2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题（解析版）

2019/2020 学年度第二学期高三质量测试卷 数学 2020.04 一、填空题：（共 14 小题，每题 5 分） 1.已知集合 ， ，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】 直接由集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】因为集合 ， ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题. 2.已知 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于第_______象限 【答案】一 【解析】 【分析】 先化简得到 z，即可求出本题答案 【详解】由题，得 ， 所以复数 z 在复平面对应的点为 ，位于第一象限. 故答案为：一 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数的几何意义，属基础题. 3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽车的时速，所得数据均 在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车中，时速在区间 内的汽车 有______辆 . { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > A B = { |1 2}x x< < { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > { |1 2}A B x x= <  − > 1y x y x a  = −  = − 2 1 0x ax− + = 2 4a∆ = − ∴ 2 4 0 (2) (2) a g f ∆ = − >  > 2 4 0 1 22 a a  − > > − − 5 22 a− < < −实数 的取值范围为 故答案为 点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力. 12.已知 ， ，且 ，则 的最小值等于______． 【答案】11 【解析】 分析：构造基本不等式模型 ，化简整理，应用基本不等式，即可得出答 案. 详解： ， ， ， ， ， ，当且仅当 时取等号. . 的最小值等于 11. 故答案为 11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13.如图，已知 ，B 为 AC 的中点，分别以 AB，AC 为直径在 AC 的同侧作半圆，M，N 分别为两半圆上 的动点 不含端点 A，B， ，且 ，则 的最大值为______． ∴ a 5( , 2)2 − − 5 , 22  − −   a 0> b 0> 1 1 1a b + = b3a 2b a + + 1 13 2 ( )(3 2 )b ba b a ba a b a + + = + + +  1 1 1a b + = ∴ 1 13 2 ( )(3 2 ) 5 3( )b b b aa b a ba a b a a b + + = + + + = + +  0a > 0b > ∴ 0b a > 0a b > ∴ 2b a a b + ≥ 2a b= = 3 2 5 6 11ba b a + + ≥ + = ∴ 3 2 ba b a + + AC 8= ( C) BM BN⊥ AM CN⋅ 【答案】4 【解析】 【分析】 以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得 A，B，C 的坐标，可得以 AB 为直 径的半圆方程，以 AC 为直径的半圆方程，设出 M，N 的坐标， 由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 ，再由余弦函数、二次函数的图象和性质， 计算可得最大值． 【详解】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 可得 ， ， ， 以 AB 为直径的半圆方程为 ， 以 AC 为直径的半圆方程为 ， 设 ， ， ， ， ，可得 ， 即有 ， 即为 ， 即有 ， 又 ， ，可得 ，即 ， 则 α 2β= ( )A 0,0 ( )B 4,0 ( )C 8,0 2 2(x 2) y 4(x 0, y 0)− + = > > 2 2(x 4) y 16(x 0, y 0)− + = > > ( )M 2 2cosα,2sinα+ ( )N 4 4cosβ,4sinβ+ 0 α< β π< BM BN⊥ ( ) ( )BM BN 2 2cosα,2sinα 4cosβ,4sinβ 0 ⋅ = − + ⋅ = ( )8cosβ 8 cosαcosβ sinαsinβ 0− + + = cosβ cosαcosβ sinαsinβ= + ( )cosβ cos α β= − 0 α< β π< α β β− = α 2β= ( ) ( )AM CN 2 2cosα,2sinα 4 4cosβ,4sinβ⋅ = + ⋅ − + ， 可得 ，即 ， 时， 的最大值为 4． 故答案为 4． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系， 用坐标表示向量是解题的关键． 14.若关于 的不等式 对任意的实数 及任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】 由题，得 在 恒成立，通过求 在 的最小值，即可得 到本题答案. 【详解】关于 的不等式 对任意的实数 及任意的实数 恒成立,等价 于 对 任 意 的 实 数 恒 成 立 ， 即 在 恒 成 立 ， 设 ，则 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 递增，在 递减，又 ， 所以 ， 所以 ，即 a 的取值范围是 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，参变分离是解决此题的关键，考查学生的转化能力，以及运 算求解能力. 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分） ( )8 8cosα 8cosβ 8 cosαcosβ sinαsinβ= − − + + + 28 8cosα 16cosβ 16cosβ 16cos β= − − + = − 2116(cosβ ) 42 = − − + 1cosβ 02 − = πβ 3 = 2πα 3 = AM CN⋅  x 3 23 0x x ax b− + + < [1,3]x∈ [2,4]b∈ a ( , 2)−∞ − 2 43a x x x < − + − [1,3]x∈ 2 4( ) 3g x x x x = − + − [1,3]x∈ x 3 23 0x x ax b− + + < [1,3]x∈ [2,4]b∈ 3 23 4x x ax− + < − [1,3]x∈ 2 43a x x x < − + − [1,3]x∈ 2 4( ) 3g x x x x = − + − ( )2 2 2 (2 ) 2 24( ) 2 3 x x x g x x x x − + + ′ = − + + = ( ) 0g x′ > 1 2x< < ( ) 0g x′ < 2 3x< < ( )g x (1,2) (2,3) 4(1) 2, (3) 3g g= − = − min( ) (1) 2g x g= = − 2a < − ( , 2)−∞ − ( , 2)−∞ −15.已知 内接于单位圆，且 ， 求角 C 求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 变 形 已 知 条 件 可 得 ， 代 入 可 得 ，可得 C 值； 由正弦定理可得 c，由余弦定理和基本不等 式可得 ab 的取值范围，进而可得面积的最值． 【详解】 ， ， 的外接圆为单位圆， 其半径 由正弦定理可得 ， 由余弦定理可得 ， 代入数据可得 ，当且仅当 a=b 时，“=”成立 ， 的面积 ， 面积的最大值为： ABC ( )( )1 1 2tanA tanB+ + = ( )1 ( )2 ABC 3 4C π= 2 1 2 − ( )1 1tanA tanB tanA tanB+ = − ⋅ ( ) 11 tanA tanBtanC tan A B tanAtanB += − + = − = −− ( )2 ( ) ( )( )1 1 1 2tanA tanB+ + = 1tanA tanB tanA tanB∴ + = − ⋅ ( ) 11 tanA tanBtanC tan A B tanAtanB +∴ = − + = − = −− ( ) 3C 0, 4C ππ∈ ∴ = ( )2 ABC ∴ 1R = 2 2c RsinC= = 2 2 2 2c a b abcosC= + − 2 22 2a b ab= + + ( )2 2 2 2ab ab ab≥ + = + 2 2 2 ab∴ ≤ + ABC∴ 1 1 2 2 1 2 2 22 2 S absinC −= ≤ ⋅ = + BA C∴ 2 1 2 −【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定 理，准确计算是关键，属中档题． 16.如图，在四面体 中， ，点 E 是 的中点，点 F 在线段 上，且 . （1）若 平面 ，求实数 的值； （2）求证：平面 平面 . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的性质得出 ，可以判断点 F 为 的中点，从而求出 的值； （2）由 ，点 E 是 的中点，得到 ， ，由面面垂直的判断定理 即可证明平面 平面 . 【详解】（1）因为 平面 ，得 平面 ， 平面 平面 ， 所以 ， 又点 E 是 的中点，点 F 在线段 上， 所以点 F 为 的中点， 由 ，得 ； （2）因为 ，点 E 是 的中点， 所以 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 . ABCD AB AC DB DC= = = BC AC AF AC λ= //EF ABD λ BCD ⊥ AED //EF AB AC λ AB AC DB DC= = = BC BC AE⊥ BC DE⊥ BCD ⊥ AED //EF ABD EF ⊂ ABC ABC  =ABD AB //EF AB BC AC AC AF AC λ= 1= 2 λ AB AC DB DC= = = BC BC AE⊥ BC DE⊥ =AE DE E∩ AE ⊂ AED DE ⊂ AED BC ⊥ AED BC ⊂ BCD BCD ⊥ AED【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题. 17.如图，长方形材料 中，已知 ， .点 为材料 内部一点， 于 ， 于 ，且 ， .现要在长方形材料 中裁剪出四边形材料 ，满足 ，点 、 分别在边 ， 上. （1）设 ，试将四边形材料 的面积表示为 的函数，并指明 的取值范围； （2）试确定点 在 上的位置，使得四边形材料 的面积 最小，并求出其最小值. 【答案】(1)见解析;(2)当 时，四边形材料 的面积 最小，最小值为 . 【解析】 分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出 和 ，进而得出四边形材料 的面积的表达式， 再结合已知尺寸条件，确定角 的范围. （2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值 及对应的点 在 上的位置. 详解：解：（1）在直角 中，因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 在直角 中，因为 ， ， 所以 ， 所以 ， ABCD 2 3AB = 4=AD P ABCD PE AB⊥ E PF AD⊥ F 1PE = 3PF = ABCD AMPN 150MPN∠ = ° M N AB AD FPN θ∠ = AMPN θ θ N AD AMPN S 2 3 3AN = AMPN S 32 3 + NF ME AMPN θ N AD NFP∆ 3PF = FPN θ∠ = 3tanNF θ= ( )1 1 1 3tan 32 2NAPS NA PF θ∆ = ⋅ = + × MEP∆ 1PE = 3EPM π θ∠ = − tan 3ME π θ = −   1 1 3 tan 12 2 3AMPS AM PE π θ∆   = ⋅ = + − ×    所以 ， . （2）因为 ， 令 ，由 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 此时， ， ， 答：当 时，四边形材料 的面积 最小，最小值为 . 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价 转化，注意换元法和基本不等式的合理运用. 换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来， 将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可 以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要 特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系. 18.已知椭圆 E： ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 E 有两个交点 A，B， 线段 AB 的中点为 M． 若 ，点 K 在椭圆 E 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围； 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； 若 l 过点 ，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线 l 斜率；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）见证明；（3）见解析 【解析】 NAP AMPS S S∆ ∆= + 3 1tan tan 32 2 3 πθ θ = + − +   0, 3 πθ  ∈   3 1tan tan 32 2 3S πθ θ = + − +   ( )3 3 tantan 32 2 1 3tan θθ θ −= + + + 1 3tant θ= + 0, 3 πθ  ∈   [ ]1,4t ∈ 23 4 4 3 4 33 2 3 32 3 t tS t tt − +  = + = + +   3 4 3 322 3 3 3t t ≥ × × + = + 2 3 3t = 2 3tan 3 θ −= 2 3 3AN = min 32 3S = + 2 3 3AN = AMPN S 32 3 + 2 2 29 ( 0)x y m m+ = > ( )1 3m = 1F 2F 1 2KF KF⋅  ( )2 ( )3 , 3 mm     [ ]7,1−【分析】 ，椭圆 E： ，两个焦点 ， ，设 ，求出 的 表达式，然后求解范围即可． 设 A，B 的坐标分别为 ， ，利用点差法转化求解即可． 直线 l 过点 ，直线 l 不过原点且与椭圆 E 有两个交点的充要条件是 且 设 ， 设直线 ，代入椭圆方程，通过四边形 OAPB 为平行四边形，转化求解即 可． 【详解】 ，椭圆 E： ，两个焦点 ， 设 ， ， ， ， ， 的范围是 设 A，B 的坐标分别为 ， ，则 两式相减， 得 ， ， 即 ，故 ； 设 ，设直线 ，即 ， 由 的结论可知 ，代入椭圆方程得， ， 由 与 ，联立得 若四边形 OAPB 为平行四边形，那么 M 也是 OP 的中点，所以 ， 即 ，整理得 解得， ．经检验满足题意 ( )1 3m = 2 2 19 x y+ = ( )1 2 2,0F − ( )2 2 2,0F ( ),K x y 1 2KF KF⋅  ( )2 ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )3 , 3 mm     0k > 1.3k ≠ ( ),P PP x y ( ) ( )0, 03 ml y k x m m k= − + ≠ ≠： ( )1 3m = 2 2 19 x y+ = ( )1 2 2,0F − ( )2 2 2,0F ( ),K x y ( )1 2 2,F K x y= + ( )2 2 2,F K x y= − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2, 2 2, 8 8 1KF KF FK F K x y x y x y y⋅ = ⋅ = + ⋅ − = + − = − +    1 1y− ≤ ≤ 1 2KF KF∴ ⋅  [ ]7,1− ( )2 ( )1 1,x y ( )2 2,x y 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 9 9 . x y m x y m  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 29 0x x x x y y y y+ − + + − = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 9 0y y y y x x x x + −+ =+ − 1 9 0OM lk k+ ⋅ = 1 9OM lk k⋅ = − ( )3 ( ),P PP x y ( ) ( )0, 03 ml y k x m m k= − + ≠ ≠： 3 ml y kx km= − +： ( )2 1 9OM y xk = −： 2 2 2 2 9 9 1P m kx k = + ( ) 3 my k x m= − + 1 9y xk = − 2 2 2 9 3 3,9 1 9 1 mkmk m kmM k k  − − − + +    2 M px x= 2 2 2 2 2 2 9 3 94( )9 1 9 1 k m km m k k k − =+ + 29 8 1 0k k− + = 4 7 9k ±=所以当 时，四边形 OAPB 为平行四边形 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问 题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题 19.已知函数 f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中 a 为常数，且曲线 y=f（x）在其与 y 轴的交点处的切线记 为 l1，曲线 y=g（x）在其与 x 轴的交点处的切线记为 l2，且 l1∥l2． （1）求 l1，l2 之间的距离； （2）若存在 x 使不等式 成立，求实数 m 的取值范围； （3）对于函数 f（x）和 g（x）的公共定义域中的任意实数 x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在 x0 处的 偏差．求证：函数 f（x）和 g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2． 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求 l1，l2 之间的距离； （2）利用分离参数法，求出 h（x）=x- ex 的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明 的最小值都大于 2． 【详解】（1）f′（x）=aex，g′（x）= ， y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a）， y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）， 由题意得 f′（0）=g′（a），即 a= ， 又∵a＞0，∴a=1． ∴f（x）=ex，g（x）=lnx， ∴函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x-y+1=0，x-y-1=0， ∴两平行切线间的距离为 . （2）由 ＞ ，得 ＞ ， 4 7 9k ±= . ( ) x m xf x − ＞ 2 ( )0−∞， x ( ) ( )f x g x− 1 x 1 a 2 ( ) x m f x − x x x m e − x故 m＜x- ex 在 x∈[0，+∞）有解， 令 h（x）=x- ex，则 m＜h（x）max， 当 x=0 时，m＜0； 当 x＞0 时，∵h′（x）=1-（ + ）ex， ∵x＞0， ∴ + ≥2 = ，ex＞1， ∴（ + ）ex＞ ， 故 h′（x）＜0， 即 h（x）在区间[0，+∞）上单调递减， 故 h（x）max=h（0）=0，∴m＜0， 即实数 m 的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一： ∵函数 y=f（x）和 y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）， ∴F′（x）=ex- ，设 x=t 为 F′（x）=0 的解， 则当 x∈（0，t），F′（x）＜0；当 x∈（t，+∞），F′（x）＞0， ∴F（x） （0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增， ∴F（x）min=et-lnt=et-ln =et+t， ∵F′（1）=e-1＞0，F′（ ）= -2＜0，∴ ＜t＜1， 故 F（x）min=et+t= + ＞ + =2， 即函数 y=f（x）和 y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2． 解法二： 由于函数 y=f（x）和 y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）， 令 F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令 F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）， ∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1- = ， ∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 在 x x 1 2 x x 1 2 x x 1 2 x x ⋅ 2 1 2 x x 2 1 x 1 te 1 2 e 1 2 e 1 2 2.25 1 2 1 x 1 x x −∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1， ∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2， 即函数 y=f（x）和 y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值 问题,属于难度题. 20.设数列 的前 n 项和为 ， ， ． 求数列 的通项公式； 设数列 满足：对于任意的 ，都有 成立． 求数列 的通项公式； 设数列 ，问：数列 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若 不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， .(2)① ， .②见解析. 【解析】 分析：（1）当 时，类比写出 ，两式相减整理得 ，当 时，求得 ， 从而求得数列 的通项公式.； （2）①将 代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列 的通项公式； ②由 的通项公式分析，得 …，假设存在三项 ， ， 成等差数列，且 ，则 ，即 ，根据数列 的单调性，化简得 ， 将 或 代入已知条件，即可得到结论. 详解：解：（1）由 ， ① 得 ， ② 由①-②得 ，即 ， { }na nS 2 3n nS a+ = *n N∈ ( )1 { }na ( )2 { }nb *n N∈ 1 1 2 1 3 2 1 1( ) 3 33 n n n n na b a b a b a b n− − −+ + +…+ = + − ① { }nb ② n n nc a b= { }nc 11 3 n na − =    *n N∈ 2 1nb n= − *n N∈ 2n ≥ 1 12 3n nS a− −+ = 1 1 3 n n a a − = 1n = 1 0a ≠ { }na 11 3 n na − =    { }nb nc 1 2 3 4 5c c c c c= > > > > sc pc rc s p r< < 2 p s rc c c= + ( ) 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 3 3p s r p s r − − − − − −= + { }nc 72 2p≤ < 2p = 3p = 2 3n nS a+ = ( )1 12 3 2n nS a n− −+ = ≥ 12 0n n na a a −+ − = ( )1 1 23n na a n−= ≥对①取 得， ，所以 ，所以 为常数， 所以 为等比数列，首项为 1，公比为 ，即 ， . （2）①由 ，可得对于任意 有 ， ③ 则 ， ④ 则 ， ⑤ 由③-⑤得 ， 对③取 得， 也适合上式， 因此 ， . ②由（1）（2）可知 ， 则 ， 所以当 时， ，即 ， 当 时， ，即 在 且 上单调递减， 故 …， 假设存在三项 ， ， 成等差数列，其中 ， ， ， 由于 …，可不妨设 ，则 （*）， 即 ， 因为 ， ， 且 ，则 且 ， 由数列 的单调性可知， ，即 ， 1n = 1 1 0a = ≠ 0na ≠ 1 1 3 n n a a − = { }na 1 3 11 3 n na − =    *n N∈ 11 3 n na − =    *n N∈ 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 33 3 3 3 n n n n nb b b b n − − − −      + + + + = + −           ( ) ( )2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 3 23 3 3 3 n n n n nb b b b n n − − − − −      + + + + = + − − ≥           ( )2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 23 3 3 3 3 n n n n nb b b b n n − − − − −        + + + + = + − ≥               ( )2 1 2nb n n= − ≥ 1n = 1 1b = 2 1nb n= − *n N∈ 1 2 1 3n n n n nc a b − −= = ( ) 1 1 4 12 1 2 1 3 3 3n n n n n nn nc c+ − −+ −− = − = 1n = 1n nc c+ = 1 2c c= 2n ≥ 1n nc c+ < { }nc 2n ≥ *n N∈ 1 2 3 4 5c c c c c= > > > > sc pc rc s p *r N∈ 1 2 3 4 5c c c c c= > > > > s p r< < 2 p s rc c c= + ( ) 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 3 3p s r p s r − − − − − −= + s p *r N∈ s p r< < 1s p≤ − 2p ≥ { }nc 1s pc c −≥ 1 2 2 1 2 3 3 3s p s p − − − −≥因为 ，所以 ， 即 ，化简得 ， 又 且 ，所以 或 ， 当 时， ，即 ，由 时， ，此时 ， ， 不构成等差数列，不合题意 ， 当 时，由题意 或 ，即 ，又 ，代入（*）式得 ， 因为数列 在 且 上单调递减，且 ， ，所以 ， 综上所述，数列 中存在三项 ， ， 或 ， ， 构成等差数列. 点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断， 数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题. 已知数列 的前 项和 与 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当 时， 求出 ； （2）当 时，用 替换 中 得到一个新的关系，利用 便可求出当 时 的表达式； （3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写． 21.如图，AB 是半圆的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2，DE⊥AB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，求 BC 的长． 【答案】 【解析】 【分析】 的 1 2 1 03r r rc − −= > ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3p s r p p s r p − − − − − − − −= + > ( ) 1 2 2 2 1 2 3 3 3p p p p − − − −> 7 2p < 2p ≥ *p N∈ 2p = 3p = 2p = 1s = 1 2 1c c= = 3r ≥ 2 1rc c< = 1c 2c rc 3p = 1s = 2s = 1sc = 3 5 9pc c= = 1 9rc = { }nc 2n ≥ *n N∈ 5 1 9c = 4r ≥ 5r = { }nc 1c 3c 5c 2c 3c 5c { }na n nS na 1n = 1 1a S= 1a 2n ≥ 1n − nS n 1n nS S −− ( 2)n ≥ 2n ≥ na 1n = 2n ≥ na 1n = 2n ≥ 2 3 3连接 ,则 ,在 中, ,则 ,在 中, ,由 CD=2，求出 即可. 【详解】解:连接 ,则 , 在 中,由 E 是 OB 的中点，则 , 则 , 在 中, , 由 CD=2， 则 , 则 , 故 . 【点睛】 本题考查了圆的切线问题，重点考查了运算能力，属基础题. 22.已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ，求矩阵 ． 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，求出矩阵 ，再由矩阵的乘法，即可求解. OD OD DC⊥ Rt OED∆ 1 1 2 2OE OB OD= = 6ODE π∠ = Rt OCD∆ π 6DCOÐ = BC OD OD DC⊥ Rt OED∆ 1 1 2 2OE OB OD= = 6ODE π∠ = Rt OCD∆ π 6DCOÐ = 2 3tan 6 3OD DC π= = 2 22 3 4 32 ( )3 3OC = + = 4 3 2 3 2 3 3 3 3BC OC OB OC OD= − = − = − = 1 2 0 2A  =  −  B 1 11 2 0 2 =B−    −      AB 51 4 0 1      −  1 1 0 0 1B B−  =    B【详解】解：设 ，则 ， 即 ， 故 ，解得 ，所以 . 因此， . 【点睛】本题考查用待定系数法求逆矩阵，以及矩阵乘法计算，属于基础题. 23.已知 ，且 ，求 的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据柯西不等式，即可得到本题答案. 【详解】由柯西不等式，得 ， 即 ， 即 ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 时， 取最小值 . 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属基础题. a bB c d  =    1 1 1 01 2 0 10 2 a bB B c d −  −     = =          1 1 1 0 2 2 0 12 2 a c b d c d  − −    =       1 12 1 02 2 0 2 1 a c b d c d  − =   − =  =  = 1 1 4 0 1 2 a b c d =   = =  = 11 4 10 2 B     =        1 511 2 14 40 2 1 0 10 2 AB        = =    −    −    , ,x y z ∈R 2 3 4x y z− − = 2 2 2x y z+ + 8 7 ( )2 2 2 2 2 2 2[ ( 2) ( 3) ] 1 ( 2) ( 3)x y z x y z + − + − + − + − + +  ( )2 2 2 2( 2 3 ) 14x y z x y z− − + + ( )2 2 216 14 x y z+ + 2 2 2 8 7x y z+ + ≥ 2 3 y zx = =− − 2 4 6, ,7 7 7x y z − −= = = 2 2 2x y z+ + 8 724.已知 （其中 ） （1）求 及 ； （2）试比较 与 的大小，并说明理由． 【答案】（1） ， （2）当 时， ； 当 时， ；当 时， ---7 分 【解析】 试题分析：（1）赋值法求二项展开式的项的系数：令 ，则 ，令 ， 则 ，∴ ；（2）要比较 与 的大小，即比较： 与 的 大小，这需先归纳：当 时， ；当 时， ； 当 时， ；再猜想当 时， ，最后用数学归纳法证明， 关键将 时的式子与 情形建立关系： 试题解析：解：（Ⅰ）令 ，则 ，令 ， 则 ，∴ ； （Ⅱ）要比较 与 的大小，即比较： 与 的大小，---1 分 当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 猜想：当 时， ，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知， 时结论成立， 假设当 时结论成立，即 ， 两边同乘以 3 得： 2 3 0 1 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ,n n nx a a x a x a x a x+ = + − + − + − + + − *n N∈ 0a 1 n n i i S a = = ∑ nS 2( 2)2 2nn n− + 0 2na = 3 2n n nS = − 1n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = 23 ( 1)2 2n nn n< − + 4,n n N ∗≥ ∈ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 1x = 0 2na = 2x = 0 3 n n i i a = =∑ 3 2n n nS = − nS 2( 2)2 2nn n− + 3n 2( 1)2 2nn n− + 1n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = 23 ( 1)2 2n nn n< − + 4,5n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 4n ≥ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 1n k= + ( 4)n k k= ≥ 1 2 1 2 23 3[( 1)2 2 ] 2 2( 1) [( 3)2 4 4 2]k k k kk k k k k k k+ +> − + = + + + − + − − 1x = 0 2na = 2x = 0 3 n n i i a = =∑ 3 2n n nS = − nS 2( 2)2 2nn n− + 3n 2( 1)2 2nn n− + 1n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = 23 ( 1)2 2n nn n< − + 4,5n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 4n ≥ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 4n = ( 4)n k k= ≥ 23 ( 1)2 2k kk k> − + 1 2 1 2 23 3[( 1)2 2 ] 2 2( 1) [( 3)2 4 4 2]k k k kk k k k k k k+ +> − + = + + + − + − −而 ∴ 即 时结论也成立， ∴当 时， 成立. 综上得，当 时， ； 当 时， ；当 时， ---7 分 考点：数学归纳法 2 2( 3)2 4 4 2 ( 3)2 4( 2) 6 ( 2)2 4( 2)( 1) 6 0k k kk k k k k k k k k− + − − = − + − − + = − + − + + > 1 1 23 [( 1) 1]2 2( 1)k kk k+ +> + − + + 1n k= + 4n ≥ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 1n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = 23 ( 1)2 2n nn n< − + 4,n n N ∗≥ ∈ 23 ( 1)2 2n nn n> − +