（文数）考试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验
（指标值满分为 5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，
则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差
4．已知点 ， 是抛物线 ： 上的两点，且线段 过抛物线 的焦点 ，若
的中点到 轴的距离为 2，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与
{1,2,3,4}A = { | 3 5, }B y y x x A= = − ∈ A B =
{1,2} {1,4} {2,4} { }3,4
6 4 41
iz ii
−= ++ z
A B C 2 4y x= AB C F AB
y AB =
a b a b a b+ = − | | 3a = | | 1b = b a b−
3
π 2
3
π
6
π 5
6
π
圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．2021 年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地
理化学生物四选二，共有 12 种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若
他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率( )
A． B． C． D．
8．函数 的图像大致为
A． B．
C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是定义在 上的函数，且 ，如果当 时，
，则 （ ）
A．27 B．-27 C．9 D．-9
11．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨
2
3
4
9
2 6
9
8
27
3 1 2+ +
1
2
1
3
1
6
1
9
( ) ( )2
2
ln 1 3
1
x x x
f x x
+ + −
= +
23
6
7
2
7
6 4
( )y f x= R ( 4) ( )f x f x+ = − [ 4,0)x∈ −
( ) 3 xf x −= (985)f =
辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 行的所有数字之和为 ，若
去除所有为 1 的项，依次构成数列 ，则此数列的前 55 项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
12．设函数 .若不等式 对一切
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.
13．已知直线 与函数 的图象相邻两个交点的横坐标分别为
， ，则 __________．
14．记命题 为“点 满足 ”，记命题 为“ 满足
”,若 是 的充分不必要条件，则实数 的最大值为______．
15.(错题重现）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
，
则 的最小值为____.
16．已知函数 ，若函数 在 上有两个不同的零点，则实数
的取值范围是__________．
n 12n−
2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,
3 2( ) ( , , , 0)f x ax bx cx a b c R a= + + ∈ ≠ '( ) ( ) 3xf x af x− ≤
x∈R 3b c
a
−
1[ , )3
+∞ 9[ , )4
+∞ 1[ , )3
− +∞ 9[ , )4
− +∞
y n= ( ) 3 sin cosf x m x x= +
1 6x
π= − 2
5
6x
π= m =
p ( ),M x y 2 2 2 ( 0)x y a a+ ≤ > q ( ),M x y
2 4
4
4 3 4 0
x y
x y
x y
− ≤
+ ≤
− + ≥
p q a
ABCD 1AD = 2=BD AB AC⊥
2AC AB=
CD
( ) 2 24f x x x mx= − + + ( )f x ( )0,3
m
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.第 17 题至 21 题为必答题，,第 22 题第 23 题为选答题.
(一)必答题（每题 12 分，共 60 分）
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 的解集为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：万元）对年销
售量 （单位：吨）和年利润 （单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费 和年销售量
（ ）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
年宣传费 （万元）
年销售量 （吨）
经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式
（ ）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
（1）根据所给数据，求 关于 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 与 ， 的关系为 若想在 年达到年利润
最大，请预测 年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 中的斜率和截
{ }na n nS 2
4 3 2 0a x S x⋅ − ⋅ + < 2 ,17 { }na { }nc 2 2 na n nc a= + { }nc n nT x y z ix iy 1,2,3,4,5,6i = 2013 2014 2015 2016 2017 2018 x 38 48 58 68 78 88 y 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 x y by a x= ⋅ , 0a b >
( )6
1
ln lni i
i
x y
=
⋅∑ ( )6
1
ln i
i
x
=
∑ ( )6
1
ln i
i
y
=
∑ ( )6 2
1
ln i
i
x
=
∑
75.3 24.6 18.3 101.4
y x
z x y e2 14z y x= − 2019
2019
( )1,lu v ( )2 2,u v ( ),n nu v v u aβ= ⋅ +
距的最小二乘估计分别为 ，
19．如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，其中点 在以
为直径的圆上， ， ， ，平面 平面 .
（1）证明： 平面 .
（2）设点 是线段 （不含端点）上一动点，当三棱锥 的体积为 1 时，求异面直
线 与 所成角的余弦值.
20．如图，已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，若动圆
与圆 内切与圆 外切．
求动圆圆心 的轨迹 的方程；
过直线 上的点 作圆 的两条切线，设切点分别是 ，若直线
与轨迹 交于 两点，求 的最小值．
21．已知函数 ， .
（1）求使方程 存在两个实数解时， 的取值范围；
( )
1
2 2
1
( )
( )
n
i i
i
n
i
i
u v n uv
u n u
β =
=
−
=
−
∑
∑
v uα β= − ⋅
S ABCD− ABCD / /AB CD D AB
3SD = 7SC = 2 4AB AD= = SCD ⊥ ABCD
SD ⊥ ABCD
P SB P SAC−
AD CP
1F 2 2 49( 1) 8x y+ + = 2F 2 2 1( 1) 8x y− + = M
1F 2F
( )1 M C
( )2 2x = Q 2 2: 2O x y+ = ,M N MN
C ,E F EF
2
5( 1)( ) 3( 3)
xf x x
+= + [0,2]x∈
( ) 1 0( )2
mf x m R− + = ∈ m
（2）设 ，函数 ， .若对任意 ，总存在 ，
使得 ，求实数 的取值范围.
（二）选考题（共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做第一题计分）
22．在直角坐标系中，圆 经过伸缩变换 后得到曲线 ．以坐标原
点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线
的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的直角坐标方程；
（2）设点 是 上一动点，求点 到直线 的距离的最大值．
．
23．已知函数 f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．
（1）求 a 的值；
（2）设 g（x）＝f（x ）+f（x﹣1），g（x）的最大值为 t，若正数 m，n 满足 m+n＝t，证
明： ．
0a ≠ 3 21( ) 3g x ax a x= − [0,2]x∈ 1 [0,2]x ∈ 0 [0,2]x ∈
1 0( ) ( ) 0f x g x− = a
2 2
1 : 1C x y+ = 2
3
x x
y y
= =
′
′ 2C
x
l (2cos 3sin ) 9ρ θ θ+ =
2C l
M 2C M l
1
2
+
4 9 25
6m n
+ ≥
（文数）答案
1--5：BDCCB 6--10：BBAAB 11-12;AD
13. 1 14. 15. 16.
17 解：（1）因为 的解集为
所以 且 ，.......2 分
，
， ........6 分
（2）由（1）可得
，.......8 分
........12 分
18（1）对 ，（ ， ），两边取对数得 ，.....1 分
令 ， ，得 ，.......2 分
由题目中的数据，计算 ， ，......3 分
且 ，
；
则 ，.......6 分
16
25 5821−
14 23 m− < < − 2 4 3 2 0a x S x⋅ − ⋅ + < 2 ,17 3 4 9 7 S a = 4 2 2 7a = 1 1 1 3 3 9 3 7 3 7 a d a d a d + = + + = 1 1, 2a d∴ = = 2 1na n∴ = − 2 2 na n nc a= + 2 14 1 2 nn −= − + ( ) ( ) ( )24 1 43 4 1 1 22 4 12 2 1 4 3 n n n n nT n n −+ −∴ = + ⋅ = + + −− by a x= ⋅ 0a > 0b > ln ln lny a b x= +
lni iu x= lni iv y= lnv a b u= + ⋅
24.6 4.16u = = 18.3 3.056v = =
( ) ( )6 6
1 1
ln lni i i i
i i
u v x y
= =
= =∑ ∑ 75.3
( )6 6 22
1 1
1n 101.4i i
i i
u x
= =
= =∑ ∑
( )6
1
6 2 2
1 6
ˆ 6i ii
ii
u v u v
b
u u
=
=
− ⋅
=
− ⋅
∑
∑ 2
75.3 6 4.1 3.05
101.4 6 4.1
− × ×= − ×
0.27 1
0.54 2
= =
，.....7 分
得出 ，
所以 关于 的回归方程是 ；.......8 分
（2）由题意知这种产品的年利润 z 的预测值为
，....9
分
所以当 ，即 时， 取得最大值，....11 分
即当 2019 年的年宣传费用是 万元时，年利润有最大值.......12 分
19【详解】
（1）连接 ， ，因为点 在以 为直径的圆上，所以 .
因为 ，所以 ， .
所以 .......2 分
因为 为等腰梯形， ，
所以 ..........3 分
又因为 ， ，
所以 ，从而得 . .........4 分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ............5 分
（2）由（1）得 ，.......6 分
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，......8 分
即点 是线段 的中点
1ln ln 3.05 4.1 12a v u= − = − × =
ˆa e=
y x ˆy e x= ⋅
2 214
ˆ ez y x e x= − = ⋅
14 14
e ex− = − ( )14 2 14
ex x− = − ( )2
7 2 7x e− +
7 2x = 98x = ˆz
98
AC BD D AB 90ADB∠ = °
2 4AB AD= = 30ABD∠ = ° 60DAB∠ = °
cos 4 cos30 2 3BD AB ABD= ∠ = × ° =
ABCD / /AB CD
12 cos60 4 2 2 22CD AB AD= − ⋅ ° = − × × =
3SD = 7SC =
2 2 2SD CD SC+ = SD CD⊥
SCD ⊥ ABCD SCD ABCD CD=
SD ⊥ ABCD
1 1 1 23 3 2S ABC ABCV S SD AC BC SD− ∆= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
BP BSλ= 1 23P ABC ABCV S SDλ λ− ∆= ⋅ =
2 2 1P SAC S ABC P ABCV V V λ− − −= − = − = 1
2
λ =
P SB
取 的中点为 ，连接 ，则由（1）及条件得 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，从而 ，且 ，
所以 为异面直线 与 所成角（或补角）......9 分
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，....10 分
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ......12 分
20（Ⅰ）设动圆 的半径为 ，∵动圆 与圆 内切，与圆 外切，
∴ ，且 .于是， ，.....2 分
所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.从而， ，
所以 .故动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．.......4 分
（Ⅱ）设直线 上任意一点 的坐标是 ，切点 坐标分别是 ，
；则经过 点的切线斜率 ，方程是 ，
经过 点的切线方程是 ，.........6 分
又两条切线 ， 相交于 .
则有 ，所以经过 两点的直线 的方程是 ，....7 分
①当 时，有 ， ， ， ，则 ；.......8 分
AB M CM / /AM CD 2AM CD= =
AMCD / /CM AD 2CM AD= =
PCM∠ AD CP
2 2 7SA SD AD= + = 7
2PM =
2 2 15SB SD BD= + =
2 2 2 15cos 2 5
SB BC SCPBC SB BC
+ −∠ = =⋅
2 2 2 72 cos 4CP PB BC PB BC PBC= + − ⋅ ⋅ ∠ =
2 2 2 2 7cos 2 7
MC PC PMPCM MC PC
+ −∠ = =⋅
AD CP 2 7
7
M r M 1F 2F
1
7 2
4MF r= − 2
2
4MF r= + 1 2 1 22 2 2MF MF F F+ = > =
M 1 2,F F 2 2 2, 1a c= =
1b = M C
2
2 12
x y+ =
2x = Q ( )2,t ,M N ( )3 3,x y
( )4 4,x y M 3
3
xk y
= −
3 3 2x x y y+ =
N 4 4 2x x y y+ =
MQ NQ Q ( )2,t
3 3
4 4
2 2
2 2
x ty
x ty
+ =
+ =
,M N l 2 2x ty+ =
0t = ( )1,1M ( )1, 1N − 21, 2E
21, 2F
−
2EF =
②当 时，联立 ，整理得 ；
设 坐标分别为 ， ，则 ，..........10 分
所以 ，
综上所述，当 时， 有最小值 ．.........12 分
21（1） .
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，......2 分
所以 ，又 ， ，
要使方程 存在两个实数解，则 ，
解得 .......4 分
（2）由（1）知 ，设 的值域为 ，因为对任意 ，总存在 ，
使得 ，所以 ........6 分
因为 ，所以 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
又 ，不可能满足 ......7 分
当 时，由于 ，
若 ，即 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
0t ≠ 2
2
2 2
12
x ty
x y
+ = + =
( )2 2 28 16 8 2 0t x x t+ − + − =
,E F ( )5 5,x y ( )6 6,x y
5 6 2
2
5 6 2
16
8
8 2
8
x x t
tx x t
+ = + − ⋅ = +
( ) ( )22
2
5 6 5 6 2 2
2 2 42 8 21 4 2 2 28 8
t
EF x x x xt t t
+ = + − ⋅ + − = = − > + +
EF 2
( ) ( )
( )( )
( )
2
2 22 2
1 35 2 3 5' 3 33 3
x xx xf x
x x
− ++ −= − ⋅ = − ⋅
+ +
( )' 0f x > 0 1x< < ( )' 0f x < 1 2x< < ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( ) ( )max 51 6f x f= = ( ) 50 9f = ( ) 52 7f = ( ) 1 02 mf x − + = 5 517 2 6 m≤ − < 24 11 7 3m≤ < ( ) 5 5,9 6f x ∈ ( )g x A [ ]1 0,2x ∈ [ ]0 0,2x ∈ ( ) ( )1 0 0f x g x− = 5 5,9 6 A ⊆ ( ) 3 21 3g x ax a x= − ( ) 2 2'g x ax a= − 0a < ( )' 0g x < ( )0,2 ( )g x [ ]0,2 ( )0 0g = 5 5,9 6 A ⊆ 0a > ( ) ( )( )2 2'g x ax a a x a x a= − = + −
2a < 0 4a< < ( )g x ( )0, a ( ,2a
，又 ， ，要使 ，则必
须有 ，化简得 ，解得 ，又 ，所以
.
................10 分
若 ，即 ， 在 上单调递减，不可能满足 ...........11 分
综上，实数 的取值范围为 .........12 分
22（Ⅰ）由 经过伸缩变换 ，可得曲线 的方程为 ，
即 ，.........3 分
由极坐标方程 可得直线 的直角坐标方程为 ．...5
分
（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （ 为参数），所以可设点
，
由点到直线的距离公式，点 到直线 的距离为
（其中 ， ），由三角函数性质知，当 时，点 到直线 的距离
有最大值 ．......10 分
23（1）解：由 ，得 ，即 .
由 ，得 ，所以 ........4 分
（2）证明：由（1）知 ，
( ) ( ) 5
2
min
2 03g x g a a= = − < ( )0 0g = ( ) 282 23 ag a= − 5 5,9 6 A ⊆ 28 523 6 a a− ≥ 212 16 5 0a a− + ≤ 1 5 2 6a≤ ≤ 0 4a< < 1 5 2 6a≤ ≤ 2a ≥ 4a ≥ ( )g x [ ]0,2 5 5,9 6 A ⊆ a 1 5,2 6 2 2 1x y+ = 2 3 x x y y = = ′ ′ 2C 22 12 3 x y + = 2 2 14 3 x y+ = ( )2cos 3sin 9ρ θ θ+ = l 2 3 9 0x y+ − = 2 3 x cos y sin α α = = α ( )2cos , 3sinM α α M l ( )5sin 94cos 3sin 9 7 7 d α ϕα α − −+ −= = 4sin 5 ϕ = 3cos 5 ϕ = α ϕ π− = M l 2 7 ( )0 1f = − 1 1a− = − 2a = ± ( )1 3f − = 1 2 3a a+ − − = 2a = ( ) 2 1 2 2f x x x= − − +
所以 ，
显然 的最大值为 6，即 ......7 分
因为 ，
所以 .
因为 （当且仅当 ， 时取等号），
所以 ......10 分
( ) ( )1 1 2 3 2 32g x f x f x x x = + + − = − − +
36, 2
3 34 , 2 2
36, 2
x
x x
x
≤ −
= − − < ≤ − >
( )g x 6t =
6( 0, 0)m n m n+ = > >
( )4 9 1 4 9 1 4 9136 6
n mm nm n m n m n
+ = + + = + +
4 9 4 92 12n m n m
m n m n
+ ≥ ⋅ = 12
5m = 18
5n =
( )4 9 1 2513 126 6m n
+ ≥ × + =
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