
1a M∈ 2a M∈ 1 2a a M+ ∈
2 1,b n n N= + ∈总是有 ， ，故 ，则①正确；
对② ，若 ，则存在 ，使得
，
因为当 一个是偶数，一个是奇数时，
是奇数， 也是奇数，故 也是奇数，
而显然 是偶数，故 ，故 ，故②错误；
对③如果 ， ，
不妨设 ，
则 ，
故 ，故③正确；
对④同理，设 ，
则 ，
故不满足集合 的定义，故④错误.
综上所述，正确的是①③.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查集合新定义问题，属中档题.
三、解答题共 6 题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的单调递减区间；
（3）求函数 在 上的最值.
【 答 案 】 （ 1 ） { 且 ， } （ 2 ） 单 调 递 减 区 间 为 ，
（3）最大值 ；最小值 0.
( )2 22 1 1b n n n= + = + − 1,n n z+ ∈ B M⊆
2 ,c n n N= ∈ 2c n M= ∈ ,x y Z∈
( )( )2 2 2x y n x y x y− = = + −
,x y
x y+ x y− ( )( )x y x y+ −
2n ( )( )2n x y x y≠ + − 2c n M= ∉
1a M∈ 2a M∈
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2,a x y a x y= − = −
( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1a a x y x y x x y y x y x y M= − − = + − + ∈
1 2a a M∈
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2,a x y a x y= − = −
( ) ( )2 22 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2a a x y x y x x y y x x y y+ = − + − = + − + − +
M
( ) ( )1 tan sin 2f x x x= +
( )f x
( )f x
( )f x π0, 2
x x R∈ ππ 2x k≠ + k Z∈ 3π ππ, π8 2k k + +
( )π 7ππ, π2 8k k k Z + + ∈ 2 1+【解析】
【分析】
（1）根据正切函数的定义域，即可求得结果；
（2）利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简 至标准型正弦函数，再结合其单调性和定义域，即可求
得结果；
（3）先求 的范围，再利用正弦函数单调性，即可求得值域.
【详解】(1）函数的定义域为{ 且 ， }
（2） ，
，
由于定义域为{ 且 ， }
所以 的单调递减区间为 ，
（3）由于 ， ， ，
当 即 时， 有最大值
当 即 时， 有最小值 0.
【点睛】本题考查正切函数的定义域，利用三角恒等变换化简三角函数，以及三角函数的单调区间、值域
的求解，属综合中档题.
17.如图，平面 平面 ， ，四边形 为平行四边形，
， 为线段 的中点，点 满足 .
( )f x
2 4x
π−
x x R∈ ππ 2x k≠ + k Z∈
( ) ( ) 21 tan sin 2 2sin cos 2sinf x x x x x x= + = +
sin2 cos2 1x x= − +
π2 sin 2 14x = − +
π π 3π2 π 2 2 π2 4 2k x k+ ≤ − ≤ +
( )3π 7ππ π8 8k x k k Z+ ≤ ≤ + ∈
x x R∈ ππ 2x k≠ + k Z∈
( )f x 3π ππ, π8 2k k + +
( )π 7ππ, π2 8k k k Z + + ∈
π0 2x≤ < 0 2 πx≤ < π π 3π24 4 4x− ≤ − <
π π2 4 2x − = 3π
8x = ( )f x 2 1+
π π2 4 4x − = − 0x = ( )f x
PAD ⊥ ABCD PA PD= ABCD
45 , 2ABC AB AC∠ = ° = = M AD N 2PN ND= （Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)见证明； (3)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建
立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定
理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得 P 点坐标，最后利用
空间向量数量积求线面角.
【详解】（Ⅰ）证明：连接 ，交 于点 ，连接
在平行四边形 中，因为 ，所以 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .
（Ⅱ）证明：因为 ， 为线段 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 于 ， 平面 所以 平面
在平行四边形 中，因为 ，所以
以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
PB MNC
MNC ⊥ PAD
PAB ⊥ PCD BP PCD
22
11
BD MC O
BD MC O NO
ABCD 1
2MD BC= 1
2OD OB=
2PN ND= 1
2ND PN=
ON PB
ON ⊂ MNC PB ⊄ MNC PB MNC
PA PD= M AD PM AD⊥
PAD ⊥ ABCD AD PM ⊂ PAD， PM ⊥ ABCD
ABCD 45 , 2ABC AB AC∠ = ° = = AB AC⊥
A ,AB AC x y则
因为 平面 所以设 ，
则
所以
所以 ，又因为
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面 .
（Ⅲ）解：因为
设 为平面 的一个法向量
则 不妨设
因为
设 为平面 的一个法向量
则 不妨设
因为平面 平面 ，所以 ，所以
因为
所以
所以 ，
所以
( ) ( ) ( ) ( )2,0,0 , 0,2,0 , 2,2,0 , 1,1,0B C D M− −
PM ⊥ ,ABCD ( )( )1,1, 0P t t− >
( ) ( ) ( )1,1, , 1, 1,0 , 2,2,0AP t CM AD= − = − − = −
2 2 0 0, 1 1 0 0CM AD CM AP⋅ = − + = ⋅ = − + =
,CM AD CM AP⊥ ⊥ AP AD A∩ =
CM ⊥ PAD CM ⊂ MNC
MNC ⊥ PAD
( ) ( )2,0,0 , 1,1,AB AP t= = −
( ), ,m x y z= ABP
0
0
x
x y tz
=
− + + =
( )0, , 1m t= −
( ) ( )2,0,0 , 1, 1,DC DP t= = −
( ), ,n x y z= DCP
0
0
x
x y tz
=
− + =
( )0, ,1n t=
PAB ⊥ PCD m n⊥ 2 1 0m n t⋅ = − =
0t >
1t =
( ) ( )3,1,1 , 0,1,1BP n= − =
2 22sin cos , 1111 2
BP nθ = = =所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解
能力，属中档题.
18.由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名成员每天行走的步
数，其中某一天的数据记录如下：
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表（设步数为 ）
组别 步数分组 频数
2
10
2
（Ⅰ）写出 的值，并回答这 20 名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记 组步数数据的平均数与方差分别为 , , 组步数数据的平均数与方差分别为 ， ，试分
别比较 与以 ， 与 的大小；(只需写出结论)
（Ⅲ）从上述 两个组别的数据中任取 2 个数据，记这 2 个数据步数差的绝对值为 ，求 的分布列和
数学期望.
【答案】（1） ， ， ；（2） ， ;（3）见解析
【解析】
分析：（Ⅰ）利用对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，得到 ， ，利用中位数定义能求出这 20
名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组；
（Ⅱ）由平均数与方差的性质能比较 与 ， 与 的大小；
BP PCD 22
11
x
A 5500 6500x≤ <
B 6500 7500x≤ <
C 7500 8500x≤ < m
D 8500 9500x≤ <
E 9500 10500x≤ < n
,m n
C 1v 2
1s E 2v 2
2S
1v 2v 2
1s 2
2s
,A E ξ ξ
4m = 2n = B 1 2v v< 2 2
1 2s s>
4m = 2n =
1v 2v 2
1s 2
2s（Ⅲ） 的可能取值为 0,600,3400,4000,分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望.
解析：解：（Ⅰ） ， ， ；
（Ⅱ） ， ;
（Ⅲ） 的可能取值为 0,600,3400,4000,
0 600 3400 4000
的数学期望为
点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．
(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；
(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．
19.设函数 ， 为 f（x）的导函数．
（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；
（2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 的零点均在集合 中，求 f（x）的极小值；
（3）若 ，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ ．
【答案】（1） ；
（2） 的极小值为
（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；
（2）由题意首先确定 a,b,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极
小值.
（3）由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：
解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；
解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，
ξ ξ
4m = 2n = B
1 2v v< 2 2
1 2s s>
ξ
ξ
P
1
6
1
6
1
3
1
3
ξ 1 1 1 1 77000 600 3400 40006 6 3 3 3Eξ = × + × + × + × =
( ) ( )( )( ), , , Rf x x a x b x c a b c= − − − ∈ ( )f ' x
( )f ' x { 3,1,3}−
0,0 1, 1a b c= < =
4
27
2a =
( )f x 32−因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
（2）因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 ，都在集合 中，且 ，
所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
0 1b< ≤ 1 (0,1)x ∈
(0,1)x∈ 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x= − − ≤ −
2( ) ( 1) , (0,1)g x x x x= − ∈ 1( ) 3 ( 1)3g' x x x = − −
( ) 0g' x = 1
3x =
x 1(0, )3
1
3
1( ,1)3
( )g' x
( )g x
1
3x = ( )g x max
1 4( ) 3 27g x g = =
(0,1)x∈ 4( ) ( ) 27f x g x≤ ≤ 4
27M ≤
a b c= = 3( ) ( )( )( ) ( )f x x a x b x c x a= − − − = −
(4) 8f = 3(4 ) 8a− = 2a =
b c=
2 3 2 2( ) ( )( ) ( 2 ) (2 )f x x a x b x a b x b a b x ab= − − = − + + + −
2( ) 3( ) 3
a bf' x x b x
+ = − − ( ) 0f ' x = x b= 2
3
a bx
+=
2, , 3
a ba b
+
{ 3,1,3}− a b¹
2 1, 3, 33
a b a b
+ = = = −
2( ) ( 3)( 3)f x x x= − + ( ) 3( 3)( 1)f' x x x= + −
( ) 0f ' x = 3x = − 1x =
x ( , 3)−∞ − 3− ( 3,1)− (1, )+∞+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极小值为 ．
（3）因为 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，
则 有 2 个不同的零点，设为 ．
由 ，得 ．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
解法一：
( )f x
( )f x 2(1) (1 3)(1 3) 32f = − + = −
0, 1a c= = 3 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x b x bx= − − = − + +
2( ) 3 2( 1)f' x x b x b= − + +
0 1b< ≤ 2 24( 1) 12 (2 1) 3 0b b b∆ = + − = − + >
( )1 2 1 2,x x x x<
( ) 0f ' x = 2 2
1 2
1 1 1 1,3 3
b b b b b bx x
+ − − + + + − += =
x 1( , )x−∞ 1x ( )1 2,x x 2x 2( , )x +∞
( )f x
( )f x ( )1M f x=
( ) 3 2
1 1 1 1( 1)M f x x b x bx= = − + +
( ) ( )2
2 1
1 1 1
2 11 ( 1)3 2( 1) 3 9 9 9
b bx b b bx b x b x
− ++ + = − + + − − +
( ) ( )2 3
22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27
b b b b b b b
− − + + += + + − +
2
3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27
b b b b b b
+ − += − + − +．因此 ．
解法二：
因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此 ．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推
理能力．
20.已知 为椭圆 左焦点，过 的直线 与椭圆交于两点 ， .
（1）若直线 的倾斜角为 45°，求 ；
（2）设直线 的斜率为 ，点 关于原点的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 所
在直线的斜率为 .若 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）求得直线 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求得；
的
( 1) 2 4
27 27 27
b b +≤ + ≤ 4
27M ≤
0 1b< ≤ 1 (0,1)x ∈
(0,1)x∈ 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x= − − ≤ −
2( ) ( 1) , (0,1)g x x x x= − ∈ 1( ) 3 ( 1)3g' x x x = − −
( ) 0g' x = 1
3x =
x 1(0, )3
1
3
1( ,1)3
( )g' x
( )g x
1
3x = ( )g x max
1 4( ) 3 27g x g = =
(0,1)x∈ 4( ) ( ) 27f x g x≤ ≤ 4
27M ≤
1F
2 2
14 3
x y+ = 1F l P Q
l PQ
l ( )0k k ≠ P P′ Q x Q′ P Q′ ′
k′ 2k′ = k
24
7
3 77k = ±
l（2）联立直线 方程和椭圆方程，根据韦达定理，结合点的对称，求得 的斜率，找到 的关系，根
据已知条件，即可求得.
【详解】（1）设 ， ，由已知，椭圆的左焦点为 ，
又直线 的倾斜角为 45°，所以直线 的方程为 ，
由 得 ，
所以 ， .
.
（2）由 得 ，
所以 ， .
依题意 ， ，且 ， ，
所以， ，
其中 ，
结合 ，可得 .
解得 ， .
【点睛】本题考查直线截椭圆的弦长，以及利用韦达定理求解椭圆中的问题，属综合中档题.
21.给定数列 .对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 的最
小值记为 ， .
（1）设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值；
（2）设 是公比大于 的等比数列，且 .证明： 是等比数列.
（3）设 是公差大于 的等差数列，且 ，证明： 是等差数列.
l P Q′ ′ ,k k′
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )1,0−
l l 1y x= +
2 2
1,
3 4 12
y x
x y
= +
+ =
27 8 8 0x x+ − =
1 2
8
7x x+ = − 1 2
8
7x x = −
( ) 2
22
1 2 1 2
8 8 241 4 2 47 7 7PQ k x x x x = + + − = − + × =
( )
2 2
1 ,
3 4 12
y k x
x y
= +
+ =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x
k
−=
+
( )1 1,P x y′ − − ( )2 2,Q x y′ − ( )1 1 1y k x= + ( )2 2 1y k x= +
( )1 21 2
1 2 1 2
k x xy yk x x x x
−−′ = =+ +
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 2
12 14 3 4
kx x x x x x k
+− = + − = +
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
−+ = +
23 1 22
kk k
+′ = =
27 9k = 3 77k = ±
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ i iA n i− 1 2, , ,i i na a a+ + ⋅⋅⋅
iB i i id A B= −
{ }na 3 4 7 1 1d 2d 3d
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ ( 4)n ≥ 1 1 0a > 1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅
1 2 1, , , nd d d −⋅⋅⋅ 0 1 0d > 1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅【答案】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列，常用定义法.
【解析】
（1） .
（2）因为 ，公比 ，所以 是递增数列.
因此，对 ， ，
于是对 ， .
因此， ，且 ，即 成等比数列.
（3）设 为 的公差.
对 ，因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
从而 是递增数列.因此 .
又因为 ，所以 .
因此 .
所以 .
所以
因此，对于 都有 ，
即 是等差数列.
【考点定位】本题考查了数列的最值、等差数列和等比数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度
较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.
1 2 32, 3, 6d d d= = =
1 0a > 1q > 1 2, , , na a a⋅⋅⋅
1,i i i iA a B a += =
1
1 1(1 ) i
i i i i id A B a a a q q −
+= − = − = −
0id ≠ 1i
i
d qd
+ = ( )1,2, , 2i n= ⋅⋅⋅ − 1 2 1, , id d d −⋅⋅⋅
d 1 2 1, , nd d d −⋅⋅⋅
1 2i n≤ ≤ − 1, 0i iB B d+≤ >
1 1 1i i i i i i i iA B d B d d B d A+ + += + ≥ + + > + =
{ }1 1max ,i i iA A a+ += 1 1i i i ia A A a+ += > ≥
1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅ ( )1,2, , 1i iA a i n= = ⋅⋅⋅ −
1 1 1 1 1 1B A d a d a= − = − < 1 1 2 1nB a a a −< < < ⋅⋅⋅ <
1na B=
1 2 1n nB B B a−= = ⋅⋅⋅ = =
1 .i i i n ia A B d a d= = + = +
1,2, , 2i n= ⋅⋅⋅ − 1 1i i i ia a d d d+ +− = − =
1 2 1, , , na a a −⋅⋅⋅
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