宁夏2020届高三理科数学第六次月考试题（Word版附解析）

宁夏 2020 届高三年级第六次月考理科数学试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式 . 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题. 2.设集合 ,则 的子集的个数是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 画出集合 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出 元素的个数，由此求得 的子集的个数. 【详解】画出集合 表示的图像如下图所示，由图可知 有两个元素，故有 个子集. 故选：B 3 2 i i − =+ 1 i− 2 2i− 1 i+ 2 2i+ ( )( ) ( )( ) 3 2 5 5 12 2 5 i i i ii i − − −= = = −+ − 2 2 {( , ) | 1},9 7 x yM x y= + = {( , ) | 2 }xN x y y= = M N∩ ,M N M N∩ M N∩ ,M N M N∩ 22 4=【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函 数的图像，属于基础题. 3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注： 从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共 织 390 尺布”，则第 30 天织布（ ） A. 7 尺 B. 14 尺 C. 21 尺 D. 28 尺 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意利用等差数列前 项和公式列方程，解方程求得第 30 天织布. 【 详 解 】 依 题 意 可 知 ， 织 布 数 量 是 首 项 为 ， 公 差 的 等 差 数 列 ， 且 ，即 ，解得 （尺）. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的前 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.以下四个结论，正确的是（ ） ①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔 15 分钟抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样； ②在回归直线方程 中，当变量 每增加一个单位时，变量 增加 0.13 个单位； ③在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是 1； ④对于两个分类变量 与 ，求出其统计量 的观测值 ，观测值 越大，我们认为“ 与 n 1 5a = 5d = 1 30 30 30 3902 a aS += × = ( )3015 5 390a× + = 30 21a = n 0.1 .3ˆ 1y x= + ˆx ˆy X Y 2K k k X有关系”的把握程度就越大. A. ②④ B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性；利用回归直线方程的知识判断②的正确性； 利用频率分布直方图的知识判断③的正确性；利用独立性检验的知识判断④的正确性. 【详解】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误. ②， 增加 ，所以②错误. ③， 在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是 1，所以③正确.④，对于两个分类变量 与 ，求出其统计量 的观测值 ，观测值 越大，我们认为“ 与 有关系”的把握程度就越 大，所以④正确. 综上所述，正确的序号为③④. 故选：D 【点睛】本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识， 属于基础题. 5.在 的展开式中 的系数是（ ） A. －14 B. 14 C. -28 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二项式展开式，求得 的系数. 【详解】依题意， 的展开式中 的系数是 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查二项式展开式，属于基础题. 6.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ，设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是（ ） Y y 0.1 X Y 2K k k X Y 8( 1)( 1)x x− + 3x 3x 8( 1)( 1)x x− + 3x 6 5 2 3 8 8 8 8 28 56 28C C C C− = − = − = − F l A B 2 3AFB π∠ = AB M l N MN ABA. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设 在直线 上的投影分别是 ，则 ， ， 又 是 中点，所以 ，则 ， 在 中 ， 所 以 ，即 ，所以 ，故选 B． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点 弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进 行问题的转化．象本题弦 的中点 到准线的距离首先等于 两点到准线距离之和的一 半，然后转化为 两点到焦点 的距离，从而与弦长 之间可通过余弦定理建立关 系． 7.设 是两条不同直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. B. 且 ，则 C. ，那么 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于 A 选项，直线 可能在平面 内，故 A 选项错误. 对于 B 选项，由于 且 ，所以 正确，故 B 选项正确. 3 4 3 3 3 2 3 ,A B l 1 1,A B 1AF AA= 1BF BB= M AB 1 1 1 ( )2MN AA BB= + 1 11 2 MN AA BB AB AB += ⋅ 2 AF BF AB += ABF∆ 2 2 2AB AF BF= + 22 cos 3AF BF π− 2 2AF BF AF BF= + + 2( )AF BF AF BF= + − 2( )AF BF≥ + 2( )2 AF BF+− 23 ( )4 AF BF= + 2 2 ( ) 4 3 AF BF AB + ≤ 2 3 3 AF BF AB + ≤ 3 3 MN AB ≤ AB M ,A B ,A B F AB ,m n ,α β , //m m n nα α⊥ ⊥ ⇒ ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ , , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , , // , // //m n m nα α β β α β⊂ ⊂ ⇒ n α ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥对于 C 选项， 可能平行，故 C 选项错误. 对于 D 选项， 可能相交，故 D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 ，点 在双曲线上，且线段 的中点 坐标为 ，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：设双曲线的标准方程为 由 的中点为 知， ， 即 ， 双 曲 线 方 程 为 ，故选 B. 考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质. 9.已知向量 与向量 共线，其中 是 的内角， 则角 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得 的大小. ,α β ,α β ( )1 5,0F − P 1PF ( )0,2 2 2 13 2 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 12 3 x y− = 2 2 14 x y− = ( )2 2 2 2 1 0, 0 ,x y a ba b − = > > 1PF ( )0,2 2PF x⊥ ( )5,4 ,Ρ 2 2 2 2 4, 4 , 5 4 , 1, 2b b a a a a ba = = ∴ − = = = ∴ 2 2 14 yx − = 1sin , 2m A =     (3,sin 3 cos )n A A= + A ABC∆ A 2 π 4 π 3 π 6 π A【详解】由于 共线，所以 ，即 ， ， ， ，由于 ，所以 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查降次公式和辅助角公式，属于基础题. 10.已知 在 上是可导函数,则 的图象如图所示，则不等式 的 解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 图像判断 的符号，由此求得不等式 的解集. 【 详 解 】 由 的 图 像 可 知 ， 在 区 间 上 ， 在 区 间 ， .不等式 可化为 ，所以其解集为 . 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题. 11.已知正四面体 棱长为 ，则其外接球的体积为（ ）的 ,m n  ( ) 1sin sin 3 cos 3 02A A A⋅ + − × = 2 3sin 3sin cos 02A A A+ − = 1 cos2 3 3sin 2 02 2 2 A A − + − = 3 1sin 2 cos2 12 2A A− = sin 2 16A π − =   ( )0,A π∈ 2 ,6 2 3A A π π π− = = ( )f x R ( )f x ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( , 2) (1,2)−∞ −  ( , 1) ( 1,0) (2, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ( )f x ( )'f x ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( )f x ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,1− ( )' 0f x < ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( ) ( ) ( )'3 1 0x x f x− ⋅ + ⋅ > ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ABCD 3A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积. 【详解】将正四面体 放在正方体 中如图所示，正四面体的外接 球即正方体的外接球，设正方体的边长为 ，由于 ，即 ，所以 正 方 体 的 外 接 球 半 径 为 ， 所 以 外 接 球 的 体 积 为 . 故选：B 【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化 归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则双曲线 的一 8 3 π 9 2 8 π 8 2 9 π 9 2 π 1 1B ACD− 1 1 1 1ABCD A B C D− x 1 3AB = 32 3, 2 x x= = ( )1 3 3 332 2 2 2 2 x× = × = 34 3 9 2 3 82 2 π π × =   2 2 1 : 11 3 x yC m n + =+ − 2 2 2 : 1x yC m n + = 2C条斜率为正的渐近线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据椭圆和双曲线的焦点相同，求得 的关系式，由此求得渐近线斜率的取值范围. 【详解】根据方程表示椭圆或双曲线得 ，即 . 当 时，双曲线的焦点在 轴上，所以椭圆的焦点也在 轴上，则有 ， 即 ，且 ，解得 ，这与 矛盾. 当 时，双曲线的焦点在 轴上，所以椭圆的焦点也在 轴上，则有 ，即 ，且 ，解得 ，此时 ， .而双曲线斜率为正的渐近线的斜率为 . 故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线的焦点，考查双曲线渐近线，考查分类讨论的数学思 想方法，属于中档题. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学检测成绩（满分 100 分）分成 6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方 (1, )+∞ ( )3,+∞ (0,1) (1, 3) ,m n 1 0 3 0 1 3 0 m n m n mn + >  − > + ≠ −  −  − > 1 3 2 0 0 m n m n m n > −    > y y 3 1 0n m− > + > 1 3 2 0 0 m n m n m n > −  图.已知高一年级共有学生 800 名，据此估计，该数学检测成绩不少于 60 分的学生人数为 _______人. 【答案】640 【解析】 【分析】 求得数学检测成绩不少于 60 分的学生的频率，由此求得数学检测成绩不少于 60 分的学生人 数. 【详解】数学检测成绩不少于 60 分的学生的频率为 ， 所以数学检测成绩不少于 60 分的学生人数为 人. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行计算，属于基础题. 14.在等比数列 中， ,则数列 的前 项和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求得数列 通项公式，由此求得数列 的通项公式，进而求得其前 项和. 【详解】由于等比数列 中， ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，其前 项和为 . 的 ( )0.03 0.025 0.015 0.01 10 0.8+ + + × = 800 0.8 640× = 640 { }na 2 53, 81a a= = { }3log na n 2 2 n n− { }na { }3log na n { }na 2 53, 81a a= = 1 4 1 3 81 a q a q =  = 1 1, 3= =a q 13 −= n na 3log 1na n= − { }3log na 0 1 n 20 1 2 2 n n nn + − −⋅ =故答案为： 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前 项和，属于基础 题. 15.在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有_______ 个． 【答案】192 【解析】 【分析】 分 3 步：先个位、然后千位、排最后百位与十位. 【详解】分 3 步：个位共有 4 种排法，然后千位有 4 种排法，最后百位与十位有 种排 法， 不能被 5 整除的数共有 个， 故答案为：192. 【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了元素位置有限制的排列问题，属于基础 题. 16.设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件求得 的通项公式，再求得 的值. 【详解】由于 ， ，所以 ， ，所以数 列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，所 以 ，故 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求通项公式，属于基础题. 2 2 n n− n 2 4 12A = 4 4 192× × nS { }na n 1 1a = 1 12n n na S S+ += − 2020S = 1 4039 { }nS 2020S 1 1a = 1 12n n na S S+ += − 1 12n n n nS S S S+ +− = − 1 1 1 2 n nS S+ − = 1 nS       1 1 1 1 1S a = = 2 ( )1 1 1 2 2 1 n n nS = + − × = − 1 2 1nS n = − 2020 1 1 2 2020 1 4039S = =× − 1 4039三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.设 的内角 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得 的值，进而求得角 的大小. （2）利用正弦定理求得 ，进而求得角 的可能取值，由此求得角 ，进而求得 的面积. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得 ， 整理得 ， 所以 ． 又 ，故 ． （2）由正弦定理可知 ，又 ， ， ， 所以 ． 又 ，故 或 ． 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于是 ． 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础 题. ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin( ) (2sin 3sin ) (2sin 3sin ) .a B C B C b C B c+ = − + − A 4a = 4 3b = ABC∆ 6A π= cos A A sin B B C ABC∆ 22 (2 3 ) (2 3 )a b c b c b c= − + − 2 2 2 3b c a bc+ − = 2 2 2 3 3cos 2 2 2 b c bcA bc bc a+= = =− (0, )A π∈ 6A π= sin sin a b A B = 4a = 4 3b = 6A π= 3sin 2B = 5(0, )6B π∈ 3B π= 2 3 π 3B π= 2C π= 1 8 32ABCS ab∆ = = 2 3B π= 6C π= 1 sin 4 32ABCS ab C∆ = =18.如图，正三棱柱 的底面边长为 1，点 是 的中点， 是以 为 直角顶点的等腰直角三角形. （1）求点 到平面 的距离； （2）求二面角 的大小. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等体积法求得点 到平面 的距离. （2）建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算出二面角 的余弦值，进而求得其大小. 【详解】（1）设点 到平面 的距离为 .则 由（I）知 ， ， ∴ 平面 ∵ ， 可求出： ， ， ，即 ， 1 1 1ABC A B C− M BC 1AMC∆ M B 1AMC 1M AC C− − 6 6 4 π B 1AMC 1MAC 1CAC 1M AC C− − B 1AMC h 1 1B AMC A BMCV V− −= 1AM C M⊥ AM CB⊥ AM ⊥ 1 1C CBB 1AB = 1 2BM = 1 3 2AM MC= = 1 2 2CC = 1 1 1 1 3 3AMC C MBS h S AM∆ ∆⋅ = ⋅ × × × = × × × ×1 1 3 3 1 1 1 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2h得 . （2）过 作 交 于 . 以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴方向，建立如图所示空间直角坐 标系 设面 的一个法向量为 , 由 得 ，取 ，则 , , 同理可求得面 的一个法向量为 , 设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角, 故 , 故二面角 的大小为 . 【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻 辑推理能力，属于中档题. 19.2019 年 7 月，超强台风登陆某地区．据统计，本次台风造成该地区直接经济损失 119.52 亿 元．经过调查住在该地某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方 6 6h = M 1 1/ /MM CC 1 1B C 1M M 1, ,AM BC MM x y z 1ACC ( , , )u x y z= 1 0 0 AC u CC u  ⋅ = ⋅ =     1 3 02 2 2 02 x y z  + =  = 1y = 3, 0x z= − = ( )3,1,0u∴ = − 1AMC ( )2,0,1v = − 1M AC C− − θ θ 6 2cos cos , 22 3 u vθ = = =  1M AC C− − 4 π图： （1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失； （2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的 50 户居民捐款情况如下表， 在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ （3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进 行维修，王师傅每天早上在 7：00 到 8：00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在 7： 30 到 8:30 分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率． 附：临界值表 参考公式： ， ． 【答案】（1）3360；（2）有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关；（3） 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 95% 7 8【解析】 【分析】 （1）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均损失. （2）根据已知条件填写 列联表，计算出 的值，由此判断出有 以上的把握认为捐 款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关. （3）利用面积型几何概型的概率计算方法，计算出所求概率. 【详解】（1）记每户居民的平均损失为 元，则： （2）如图： ， 所以有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元 有关． （3）设王师傅，张师傅到小区的时间分别为 ，则 可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为 ，则 ，事件 表 示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为 ， 即图中的阴影部分：面积 ，所以 ， ∴王师傅比张师傅早到小区的概率是 . 2 2× 2K 95% x (1000 0.00015 3000 0.0002 5000 0.00009 7000 0.00003 9000 0.00003) 2000 3360x = × + × + × + × + × × = 2 2 50 (30 6 9 5) 39 11 35 15 4.046 3.841 K × × − ×= × × × = > 95% ,x y ( , )x y { }( , ) 7 8,7.5 8.5x y x yΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ 1SΩ = A { }( , ) ,7 8,7.5 8.5A x y y x x y= ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1 1 71 2 2 2 8AS = − × × = 7( ) 8 ASP A SΩ = = 7 8【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算平均数，考查 列联表独立性检验，考 查面积型几何概型概率计算，属于基础题. 20.已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，椭圆 的对称轴为坐标轴， 点为 坐标原点， 是其一个焦点，又点 在椭圆 上． （1）求动圆圆心 的轨迹 的标准方程和椭圆 的标准方程； （2）若过 的动直线 交椭圆 于 点，交轨迹 于 两点，设 为 的 面积， 为 的面积，令 的面积，令 ，试求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 试题分析：（1）动圆圆心 满足抛物线的定义： ，所以方程为 ，而椭 圆标准方程的确定，利用待定系数法： （2）先表示面积：抛物线中三角形面积， 利用焦点，底边 OF 为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立， 利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用 A 点为定点，底边 AF 为常数，高为横坐标之 差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究 函数关系 式 ： 是 一 元 函 数 ， 可 根 据 直 线 斜 率 k 取 值 范 围 求 解 试题解析：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点 的轨迹 的标准方程为： 2 2× Q ( )0, 1F − : 1l y = N O F ( )0,2A N Q M N F m N B C、 M D E、 1S ABC∆ 2S ODE∆ ODE∆ 1 2Z S S= Z 2 4x y= − 2 2 14 3 y x+ = [ )9,12Z ∈ Q Q lQF d −= 2 4x y= − 1, 2c a= = 1 2Z S S= ( )2 1 2 2 2 36 1 1 112 1 12 1 93 4 3 4 4 k Z S S k k +    = = = − ≥ − =   + +    Q M 2 4x y= −依题意可设椭圆 的标准方程为 ， 显然有 ，∴ ，∴椭圆 的标准方程为 （2）显然直线 的斜率存在，不妨设直线 的直线方程为： ① 联立椭圆 的标准方程 ，有 ， 设 则有 ， 再将①式联立抛物线方程 ，有 ，设 得 ，∴ ， ∴ ， ∴当 时， ，又 ，∴ 考点：抛物线的定义,直线与抛物线位置关系，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.凡涉及抛物线上 点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本 题中充分运用抛物线定义实施转化，易得动点 的轨迹． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦 AB 的 端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整 体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 21.已知函数 . （1）设实数 （ 为自然对数的底数），求函数 在 上的最小值； （2）若 为正整数，且 对任意 恒成立，求 的最大值． 【答案】（1） ；（2）3 【解析】 【分析】 的 N ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > 1, 2c a= = 3b = N 2 2 14 3 y x+ = m m 1y kx= − N 2 2 2 2 14 3 y x+ = ( )2 23 4 6 9 0k x kx+ − − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,B x y C x y 2 1 2 2 12 1 3 4 kx x k +− = + 2 4x y= − 2 4 4 0x kx+ − = ( ) ( )1 1 4 4, , ,D x y E x y 2 3 4 4 1x x k− = + 2 2 3 4 1 · 2 12S OF x x k= − = + ( )2 1 2 2 2 36 1 1 112 1 12 1 93 4 3 4 4 k Z S S k k +    = = = − ≥ − =   + +    0k = min 9Z = 12Z < [ )9,12Z ∈ Q ( ) lnf x x x= 1 2a e > e ( )f x [ ],2a a k ( )( ) 1f x k x k> − − 1x > k 1 e −（1）求得函数 的定义域和导函数，对 分成 和 两种情况讨论 的单调区间，由此求得 在区间 上的最小值. （2）将不等式 分离常数得到 ，构造函数 ，利用导数求得 取得最小值时对应的 的取值范围，由此求得 的最大值. 【详解】（1） 的定义域为 ，∵ ，令 ，得 , 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 当 时， 在 单调递增， 当 时，得 ， . （2） 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 令 在 上单调递增. ∵ ∴所以 存在唯一零点 ，即 . 当 时， ； 当 时， ； ∴ 在 时单调递减；在 时，单调递增； ( )f x a 1a e ≥ 1 1 2 ae e < < ( )f x ( )f x [ ],2a a ( )( ) 1f x k x k> − − ln 1 x x x kx + >− ln( ) ( 1)1 x x xg x xx += >− ( )g x x k ( )f x (0, )+∞ ( ) ln 1f x x′ = + ( ) 0f x′ = 1x e = 10, ex  ∈   ( )' 0f x < ( )f x 1 ,x e  ∈ +∞   ( )' 0f x > ( )f x 1a e ≥ ( )f x [ ,2 ]a a min[ ( )] ( ) ln ,f x f a a a= = 1 1 2 ae e < < 1 2a ae < < min 1 1[ ( )]f x f e e  = = −   ( ) ( 1)f x k x k> − − 1x > lnx x x+ ( 1)k x> − 1x > ln 1 x x x kx + >− 1x > 2 ln ln 2( ) ( 1) '( ) ( 1)1 ( 1) x x x x xg x x g x xx x + − −= > ⇒ = >− − 1( ) ln 2( 1) '( ) 0 ( )xh x x x x h x h xx −= − − > ⇒ = > ⇒ (1, )+∞ (3) 1 ln3 0, (4) 2 ln 4 0,h h= − < = − > ( )h x 0 (3,4)x ∈ 0 0ln 2 0x x− − = 0(1, )x x∈ 0( ) ( ) 0 '( ) 0h x h x g x< = ⇒ < 0( , )x x∈ +∞ 0( ) ( ) 0 '( ) 0h x h x g x> = ⇒ > ( )g x 0(1, )x x∈ 0( , )x x∈ +∞∴ 由题意 ， . 又因为 ，所以 的最大值是 3. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成 立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 22.在平面直角坐标系 中，过点 作倾斜角为 的直线 ，以原点 为极点， 轴非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，将曲线 上各点的横坐标伸长 为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到曲线 ，直线 与曲线 交于不同的两点 . （1）求直线 的参数方程和曲线 的普通方程； （2）求 的值. 【 答 案 】（1 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 ， 曲 线 的 普 通 方 程 为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线参数方程的知识求得直线 的参数方程，将 的极坐标方程转化为直角坐标方 程，然后通过图像变换的知识求得 的普通方程. （2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几 何意义，求得 的值. 0 0 0 0 min 0 0 0 0 (ln 1) ( 1)[ ( )] ( ) 1 1 x x x xg x g x xx x + −= = = =− − min 0[ ( )]k g x x< = 0 (3,4)x ∈ k Z∈ k xOy (1,0)P 6 π l O x 1C 1ρ = 1C 2C l 2C ,M N l 2C 1 1 PM PN + l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 2C 2 2 14 x y+ = 2 6 3 l 1C 2C l 2C 1 1 PM PN +【详解】 直线 的参数方程为 ， 由 两边平方得 ，所以曲线 的直角坐标方程式 , 曲线 的方程为 ,即 . (2)直线 的参数方程为 ，代入曲线 的方程得： 设 对应得参数分别为 ,则 【点睛】本小题主要考查直线 参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像 变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修 4—5：不等式选讲 设函数 （1）若 a=1，解不等式 ； （2）若函数 有最小值，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）绝对值不等式 ，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号； （2）函数 是分段函数，它要存在最小值，则 两部分应满足左边是减函数，右边是增函数． 的 (1) l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 1ρ = 2 1ρ = 1C 2 2 1x y+ = 2C 2 2( ) 12 x y+ = 2 2 14 x y+ = l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 2C 27 4 3 12 0,t t+ − = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 4 3 12, .7 7t t t t+ = − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 1 1 2 6 .3 t t t t t t t t PM PN t t t t t t t t + − + −∴ + = + = = = = ( ) 3 1 3.f x x ax= − + + ( ) 5f x ≤ ( )f x 1 3{ | }.2 4x x− ≤ ≤ 3 3a− ≤ ≤ 3 1 3 5x x− + + ≤ 1(3 ) 2,( )3( ) 3 1 3 { 1( 3) 4.( )3 a x x f x x ax a x x + + ≥ = − + + = − +