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2019-2020 学年山东省青岛市平度市高一下学期
线上阶段测试数学试题
一、单选题
1．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 =（5，7），故选 A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
2．设 与 是两个不共线向量，且向量 与 共线，则 =（ ）
A．0 B． C．－2 D．
【答案】B
【解析】试题分析：因为 与 是两个不共线向量，所以向量 不是零向量，
又因为向量 与 共线，所以存在唯一实数 ，使
成立，
所以， ，
所以， ，故选 B。
【考点】共线向量。
3．已知 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，若 ＝ ＋ ， ＝－4 ＋2 ，则
与 的夹角为( ).
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C.
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，同
( )2,4a = ( )1,1b = − 2a b− =
( )5,7 ( )5,9 ( )3,7 ( )3,9
2 (4,8)a = 2 (4,8) ( 1,1)a b− = − −
a b a bλ+ ( )2b a− − λ
2
1−
2
1
a b ( )2b a− −
a bλ+ ( )2b a− − k ( )2a b k b aλ+ = − −
( ) ( )1 2 0k a k bλ− + + =
1
1 2 0 2
0 1
2
kk
kλ λ
=− = ⇒ + = = −
1e
2e a 1e
2e b
1e
2e
a b
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2| | ( ) 2 3a e e e e e e
→
= + = + ⋅ + = | | 3a
→
=第 2 页 共 15 页
理 ， 则 ， 又
， 所 以
，又 ，所以 .
【考点】 ，两向量夹角的余弦公式： ，向量数量积的运算律.
4．已知 的角 A、B、C 所对的边为 a、b、c， ， ， ，则
（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由已知结合余弦定理，得到关于 的方程，即可得答案．
【详解】
由余弦定理可得， ，
即 ，整理可得 ，
解可得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解
能力，属于基础试题．
5．如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1| | (2 4 ) 4 16 16 12b e e e e e e
→
= − = − ⋅ + = | | 2 3b
→
=
2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2( )( 4 2 ) 4 2 4 2 3a b e e e e e e e e e e
→ →
⋅ = + − + = − + ⋅ − + = −
3 1cos 22 3 3| || |
a b
a b
θ
→ →
→ →
⋅ −= = = −
×
0 0[0 ,180 ]θ ∈ 0120θ =
2
2| |a a
→ →
= cos
| || |
a b
a b
θ
→ →
→ →
⋅=
ABC 7c = 1b = 2
3C
π= a =
5 3
a
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
21 1 7
2 2
a
a
+ −− = 2 6 0+ − =a a
2a =
AF =
3 1
4 4AB AD+ 1 3
4 4AB AD+
1
2 AB AD+ 3 1
4 2AB AD+ 第 3 页 共 15 页
【详解】
根据题意得： ，又 ， ，所以
.
故选 D.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.
6．若 ， 和 的夹角为 30°，则 在 方向上的投影为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】利用 在 方向上的投影公式即可得到答案．
【详解】
因为 ， 和 的夹角为 30°
所以 在 方向上的投影为 .
故答案选 C
【点睛】
本题考查向量投影的公式，属于基础题．
7．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距 10 海里的灯塔恰好与它在一条直线
上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75°
方向上,则这艘船的速度是 ( )
A．5 海里/时 B． 海里/时 C．10 海里/时 D． 海里/时
【答案】C
【解析】在 中，计算得到 ， ，在
计算得到 ，得到答案.
【详解】
1 ( )2AF AC AE= + AC AB AD= + 1
2AE AB=
1 1 3 1( )2 2 4 2AF AB AD AB AB AD= + + = +
| 4, 2a b= = a b a b
3 2 3
a b
| 4, 2a b= = a b
a b cos , 4 cos30 2 3a a b °〈 〉 = × =
5 3 10 3
ACD∆ 15CAD CDA °∠ = ∠ = ⇒ 10CD CA= =
Rt ABC∆ AB第 4 页 共 15 页
如图依题意有 , ,
∴ ,从而 ,
在 中,求得 ,
∴这艘船的速度是 (海里/时)
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，属于简单题.
8． ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，asin AsinB+bcos2A= ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB＝ sinA，从而得
到 b＝ a，可得答案．
【详解】
∵△ABC 中，asinAsinB+bcos2A＝ a，
∴根据正弦定理，得 sin2AsinB+sinBcos2A＝ sinA，
可得 sinB（sin2A+cos2A）＝ sinA，∵sin2A+cos2A＝1，
∴sinB＝ sinA，得 b＝ a，可得 ＝ ．
故选 D．
【点睛】
本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
二、多选题
9．在下列向量组中，不能把向量 表示出来的是（ ）
60BAC °∠ = 75BAD °∠ =
15CAD CDA °∠ = ∠ = 10CD CA= =
Rt ABC∆ 5AB =
5 100.5
=
∆ 2a
b
a
=
2 3 2 2 3 2
2
2
2
2
2
2 2
b
a 2
(3,2)a =第 5 页 共 15 页
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【解析】根据向量的坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量
表示出来.
【详解】
对 A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ， 不能做为一组基底，
故 A 不能；
对 B， ，∴ ， 不共线，故 B 能．
对 C，∵ ，∴ ， 不能做为一组基底，故 C 不能．
对 D， ，∴ ， 不能做为一组基底，故 D 不
能．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量
是否共线，属于基础题．
10．下列说法正确的是（ ）
A．在 中，
B．在 中，若 ，则
C．在 中，若 ，则 ；若 ，则
D．在 中，
【答案】ACD
【解析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案．
【详解】
对于 A，由正弦定理 ，可得：
，故 A 正确；
对于 B，由 ，可得 ，或 ，即 ，或
，
1 (0,0)e =
2 (1,2)e =
1 ( 1,2)e = −
2 (5, 2)e = −
1 (3,5)e =
2 (6,10)e =
1 (2, 3)e = −
2 ( 2,3)e = −
(3,2)a =
1 (0,0)e =
2 (1,2)e =
( 1) ( 2) 5 2− × − ≠ ×
1 ( 1,2)e = −
2 (5, 2)e = −
3 10 5 6× = × 1 (3,5)e =
2 (6,10)e =
2 3 ( 2) ( 3)× = − × −
1 (2 3)e = −
2 ( 2,3)e = −
ABC : : sin :sin :sina b c A B C=
ABC sin 2 sin 2A B= A B=
ABC sin sinA B> A B> A B> sin sinA B>
ABC sin sin sin
+= +
a b c
A B C
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
: : 2 sin : 2 sin : 2 sin sin :sin :sina b c R A R B R C A B C= =
sin 2 sin 2A B= A B= 2 2A B π+ = A B=
2A B
π+ =第 6 页 共 15 页
，或 ，故 B 错误；
对于 C，在 中，由正弦定理可得 ，因此
是 的充要条件，故 C 正确；
对于 D，由正弦定理 ，
可得右边 左边，故 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思
想，属于基础题．
11．在 中， ， ， ，则角 B 的值可以是（ ）
A．105º B．15º C．15º D．135º
【答案】AB
【解析】由已知结合正弦定理可求 ，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．
【详解】
， ， ，
由正弦定理可得， 即 ，∴ ，
， ，则 或 ，
则角 或 ．
故选：AB．
【点睛】
本题考查正弦定理在求解三角形中的应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思
想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力．
12．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ，则 ；
B．已知 ， ，若 ，则 ；
C．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为 30º；
a b∴ = 2 2 2+ =a b c
ABC∆ sin sinA B a b A B> ⇔ > ⇔ > A B>
sin sinA B>
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
2 sin 2 sin 2sin sin sin sin
b c R B R C RB C B C
+ += = = =+ +
ABC 5 2a = 10c = 30A = °
C
5 2a = 10c = 30A = °
sin sin
a c
A C
=
5 2 10
1 sin
2
C
= 2sin 2C =
a c
a b θ第 10 页 共 15 页
（2）要求 ，我们可以根据（1）中结论，先求出 的值，然后开方求出答
案．
【详解】
（1） ， ，
，
，
∴ ，∴ ，
∴向量 与 的夹角 .
（2） ，
.
【点睛】
本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思
想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
18．如图，在△ABC 中，AB=3 ，D 是 BC 边上一点，且∠ADB= .
（1）求 AD 的长；
（2）若 CD=10，求 AC 的长及△ACD 的面积.
【答案】(1) AD=6 (2) S=15
【解析】（1）在 中由正弦定理可求得 AD 的长；
（2）在 中，由余弦定理可得 ，利用 可得所求
面积．
【详解】
（1）在 中，由正弦定理得 ，即 ，∴
（2）∵ ，∴
| |a b− 2| |a b−
| | 4a = | | 3b =
2 2(2 3 ) (2 ) 4 | | 3| | 4 37 4 61a b a b a b a b a b− ⋅ + = − − ⋅ = − ⋅ =
∴ | | | | cos , 6a b a b a b⋅ = ⋅ < >= −
1cos , 2a b< >= − , 120a b< >=
a b 120θ = °
2 2 2| | | | | | 2 16 9 12 37a b a b a b− = + − ⋅ = + + =
| | 37a b∴ − =
6, 4B
π∠ =
3
π
3第 11 页 共 15 页
在 中 ，由余弦定理得
∴
∴ .
综上 ， 的面积为 ．
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解
三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关
系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.
利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形
面积公式，结合正、余弦定理解题.
19．在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1） ；(2) .
【解析】（1）由 ，利用正弦定理可得 ，结合 是锐角可得
结果；(2)由 ，可得 ，再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得 ,因为 ，
所以 ,
因为 是锐角，
所以 .
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3 2 sina c A=
C
7c = ABC∆ 3 3
2
+a b
60 5
3 2 sina c A= 3sin 2C = C
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab =
3 2 sina c A=
3 sin 2sin sinA C A= sin A 0≠
3sin 2C =
C
60C = 第 12 页 共 15 页
(2)由于 ， ，
又由于
，
，
所以 .
【点睛】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、
简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中
含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
20．已知长方形 AOCD 中， ， ，E 为 OC 中点，P 为 AO 上一点，利用
向量知识判断当点 P 在什么位置时， .
【答案】点 P 在靠近点 A 的 AO 的三等分点处
【解析】把角 看成向量 与 的夹角，以 、 为基底，用基底表示
与 ，再代入两向量的夹角公式即可解出．
【详解】
设 、 ，则 、 为表示平面的一组基底，
且 ， ， ， 为向量 与 的夹角，
又 ，可设 ， ，
而 ．
，
， ，
1 sin2 ab C = 3 3
2
6ab∴ =
2 2 2 2 cos60c a b ab= + −
( ) ( )2 27 3 18a b ab a b= + − = + −
( )2 25a b+ =
5a b+ =
3OA = 2OC =
45PED∠ = °
PED∠ EP ED OA OC EP
ED
OA a= OC b= a b
| | 3a = | | 2b = a b⊥ PED∠ EP ED
/ /OP OA OP ta= ∴ 1
2EP OP OE ta b= − = −
1 1 1
2 2 2ED OD OE OC OA OC OA OC a b= − = + − = + = +
∴ 2 21 1 1( ) ( ) 9 12 2 4EP ED ta b a b ta b t⋅ = − ⋅ + = − = −
2 21| | ( ) 9 12EP ta b t= − = + 21| | ( ) 102ED a b= + = 第 13 页 共 15 页
，
解得 或 （舍
点 在 的一个 3 等分点时， ．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻
辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.
21．已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得： ， .
(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得 ；
.
试题解析：
（1）
2
9 1 2cos 2| | | | 9 1 10
EP ED tPED
EP ED t
⋅ −∴ ∠ = = =
⋅ + ⋅
2
3t = 1
6t = − )
∴ P AO 45PED∠ = °
3 3cos ,sin2 2
x xa = cos , sin2 2
x xb = −
0, 2x
π ∈
a b⋅ a b+
( ) 3 sinf x a b a b x= ⋅ − + ( )f x
2 , 2cosa b cos x a b x = + = ( )min 2f x = − ( )max 1f x =
cos2a b x⋅ = 2cosa b x+ =
( )min 2f x = −
( )max 1f x =
3 3cos cos sin sin cos22 2 2 2
x x x xa b x ⋅ = ⋅ + ⋅ − =
22 2cos2 4cosa b x x+ = + =
0, 2x
π ∈ cos 0x∴ ≥第 14 页 共 15 页
（2）由（1）知：
22．在△ABC 中， (1)求 B 的大小；
(2)求 cos A＋cos C 的最大值．
【答案】（1） （2）1
【解析】试题分析：（1）由余弦定理及题设得
；（2）由（1）知
当 时，
取得最大值 ．
试题解析： （1）由余弦定理及题设得 ，
又∵ ，∴ ；（2）由（1）知 ，
，因为 ，所以当 时，
取得最大值 ．
【考点】1、解三角形；2、函数的最值.
∴ 2cosa b x+ =
( ) cos2 3 2cos sinf x x x x= − ⋅ ⋅
cos2 3sin2 2cos 2 3x x x
π = − = +
0, 2x
π ∈
42 ,3 3 3x
π π π ∴ + ∈
1cos 2 1,3 2x
π ∴ + ∈ −
( )min2 23 3x x f x当 即 时，π ππ∴ + = = = −
( )max2 =0 13 3x x f x
π π+ = =当 即 时，
2 2 2 2a c b ac+ = +
2
π
4
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ −= = = ⇒
4B
π∠ = 3
4A C
π∠ + ∠ = ⇒
32 cos cos 2 cos cos( )4A C A A
π+ = + − cos( )4A
π= − ⇒
4A
π∠ =
2 cos cosA C+ 1
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ −= = =
0 B π< ∠ <
4B
π∠ = 3
4A C
π∠ + ∠ =
32 cos cos 2 cos cos( )4A C A A
π+ = + − 2 22 cos cos sin2 2A A A= − +
2 2cos sin cos( )2 2 4A A A
π= + = − 30 4A
π< ∠ <
4A
π∠ =
2 cos cosA C+ 1第 15 页 共 15 页
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