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2019-2020 学年山东省烟台市第二中学高一下学期 3 月月考
数学试题
一、单选题
1．设 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【解析】根据复数的乘除运算求出复数 的代数形式，然后可得复数的虚部．
【详解】
由题意得 ，
所以复数 的虚部为 1．
故选 D．
【点睛】
解答本题容易出现的错误是认为复数 的虚部为 ，解题的关键是得到复数的
代数形式和熟记相关的概念，属于基础题．
2．已知 的内角 所对的边长分别是 ，设向量 ，
，若 ，则角 的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】由 ，得到 边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求
解.
【详解】
， ， ，
，
由正弦定理可得
，
i
32
1
iz i
= −
i i−
z
( )2 12 11 2
i iiz ii
− − −−= = = − +−
z
z a bi= + bi
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ),sinm a b C= +ur
( )3 ,sin sina c B An + −=r
//m n B
//m n ABC∆
( ),sinm a b C= +ur ( )3 ,sin sina c B An + −=r
//m n
( )(sin sin ) ( 3 )sin 0a b B A a c C∴ + − − + =
2 2 2 3 0b a c ac− − − =第 2 页 共 17 页
，
.
故选:D.
【点睛】
本题以向量坐标关系为背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，
属于基础题.
3．设 是虚数单位，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简复数得到答案.
【详解】
故答案选 B
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
4．已知平面直角坐标系内的两个向量 ,且平面内的任一向量
都可以唯一表示成 ( 为实数),则实数 m 的取值范围是( )
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】根据已知 是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出 不共线满足的条
件，即可求出结果.
【详解】
由题意可知,平面内的任一向量 都可以唯一表示成 ,
∴ 是平面内表示所有向量的一个基底,.
2 2 2 3cos 2 2
a c bB ac
+ −∴ = = −
0 180 , 150B B° < < ° ∴ = °
i
( )
( )
3
2
1
1
i
i
−
+
1 i− 1 i− + 1 i+ 1 i− −
( )
( )
3 2
2
1 (1 ) (1 ) 2 (1 ) 12 21
i i i i i ii ii
− − − − −= = = − +
+
(3, 2 ), (1, 2)a m b m= − = −
c c a bλ µ= + ,λ µ
6 ,5
+∞
6 6, ,5 5
−∞ +∞ ( ,2)−∞
( , 2) ( 2, )−∞ − ∪ − +∞
,a b ,a b
c c a bλ µ= +
,a b 第 3 页 共 17 页
∴ 不共线, ∴ .
故 m 的取值范围是 .
故选 B
【点睛】
本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.
5．设 是两个不共线的向量，若 则
（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【解析】因为 + = =2 ，故 三点共线.
故答案为 A.
6．在 中.已知 是 延长线上一点.点 为线段 的中点.若 .且
.则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由 ,
, ,求解 ,结合条件,即可求得答案.
【详解】
, , ,
可得:
,a b 3( 2) 2 0m m− + ≠ 6
5m ≠
6 6, ,5 5
−∞ +∞
,m n 5 , 2 8 , 4 2 ,AB m n BC m n CD m n= + = − + = +
, ,A B D , ,A B C
, ,A C D , ,B C D
BC CD 5 10 ,m n+ AB , ,A B D
ABC∆ D BC E AD 2BC CD=
3
4AE AB ACλ= + λ =
1
4
− 1
4
1
3
− 1
3
1 ,2AE AD AD BD BA= = −
AC BC BA= − 3
2BD BC= AE
1 ,2AE AD AD BD BA= = − AC BC BA= − 3
2BD BC=
( )1 1
2 2AE AD BD BA= = − 1 1
2 2BD AB+=
2
3
4
1BC AB= + ( ) 1
2
3
4 BA AC AB= + +
1
2
3 3
4 4AB AC AB= − + + 第 4 页 共 17 页
由
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和
计算能力,属于中档题.
7． 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足：
，则 的轨迹一定通过 的( )
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
【答案】A
【解析】先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定
的方向
与 的角平分线一致，可得到 ，可得答案．
【详解】
、 分别表示向量 、 方向上的单位向量
的方向与 的角平分线一致
又 ，
向量 的方向与 的角平分线一致
一定通过 的内心
故选： ．
1 3
4 4AB AC= − +
3
4AE AB ACλ= +
∴ 1
4
λ = −
O , ,A B C P
, [0, )AB ACOP OA
AB AC
λ λ
= + + ∈ +∞
P ABC∆
| |
AB
AB
| |
AC
AC
AB AC
| | | |
AB AC
AB AC
+
BAC∠ ( )
| | | |
AB ACOP OA AP
AB AC
λ− = = +
| |
AB
AB
| |
AC
AC
AB AC
∴
| | | |
AB AC
AB AC
+
BAC∠
( )
| | | |
AB ACOP OA
AB AC
λ= + +
∴ ( )
| | | |
AB ACOP OA AP
AB AC
λ− = = +
∴ AP BAC∠
∴ ABC∆
A第 5 页 共 17 页
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
8．在△ABC 中， 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，且 ，若向量
和 平行，且 sinB＝ ，当△ABC 的面积为 时，则 b＝（ ）
A． B．2 C．4 D．2＋
【答案】B
【解析】试题分析：由 得 ，即 ，由 知 为锐角，
所以 ，所以 ，即
， ，由 得 ， ，代入得
， ．故选 B．
【考点】向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积．
9．在 中， ，则 的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.
【详解】
因为 ，所以
，即 是直角三角形，选 D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意
应用 这个结论．
10．如图，四边形 是正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为
的中点，且 ，则 （ ）
, ,a b c c b a> > ( ),1m a b= −
( ),1m b c= − 4
5
3
2
1 3
2
+
3
/ /m n a b b c− = − 2b a c= + c b a> > B
3cos 4B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )22 2 6 16
5 5a c ac a c ac= + − = + −
( )22 162 5b b ac= − 2 16
15b ac= 1 sin2S ac B= 2 3
5 2ac = 15
4ac =
2 4b = 2b =
ABC ( ) 2
BC BA AC AC+ ⋅ = ABC
( ) ( ) ( ) 22 2BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC+ ⋅ = + ⋅ − = − =
2 2 2a c b− = ABC
πA B C+ + =
ABCD CD E DE CD= P CD
AP AB AEλ µ= + λ µ+ =第 6 页 共 17 页
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】以向量 为基底，将 用基底表示，即可得到 的方程，求解
即可.
【详解】
为 的中点，
， .
故选;B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题.
11．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意有 ，由余弦定理得
，由正弦定理得 .
点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角
形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余
弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正
弦定理和余弦定理都需要考虑.
5
2
,AB AD ,AP AE ,λ µ
P CD DE CD=
( )AP AB AE AB AD ABλ µ λ µ= + = + −
( ) 1
2 AB AB DA ADλ µ µ= − + = +
1 3
,2 2
1 1
λ µ λ
µ µ
− = = ∴
= =
5
2
λ µ+ =
ABC△ 60A = ° 1b = 3ABCS =
sin
c
C
=
8 3
81
2 39
3
26 3
3 2 7
1 sin 60 3, 42S bc c= = =
2 2 2 cos60 13a b c bc= + − =
13 2 39
sin sin 33
2
c a
C A
= = =第 7 页 共 17 页
12．已知单位向量 的夹角为 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求出 ，应用向量夹角公式，即可求解.
【详解】
单位向量 的夹角为 ，
，
，
设 与 夹角为 ，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
13．若 外接圆的半径为 1，圆心为 ， 且 ,则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到 为直
径，所以 为直角三角形，求出三边的长求得 的值，利用两个向量的数量
积的定义即可求得 的值．
详解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 三点共线，且 为直径，
如图所示，所以 ，
因为 ，所以 ，
1 2,e e
3
π
1 22e e+
2e
2
3
3
4
6
3
2 7
7
1 2 1 2 2(| 2 |, 2 )e e e e e+ + ⋅
1 2,e e
3
π
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| 2 | (2 ) 5 4 7, | 2 | 7e e e e e e e e+ = + = + ⋅ = ∴ + =
21 2 1 2 2(2 ) 12e e ee e+ ⋅ ⋅= + =
1 22e e+
2e θ
2 2
2
1
1 2
( 2 2 7cos 7
2 )
| 2 | | 7|
e e
e
e
ee
θ += = =⋅
+ ⋅
ABC O 2 0OA AB AC+ + = OA AB=
CA CB⋅
3
2 3 2 3 3
OB OC= − BC
ABC∆ ACB∠
CA CB⋅
2 0OA AB AC+ + = 0OA AB OA AC+ + + =
OB OC= − , ,O B C BC
AB AC⊥
1, 2, 3OA AB BC AC= = = =
6ACB
π∠ =第 8 页 共 17 页
则 ，故选 D．
点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要
条件等知识的应用，其中求出 为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了
分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
14．（理）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则命题 是命题
的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．非充分且非必要条件
【答案】B
【解析】先利用向量数量积求向量夹角范围，再根据包含关系确定选项.
【详解】
因为 ，所以
因为 ，所以命题 是命题 的必要非充
分条件
故选：B
【点睛】
本题考查充要关系的判定以及向量夹角计算，考查综合分析求解能力，属基础题.
15．某观察站 在 城的南偏西 20°的方向，由 出发的一条公路的走向是南偏东
25°.现在 处测得此公路上距 处 的 处有一人正沿此公路骑车以 的
速度向 城驶去，行驶了 后到达 处，此时测得 与 之间的距离为
，则此人到达 城还需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3cos 2 3 36 2CA CB CA CB
π⋅ = ⋅ = × =
ABC∆
a b θ :P 1a b− >
5: [ , )2 6Q
π πθ ∈
1| | 1 1+1 2 1 1 cos 1 cos 2a b θ θ− > ⇒ − × × × > ⇒ 5: [ , )2 6Q
π πθ ∈
B A A
B B 30km C 40km / h
A 15min D B D
8 10km A
40min 42min 48min 60min第 9 页 共 17 页
【解析】根据已知，可得 ，在 中，求出
，进而求出 ，在 中，求出 ，再求出 ，即可求解.
【详解】
在 城的南偏西 20°的方向，
由 出发的一条公路的走向是南偏东 25°，
，
一人正沿此公路骑车以 的速度向 城驶去，
从 处行驶了 后到达 处， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
， 此人到达 城，还需 分钟.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角应用问题，转化为余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属
于中档题.
16．已知点 是 的重心， ，若 ，
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
45 , 30, 10, 8 10A BC CD BD= ° = = = BCD∆
cosC sinC ABC∆ AC AD
B A
A
45A∴ = °
40km / h A
C 15min D 10CD∴ =
BCD∆ 30, 10, 8 10BC CD BD= = =
2 2 2 100 900 640 3cos 2 2 10 30 5
CD BC BDC BC CD
+ − + −∴ = = =⋅ × ×
4 2 3 2 4 7 2sin ,sin sin(45 )5 2 5 2 5 10C B C∴ = = °+ = ⋅ + ⋅ =
ABC∆ 30 2sin sin
AC BC
B A
= =
7 230 2 42, 3210AC AD∴ = × = =
32 60 48(min)40
× = ∴ A 48
G ABC∆ ( , )AG AB AC Rλ µ λ µ= + ∈ 120A∠ =
2AB AC⋅ = − AG
3
3
2
2
2
3
3
4第 10 页 共 17 页
【答案】C
【解析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解 的最小值即
可.
【详解】
如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得
,
，
根据向量的数量积的定义可得 ,
设 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 ，△ABC 是等腰三角形时等号成立.
综上可得 的最小值是 .
本题选择 C 选项.
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
17．已知点 是 的重心，内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，且
，则角 的大小是__________．
【答案】
【解析】由向量的平行四边形法则可得 ，代入
AG
( )2 1
3 3AG AD AB AC= = +
120 , 2A AB AC∠ = ⋅ = −
cos120 2AB AC AB AC⋅ = × × = −
,AB x AC y= = 4AB AC xy× = =
2 21 1 23 3AG AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅
2 21 1 24 2 43 3 3x y xy= + − ≥ − =
x y= AB AC=
AG 2
3
G ABC∆ A B C a b c
05 7 8
a b cGA GB GC+ + = B
3
π
GA GC BG+ = 第 11 页 共 17 页
可得 ，故 ，则
．由余弦定理可得 ，故 ，应
填答案 ．
点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解
答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形
法则，将其转化为 ，然后再借助向量相等的条件待定出三
角形三边之间的关系 ，最后运用余弦定理求出 ，使得问题获解．
18．(2016·惠州二调)在 中，设角 的对边分别是 ，且 ，
，则 ________.
【答案】4
【解析】由正弦定理知 ，所以 ，则
.
19．△ 的内角 的对边分别为 ，已知
， ，则△ 的面积为________．
【答案】 .
【解析】首先利用正弦定理将题中的式子化为 ，
化简求得 ，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 ，可以断
定 为锐角，从而求得 ，进一步求得 ，利用三角形面积公式求得
结果.
【详解】
因为 ，
结合正弦定理可得 ，
可得 ，因为 ，
05 7 8
a b cGA GB GC+ + = ( ) ( ) 05 7 8 7
a b c bGA GC− + − =
5 7 8
a b c= =
5 , 7 , 8a t b t c t= = = 2 2 2
2
25 64 49 1cos 80 2
t t tB t
+ −= =
3B
π=
3
π
( ) ( ) 05 7 8 7
a b c bGA GC− + − =
5 7 8
a b c= =
3B
π=
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 60C = °
3c = 2 3cos
sin
a A
B
+ =
2sin sin
a c
A C
= = 2sina A= 2 3cos
sin
a A
B
+ =
02sin 2 3cos 4sin( 60 ) 4sin sin
A A A
B B
+ += =
ABC A B C， ， a b c， ，
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC
2 3
3
sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ =
1sin 2A = 2 cos 8bc A =
A 3cos 2A = 8 3
3bc =
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ =
sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ =
1sin 2A = 2 2 2 8b c a+ − =第 12 页 共 17 页
结合余弦定理 ，可得 ，
所以 为锐角，且 ，从而求得 ，
所以 的面积为 ，故答案是 .
【点睛】
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形
式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运
用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 、 、
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20．如图所示，已知点 为 的重心， ， ，则 的值为
___________.
【答案】72
【解析】由三角形的重心的性质以及平面向量的线性运算法则可得 ,
由向量运算的三角形法则可得 ，再由向量垂直的条
件、平面向量数量积的运算和勾股定理,计算即可得到所求值.
【详解】
连接 延长交 于 ，
因为 为重心，所以 为中点,
且 ,
因为 ,
所以 ，
则
2 2 2 2a b c bccosA= + − 2 cos 8bc A =
A 3cos 2A = 8 3
3bc =
ABC∆ 1 1 8 3 1 2 3sin2 2 3 2 3S bc A= = ⋅ ⋅ = 2 3
3
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30 45
60
O ABC OA OB⊥ 6AB = AC BC⋅
( )OC OA OB= − +
( ) ( )AC BC OC OA OC OB⋅ = − ⋅ −
CO AB M
O M
12 2 ( ) ( )2OC OM OA OB OA OB= − = − × + = − +
, 6OA OB AB⊥ =
0,OA OB⋅ = 2 2 2
36OA OB AB+ = =
( ) ( )AC BC OC OA OC OB⋅ = − ⋅ − 第 13 页 共 17 页
,故答案为 72.
【点睛】
本题考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的条件,考查平面向量数量积的运算法则，
属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式
；二是向量的平方等于向量模的平方 .
三、解答题
21．在 中， 分别为角 所对的边，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 外接圆的面积为 ，且 ，求 边上的高 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）将 代入已知等式，展开整理，求出 ，即可求解；
（2）根据已知求出外接圆半径，进而求出 ，由余弦定理，结合 ，求出 ，
可得 ，即可求出结论.
【详解】
（1）因为 ，
，
， .
（2）设 外接圆的半径为 ，
则 ，故 ，
由正弦定理知 ，
，
解得 ，
所以 .
( )2 2
(2 ) (2 ) 5 2OA OB OB OA OA OB OA OB= + ⋅ + = ⋅ + +
0 2 36 72= + × =
cosa b a b θ⋅ = 22
a a=
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2sin cos 2sin sinB C A C= −
B
ABC∆ 4
3
π
4a c+ = AC BD
3
π
3BD =
sin sin( )A B C= + cos B
b 4a c+ = ac
ABCS∆
2sin cos 2sin sinB C A C= −
2sin cos 2sin( ) sin 2sin cos 2cos sin sinB C B C C B C B C C= + − = + −
12cos sin sin ,0 , sin 0,cos 2B C C C C Bπ= < < ∴ > =
0 B π< <
3B
π∴ =
ABC∆ R
2 4
3R
ππ = 2 3
3R =
2 3 32 sin 2 23 2b R B= = × × =
2 2 2 24 ( ) 3 16 3b a c ac a c ac ac= = + − = + − = −
4ac =
1 sin2ABCS ac B∆ = 1 34 32 2
= × × =第 14 页 共 17 页
又 ，
故 .
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，
属于中档题.
22．若 、 是两个不共线的非零向量，
（1）若 与 起点相同，则实数 t 为何值时， 三个向量的终点 A，B，
C 在一直线上？
（2）若 ，且 与 夹角为 60°，则实数 t 为何值时， 的值最小？
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由三点 A，B，C 共线，必存在一个常数 t 使得 ，由此等式建
立起关于 λ，t 的方程求出 t 的值；
（2）由题设条件，可以把 的平方表示成关于实数 t 的函数，根据所得的函数判
断出它取出最小值时的 x 的值.
【详解】
（1） ， ，即
，可得 ；
故存在 时，A、B、C 三点共线；
（2）设
，
时， 的值最小.
【点睛】
本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力.
1
2ABCS AC BD∆ = ⋅ = 1 2 32 BD× × =
3BD =
a b
a b 1 ( b)3a tb a + 、 、
| | | |a b= a b | |a tb−
1
2t = 1
2t =
AB ACλ=
| |a tb−
1 2AB ,AC 3 3tb a b a= − = − AB / /AC
AB ACλ=
1 2
3 3b a b aλ ∴ − = −
1
13 t2 21 3
t λ
λ
= ∴ =
− = −
1
2t =
| | | |a b k= =
( ) 2
2 2 2 2 2 2 2 1 3| | | | | | 2 | || | cos60 1 2 4a tb a t b t a b k t t k t° − = + − = − + = − +
1
2t∴ = | |a tb− 第 15 页 共 17 页
23．如图，在 中， 为 边上一点，且 ，已知 ， .
（1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的长.
【答案】（1） .（2） .
【解析】【试题分析】(1)在 中,利用正弦定理可求得 ,得到
,利用等腰的性质可知 .(2)利用三角形的面积公式可求得 ,利用余
弦定理可求得 ,由此求得 的长.
【试题解析】
（1）在 中， ， ， ，由正弦定理得
，
解得 ，所以 或 .
因为 是锐角三角形，所以 .
又 ，所以 .
（2）由题意可得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，
ABC△ D AB DA DC=
4B
π= 1BC =
ABC△ 6
3DC = A
BCD
1
6 AB
3A
π= 5 2
3
+
BCD∆ 3sin 2BDC∠ =
π
3BDC∠ = π
3A = BD
CD AB
BCD 4B
π= 1BC = 6
3DC =
sin sin
BC CD
BDC B
=∠
21 32sin 26
3
BDC
×
∠ = =
3BDC
π∠ = 2
3
π
ABC
2
3BDC
π∠ =
DA DC=
3A
π=
1 1sin2 4 6BCDS BC BD
π= ⋅ ⋅ ⋅ = 2
3BD =
2 2 2 2 cos 4CD BC BD BC BD
π= + − ⋅ ⋅ = 2 2 2 51 2 19 3 2 9
+ − × × × =第 16 页 共 17 页
解得 ，
则 .
所以 的长为 .
24．如图，在 中，设 ， ，又 ， ， ，向
量 的夹角为 .
（1）用 表示 ；
（2）若点 是 边的中点，直线 交 于 点，求 ⋅
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知 ，转化为以 为起点的向量表示，整理即可；
（2）利用 三点共线和 三点共线，结合向量基本定理，将 用基底表
示，即可求解.
【详解】
（1） ,
（2） 共线， ，
共线， ，
，解得 ，
5
3CD =
5 2
3AB AD BD CD BD
+= + = + =
AB 5 2
3
+
ABC∆ AB a= AC b= 2BD DC= 2a = 1b =
,a b
3
π
,a b AD
E AC BE AD F AF BC⋅
1 2
3 3aAD b= +ruuur r 3
5-
2BD DC= A
, ,A F D , ,B F E AF
2 , 2 2BD DC AD AB AC AD= − = −
1 2 1 23 2 , 3 3 3 3AD AB AC AD AB AC a b= + ∴ = + = +
, ,A F D
2
3 3AF AD a b
λ λλ∴ = +=
, ,B F E 1 ) 1( 2AF A A aB bEµ µµ µ∴ + − −+= =
3
1 2
2 3
λµ
µ λ
= − =
3
1 25 ,1 5 5
5
AF a b
λ
µ
= ∴ = +
=
2 21 2 1 2 1) ( )5 5 5 5 5( a b b aAF a bBC a b∴ + ⋅ − = − + − ⋅⋅ = 第 17 页 共 17 页
【点睛】
本题考查向量的线性运算、向量基本定理、共线向量的充要条件、向量的数量积，考查
计算求解能力，属于中档题.
4 2 1 1 31 25 5 5 2 5
= − + − × × × = −
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