2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 满足 ，则 对应的点位于复平面的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数 ，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【详解】 ，
对应的点 ，
对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于
基础题.
2.设集合 ， ，则集合
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 和它的补集，然后求得集合 的解集，最后取它们的交集得出结果.
z ( )1 3 4i z i+ = + z
z
( ) 5 5(1 ) 5 51 3 4 5 1 2 2 2
ii z i z ii
−+ = + = ⇒ = = = −+
∴ z 5 5( , )2 2
−
∴ z
{ }2 2 0A x x x= − − > { }2log 2B x x= ≤ ( )RC A B∩ =
{ }1 2x x− ≤ ≤ { }0 2x x< ≤ { }0 4x x< ≤
{ }1 4x x− ≤ ≤
A B【详解】对于集合 A， ，解得 或 ，故 .对于集合
B， ，解得 .故 .故选 B.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集
和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等
号的另一边化为 ，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在
两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.
3.已知命题 p:直线 a∥b，且 b⊂平面 α，则 a∥α；命题 q:直线 l⊥平面 α，任意直线 m⊂α，则
l⊥m.下列命题为真命题的是（ ）
A. p∧q B. p∨（非 q） C. （非 p）∧q D. p∧（非 q）
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断出 为假命题、 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正
确选项.
【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题 若直线 ，直线 平面 ，则直线
平面 或直线 在平面 内，命题 为假命题；
根据线面垂直的定义，我们易得命题 若直线 平面 ，则若直线 与平面 内的任意直线
都垂直，命题 为真命题.
故:A 命题“ ”为假命题；B 命题“ ”为假命题；C 命题“ ”为真命
题；D 命题“ ”为假命题.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词
的命题的真假性判断，属于基础题.
4.已知向量 ， 是单位向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
( )( )2 1 0x x− + > 1x < − 2x > [ ]1,2RC A = −
2 22log log 4x ≤ = 0 4x< ≤ ( ) ( ]0,2RC A B∩ =
0
p q
:p //a b b ⊂ α //a
α a α p
:q l ⊥ α l α
q
p q∧ ( )p q∨ ¬ ( )p q¬ ∧
( )p q∧ ¬
( )1, 3a = b 3a b− = ,a b =
6
π
4
π
3
π 2
3
π【分析】
设 ，根据题意求出 值，代入向量夹角公式，即可得答案；
【详解】设 ， ，
是单位向量， ,
， ，
联立方程解得： 或
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： .
故选：C.
【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑
推理能力、运算求解能力，求解时注意 的两种情况.
5.若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.
的( , )b x y= ,x y
( , )b x y= ∴ (1 , 3 )a b x y− = − −
b ∴ 2 2 1x y+ =
3a b− = ∴ 2 2(1 ) ( 3 ) 3x y− + − =
1 ,2
3 ,2
x
y
= −
=
1,
0,
x
y
=
=
1 ,2
3 ,2
x
y
= −
=
1 3
12 2cos , 2 1 2a b
− +
< >= =×
∴ , 3a b
π< >=
1,
0,
x
y
=
=
1 1cos , 2 1 2a b< >= =×
∴ , 3a b
π< >=
, 3a b
π< >=
b
cos2 2
2sin 4
α
πα
= − −
cos sinα α+
7
2
− 1
2
− 1
2
7
2【详解】 ，
.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运
算求解能力.
6.函数 图象可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.
【详解】解：当 时， ，则 ，
若 ， ， ，
若 ， ， ，
的
2 2cos2 cos sin (sin cos )(sin cos ) 2
22 2sin (sin cos ) (sin cos )4 2 2
α α α α α α α
πα α α α α
− − + −= = = − − − −
∴ 1sin cos 2
α α+ =
| |4cos xy x e= −
0x > 4cos xy x e= − ' 4sin xy x e= − −
0, 2x
π ∈ sin 0, 0xx e> > ' 4sin 0xy x e= − − <
,2x
π ∈ +∞ 4 4sin 4x− ≤ ≤ ( )3
2 22.7 > 19.6 4xe e
π
≥ > > 则 恒成立，
即当 时， 恒成立，
则 在 上单调递减，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.
7.如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 中，点 是平面 内
一点，则三棱锥 的正视图与侧视图的面积之和为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.
【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥 的正视图与侧视图都是底边长为 高为
的三角形，其面积都是 ，正视图与侧视图的面积之和为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图 面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图
的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
8.抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积
为 ，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
的
' 4sin 0xy x e= − − <
0x > ' 4sin 0xy x e= − − <
4cos xy x e= − ( )0, ∞+
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1111 DCBA
P BCD−
P BCD− 2 1
1 1 2 12
× × = 1 1 2+ =
2 ( 0)y ax a= >
2 2
: 18 4
x yC − =
2 2 a
8 6 4 2【答案】A
【解析】
【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即
可得到所求值．
【详解】抛物线 的准线为 ， 双曲线 的两条渐近线为
， 可 得 两 交 点 为 ， 即 有 三 角 形 的 面 积 为
，解得 ，故选 A．
【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，
考查运算能力，属于基础题．
9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴
岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心
生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，
该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知： ， ，设 ，则 ，在 中，列勾
2 ( 0)y ax a= >
4
ax = − 2 2
: 18 4
x yC − =
2
2y x= ± ,2 2, ,4 8 4 8
a a a a− −
−
1 2 2 22 4 4
a a× × = 8a =
12
13
13
14
21
29
14
15
2BC = ' 5B C = AC x= 2AB AB x′= = + Rt ACB′股方程可解得 ，然后由 得出答案.
【详解】解：由题意知： ， ，设 ，则
在 中，列勾股方程得： ，解得
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
故选 C.
【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
循环依次为
直至 结束循环，输出
，选 D.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概
念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条
件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
11.如图所示，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线
与椭圆交于 ， 两点，且 ，则该椭圆的离心率是（ ）
x P 2
x
x
= +
2BC = ' 5B C = AC x= 2AB AB x′= = +
Rt ACB′ ( )22 25 2x x+ = + 21
4x =
21
214P 212 2924
x
x
= = =+ +
4032
2017
2015
2016
2016
2017
2015
1008
1 1 11, 1, 2; 3, 1 , 3; 6, 1 , 4;3 3 6s t i s t i s t i= = = = = + = = = + + =
1 1 11 , 2016;1 2 1 2 3 1 2 2015t i= + + + + =+ + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 11 2(1 )1 2 1 2 3 1 2 2015 2 2 3 2015 2016t = + + + + = − + − + + −+ + + + + +
1 20152(1 )2016 1008
= − =
xoy F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2
by = B C 90BFC∠ = °A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
联 立直 线 方 程与 椭 圆方 程 ， 解得 和 的 坐标 ， 然 后利 用 向量 垂 直 的坐 标 表示 可 得
，由离心率定义可得结果.
【详解】由 ，得 ，所以 ， .
由题意知 ，所以 ， .
因为 ,所以 ,所以
.
所以 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率
6
3
3
4
1
2
3
2
B C
2 23 2c a=
2 2
2 2 1
2
x y
a b
by
+ =
=
3
2
2
x a
by
= ±
=
3 ,2 2
bB a
−
3 ,2 2
bC a
( ),0F c 3 ,2 2
bBF c a
= + −
3 ,2 2
bCF c a
= − −
90BFC∠ = ° BF CF⊥
2 2 2
2 2 2 23 3 3 3 1 02 2 4 4 4 4 2
b a cBF CF c a c a c a c a
−⋅ = + − + = − + = − =
2 23 2c a= 6
3
ce a
= =公式，属于基础题.
12.已知函数 ，当 时， 的取值范围为
，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求导分析函数在 时的单调性、极值，可得 时， 满足题意，再在
时，求解 的 x 的范围，综合可得结果.
【详解】当 时， ，
令 ，则 ； ，则 ，
∴函数 在 单调递增，在 单调递减.
∴函数 在 处取得极大值为 ，
∴ 时， 的取值范围为 ，
∴
又当 时，令 ，则 ，即 ，
∴
综上所述， 的取值范围为 .
故选 C.
【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.在一次医疗救助活动中，需要从 A 医院某科室的 6 名男医生、4 名女医生中分别抽调 3 名
男医生、2 名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________
( )( 2) 3,( ln 2)( )
3 2 ,( ln 2)
xx x e xf x
x x
− − + ≥=
− ln2 1x< < ( )' 0f x < 1x >
( )f x ( )ln2,1 ( )1,+∞
( )f x 1x = ( )1 2f e= +
ln2x ≥ ( )f x ( ], 2e−∞ +
ln2 m 1≤ ≤
ln2x < ( ) 3 2 2f x x e= − ≤ + 1
2
ex
−≥ 1 x ln22
e− ≤ <
1 e 22 m ln
− ≤ <
m 1 ,12
e−
种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种
数.
【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从 名男医生、 名女医生中分别抽调 2 名男医生、 名女医生，
故选派的方法为： .
故答案为 ．
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情
发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元
素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
14.若 x，y 满足 ，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值_____
【答案】5.
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，令 z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优
解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】由题意 作出可行域如图阴影部分所示.
60
5 4 2
2 2
5 4 10 6 60C C = × =
60
| 1|x y≤ −
1 ,1 1
y
y x y
− ≤
− ≤ ≤ −设 ,
当直线 经过点 时, 取最大值 5.
故答案为 5
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交
于点 D，且 ，则 的最小值为________．
【答案】9
【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得 ，因此
当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的
条件才能应用，否则会出现错误.
16.棱长为 的正四面体 与正三棱锥 的底面重合，若由它们构成的多面体
3 , 3z x y y z x= + = −
0 : 3l y z x= − ( )2, 1− z
ABC , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠
AC 1BD = 4a c+
ABC ABD BCDS S S= +△ △ △
1 1 1sin120 1 sin 60 1 sin 602 2 2ac a c° = × × °+ × × ° 1 1, 1ac a c a c
= + + =
1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9,c a c aa c a c a c a c a c
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
2 3c a= = 4a c+ 9
a ABCD E BCD−的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 的内切球半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由棱长为 的正四面体 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥 的高及侧棱长，
可得正三棱锥 的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，
由等体积 ，求出内切圆的半径．
【详解】由题意可知：
多面体 的外接球即正四面体 的外接球
作 面 交于 ，连接 ，如图
则 ，且 为外接球的直径，可得
，
设三角形 的外接圆的半径为 ，则 ，解得 ，
设外接球的半径为 ，则 可得 ，
即 ，解得 ，
设正三棱锥 的高为 ，
ABCDE E BCD−
3 2 6
12 a
−
a ABCD E BCD−
E BCD−
1
3V S R= ⋅ ′表面积
ABCDE ABCD
AE ⊥ BCD F CF
2 3 3
3 2 3CF a a= = AE
2 2 2 23 6( )3 3AF AC CF a a a= − = − =
BCD r 2 sin 60 3
2
BC ar = =°
3
ar =
R 2 2 2( )R r AF R= + − 2 22AF R r AF= +
2 26 62 3 3 9
a a aR = +
6
4R a=
E BCD− h因为 ，所以 ，
所以 ，
而 ，
所以正三棱锥 的三条侧棱两两相互垂直，
所以 ，
设内切球的半径为 ， ，
即 解得： ．
故答案为： .
【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、
运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.已知数列的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，且数列 前 项和为 ，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 ，可求 ，然后由 时， 可得 ，根据等比数列
的通项可求
62 2AE R a= = 6 6 62 ( )2 3 6h EF R AF a a= = − = − =
2 2 1 1 2
6 3 2BE CE DE EF CF a a a= = = + = + =
BD BC CD a= = =
E BCD−
2 2 23 2 3 31( ) 3 [ 3 ( )2 2 ]4 4E BCD BCD BDES S S a a− ∆ ∆
+= + = + ⋅ ⋅ =⋅表面积
R′ 1 1 ( )3 3E BDC BCD E BCDV S EF S R− ∆ −= ⋅ = ⋅ ⋅ ′表面积
2 21 3 6 1 3 3
3 4 6 3 4a a a R
+ ′=
3 2 6
12R a
−′ =
3 2 6
12 a
−
n nS *1 1( )2n na S n N= + ∈
{ }na
2logn nb a=
1
1
n
n n
c b b +
= { }nc n nT nT
2n
na = 1 12nT ∈ ，
1 1
1 12a S= + 1a 2n 1n n na s s −= − 12n na a −=（2）由 ，而 ，利用裂项相消法
可求 .
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ①
②
② ①得 ，即 ，
数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
；
（2）
∴ ，
∴ ，
，
.
【点睛】本题考查递推公式 在数列的通项求解中的应用，等比数列的通
项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算
求解能力．
18.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两
块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、
乙两地的棉花中各随机抽取 20 根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 300
的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
纤维长度
甲地（根数） 3 4 4 5 4
2 2log log 2n
n nb a n= = =
1
1 1 1 1
( 1) 1n
n n
c b b n n n n+
= = = −+ +
nT
1n = 1 1
1 12a S= + 1 2a =
2n 1 1
1 12n na S− −= + …
1 12n na S= + …
−
1
1
2n n na a a−− = 12n na a −=
∴ { }na
∴ 2n
na =
2 2log log 2n
n nb a n= = =
1
1 1 1 1
( 1) 1n
n n
c b b n n n n+
= = = −+ +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1nT n n n
= − + − + − +…+ − = −+ +
*n N∈ ∴ 1 1(0, ]1 2n
∈+
∴ 1[ ,1)2nT ∈
1n n na s s −= − ( 2)n
mm
(0,100) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500]乙地（根数） 1 1 2 10 6
（1）由以上统计数据，填写下面 列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.025 的前提
下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 乙地 总计
长纤维
短纤维
总计
附：（1） ；
（2）临界值表；
0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）现从上述 40 根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的
方法抽取 8 根进行检测，在这 8 根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为 ，求 的分布列及
数学期望.
【答案】（1）在犯错误概率不超过 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）
见解析
【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出 ，结合所给数据，应用
独立性检验知识可作出判断；（2）写出 的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布
列并进一步求出 的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下 列联表：
甲地 乙地 总计
2 2×
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + +
2
0( )P K k≥
0k
X X
0.025
2K
X
X 2 2×长纤维 9 16 25
短纤维 11 4 15
总计 20 20 40
根据 列联表中的数据，可得
所以，在犯错误概率不超过 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
（Ⅱ）由表可知在 8 根中乙地“短纤维”的根数为 ，
的可能取值为：0,1,2,3，
， ，
， ．
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
∴ ．
19.在底面为菱形的四棱柱 中，
平面 .
（1）证明： 平面 ；
2 2× ( )2
2 40 9 4 16 11 5.227 5.02425 15 20 20K
× − ×= ≈ >× × ×
0.025
15 8 340
× =
X
( ) 3
11
3
15
330 91
CP X C
= = = ( ) 2 1
11 4
3
15
441 91
C CP X C
= = =
( ) 1 2
11 4
3
15
662 455
C CP X C
= = = ( ) 3
4
3
15
43 455
CP X C
= = =
X
X
P 33
91
44
91
65
455
4
455
( ) 33 44 65 4 364 40 1 2 391 91 455 455 455 5E X = × + × + × + × = =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 , 60 ,2, A B A D BADAB AA = ∠ == °=
, AC OA BD O= ⊥ 1A BD
1BC 1A BD（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可证 ，即可证明结论；
（2）根据已知可证 平面 ，建立空间直角坐标系，求出 坐标，进而
求出平面 和平面 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】方法一：（1）依题意， 且 ∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）∵ 平面 ，∴ ，
∵ 且 为 的中点，∴ ，
∵ 平面 且 ，
∴ 平面 ，
以 为原点，分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
∴
1B AA D− −
4 3
7
1 1B C A D∥
1AO ⊥ ABCD 1, , ,A A B D
1A AB 1A AD
1 1 // ,A B AB // ,AB CD 1 1 //A B CD
1 1A B CD 1 1B C A D∥
1B C ⊄ 1A BD 1A D ⊂ 1A BD
1BC 1A BD
AO ⊥ 1A BD 1AO AO⊥
1 1A B A D= O BD 1AO BD⊥
AO BD ⊂、 ABCD AO BD O=
1AO ⊥ ABCD
O 1, ,OA OB OA x y z
O xyz−
( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0D − ( )1 0,0,1A
( ) ( ) ( )1 3,0,1 3,1,, 0 , 3, 1,0 ,ABAA AD= − = −= − − 设平面 法向量为 ，
则 ，∴ ，取 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，取 ，则 .
∴ ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
∴二面角 的正弦值为 .
方法二：（1）证明：连接 交 于点 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 为 中点，
又因为四边形 为菱形，所以 为 中点，
∴在 中， 且 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）略，同方法一.
【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻
辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
20.如图，点 为圆 ： 上一动点，过点 分别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为
， ，连接 延长至点 ，使得 ，点 的轨迹记为曲线 .
的1A AB ( ), ,n x y z=
1n AA
n AB
⊥
⊥
3 0
3 0
x z
x y
− + =
− + =
1x = ( )1, 3, 3n =
1A AD ( )1 1 1, ,m x y z=
1n AA
n AD
⊥
⊥
3 0
3 0
x z
x y
− + =
− − =
1x = ( )1, 3, 3m = −
1 1cos , 77 7
m nm n
m n
⋅< >= = =
×⋅
1B AA D− − α 21 4 3sin 1 7 7
α = − =
1B AA D− − 4 3
7
1AB 1A B Q
1 1A B BA Q 1AB
ABCD O AC
1ABC 1 ,OQ B C∥ 1
1
2OQ B C=
OQ ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD
1BC 1A BD
T O 2 2 1x y+ = T x y
A B BA P BA AP= P C（1）求曲线 的方程；
（2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线 与曲线 相交于 ， 两点，
且 ，试问在曲线 上是否存在点 ，使得四边形 为平行四边形，若存在，求
出直线 方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2）不存在；详见解析
【解析】
【分析】
（1）设 ， ， ，通过 ，即 为 的中点，转化求解，点 的轨迹
的方程．
（2）设直线 的方程为 ，先根据 ，可得 ，①，再根据韦达定理，
点在椭圆上可得 ，②，将①代入②可得 ，该方程无解，问题得
以解决
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
由题意知 ，所以 为 中点，
由中点坐标公式得 ，即 ，
又点 在圆 ： 上，故满足 ，得 .
C
A B x y AB C M N
1AB = C Q OMQN
l
2
2 14
x y+ =
0(T x 0 )y ( , )P x y BA AP= A PB P
C
l y kx t= + | | 1AB = 2
2
2 1t tk
+ =
2 24 4 1t k= + 4 24 1 0k k+ + =
( ),P x y ( )0 0,T x y ( )0 ,0A x ( )00,B y
BA AP= A PB
0
0
2
0 2
xx
y y
= + =
0
0
2
xx
y y
=
= −
T O 2 2 1x y+ = 2 2
0 0 1x y+ = 2
2 14
x y+ =曲线 的方程 .
（2）由题意知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，
因为 ，故 ，即 ①，
联立 ，消去 得： ，
设 ， ，
， ，
，
因为四边形 为平行四边形，故 ，
点 在椭圆上，故 ，整理得 ②，
将①代入②，得 ，该方程无解，故这样的直线不存在.
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，
考查数学转化思想方法，是中档题．
21.已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）用 表示 中较大者，记函数 .若函数
在 上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围.
【 答 案 】（1） 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 和 ， 单 调 递 减 区 间 为
；（2） .
∴ C
2
2 14
x y+ =
l l y kx t= +
1AB OT= =
2
2 1t tk
− + =
2
2
2 1t tk
+ =
2
2 14
y kx t
x y
= + + =
y ( ) ( )2 2 24 1 8 4 1 0k x ktx t+ + + − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2
8
4 1
ktx x k
+ = − +
( )2
1 2 2
4 1
4 1
t
x x k
−
= +
( )1 2 1 2 2
82 24 1
kty y k x x t k tk
+ = + + = − + + 2
2
4 1
t
k
= +
OMQN 2 2
8 2,4 1 4 1
kt tQ k k
− + +
Q
2
22
2
8
24 1 14 4 1
kt
tk
k
− + + = +
2 24 4 1t k= +
4 24 1 0k k+ + =
3( ) 3 , ( ) 1 lnf x x ax e g x x= − + = −
( )f x
max{ , }m n ,m n ( ) max{ ( ), ( )},( 0)h x f x g x x= > ( )h x
( )0, ∞+
( )f x ( , )a−∞ − ( , )a +∞
( , )a a−
2 1
3
ea
+>【解析】
【分析】
（1）由题可得 ,结合 的范围判断 的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
【详解】（1） ,
①当 时, ,
∴函数 在 内单调递增；
②当 时,令 ,解得 或 ,
当 或 时, ,则 单调递增,
当 时, ,则 单调递减,
∴函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为
（2）（Ⅰ）当 时, 所以 在 上无零点；
（Ⅱ）当 时, ,
①若 ,即 ,则 是 的一个零点；
②若 ,即 ,则 不是 的零点
（Ⅲ）当 时, ,所以此时只需考虑函数 在 上零点的情况,因为
,所以
①当 时, 在 上单调递增。又 ，所以
（ⅰ）当 时, 在 上无零点；
（ⅱ）当 时, ,又 ,所以
此时 在 上恰有一个零点；
( ) 23 3f x x a′ = − a ( )f x′
( ) 23 3f x x a′ = −
0a ≤ 0f x（ ）≥
( )f x ∞ ∞（- ，+ ）
0a > ( ) 3( )( ) 0f x x a x a′ = + − = x a= − x a=
x a< − x a> ( ) 0f x′ > ( )f x
a x a− < < ( ) 0f x′ < ( )f x
( )f x ( , )a−∞ − ( , )a +∞ ( , )a a−
(0,e)x∈ ( ) 0, ( ) ( ) 0,g x h x g x> > ( )h x (0, )e
x e= 3( ) 0, ( ) 3g e f e e ae e= = − +
3( ) 3 0f e e ae e= − +
2 1
3
ea
+
e ( )h x
3( ) 3 0f e e ae e= − + >
2e 1
3a
+< e ( )h x
( , )x e∈ +∞ ( ) 0 −
2a e ( ) 0, ( )f x f x′ > ( , )e +∞ 3( ) 3f e e ae e= − +
2 1
3
ea
+≤ ( ) 0, ( )f e f x ( , )e +∞
2
21
3
e a e
+ < ≤ ( ) 0f e < 3 3 2(2 ) 8 6 8 6 0f e e ae e e e e= − + − + >
( )f x ( , )e +∞②当 时,令 ,得 ,由 ,得 ；由 ,得
,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
因为 ,
,所以此时 在 上恰有一个零
点,
综上,
【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,
考查分类讨论思想
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则
按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，曲线 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 、 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线 与曲线 ， 分别交于 、 两点（异于极点 ），定点
，求 的面积
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；
（2）先利用极坐标求出弦长 ，再求高，最后求 的面积．
【详解】（1）曲线 的极坐标方程为： ，
因为曲线 的普通方程为： ，
曲线 的极坐标方程为 ；
2a e> ( ) 0f x′ = x a= ± ( ) 0f x′ < e x a< < ( ) 0f x′ >
x a> ( )f x ( , )e a ( , )a +∞
3 3 3( ) 3 3 0f e e ae e e e e= − + < − + <
3 2 2 2 2(2 ) 8 6 8 6 2 0f a a a e a a e a e= − + > − + = + > ( )f x ( , )e +∞
2 1
3
ea
+>
2 2
1 2:C x y− = 2C 2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ O x
1C 2C
6
πθ = 1C 2C A B O
(3,0)M MAB∆
2 2 2 2
1 : cos sin 2C ρ θ ρ θ− = 2 : 4cosC ρ θ= 3 3 3
2
−
AB MAB∆
1C 2 2 2 2cos sin 2ρ θ ρ θ− =
2C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4 0.x y x∴ + − =
∴ 2C 4cosρ θ=（2） 由（1）得：点 的极坐标为 ， 点 的极坐标为 ，
，
点到射线 的距离为
的面积为 .
【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标
方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.
23.设不等式 的解集为 M， .
（1）证明： ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
试题分析：
(1)首先求得集合 M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记 f (x) =|x-1|-|x+2|，
则 f(x)= ，所以解得- ＜x＜ ，故 M=(- , ).
所以，| |≤ |a|+ |b|＜ × + × = .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 0≤a2＜ ，0≤b2＜ .
|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.
所以，|1-4ab|＞2|a-b|.
A 2, 6
π
B 2 3, 6
π
∴ 2 2 3 2 3 2AB = − = −
( )3,0M ( )06
πθ ρ= ≥ 33sin 6 2d
π= =
∴ MAB∆ ( )1 1 3 3 3 32 3 22 2 2 2AB d
−⋅ = × − × =
2 1 2 0x x− < − − + < ,a b M∈
1 1 1
3 6 4a b+ <
1 4ab− 2 a b−
|1 4 | 2 | |ab a b− > −
3
-2 1,
3,
x
−
−
， 2
2 1
1.
x
x
x
≤ −
− < <
≥
1
2
1
2
1
2
1
2
3 6
a b+ 1
3
1
6
1
3
1
2
1
6
1
2
1
4
1
4
1
4
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