数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.下列说法正确的是（ ）
A.第二象限角大于第一象限角
B.不相等的角终边可以相同
C.若 是第二象限角， 一定是第四象限角
D.终边在 轴正半轴上的角是零角
2.下列说法正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.向量就是有向线段
C.只有零向量的模长等于
D.单位向量都相等
3.设 是第一象限角，且 ，则 是第（ ）象限角
A.一 B.二 C.三 D.四
4.下列是函数 图象的对称轴方程的是（ ）
A. B. C. D.
5.在 中， 是 的中点， ，若 ， ，则 （ ）
α 2α
x
0
2
α cos cosα α= − α
cos( )3y x
π= +
6x
π=
3x
π= 5
6x
π= 2
3x
π=
ABC∆ E AC 3BC BF= AB a= AC b= EF =
A. B. C. D.
6.设 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
7.设 ， 不共线， ， ， ，若 ， ， 三点共线，
则实数 的值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.将函数 的图象先左移 ，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的 ，所得图象的解析
式为（ ）
A. B.
C. D.
10.函数 ， 的值域为（ ）
A. B. C. D.
11.若函数 ， 的图象都在 轴上方，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.关于函数 有下述四个结论：
① 是奇函数；
② 在区间 单调递增；
③ 是 的周期；
2 1
3 6a b− 1 1
3 3a b+ 1 1
2 4a b+ 1 1
3 3a b−
(1, )a m= (2,2)b = (2 )a mb b+ ⊥ m
1
2 2 1
3
− 3−
a b 3AB a b= + 2BC a b= + 3CD a mb= + A C D
m
2
3
1
5
7
2
15
2
24 33sin( ) 5cos( )7 7
π πα α+ = − + tan( )14
πα − =
5
3
− 3
5
− 3
5
5
3
cosy x=
4
π 1
2
sin(2 )4y x
π= + 1 3sin( )2 4y x
π= +
1sin( )2 4y x
π= + 3sin(2 )4y x
π= +
2( ) 2 sin 3cos 2f x x x= + − 2[ , ]3 6x
π π∈ −
4[0, ]3
4[1, ]3
5[1, ]4
5[0, ]4
tan(2 )3y x k
π= − + (0, )6x
π∈ x k
[ 3, )+∞ ( 3, )+∞ ( 3, )− +∞ ( 3,0)−
( ) sin(tan ) cos(tan )f x x x= −
( )f x
( )f x (0, )4
π
π ( )f x
④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.已知一扇形的圆心角为 弧度，半径为 ，则该扇形的面积为 .
14.若 ， ， ，则向量 与 的夹角为 .
15.若 ，则 的取值范围是 .
16.函数 ， 在 上单调递增，则 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17.若角 的终边上有一点 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18.已知 ， .
（1）求向量 与 的夹角；
（2）若 ，且 ，求 的值.
19.已知 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值，并求出 为何值时， 取得最大值；
（2）求函数 在 上的单调增区间；
（3）若 ，求 值域.
20.已知矩形 ， ， ， 是平面内一点.
( )f x 2
4 3 2 1
1 1
1a = 2b = 7a b+ = a b
1 cos 1 cos2 2
1 cos sin2 2
α α
α α
+ +
=
−
α
( ) 2sin( )3f x x
πω= + 0ω > [ , ]3 4
π π− ω
α ( , 8)P m − 3cos 5
α = −
m
sin( )cos( )2
tan( )cos( )
ππ α α
α π α
+ +
− − −
(2,6)a = ( 1,2)b = −
a b
(2, )c m= ( 3 )a b c+ ⊥ m
1( ) 2sin( )2 4f x x
π= −
( )f x x ( )f x
( )f x [ 2 ,2 ]π π−
[0,2 ]x π∈ ( )f x
ABCD 3AD = 1AB = M
（1）若点 满足 ，求 的最小值；
（2）若点 在线段 上，求 的范围.
21.函数 （ ， ）的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ，
时，求 的值.
22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 ，其中心 距地面 ，半
径为 ，若某人从最低点 处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的
距离将随时间 变化， 后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.
（1）求出人与地面距离 与时间 的函数解析式；
（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于 .
M (1 ) ( )AM AB AC Rλ λ λ= + − ∈ DM
M AC AM BM⋅
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > 0 2
πϕ≤ ≤
( )f x
( ,0)2M
π
N 0 0( , )P x y MN 0
1
2y =
0 (0, )3x
π∈ 0x
160m O 167
2OB m=
153
2OC m= D
t 15mint =
y t
181
4 m
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 【答案】B
【解析】
A 选项，第一象限角 ，而 是第二象限角，∴该选项错误；
B 选项， 与 终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；
360 30 120°+ ° > ° 120°
360 30°+ ° 30°
C 选项，若 是第二象限角，则 ，
∴ 是第三象限角或第四象限角或终边在 轴负半轴上的轴
线角，∴该选项错误；
D 选项， 角的终边在 轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.
2.【答案】C
【解析】
零向量的方向是任意的，故 A 选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故 B 选项错误；
只有零向量的模长等于 ，故 C 选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故 D 选项错误.
3.【答案】B
【解析】
∵ 是第一象限角，∴ ， ，
∴ ， ，∴ 为第一象限角或第二象限角或终边在 轴正半轴
上的轴线角，
∵ ，∴ ，∴ 是第二象限角.
4.【答案】D
【解析】
令 ， ，解得 ， ，当 时， ，选项 D 符合题
意.
5.【答案】A
【解析】
.
6.【答案】C
【解析】
，∵ ，
∴ ，即 ，解得 .
α 2 2 ( )2k k k Z
ππ α π π+ < < + ∈ 4 2 4 2 ( )k k k Zπ π α π π+ < < + ∈ y 360° x 0 2 α 360 90 3602k k α° < < °+ ° k Z∈ 720 180 720k kα° < < °+ ° k Z∈ α y cos cosα α= − cos 0α < α 3x k π π+ = k Z∈ 3x k π π= − + k Z∈ 1k = 2 3x π= 1 2 1 2 2 1( )2 3 2 3 3 6EF EC CF AC CB AC AB AC AB AC= + = + = + − = − 2 1 3 6a b= − 2 (2 2 ,4 )a mb m m+ = + (2 )a mb b+ ⊥ (2 ) 0a mb b+ ⋅ = 2(2 2 ) 8 0m m+ + = 1 3m = −
7.【答案】D
【解析】
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，即 ，
∴ 解得 .
8.【答案】B
【解析】
由诱导公式可知 ，
又 得 ，
所以 ， .
9.【答案】D
【解析】
向左平移 个单位，故变为 ，纵坐标不变，横坐标缩
为原来的 ，变为 .
10.【答案】A
【解析】
根据 得 ， ，
令 ，由 得 ，故 ，有 ，
，二次函数对称轴为 ，当 时，最大值 ，当 时，最小值 ，
综上，函数 的值域为 .
11.【答案】A
【解析】
3AB a b= + 2BC a b= + 2 5AC AB BC a b= + = +
A C D AC CDλ= 2 5 (3 )a b a mbλ+ = +
2 3
5 m
λ
λ
=
=
2
3
15
2m
λ =
=
24 3 33sin( ) 3sin[3 ( )] 3sin( )7 7 7
π π πα π α α+ = + + = − +
24 33sin( ) 5cos( )7 7
π πα α+ = − + 3 33sin( ) 5cos( )7 7
π πα α− + = − +
3 5tan( )7 3
π α+ =
3 1 3tan( ) tan[( ) ] 314 7 2 5tan( )7
π π πα α π α
− = + − = − = −
+
cos sin( )2y x x
π= = +
4
π 3sin( )4y x
π= +
1
2
3sin(2 )4y x
π= +
2 2sin cos 1x x+ = 2( ) 3 sin 2 sin 1f x x x= − + + 2[ , ]3 6x
π π∈ −
sint x= 2[ , ]3 6x
π π∈ − 1sin [ 1, ]2x∈ − [0,1]t ∈ 23 2 1y t t= − + +
[0,1]t ∈ 1
3t = 1
3t = 4
3y = 1t = 0y =
( )f x 4[0, ]3
∵ ，∴ ，∴ ，
函数 ， 的图象都在 轴上方，
即对任意的 ，都有 ，即 ，
∵ ，∴ ， .
12.【答案】C
【解析】
，
，所以 为非奇非偶函数，①错误；
当 时，令 ， ，又 时 单调递增， 单调递
减，根据复合函数单调性判断法则，当 时， ， 均为
增函数，所以 在区间 单调递增，所以②正确；
，所以 是
的周期，所以③正确；
假设 的最大值为 ，取 ，必然 ， ，则
， 与 ， 矛盾，所以 的最大值小于 ，所
以④错误.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.【答案】
【解析】
根据扇形的面积公式可得 .
14.【答案】
【解析】
由 得 ，∴ ，∴ ，∴ .
(0, )6x
π∈ 2 03 3x
π π− < − < 3 tan(2 ) 03x π− < − < tan(2 )3y x k π= − + (0, )6x π∈ x (0, )6x π∈ tan(2 ) 03x k π− + > tan(2 )3x k
π− > −
tan(2 ) 33x
π− > − 3k− ≤ − 3k ≥
( ) sin(tan ) cos(tan )f x x x= − ( ) sin[tan( )] cos[tan( )]f x x x− = − − −
sin(tan ) cos(tan )x x= − − ( )f x
(0, )4x
π∈ tant x= (0,1)t ∈ (0,1)t ∈ siny t= cosy t=
(0, )4x
π∈ sin(tan )y x= cos(tan )y x= −
( )f x (0, )4
π
( ) sin[tan( )] cos[tan( )] sin(tan ) cos(tan ) ( )f x x x x x f xπ π π+ = + − + = − = π
( )f x
( )f x 2 ( ) 2f a = sin(tan ) 1a = cos(tan ) 1a = −
tan 22a k
π π= + k Z∈ tan 2a kπ π= + k Z∈ ( )f x 2
1
2
2 21 1 1| | 1 12 2 2S rα= = × × =
3
π
7a b+ = 2 2
2 7a b a b+ + ⋅ = 1a b⋅ = 1cos 2
a b
a b
θ ⋅= =
⋅
3
πθ =
15.【答案】 ，
【解析】
因为 ，
而 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， .
16.【答案】
【解析】
结合正弦函数的图象及性质可得 ，解得 ，
又 ，∴ .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
17.若角 的终边上有一点 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】见解析
【解析】
（1）点 到原点的距离为 ，
4 4 2k kπ α π π< < + k Z∈ 21 cos (1 cos ) 1 cos2 2 2 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin2 2 2 2 α α α α α α α + + + = = − − + 1 cos 1 cos2 2 1 cos sin2 2 α α α α + + = − 1 cos 1 cos2 2 sin sin2 2 α α α α + + = sin 02 α > 2 22k k
απ π π< < + k Z∈ 4 4 2k kπ α π π< < + k Z∈ 2(0, ]3 3 3 2 4 3 2 π π πω π π πω − ⋅ + ≥ − ⋅ + ≤ 2 3 ω ≤ 0ω > 20 3
ω< ≤ α ( , 8)P m − 3cos 5 α = − m sin( )cos( )2 tan( )cos( ) ππ α α α π α + + − − − P 2 2 2( 8) 64r m m= + − = +
根据三角函数的概念可得 ，解得 ， （舍
去）……………………………………………………………………………………4 分
（2）原式 ，…………8 分
由（1）可得 ， ，
∴原式 . ……………………………………………………………10 分
18.已知 ， .
（1）求向量 与 的夹角；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【答案】见解析
【解析】
（1） ， ，
，……………………………………………………3 分
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
∴ ，即向量 与 的夹角为 . ……………………………………………6 分
（2） ，由 ，可得 ，……………10 分
∴ ，解得 . ……………………………………………12 分
19.已知 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值，并求出 为何值时， 取得最大值；
（2）求函数 在 上的单调增区间；
（3）若 ，求 值域.
【答案】见解析
2
3cos 564
m
m
α = = −
+ 6m = − 6m =
sin( )cos( ) ( sin )( sin )2 sintan( )cos( ) ( tan )cos
ππ α α α α αα π α α α
+ + − −= = = −− − − −
2 64 10r m= + = 8 4sin 5r
α −= = −
4sin 5
α= − =
(2,6)a = ( 1,2)b = −
a b
(2, )c m= ( 3 )a b c+ ⊥ m
2 ( 1) 6 2 10a b⋅ = × − + × = 2 22 6 2 10a = + =
2 2( 1) 2 5b = − + =
a b θ 10 2cos 22 10 5
a b
a b
θ ⋅= = =
×⋅
4
πθ = a b
4
π
3 ( 1,12)a b+ = − ( 3 )a b c+ ⊥ ( 3 ) 0a b c+ ⋅ =
2 ( 1) 12 0m× − + = 1
6m =
1( ) 2sin( )2 4f x x
π= −
( )f x x ( )f x
( )f x [ 2 ,2 ]π π−
[0,2 ]x π∈ ( )f x
【解析】
（1） ，………………………………………………………………1 分
当 ，
即 ， 时， 的最大值为 .……………………………3 分
（2）令 ，
得 ， ，…………………………………………5 分
设 ， ， ，
所以 ，
即函数 在 上的单调增区间为 .………………………7 分
（3）由 得 ，……………………………………8 分
根据正弦函数图象可知 ，……………………………11 分
所以 .……………………………………………………………12 分
20.已知矩形 ， ， ， 是平面内一点.
（1）若点 满足 ，求 的最小值；
（2）若点 在线段 上，求 的范围.
【答案】见解析
【解析】
（1）由 可知 ， ， 三点共线，………………2 分
则 的最小值即为点 到直线 的距离.此时 .……5 分
（2）以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
故 ， ， ， ，………………………………………7 分
由点 在线段 上设 ，……………………………………8 分
2 41
2
T
π π= =
1 2 ( )2 4 2x k k Z
π π π− = + ∈
3 42x k
π π= + k Z∈ ( )f x 2
12 22 2 4 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ +
34 42 2k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
[ 2 ,2 ]A π π= − 3[ 4 , 4 ]2 2B k k
π ππ π= − + + k Z∈
3[ , ]2 2A B
π π= −
( )f x [ 2 ,2 ]π π− 3[ , ]2 2
π π−
[0,2 ]x π∈ 1 3[ , ]2 4 4 4x
π π π− ∈ −
1 2sin( ) [ ,1]2 4 2x
π− ∈ −
( ) [ 2,2]f x ∈ −
ABCD 3AD = 1AB = M
M (1 ) ( )AM AB AC Rλ λ λ= + − ∈ DM
M AC AM BM⋅
(1 )AM AB ACλ λ= + − B M C
DM D BC min
1DM DC= =
A AB x AD y
(0,0)A (1,0)B (1,3)C (0,3)D
M AC ( ,3 )(0 1)M t t t≤ ≤
故 ， ，………………………………………………9 分
所以 ，…………………………10 分
根据二次函数性质可得 .…………………………………12 分
21.函数 （ ， ）的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ，
时，求 的值.
【答案】见解析
【解析】
（1）由题可得 ，∴ ，
又 ，且 ，∴ ，………………………………………2 分
∴ ，
将点 代入函数 可得 ，…………4 分
∴ , ，解得 ， ，
又∵ ，∴ ，∴ . ………………6 分
（2）∵点 ， 是 的中点， ，
∴点 的坐标为 ，……………………………………………8 分
( ,3 )AM t t= ( 1,3 )BM t t= −
2 2( 1) (3 ) 10 (0 1)AM BM t t t t t t⋅ = − + = − ≤ ≤
1[ ,9]40AM BM⋅ ∈ −
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > 0 2
πϕ≤ ≤
( )f x
( ,0)2M
π
N 0 0( , )P x y MN 0
1
2y =
0 (0, )3x
π∈ 0x
7 1
12 3 4T
π π− = T π=
2T
π
ω= 0ω > 2ω =
( ) 2sin(2 )f x x ϕ= +
7( , 2)12
π − ( )f x 72sin[2 ( ) ] 212
π ϕ× + = −
7 26 2 k
π πϕ π+ = − + k Z∈ 5 23 k
πϕ π= − + k Z∈
0 2
πϕ≤ ≤
3
πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
( ,0)2M
π
0 0( , )P x y MN 0
1
2y =
N 0(2 ,1)2x
π−
又∵点 在 的图象上，
∴ ，………………………………………………………10 分
又 ，∴ ，
从而得 ，解得 . ……………………………………12 分
22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 ，其中心 距地面 ，半
径为 ，若某人从最低点 处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的
距离将随时间 变化， 后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.
（1）求出人与地面距离 与时间 的函数解析式；
（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于 .
【答案】见解析
【解析】
（1）根据题意摩天轮从最低点开始， 后达到最高点，
则 转一圈，所以摩天轮的角速度为 .……………………2 分
则 时，人在点 处，则此时转过的角度为 .……………………4 分
所以 ………………………………………………6 分
（2）登上摩天轮到旋转一周，则 .……………………………………7 分
人与地面距离大于 ，即 ，
所以 ，…………………………………………………………………9 分
由 ，解得： .………………………………………………11 分
所以人与地面距离大于 的时间为 分钟.
N ( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
0
2 1sin(4 )3 2x
π− =
0 (0, )3x
π∈ 0
2 2 243 3 3x
π π π− < − < 0 24 3 6x π π− = 0 5 24x π= 160m O 167 2OB m= 153 2OC m= D t 15mint = y t 181 4 m 15min 30min 2 30 15 π πω = = mint C 15 t πθ = 167 153 cos ( 0)2 2 15y t t π= − ≥ 0 30t≤ ≤ 181 4 m 167 153 181cos2 2 15 4y t π= − >
1cos15 2t
π < 0 30t≤ ≤ 5 25t< < 181 4 m 25 5 20− =
故有 分钟人与地面距离大于 .………………………………………12 分20 181
4 m
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