银川唐徕回民中学
2020 届高三年级第一次模拟考试
文科数学
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形
码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答题时使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体
工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无
效.
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对
应的题号涂黑.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法可求得集合 ，根据交集定义可求得结果.
【详解】由 得： ，解得： ， ，
{ }0,1,2A = 1 02
xB x x
− = ≤ − A B =
{ }0,1 { }1,2 { }1 { }2
B
1 02
x
x
− ≤−
( )( )1 2 0
2 0
x x
x
− − ≤
− ≠ 1 2x≤ < { }1 2B x x∴ = ≤ 0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直
角三角形，则该双曲线的离心率是( )
A. B. 2 C. D. 5
【答案】A
【解析】
抛物线 x2＝－4y 的准线为 l：y＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴
双曲线，则 e＝ .
5x =
5x = 12 5 60 120y = × + = 120
C
α x ( )3,1P − ( )cos 6
πα − =
1
2
1
2
− 3
2
3
2
−
sin ,cosα α
( )3,1P −
1 1sin 23 1
α∴ = =
+
3 3cos 23 1
α = − = −
+
3 3 1 1 1cos cos cos sin sin6 6 6 2 2 2 2 2
π π πα α α ∴ − = + = − × + × = −
B
2 2
2 2
x y
a b
−
2 5
27.函数 的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由函数解析式可得函数 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.
【 详 解 】 解 ： 由 已 知 可 得 函 数 的 定 义 域 为 ， 且
，则函数 为奇函数，则函数 的图象应该关于原点
对称，排除 C 和 D，当 时， ，排除 B，故 A 正确.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠
对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,
则输出结果 n=( )
( ) 1x xe ef x x
−= − −
( )f x
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
( ) ( )1x xe e f xxf x −− = − + = − ( )f x ( )f x
1x = ( ) 11 1 0f e e
= − − >A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
开始，输入 ，
则 ，判断 ，否，循环， ，
则 ，判断 ，否，循环，
则 ，判断 ，否，循环，
则 ，判断 ，是，输出 ，结束.故选择 C.
9.如图，在底面边长为 4，侧棱长为 6 的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异
面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
1, 1, 0, 1a A S n= = = =
2S = 2 10≥ 12, , 22n a A= = =
9
2S = 9 102
≥ 13, , 4,4n a A= = =
35
4S = 35 104
≥ 14, , 8,8n a A= = =
135
8S = 135 108
≥ 4n =
P ABCD− E PD
PB CE
34
17
2 34
17
5 17
17
3 17
17首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理
求出 进而求出 CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】如图，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由
题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
10.已知实数 x，y 满足 ，若直线 经过该可行域，则实数 k 的最
大值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
PB CE PCD∆
cos DPC∠ GFH∆
PA F AB G BC H FG FH GH
EF
/ /EF CH EF CH= EFHC / /EC FH
EC FH=
F PA G AB
FG ABP∆ / /FG PB GFH∠ PB CE
3FG = 1 2 22HG AC= =
PCD∆
2 2 2 36 36 16 7cos 2 2 6 6 9
PD PC CDDPC PD PC
+ − + −∠ = = =⋅ × ×
2 2 2 2 cos 17CE PC PE PC PE DPC= + − ⋅ ∠ = 17CE =
GFH∆
2 2 2
cos 2
FG FH GHGFH FG FH
+ −∠ = ⋅
9 17 8 3 17
172 3 17
+ −= =
× ×
5 2 18 0
2 0
3 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− ≥
+ − ≥
1 0kx y− + =
3
2【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用直线 过定点 ，再利用 k 的几何意义，
只需求出直线 过点 时，k 值即可．
【详解】直线 过定点 ，
作可行域如图所示，
，
由 ，得 ．
当定点 和 B 点连接时，斜率最大，此时 ，
则 k 的最大值为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
11.已知函数 ，将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐
标保持不变，得到函数 的图象.若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用辅助角公式，将 化为正弦型三角函数，利用图像变换关系求出 ，再结合函数
图像和性质，即可求解.
2 0kx y− + = ( )0,1
1 0kx y− + = ( )2,4B
2 0kx y− + = ( )0,1
5 2 18 0
2 0
x y
x y
+ − =
− =
( )2,4B
( )0,1 4 1 3
2 0 2k
−= =−
3
2
( ) sin cosf x x x= + ( )f x 1
2
( )y g x= ( ) ( )1 2 2g x g x = − 1 2| |x x−
π
2
π 2π 4π
( )f x ( )g x ( )g x【详解】 ，所以 ，
故 的周期为 ，且 .
因为 ，所以 ，
或 ，所以 ，
所以 .
故选:A
【点睛】本题考查函数恒等变换以及图像变换求函数式，考查三角函数的图像及性质，属于
中档题.
12.奇函数 f（x）在 R 上存在导数 ，当 x＜0 时， f（x），则使得（x2﹣1）f
（x）＜0 成立的 x 的取值范围为（ ）
A. （﹣1，0）∪（0，1） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据当 x＜0 时， f（x）的结构特征，构造函数 ，求导得
， 由 当 x ＜ 0 时 ， f （ x ），得 在
上是减函数，再根据 f（x）奇函数，则 也是奇函数，
在 上也是减函数，又因为函数 f（x）在 R 上存在导数 ，
所以函数 f（x）是连续的，所以函数 h（x）在 R 上是减函数，并且 与 同号，将
（x2﹣1）f（x）＜0 转化为 求解.
【详解】设 ，
所以 ，
因为当 x＜0 时， f（x），
( ) π2 sin 4f x x = +
( ) π2 sin 2 4g x x = +
( )g x π ( )max 2,g x = ( )min 2g x = −
( ) ( )1 2 2g x g x⋅ = − ( ) ( )1 2 2g x g x= − =
( ) ( )1 2 2g x g x= − = − 1 2
π π,2x x k k− = + ∈N
1 2 min
π| | 2x x− =
( )f x′ ( )f x′ 2
x
−＜
( )f x¢ 2
x
−＜ ( ) ( )2h x x f x=
( ) ( ) ( )( 2 )h x x xf x f x′ ′= + ( )f x¢ 2
x
−＜ ( ) ( )2h x x f x=
( )0−∞， ( ) ( )2h x x f x= ( ) ( )2h x x f x=
( )0 ∞，+ ( )f x¢
( )h x ( )f x
( )2 1 ( ) 0x h x− <
( ) ( )2h x x f x=
( ) ( ) ( )( 2 )h x x xf x f x′ ′= +
( )f x¢ 2
x
−＜即 ，
所以 ，
所以 在 上是减函数.
又因为 f（x）奇函数，
所以 也是奇函数，
所以 在 上也是减函数，
又因为函数 f（x）在 R 上存在导数 ，
所以函数 f（x）是连续的，
所以函数 h（x）在 R 上是减函数，并且 与 同号，
所以（x2﹣1）f（x）＜0 或
解得 或
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，
属于难题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.若抛物线 上的点 到焦点的距离为 8，到 轴的距离为 6，则抛物线
的方程是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，可得结果.
【详解】根据抛物线定义， ，解得 ，
故抛物线 的方程是 .
( ) ( )2 0xf x f x′ + >
( ) ( ) ( )( 2 ) 0h x x xf x f x′ ′= + <
( ) ( )2h x x f x= ( )0−∞，
( ) ( )2h x x f x=
( ) ( )2h x x f x= ( )0 ∞，+
( )f x¢
( )h x ( )f x
( )2 1 ( ) 0x h x⇔ − <
2 1 0
( ) 0
x
h x
− >⇔
1x > 1 0x− < <
2: 2 ( 0)C x py p= > P x C
2 8x y=
8 6 22
p = − = 4p =
C 2 8x y=故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.
14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到
， 从 而 确 定 出 数 列 为 等 比 数 列 ， 再 令 ， 结 合 的 关 系 ， 求 得
，之后应用等比数列的求和公式求得 的值.
【详解】根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比
着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数
列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既
有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15.已知三棱锥 的四个顶点都在球 O 的球面上，且 ， ，
，则球 O 的表面积_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，取 中点 ，可以得到 ，从而确定出球半
径为 1，利用球的表面积公式求得结果.
2 8x y=
nS { }na n 2 1n nS a= + 6S =
63−
2 1n nS a= + 1 12 1n nS a+ += +
1 2n na a+ = { }na 1n = 1 1,a S
1 1a = − 6S
2 1n nS a= + 1 12 1n nS a+ += +
1 12 2n n na a a+ += − 1 2n na a+ =
1n = 1 1 12 1S a a= = + 1 1a = −
{ }na
6
6
(1 2 ) 631 2S
− −= = −− 63−
1n =
-A BCD = 3AC =2BD
= = = = 2AB BC CD AD
4π
BD O 1OA OB OC OD= = = =【详解】取 中点 ，
由 ， 知 ，
∴球半径为 1，表面积为 ，
故答案是： .
【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确
定出球心位置是解题的关键.
16.已知 ，函数 ，当 时，不等式 的解集是
_____．若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围是___．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
分类讨论构造不等式组即可求得 的解集；分别令两段解析式等于零可求出所有可能
的零点，以可能的零点来进行分段可确定符合题意的情况.
【详解】由 得： ；由 得： ，
时，不等式 的解集为 ；
令 得： ；令 得： 或 ，
恰有两个零点，
当 时， 、 是 的两个零点，满足题意；
当 时， 、 、 是 的三个零点，不合题意；
当 时， 、 是 的两个零点，满足题意；
当 时， 是 的唯一零点，不合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解不等式的问题、根据分段函数零点个数求解参数
BD O
2AB BC CD AD= = = = 2BD = 1OA OB OC OD= = = =
4π
4π
Rλ ∈ 2
4,( ) 4 3,
x xf x x x x
λ
λ
− ≥= − + > 1 2,F F 1 2| | 2F F = 1F
C ,A B 2BF C M 2ABF∆
C
0( ,0)P x ·PM PB 0x
1
2
2 2
14 3
x y+ = P 0
11
8x =
1c = 2a =（2）假设存在点 ，分别求出直线 的斜率不存在、直线 的斜率存在的表达式，令
其相等，求出结果
【详解】（1）由题意可知， ，则 ，
又 的周长为 8，所以 ，即 ，
则 ， .
故 的方程为 .
（2）假设存在点 ，使得 为定值.
若直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ， ， ，
则 .
若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，
设点 ， ，联立 ，得 ，
根据韦达定理可得： ， ，
由于 ， ，
则
因为 为定值，所以 ，
解得 ，故存在点 ，且 .
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求
出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握
21.设函数 （其中 ，m，n 为常数）
P BM BM
1 2| |=2c=2F F 1c =
2ABF∆ 4 8a = 2a =
1
2
ce a
= = 2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
P ·PM PB
BM BM 1x = 31, 2B
31, 2M −
( )2
0
9· 1 4PM PB x = − −
BM BM ( )1y k x= −
( )1 1,B x y ( )2 2,M x y
( )
2 2
14 3
1
x y
y k x
+ =
= −
( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
−= +
( )2 0 2,PM x x y= − ( )1 0 1,PB x x y= −
( ) 2
1 2 1 2 0 0 1 2•PM PB x x x x x x y y= − + + +
( ) ( )( ) ( )2 2 2
0 0 02 2 2 2
1 2 0 1 2 0 2
4 8 5 3 12
1 4 3
x x k x
k x x x k x x k x k
− − + −
= + − + + + + = +
·PM PB 2 2
0 0 04 8 5 3 12
4 3
x x x− − −=
0
11
8x = P 0
11
8x =
( ) sinxf x e m x n= − + 2.71828e ≈ …（1）当 时，对 有 恒成立，求实数 n 的取值范围；
（2）若曲线 在 处的切线方程为 ，函数 的
零点为 ，求所有满足 的整数 k 的和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 恒成立可知 单调递增，由此得到 ，进而求
得结果；
（2）由切线方程可确定 和 ，从而构造方程求得 ；将 化为
，由 可确定 单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，
进而得到 所有可能的取值，从而求得结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ， ， 对任意的 都成立，
在 单调递增， ，
要使得对 有 恒成立，则 ，解得： ，
即 的取值范围为 .
（2） ， ，解得： ，
又 ， ， ， ，
显然 不是 的零点， 可化为 ，
令 ，则 ， 在 ， 上单调递增.
又 ， ， ， ，
在 ， 上各有 个零点， 在 ， 上各有 个零点，
1m = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x >
( )y f x= 0x = 1 0x y− − = ( ) ( ) 2g x xf x x= + −
0x [ ]0 , 1x k k∈ +
[ )1,− +∞ 2−
( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )0 1 0f x f n> = + ≥
( )0f ′ ( )0f ,m n ( ) 0g x =
( ) 2 1 0xh x e x
= − − = ( )h x′ ( )h x
k
1m = ( ) sinxf x e x n= − + ( ) cos 0xf x e x′∴ = − >
0x > e 1x > [ ]cos 1,1x∈ − ( ) 0f x′∴ > ( )0,x∈ +∞
( )f x∴ ( )0, ∞+ ( ) ( )0 1f x f n∴ > = +
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x > 1 0n+ ≥ 1n ≥ −
n [ )1,− +∞
( ) cosxf x e m x′ = − ( )0 1 1f m′∴ = − = 0m =
( )0 1 1f n= + = − 2n∴ = − ( ) 2xf x e∴ = − ( ) 2xg x xe x= − −
0x = ( )g x 2 0xxe x∴ − − = 2 1 0xe x
− − =
( ) 2 1xh x e x
= − − ( ) 2
2 0xh x e x
′ = + > ( )h x∴ ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( )1 3 0h e= − < ( ) 22 2 0h e= − > ( ) 3
1 13 03h e
− = − < ( ) 2
12 0h e
− = >
( )h x∴ ( )3, 2− − ( )1,2 1 ( )g x∴ [ ]3, 2− − [ ]1,2 1整数 的取值为 或 ， 整数 的所有取值的和为 .
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函
数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点
存在定理确定零点所在区间.
请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数），以原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 交曲线 于 ， 两点，求 的值.
【答案】（1）曲线 的普通方程 ， 的直角坐标方程 （2）
【解析】
【分析】
(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;
(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.
【详解】(1)已知曲线 : ( 为参数),
则曲线 的普通方程 ,
直线 的极坐标方程为 ,
则 的直角坐标方程 ;
∴ k 3− 1 ∴ k 3 1 2− + = −
xOy C
1 2cos
2sin
x
y
α
α
= − +
=
α O
x l sin 24
πρ θ − =
C l
( 2,0)P − l C A B
1 1
| | | |PA PB
+
C 2 2( 1) 4x y+ + = l 2 0x y− + =
14
3
C
1 2cos
2sin
x
y
α
α
= − +
=
α
C 2 2( 1) 4x y+ + =
l sin 24
πρ θ − =
l 2 0x y− + =(2)直线 的参数方程为 ( 为参数)
代入曲线 : ,
化简得
设 , 对应的参数分别为 , ,
则 , ,
所以 .
【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,
难度不大.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ， .
（1）解不等式： ；
（2）记 的最小值为 ，若实数 ， 满足 ，试证明：
.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先将 化为分段函数形式,然后根据 ,分别解不等式即可;
(2)由(1)可得 ,从而得到 ,再利用基本不等式求出 的最
小值.
【详解】(1) .
l
22 2
2
2
x t
y t
= − +
=
t
C 2 2( 1) 4x y+ + =
2 2 3 0t t− − =
A B 1t 2t
1 2 2t t+ = 1 2 3t t = −
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
| | | | |
t t t t
PA PB t t t t t t
+ −+ = + = = ( )2
1 2 1 2
1 2
4 14
3
t t t t
t t
+ −= =
( ) | 4 | |1 |f x x x= − + − x∈R
( ) 5f x ≤
( )f x M a b 2 2a b M+ =
2 2
1 1 2
2 1 3a b
+ ≥+ +
{ }| 0 5x x≤ ≤
( )f x ( ) 5f x
min( ) 3f x M= = 2 2 3a b+ = 2 2
1 1
2 1a b
++ +
( ) | 4 | |1 |f x x x= − + −
2 5, 4
3,1 4
2 5, 1
x x
x
x x
− >
=
− +
1 4x
2 5 5
1
x
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