宁夏2020届高三数学（文）下学期统练（七）试题（Word版附解析）

2020 届高三下学期统练（七）数学（文）试 题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ，则集合 中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 解分式不等式化简集合 ，即可得答案. 【详解】∵ . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的描述法和列举法表示，考查运算求解能力，属于基础题. 2.设复数 ，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算化简复数 ，即可得答案. 【详解】∵ ， ∴复数 的虚部为 . 故选：A. 【点睛】本题考查复数虚部的概念，考查运算求解能力和对概念的理解，属于基础题. 3.为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了 地 岁的 名女性，其中 地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在 岁的女性被 抽取了 40 人，则年龄在 岁的女性被抽取的人数为（ ） 7 02 xA x N x − = ∈ F F 1l C ,M N MN 2l x P 6PF = MN = 2| | sin 45 pMN =  6PF = ( 3,3)2 pQ + p【详解】由题意得直线 的倾斜角为 ， ∴ ， 设直线 与直线 的交点为 ，则 为等腰直角三角形， ∵ ，∴ ， 设 ，∴ ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：B. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、点差法的应用，考查函数与方程思想、转化与 化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10.已知函数 ，则（ ） A. 函数 的图像关于 对称 B. 函数 的图像关于 对称 C. 函数 的图像关于 对称 D. 函数 的图像关于 对称 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，易得函数过原点，从而根据选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】∵函数 过点 ， 对 A，若函数 的图像关于 对称，则 ，显然不成立，故 A 错误； 对 B，若函数 的图像关于 对称，则 ，显然不成立，故 B 错误； 对 D，若函数 的图像关于 对称，则 ，显然不成立，故 D 错误； 1l 45 2 2| | 4sin 45 pMN p= =  1l 2l Q FQP∆ 6PF = ( 3,3)2 pQ + 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2 32 y y+ = 2 1 1 1 2 1 2 1 22 2 2 2 , ( )( ) 2 ( ) 2 , y px y y y y p x x y px  = ⇒ + − = − = 1 2 1 2 1 2 2 1 3y y p px x y y − = = ⇒ =− + | | 4 12MN p= = ( ) 2 2 2 4 8 xf x x x = − + ( )f x 2x = ( )f x 4x = ( )f x ( )2,2 ( )f x ( )4,4 ( ) 2 2 2 4 8 xf x x x = − + (0,0) ( )f x 2x = (4) 0f = ( )f x 4x = (8) 0f = ( )f x ( )4,4 (8) 8f =利用排除法可得 C 正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推 理能力、运算求解能力，求解时注意利用排除法进行解题. 11.已知函数 的部分图像如图所示，其中 为图像上两点，将函数 图像的横坐标缩短到原来的 ，再向右平 移 个单位长度后得到函数 的图像，则函数 的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像得到 ，在于图像的平移得到 ，将 带入正弦函数的递减区间，即可得答案. 【详解】由图像得 ，∴ ， ∴ ， ∵图像过点 ，∴ ，即 ，解得： ， ( ) ( )( )cos 0, 0f x A x Aω ϕ ω= + > > 4,2 , ,03 3M N π π           ( )f x 1 8 3 8 π ( )g x ( )g x ( )11 316 , 162 2k k k Z π ππ π − + + ∈   ( )3 1716 , 162 2k k k Z π ππ π + + ∈   ( )5,6 2 12 2 k k k Z π π π π + + ∈   ( ),12 2 6 2 k k k Z π π π π − + + ∈   ( ) 22c s 1of x x ϕ = +   ( ) 42 6sing x x π = − −   4 6x π− 2A = 2 144 2 T T ππ π ωω= ⇒ = = ⇒ = ( ) 22c s 1of x x ϕ = +   ,23M π     23f π  =   cos 16 π ϕ + =   6 πϕ = −∴ ，∴ ， ∴ ， ∴函数 的单调递增区间为 . 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用， 考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12.已知函数 仅有唯一极值点，则实数 的取值范 围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 转 化 为 方 程 在 仅 有 一 个 变 号 根 ， 进 一 步 将 问 题 转 化 为 方 程 在 不存在变号根，由 得 在 单 调递增，利用导数即可得答案. 【详解】∵ ， ∵ 在 仅有一个变号根，显然 为一个变号根， ∴ 恒大于等于 0 或恒小于等于 0， ∵ ， ∴当 时， 在 恒成立， ∴ 在 单调递增时，且 ， ∴ 在 恒成立， 在 ( ) 12cos 2 6xf x π = −   ( ) 42 6sing x x π = − −   4 3 52 2 ,2 2 2 6 26 2 1 k kk x k x k Z π π π π π ππππ + ≤ − + ⇒ + ≤ +≤ ∈≤ ( )g x ( )5,6 2 12 2 k k k Z π π π π + + ∈   ( ) [ )2 2 12 , 0,2 x x mx xf x x xe − += − − ∈ +∞ m [ ),e− +∞ 1 ,e  − +∞  [ )1,− +∞ [ )0,+∞ ' ( ) 0f x = [ )0,x∈ +∞ 1 0xe mx+ − = [ )0,x∈ +∞ (0) 0y = 1xy e mx= + − [ )0,x∈ +∞ 2 ' (2 1) ( 1) ( 2)( 1)( ) 2 x x x mx mx x x e mxf x x e e − − − + − + −= − − = ' ( ) 0f x = [ )0,x∈ +∞ 2x = 1xy e mx= + − [ )0,x∈ +∞ ' xy e m= + 1m ≥ − ' 0xy e m= + ≥ [ )0,x∈ +∞ 1xy e mx= + − [ )0,x∈ +∞ (0) 0y = 1 0xy e mx= + − ≥ [ )0,x∈ +∞故 满足题意. 当 时， ， ， ∴ 在 单调递减，在 单调递增， 且 ， ∴ 在 恒大于等于 0 或恒小于等于 0 均不成立， ∴ 不合题意； 综上所述： . 故选：C. 【点睛】本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题，考查函数 与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离的 应用. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 ，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据向量的坐标运算，求向量的数量积，即可得答案. 【详解】∵ ， ， ∴ . 故答案为： . 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14.设实数 满足 ，则 的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 1m ≥ − 1m < − ' 0 ln( )xy e m x m= + = ⇒ = − ' '0 ln( ); 0 0 ln( )y x m y x m> ⇒ > − < ⇒ < < − 1xy e mx= + − [ )0,ln( ]x m∈ − [ )ln( , )x m∈ − +∞ (0) 0y = 1xy e mx= + − [ )0,x∈ +∞ 1m < − 1m ≥ − ( ) ( )2, 3 , 1,1m n= − =  ( ) ( )2m n m n− + =     8 ( )1, 4m n− = −  ( )2 4, 1m n+ = −  ( ) ( )2 4 4 8m n m n− ⋅ + = + =    8 ,x y 2 0 2 6 2 0 x y x y y − ≥  + ≤  + ≥ 4z x y= − 42[ ,18]5 −分析】 作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案. 【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示， 当直线 过点 B 和过点 C 时， 分别取到最小值和最大值， 此时 ， ，∴ 故答案为： 【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直 线截距几何意义的应用. 15.已知三棱锥 外接球 的体积为 ，在 中， ，则三棱锥 体积的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出三棱锥的直观图，当三棱锥 体积的最大时， 面 ，设 为外接球的 球心，且半径为 ，利用球的体积求得 的值，再利用勾股定理求得三棱锥的高，即可得答 案. 【详解】由题意得 中， ， ∴ ，取 的中点 ，连结 ， 当三棱锥 体积的最大时， 面 ，设 为外接球的球心，且半径为 ， ∴ ， ∵ ， 【 4z x y= − z 6 12( , )5 5B (10, 2)C − max min 6 48 4210 8 18, ,5 5 5z z= + = = − = − 42[ ,18]5 − S ABC− O 288π ABC∆ 36, 8,cos 5AB AC CBA= = ∠ = S ABC− 48 8 11+ S ABC− 1SO ⊥ ABC O R R ABC∆ 2 2 2 38 6 2 6 105BC BC BC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = 2A π= AB 1O 1SO S ABC− 1SO ⊥ ABC O R 34 288 63 R R π π= ⇒ = 2 2 2 2 2 1 1 1 6 5 11OC CO OO OO= + ⇒ = − =∴ ，∴ . 故答案为： . 【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、三棱锥体积的求解，考查函数与方程思想、转化 与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心位置的确 定. 16.若面积为 2 的 中， ，则 的最小值为____________. 【答案】6 【解析】 【分析】 要据三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，将 表示成关于 的三角函数，再利用导 数求最小值，即可得答案. 【详解】∵ ，∴ ， ∵ 的面积为，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 显然 的最小值时，只需考虑 时， 令 ，则 ， 当 得 ，此时 ， ∵ 在 存在唯一的极值点， 1 6 11SO = + max 1 1( 6 8) (6 11) 48 8 113 2V = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + 48 8 11+ ABC∆ sin 2sinC B= 2BC 2BC A sin 2sinC B= 2c b= ABC∆ 1 4sin 22 sinS bc A bc A = = ⇒ = 2 2 sinb A = 2 4 sinc A = 2 2 2 2 2 8 8cos 10 8cos2 cos sin sin sin sin A ABC a b c bc A A A A A −= = + − = + − = 2BC 0 2A π< ≤ 10 8cos( ) sin Af A A −= 2 ' 2 2 8sin (10 8cos )cos 8 10cos( ) sin sin A A A Af A A A − − −= = ' ( ) 0f A = 4cos 5A = 3sin 5A = (A)f 0 2A π< ≤∴ . 故答案为： . 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、导数在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求函数的最值. 三、解答题（共 70 分） 17.已知首项为 1 的数列 满足：当 时， . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ;（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）利用等比数列前 项和公式，可求得 . 【详解】（1）∵ ，∴ ， ， ， ∴ ，整理得： ， 当 时，也符合上式，∴ . （2）∵ ， ∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ∴ . min 410 8 5( ) 63 5 f A − × = = 6 { }na 2n ≥ 1 3 5n na a n−= + − { }na 23 329 n na − −       n nT 23 7 6 2n n na − += 7 7 7 3 [(1 (3 ) ] 1 3 n nT − − − −= − n nT 1 3 5( 2)n na a n n−− = − ≥ 2 1 3 2 5a a− = × − 3 2 3 3 5a a− = × − 4 3 3 4 5a a− = × −  1 ( 1)( 2)3 5 ( 1)2n n na a n − +− = × − ⋅ − 23 7 6 ( 2)2n n na n − += ≥ 1n = 23 7 6 2n n na − += 23 3 729 (3 )n na n− − −= 23 329 n na − −       73− 73− 7 7 7 3 [(1 (3 ) ] 1 3 n nT − − − −= −【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、等比数列前 项和公式，考查函数与方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 18.人们随着生活水平的提高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健身方面投入 越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在 地区随机抽取了 参加健身的青年男性、女性各 50 名，将其花费统计情况如下表所示： 分组（花费） 频数 6 22 25 35 8 4 男性 女性 合计 健身花费不超过 2400 元 23 健身花费超过 2400 元 20 合计 （1）完善二联表中的数据； （2）根据表中的数据情况，判断是否有 99%的把握认为健身的花费超过 2400 元与性别有关； （3）求这 100 名被调查者一年健身的平均花费（同一组数据用该区间的中点值代替）. 附： n M [ )0,800 [ )800,1600 [ )1600, 2400 [ )2400,3200 [ )3200, 4000 [ ]4000, 4800 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b a c c d b d −= = + + ++ + + +P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.01 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析;（2）没有 99%的把握;（3） 元. 【解析】 【分析】 （1）根据频数表提取数据，并填入列联表中； （2）将数据代入卡方系数计算公式中，并与 6.635 进行比较，即可得答案； （3）根据题意直接计算样本数据的平均值，即可得答案. 【详解】（1） 男性 女性 合计 健身花费不超过 2400 元 23 30 53 健身花费超过 2400 元 27 20 47 合计 50 50 100 （2）∵ ， ∴没有 99% 把握认为健身的花费超过 2400 元与性别有关. （3）平均费用为 ，则 . ∴这 100 名被调查者一年健身的平均花费 元. 【点睛】本题考查独立性检验、平均数的计算，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确 性. 的 2232 2 2 100(23 20 27 30) 1.967 6.63550 50 53 47K × − ×= = ⇒ > 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 2 1 2 2 1 3 3 64 20| |2 2 4 1 4OMN POM PON kS S S x x k∆ ∆ ∆ −= − = × × − = × + 2 91 4 ( )4t k t= + > 2 1 4k t −= 2 16( 1) 203 3 16 36 3 36 16 4 4 4OMN t tS S t t t t∆ − − −= = × = × = − + 9 1 404 9t t > ⇒ < < 1 2 9t = 3 4 14 3OMNS∆ ≤ × = S 1 ( ) 1 x axf x e += 0a < ( )f x ( ) ( )2 x xg x f xe = − − m 34 0me+ < a 1( , )a a −−∞ 1( , )a a − +∞ 2 0a− < < ' 1( ) ( ) x aa x af x e −− + = m 2( ) 4 ( 2) 0au a a e += + − < ( )u a【详解】（1）∵ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 在区间 单调递增，在区间 单调递减. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ 或 ， ， ∴ 在 单调递减， 单调递增， ∴ ， ∴ ， 令 ， 在 恒成立， 单调递减，且 ， ∴ 时， 成立， ∴实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查 函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运 算求解能力. 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为 ' 2 1( )( 1)( ) x x x x aa xae ax e af x e e −− +− += = 0a < ' 1( ) 0 af x x a −> ⇒ > ' 1( ) 0 af x x a −< ⇒ < ( )f x 1( , )a a − +∞ 1( , )a a −−∞ ( ) 2 21 1 x x x x ax x axg x e e e + − − −= − − = ( ) 2 ' ( 2) 1 [ (1 )]( 1) x x x a x a x a xg x e e + − + − − − −= = 0a < 1 1a− > ( )' 0 1g x x> ⇒ < 1x a> − ( )' 0 1 1g x x a< ⇒ < < − ( )g x (1,1 )a− (1 ),a− +∞ ( ) ( ) 1 21 a ag x g a e − −= − = 极小值 3 3 2 1 24 4 4 ( 2) 0a a ame e a ee + − −+ = + ⋅ = + − < 2( ) 4 ( 2) au a a e += + −  ' 2( ) ( 1) 0au a a e += − < ( ,0)−∞ ∴ ( )u a ( 2) 0u − = 2 0a− < < 34 0me+ < a 2 0a− < < xOy l 2 2 2 x t y t  = − = t极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 两点，求 的值. 【答案】（1） ; ;（2） . 【解析】 分析】 （1）消参即可得到直线的普通方程，再利用 可得直线的极坐标方程；进一步可 得曲线的普通方程； （2）利用参数方程中参数的几何意义，可求得弦长. 【详解】（1）∵ ； ∵ ， ∴直线 的极坐标方程为 . ∵ ∴曲线 的直角坐标方程为 . （2）把直线的参数方程化简为标准式为 （t 为参数），代入 x2+4y2＝4， 得到：3t2﹣4t﹣4＝0， 所以 ， ， 则：|PQ| . 【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义 的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 【 x C ( )2 21 3sin 4ρ θ+ = l C l C ,P Q PQ 1 sin( )4 ρ πθ = + 2 24 4x y+ = 8 3 cos , sin , x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2 2 x t x y y t  = − ⇒ + = = cos , cos sin 2sin , x y ρ θ ρ θ ρ θρ θ = ⇒ + = = l 1 sin( )4 ρ πθ = + ( )2 2 2 2 21 3sin 4 3 sin 4ρ θ ρ ρ θ= ⇒ ++ = C 2 24 4x y+ = 22 2 2 2 x t y t  = −  = 1 2 4 3t t+ = 1 2 4 3t t = − 2 1 2 1 2 1 2 8( ) 4 3t t t t t t= − = + − =23.已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2）m≥3 或 m≤﹣1. 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段法进行求解，即可得答案； （2）由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2 恒成立，设 g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需 g （x）min≥2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求 范围．. 【详解】（1）若 ，不等式 ① 当 时，不等式①等价于 ，∴ ； 当 时，不等式①等价于 ，∴ ； 当 时，不等式①等价于 ，∴ ； 综上所述，不等式的解集为 . （2）关于 x 的不等式 |x﹣1|≥1 恒成立，即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2 恒成立， 设 g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需 g（x）min≥2， 而 g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，当且仅当 x＝1 取得等号， 则 g（x）的最小值为|1﹣m|， 由|1﹣m|≥2， 解得 m≥3 或 m≤﹣1． 【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值，考查函数与方程思想、 转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完 整性. ( ) ( )f x x m m R= − ∈ 3m = ( ) 2 1 1f x x> − + x ( ) 1 12 f x x+ − ≥ m { | 1 1}x x− < < 3m = ( ) 2 1 1f x x> − + | 3| 2 1 1x x⇔ − > − + 1 2x ≤ 3 1 2 1 1x x x− > − + ⇒ > − 11 2x− < ≤ 1 32 x< ≤ 3 2 1 1 1x x x− > − + ⇒ < 1 12 x< < 3x > 3 2 1 1 3x x x− > − + ⇒ < − x∈∅ { | 1 1}x x− < < ( ) 2 f x +