石嘴山三中 2020 届第一次模拟考试文科数学能力测试卷
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上.）
1.设全集 ，集合 ， ，则集合 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合补集与交集定义求结果.
【详解】 ， 所以
故选 B
【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.
2.已知 是虚数单位，复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
先把复数化简，然后可求它的共轭复数.
【详解】因为 ,
所以共轭复数就是 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，
侧重考查数学运算的核心素养.
3.某中学有高中生 人，初中生 人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的
学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取女
U = R { | 0 2}A x x= < < { 3, 1,1, 3}B = − − ( )U A B =
{ 3, 1}− − { 3, 1, 3}− −
{1, 3} { }1,1−
U A = { | 0 2}x x x或≤ ≥ ( )U A B∩ = { }3, 1,3− −
i 1 1
1 1i i
−− +
i i−
( )1 i 1 i1 1 i1 i 1 i 2
+ − −− = =− +
i−
3000 2000
n生 人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.
详解：因为分层抽样的抽取比例为 ，
所以初中生中抽取的男生人数是 人.
本题选择 A 选项.
点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1) ；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
4.向量 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为（）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】C
【解析】
试题分析：设向量 与 的夹角为 θ．∵ ，
∴ ，化为 ，
∵ ，∴ ．故选 C．
考点：平面向量数量积的运算．
5.将函数 的图像上的所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，若
的部分图像如图所示，
21
12 15 20 21
21 1
3000 0.7 100
=×
2000 0.6 12100
× =
n
N
=样本容量 该层抽取的个体数
总体的个数 该层的个体数
,a b 1a = 2b = ( ) (2 )a b a b+ ⊥ − a b
a b ( ) (2 )a b a b+ ⊥ −
2 2 2 2( ) (2 ) 2 2 1 ( 2) 1 2 cos 0a b a b a b a b θ+ ⋅ − = − + ⋅ = × − + × × = cos 0θ =
[0, ]θ π∈ 090θ =
( )f x
4
π ( )g x
( )( ) sing x A xω ϕ= + 0 , 0 , 2
πω ϕ > > ( )2 22 1x y− + = e
1e > 1 5
2e
+> 2 3
3e > 5
2e >
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > by xa
= ±
( )2 22 1x y− + = ( )2,0 1 2 2
2 1b
a b
>
+
( )2 2
2
4
1
c a
c
−
>化简得 ，即 .故选 C.
12.某同学为研究函数 ，( )的性质，构造了如图所示的
两个边长为 1 的正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，设 ，则
.函数 的零点的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
函数 的值域即为图中 的取值范围，通过分析点 在线段 上的运动可得到
的范围为 ，而函数 的零点的个数即为方程
的解的个数，而 ，从而可得函数 的零点个数为 0．
【详解】由题意可知，函数 的值域即为图中 的取值范围，
通过图形可知点 在线段 运动时，
当 三点共线时，此时 在 中点， 取得最小值 ；
当 在中点处向 (或 )运动的时， 逐渐增大，当 到达 (或 )处时，
达到最大值 ，理由如下：
因为 ，，( )，
所以 ，令 ，
即 ，两边同时平方整理得 ，
解得 ，
2
2
4
3
c
a
> 2 3
3e >
2 2( ) 1 1 (1 )f x x x= + + + − 0 1x≤ ≤
ABCD BEFC P BC CP x=
( )AP PF f x+ = ( ) 3 ( ) 8g x f x= −
( )f x AP PF+ P BC
AP PF+ [ 5, 2 1]+ ( ) 3 ( ) 8g x f x= − 8( ) 3f x =
8
3
∉ [ 5, 2 1]+ ( )g x
( )f x AP PF+
P BC
, ,A P F P BC AP PF+ 5
P B C AP PF+ P B C AP PF+
2 1+
2 2( ) 1 1 (1 )f x x x= + + + − 0 1x≤ ≤
2 2
1( )
1 1 (1 )
x xf x
x x
−′ = +
+ + − ( ) 0f x′ =
2 2
1
1 1 (1 )
x x
x x
−= −
+ + − 1 2 0x− =
1
2x =－ ＋
↘ ↗
所以函数 的值域 ，
函数 的零点的个数即为方程 的解的个数，而 ，
所以函数 的零点的个数是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查函数零点的个数问题及函数模型的应用，考查数形结合思想．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.设抛物线 上一点 到 轴的距离是 ,则点 到该抛物线焦点的距离是____．
【答案】
【解析】
试题分析：如图，作 垂直抛物线的准线于 ，则 ，由抛物线的定义得点
到该抛物线焦点的距离 ．
考点：考查抛物线的定义及其几何性质．
14.某商店统计了最近 个月某商品的进份 与售价 （单位：元）的对应数据如表：
x 0 1(0, )2
1
2
1( ,1)2 1
( )f x′ 0
( )f x 1+ 2 5 1+ 2
( )f x [ 5, 2 1]+
( ) 3 ( ) 8g x f x= − 8( ) 3f x = 8
3
∉ [ 5, 2 1]+
( ) 3 ( ) 8g x f x= − 0
2 8y x= P y 4 P
6
1PP 1P 1 4 2 6PP = + = P
1 6PF PP= =
6 x y
x 3 5 2 8 9 12假设得到的关于 和 之间的回归直线方程是 ，那么该直线必过的定点是________.
【答案】
【解析】
分析】
根据回归方程必过点（ ），计算出 即可求得答案．
【详解】 ， 8，
∵回归方程必过点（ ），
∴该直线必过的定点是
故答案为
【点睛】本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点（ ），属于基础题．
15.在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 6 的等边三角形，
是以 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在 等 边 三 角 形 中 ， 取 的 中 点 ， 设 其 中 心 为 ， 则
，再利用勾股定理可得 ，则 为棱锥 的
外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
如图，在等边三角形 中，取 的中点 ，
设其中心为 ，由 ，
得 ，
【
y 4 6 3 9 12 14
x y y bx a+＝
( )6.5, 8
x y， x y，
3 5 2 8 9 12 13 6.56 2x
+ + + + += = = 4 6 3 9 12 14
6y
+ + + + += =
x y，
( )6.5, 8
( )6.5, 8
x y，
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC
PAB△ AB
48π
ABC AB F O
2 2 33AO BO CO CF= = = = 2 3OP = O P ABC−
ABC AB F
O 6AB =
2 2 33AO BO CO CF= = = =是以 为斜边的等腰角三角形， ,
又因为平面 平面 ，
平面 ， ，
，
则 为棱锥 的外接球球心，
外接球半径 ，
该三棱锥外接球的表面积为 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表
面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
（ 为三棱的长）；②若 面 （ ），则
（ 为 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心
和半径.
16.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步
而斜东北与乙会，问甲乙各行几何.”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的
速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇.甲、乙各走了多少步.”请问乙走的步数是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设甲、乙相遇时经过的时间为 ，根据已知画出图形，由勾股定理列出方程，即可求出 ，进
而可求出乙走的步数．
【详解】设甲、乙相遇时经过的时间为 ，则甲、乙走过的路程分别为 ， ，如图：
PAB∆ AB PF AB∴ ⊥
PAB ⊥ ABC
PF∴ ⊥ ABC PF OF∴ ⊥
2 2 2 3OP OF PF= + =
O P ABC−
2 3R OC= =
∴ ( )2
4 2 3 48π π× =
48π
2 2 2 24R a b c= + + , ,a b c SA ⊥ ABC SA a= 2 2 24 4R r a= +
r ABC∆
21
2
t t
t 7t 3t所以 ， , ，在 中，由勾股定理，得
，即 ，解得 或 (舍去)，
所以 ，即乙走的步数是 ．
故答案 ：
【点睛】本题主要考查解三角形，关键是抓住相遇时时间相等，并且能根据题意画出图形，
利用勾股定理列出方程求出相遇时的时间．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
17.公差不为 0 的等差数列 ， 为 ﹐ 的等比中项，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可.
(2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.
【详解】(1)设等差数列 的公差为 则因为 为 , 的等比中项,
故 ,化简得 .
又 故 .故 , .
为
3AC t= 10AB = 7 10AC t= − Rt ABC∆
2 2 2(7 10) (3 ) 10t t− = + 240 140 0t t− = 7
2t = 0t =
213 2AC t= = 21
2
21
2
{ }na 2a 1a 4a 3 6S =
{ }na
2n
n nb a= + { }nb nT
na n= 2n
nb n= + ( ) ( )1 2 2 12
n
n
n nT
+= + −
{ }na d 2a 1a 4a
( ) ( )22
2 1 4 1 1 1 3a a a a d a a d= ⋅ ⇒ + = ⋅ + 1a d=
3 6S = 1 13 3 6 2a d a d+ = ⇒ + = 1 1a d= = ( )1 1na a n d n= + − =即 .
(2) ,故
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属
于基础题.
18.2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒
“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从
该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10
人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成 列联表，并回答能否有 的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男 55
女
合计
（2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名学
生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）有（2）
na n=
2 2n n
n nb a n= + = + ( ) ( )1 2 1 21 2 2 2 ... 2 1 2 ... 2 2 ...2n n
nT n n= + + + + + + = + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1
2 1 21
2 1 2 2
n
nn n n n−+= + =−
+ + −
2
3
2 2× 90%
2
0( )P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
7
10p =【解析】
【分析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出 ，与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）
由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．
【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣 没有兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
由列联表中的数据可得
因为 ，
所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
(2)记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n，
则从这 5 人中随机抽取 3 人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,
（A,B,m）,
（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共 10 种情况，
其中 3 人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共 1 种，2 人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,
（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共 6 种，
所以至少 2 人对冰球有兴趣的情况有 7 种，
因此，所求概率为 ．
【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算
的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多
与概率、统计等内容综合命题．
19.如图，已知三棱锥 的平面展开图中，四边形为 边长等于 的正方形，
和 均为正三角形，在三棱锥中 ：
2K
7
10P =
P ABC− ABCD 2
ABE∆ BCF∆ P ABC−（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的表面积和体积.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积 ，体积
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意知 和 为等腰三角形，可取 AC 中点 O，连接 PO,OB，可证明
平面 然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱
锥的表面积，由 平面 ，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.
【详解】解：（Ⅰ）设 的中点为 ，连接 ， .
由题意，得 ， ， .
因为在 中， ， 为 的中点，所以 .
因为在 中， ， ， ，
，所以 .
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（Ⅱ）三棱锥 的表面积 ，
由（Ⅰ）知， 平面 ，所以三棱锥 的体积为
.
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，
PAC ⊥ ABC
P ABC−
2 3+ 1
3
APC∆ ABC∆ PO ⊥
ABC，
PO ⊥ ABC
AC O BO PO
2PA PB PC= = = 1PO = 1AO BO CO= = =
PAC∆ PA PC= O AC PO AC⊥
POB∆ 1PO = 1OB = 2PB =
2 2 2PO OB PB+ = PO OB⊥
AC OB O∩ = AC OB ⊂ ABC
PO ⊥ ABC
PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABC
P ABC− ( )232 2 2 24S = × + × × 2 3= +
PO ⊥ ABC P ABC−
1
3 ABCV S PO∆= × 1 1 12 2 13 2 3
= × × × × =考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.若椭圆 （ ）的顶点到直线 的距离分别为 和 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设平行于 的直线 交 于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
(1)根据直线 的方程可知直线 与两坐标轴的夹角均为 ，可得 ， ，
即可求出 ，从而求出椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ，直线 的方程为 ，由 ，可得
，将直线 的方程与椭圆 的方程联立消去 ，利用根与系数的关系求出
， 代入 即可求出 ，进而求出直线 的方程．
【详解】(1)由直线 ： 可知其与两坐标轴的夹角均为 ，
故长轴端点到直线 的距离为 ，短轴端点到直线 的距离为 ，
所以 ， ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
(2)设直线 ： （ ），
由 ，整理得 ，
则 ，解得 ，
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> > 1 :l y x= 2 2
2
C
1l l C A B OA OB⊥ l
2
2 14
x y+ = 2 10
5y x= + 2 10
5y x= −
1l 1l 45 2 22 a = 2 2
2 2b =
,a b C
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l y x t= + ( 0)t ≠ OA OB⊥
0OA OB⋅ = l C y
1 2x x+ 1 2x x 0OA OB⋅ = t l
1l y x= 45°
1l 2
2 a 1l 2
2 b
2 22 a = 2 2
2 2b = 2a = 1b =
C
2
2 14
x y+ =
l y x t= + 0t ≠
2
2 14
y x t
x y
= + + =
2 25 8 4 4 0x tx t+ + − =
( )2 264 16 5 1 0t t∆ = − × − > 5 5t− <
( 1) 2y e x= − −
( )f x ( )( )1, 1f
( ) 3minf x >
( ) ln 1( 0)xf x e x x= − + > ( ) 1' xf x e x
= −
( )1 1f e= + ( )' 1 1f e= − ( ) ( )( )1 1 1y e e x− + = − −
( )1 2y e x= − −
( ) 1' xf x e x
= − ( )'f x ( )0,+∞
1' 02f ( )' 0f x > ( )f x
( ) ( ) 0
0 0 0min
0
1ln 1 1 3xf x f x e x xx
= = − + = + + ≥
0
0
1 xx
=
0 1x =
0
1 ,12x ∈
( )min 3f x > ( ) 3f x >
( )f x
xOy C
3 2cos
4 2sin
x
y
α
α
= +
= − +
α
x C
( )2,0A − ( )0,2B C ( ),M x y ABM
2 6 cos 8 sin 21 0ρ ρ θ ρ θ− + + = 9 2 2+
α C cos , sinx yρ θ ρ θ= =
C M AB
ABM【详解】解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数），
所以其普通方程为 ，
所以圆 的极坐标方程为 .
（2）点 到直线 ： 的距离 ，
故 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标
方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.
23.选修 4-5：不等式选讲
设函数 ，
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为
； （ II ） 由 （ I ） 值 ， 函 数 的 最 小 值 为 ， 即
，由此解得 .
试题解析：
（I） ，
C
3 2cos
4 2sin
x
y
α
α
= +
= − +
α
( ) ( )2 23 4 4x y− + + =
C 2 6 cos 8 sin 21 0ρ ρ θ ρ θ− + + =
( ),M x y AB 2 0x y− + = | 2cos 2sin 9 |
2
d
α α− +=
ABM
1 | | | 2cos 2sin 9 | 2 2 sin 92 4S AB d
πα α α = × × = − + = − +
ABM 9 2 2+
( ) 2 2 2f x x x= + − −
( ) 2f x >
x R∀ ∈ ( ) 2 7
2f x t t≥ − t
2 63x x x < − 或 3 22 t≤ ≤
2 63x x x < − 或 ( )f x ( )1 3f − = −
2 73 2t t− ≥ − 3 22 t≤ ≤
( )
4, 1
{3 , 1 2
4, 2
x x
f x x x
x x
− − < −
= − ≤ <
+ ≥当 ， ， ，
当 ， ， ，
当 ， ， ，
综上所述 .
（II）易得 ，若 ， 恒成立，
则只需 ，
综上所述 .
考点：不等式选讲．
1x < − 4 2x− − > 6x < − 6x∴ < −
1 2x− ≤ < 3 2x > 2
3x > 2 23 x∴ < <
2x ≥ 4 2x + > 2x > − 2x∴ ≥
2 63x x x < − 或
( ) ( )min 1 3f x f= − = − x R∀ ∈ ( ) 2 11
2f x t t≥ −
( ) 2 2
min
7 33 2 7 6 0 22 2f x t t t t t= − ≥ − ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤
3 22 t≤ ≤
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