2019-2020学年山东省淄博市第七中学高一3月线上考试数学试题（解析版）

第 1 页 共 13 页 2019-2020 学年山东省淄博市第七中学高一 3 月线上考试数 学试题 一、单选题 1．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则复数 z 的共轭复数等于（ ） A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1+i 【答案】B 【解析】利用复数的运算法则解得 ，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数 满足 ，∴ ， ∴复数 的共轭复数等于 ，故选 B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 2．在 ABC 中， 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2,b= , = ,则 ABC 的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理 代入数据得 【考点】解三角形 点评：解三角形的题目常用到正余弦定理实现边与角的互相转化，三角形面积公式为 3． 为 内一点，且 ， ，若 ， ， 三点共 线，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2 1i iz = − 1 iz = − + z 2 1i iz = − ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 i iiz ii i i += = = −− − + z 1 i− − ∆ , ,A B C∠ ∠ ∠ 7 B∠ 3 π ∆ 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 3c = 1 3 3sin2 2S ac B∴ = = 1 1 1sin sin sin2 2 2S ac B ab C bc A= = = O ABC∆ 2 0OA OB OC+ + =    AD t AC=  B O D t 1 3 1 4 1 2 2 3第 2 页 共 13 页 【答案】A 【解析】试题分析：由 有 ,所以 ,因为 ， ， 三点共线,所以 ,则 ,故有 , ,选 A. 【考点】1.向量共线的条件；2.两向量相等的条件. 4．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，a=2，c= ，则 C= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵ ＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得 ， ∵a=2，c= ， ∴sinC= = ， ∵a＞c， ∴C= ， 故选 B． 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题 AD t AC=  ( )OD OA t OC OA   − = − (1 )OD tOC t OA= + −   B O D BO ODλ=  2 (1 )OA OC tOC t OAλ λ+ = + −    2 (1 ){ 1 t t λ λ = − = 1 3t = sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = 2 π 12 π 6 π 4 π 3 π 2 3π 4 c sin sin a C A = 2 sinc A a 22 12 =2 2 × π 6第 3 页 共 13 页 时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可 用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往 运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．在 中，点 D，E 分别为边 ， 的中点，则如图所示的向量中，相等向 量有（ ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】A 【解析】结合三角形中位线的性质、相等向量的定义直接求解即可. 【详解】 解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即 . 故选：A 【点睛】 本题考查了三角形中位线性质，考查了相等向量，属于基础题. 6．在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 所对的边，若 ，则 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解析】利用正弦定理和两角和的正弦化简 可得 ，从而得到 即 . 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 即 ， ab 2b 2a ABC∆ AB AC CE EA=  ABC∆ a b c A B C cos cos sinb C c B a A+ = ABC∆ cos cos sinb C c B a A+ = 2sin sinA A= sin 1A = 2A π= cos cos sinb C c B a A+ = 2sin cos sin cos sinB C C B A+ = ( ) 2sin sinB C A+ = 2sin sinA A=第 4 页 共 13 页 因为 ，故 ，故 ，所以 ， 为直角三角形， 故选 B. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定 理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 7．对于任意两个向量 和 ，下列命题中正确的是（ ）. A．若 ， 满足 ，且 与 同向，则 B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量的概念、向量的加法以及向量的数量积即可一一判断. 【详解】 A 项错误，向量不能比较大小； B 项正确，利用向量加法的运算法则可判断； C 项错误， ； D 项错误， . 故选：B. 【点睛】 本题考查了向量的概念、向量加法的三角形法则、向量的数量积，考查了基本知识，属 于基础题. 8．已知平面直角坐标系内的两个向量 ,且平面内的任一向量 都可以唯一表示成 ( 为实数),则实数 m 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知 是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出 不共线满足的条 件，即可求出结果. ( )0,A π∈ sin 0A > sin 1A = 2A π= ABC∆ a b a b a b>  a b a b>  a b a b+ +   a b a b⋅    a b a b− −   | | | || |a b a b⋅ ≤    | | | | | |a b a b− ≥ −    (3, 2 ), (1, 2)a m b m= − = − c c a bλ µ= +   ,λ µ 6 ,5  +∞   6 6, ,5 5    −∞ +∞       ( ,2)−∞ ( , 2) ( 2, )−∞ − ∪ − +∞ ,a b  ,a b 第 5 页 共 13 页 【详解】 由题意可知,平面内的任一向量 都可以唯一表示成 , ∴ 是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴ 不共线, ∴ . 故 m 的取值范围是 . 故选 B 【点睛】 本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题. 9．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， .若 ， ，则 的面积是 A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据 ， ，结合余弦定理可得 ，再利用三角 形面积计算公式即可得出结果. 【详解】 由 ，可得 ， 由余弦定理 ， ， ， 则 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种 形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握 运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. c c a bλ µ= +   ,a b  ,a b  3( 2) 2 0m m− + ≠ 6 5m ≠ 6 6, ,5 5    −∞ +∞       ABC∆ A B C a b c 2 2 22 6c ab a b+ = + + 2 3C π= ABC∆ 3 3 2 3 2 3 3 2 2 22 6c ab a b+ = + + 2 3C π= ab 2 2 22 6c ab a b+ = + + 2 2 2 2 6c a b ab= + − + 2 2 2 2 22 cosc a b ab C a b ab= + − = + + 2 2 2 22 6a b ab a b ab∴ + − + = + + 2ab∴ = 1 3 2 2ABCS absinC∆ = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 30 ,45 ,60o o o第 6 页 共 13 页 10．某观测站 在目标 的南偏西 方向，从 出发有一条南偏东 走向的公路， 在 处测得与 相距 的公路 处有一个人正沿着此公路向 走去，走 到达 ，此时测得 距离为 ，若此人必须在 分钟内从 处到达 处，则此人的 最小速度为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得 ，那么 ， 于是在△ABC 中， ＝24， 在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即 312＝242＋AB2－24AB，解得 AB＝35 或 AB＝－11(舍去)，因此 AD＝AB－BD＝35－20＝15. 故此人在 D 处距 A 处还有 15 km，若此人必须在 20 分钟，即 小时内从 D 处到达 A 处， 则其最小速度为 15÷ ＝45(km/h)． 故选 B. 11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，根据题意列出关于 、 的方程组，求出这两个未知数 的值，即可得出向量 的坐标. 【详解】 设 ，其中 ，则 . C A 25 A 35 C C 31km B A 20km D CD 21km 20 D A 30 /km h 45 /km h 14 /km h 15 /km h 2 2 2 2 2 231 20 21 23 2 2 31 20 31 BC BD CDcosB BC BD + − + −= =× × ×＝ 12 3 31sinB＝ BC sinBAC sin CAB × ∠＝ 1 3 1 3 ( )3,1a = b x 3a b⋅ =  b = 3 1,2 2       1 3,2 2       1 3 3,4 4       ( )1,0 ( ) ( ), 0b x y y= ≠ x y b ( ),b x y= 0y ≠ 3 3a x yb⋅ = + = 第 7 页 共 13 页 由题意得 ，解得 ，即 . 故选：B. 【点睛】 本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思 想的应用以及运算求解能力，属于基础题. 12．已知集合， ， ， ，则实数 的值为 （ ） A．4 B．－1 C．4 或－1 D．1 或 6 【答案】B 【解析】根据交集的定义可得 ，由复数相等的性质 列方程求解即可. 【详解】 因为 ， ， ， 所以 ， 可得 ，故选 B. 【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的 理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算. 二、填空题 13．点 在线段 上，且 ，则 _______ ， _______ . 【答案】 【解析】设 ，根据题中条件，表示出 ， ，进而可求出结果. 【详解】 因为 ， 2 2 1 3 3 0 x y x y y  + =  + =  ≠ 1 2 3 2 x y  =  = 1 3,2 2b  =      ( ) ( ){ }2 21, 3 1 5 6M m m m m i= − − + − − { }1,3N = { }1,3M N∩ = m ( ) ( )2 23 1 5 6 3m m m m i− − + − − = ( ) ( ){ }2 21, 3 1 5 6M m m m m i= − − + − − { }1,3N = { }1,3M N∩ = ( ) ( )2 23 1 5 6 3m m m m i− − + − − = 2 2 3 1 3 1 5 6 0 m m m m m  − − = ⇒ = − − − = C AB 3 2 AC CB = AC = AB BC = AB 3 5 2 5 − 3 ( 0)AC k k= > CB AB 3 2 AC CB =第 8 页 共 13 页 设 ，则 ， ∴ ， ∴ . 【点睛】 本题主要考查向量的共线，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型. 14．已知四边形 ABCD 中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P 为线段 AC 上任意一点， 则 的取值范围是______________． 【答案】 . 【解析】以 A 为原点，AB 为 x 轴建立直角坐标系，设 ，利用向量的坐标形 式，将 表示为 的函数，求函数的值域可得. 【详解】 以 A 为原点，AB 为 x 轴建立直角坐标系，由 AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则 , ，又 P 为线段 AC 上任意一点，设 , 所以 ，由 ，所以 .故答案为 . 【点睛】 本题考查向量的数量积，利用向量的坐标形式将向量运算转化为实数运算是处理向量问 题的常用方法，引入变量，建立函数是解本题的关键，属于中档题. 15．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 , ， , 则第四 个顶点对应的复数为 . 【答案】 【解析】化简复数 为 的形式，设出第四个点的坐标和写出前三个点的坐标， 根据这四个点构成正方形，则平行的一对边对应的向量相等，写出一对这样的向量，坐 标对应相等，得到所设的坐标，得到结果． 【详解】 3 ( 0)AC k k= > 2CB k= 5AB k= 3 2 5 5AC AB BC AB= = −   ， PB PC⋅uuur uuur 9 44  −  ， AP ACλ=  PB PC⋅  λ (2,0)B (2,2 3)C AP ACλ=  ( 2 , 2 3 )λ λ= [0,1]λ ∈ ( 2 2 , 2 3 ) ( 2 2 , 2 3 2 3 )PB PC λ λ λ λ⋅ = − − ⋅ − −  216 20 4λ λ= − + 25 916( )8 4 λ= − − [0,1]λ ∈ 9 44 PB PC− ≤ ⋅ ≤  9[ ,4]4 − 3 1 i i + − 2 i− + 0 1 3i− + 3 1 i i + − a bi+第 9 页 共 13 页 =1+2i 设复数 ，它们在复平面上的对应点分别是 ． 设正方形的第四个顶点对应的坐标是 ， ∴ ， ， ， 故答案为 ． 【点睛】 本题考查复数与复平面中的点的对应，根据复数对应的点所在的位置，判断四条边的位 置关系，本题结合复数与点对应，复数与向量对应，是一个很好题目． 16．在四边形 ABCD 中， 且 ，则四边形 ABCD 的形状为 __________. 【答案】菱形 【解析】根据题意，结合相等向量的定义得出四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 即可判断 【详解】 ∵ ，∴ ， ，∴四边形 是平行四边形. ∵ ，∴四边形 是菱形. 故填菱形 【点睛】 本题考查相等向量的性质，考查向量的实际应用，是基础题 17．已知向量 不共线，且 ，若 与 同向，则实数 λ 的 值为__________． 【答案】 3 (3 )(1 ) 1 (1 )(1 ) i i i i i i + + +=− − + 2 4 2 i+= 1 2 31 2 2 0z i z i z= + = − + =， ， A B C， ， 1 2 2( ) ( ) (1 )0 0A B C∴ −，， ，， ， ( )D x y， AD CB=  1 2( ) ( )21x y∴ − − = −， ， 1 2 2 1x y∴ − = − − =， 1 3x y∴ = − =， 1 3i− + AB DC=  AB AD=  | | | |AB AD=  AB DC=  AB DC AB DC= ABCD | | | |AB AD=  ABCD ,a b  ( )2 1c a b d a bλ λ     ＝ ＋ ，＝ ＋ － c d 1第 10 页 共 13 页 【解析】利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基 本定理，列出方程组求解． 【详解】 由于 与 同向，所以 ， 于是 整理得 ， 由于 ， 不共线，所以有 整理得 ，所以 λ＝1 或 λ＝－ ． 又因为 k＞0，所以 λ＞0，故 λ＝1． 答案：1 【点睛】 利用向量共线的充要条件及同向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理， 列出方程组求解． 三、解答题 18．已知 ， ，p 和 q 的夹角是 60°，求 ． 【答案】24 【解析】由 运算即可得解. 【详解】 解： ． 【点睛】 本题考查了向量数量积的运算，属基础题. 19．计算：（1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1）1+i（2）6-2i（3） 【解析】（1）1-2+2 即为所求复数的实部，2+1-3 为所求复数的虚部； （2）2-（-1）+3 为所求复数的实部，-1-5+4 为所求复数的虚部； c → d ( )0c kd k= > ( )2 1 ,a b k a bλ λ + = + −    ( )2a b ka k k bλ λ+ = + −   a → b → 2 1 k k k λ λ =  − = 22 1 0λ λ− − = 1 2 8p = 6q = p q⋅  | || | cosp q p q θ⋅ =    1| || | cos60 8 6 242p q p q °⋅ = = × × =    (1 3 ) ( 2 ) (2 3 )i i i+ + − + + − (2 ) ( 1 5 ) (3 4 )i i i− − − + + + ( ) (3 4 ) 5 ( , )a bi a bi i a b+ − − + ∈R 2 (5 5)a b i− + +第 11 页 共 13 页 (3)a-(3a)为所求复数的实部，b-(-4b)+5 为所求复数的虚部. 【详解】 解：（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . 【点睛】 本题考查了复数加法、减法的混合运算，考查了运算能力，属于基础题. 20．如图，在△ABC 中，已知 CA=1，CB=2，∠ACB=60°． （1）求| |； （2）已知点 D 是 AB 上一点，满足 =λ ，点 E 是边 CB 上一点，满足 =λ ． ①当 λ= 时，求 • ； ②是否存在非零实数 λ，使得 ⊥ ？若存在，求出的 λ 值；若不存在，请说明理 由． 【答案】（1） ；（2）① ② 【解析】（1）利用余弦定理求出 的长即得| |； （2）① 时， 分别是 的中点，表示出 ， ，利用向量的数 量积计算即可； ②假设存在非零实数 ，使得 ⊥ ，利用 分别表示出 和 求出 时的 值即可． 【详解】 ( 1 4 ) (2 3 ) 1i i i= − + + − = + (3 6 ) (3 4 ) 6 2i i i= − + + = − ( 2 5 ) 5 2 (5 5)a bi i a b i= − + + = − + + AB AD AB BE BC 1 2 AE CD AE CD 3 1 4 2 3 AB AB 1 2 λ = D E、 BC AB， AE CD λ AE CD CB CA 、 CD AE， 0AE CD⋅ =  λ第 12 页 共 13 页 （1） 且 （2）①λ= 时， = ， = ， ∴D、E 分别是 BC，AB 的中点， ∴ = + = + ， = （ + ）， ∴ • =（ + ）• （ + ） = • + • + • + =﹣ ×12+ ×1×2×cos120°+ ×2×1×cos60°+ ×22 = ； ②假设存在非零实数 λ，使得 ⊥ ， 由 =λ ，得 =λ（ ﹣ ）， ∴ = + = +λ（ ﹣ ）=λ +（1﹣λ） ； 又 =λ ， ∴ = + =（ ﹣ ）+λ（﹣ ）=（1﹣λ） ﹣ ； ∴ • =λ（1﹣λ） ﹣λ • +（1﹣λ）2 • ﹣（1﹣λ） =4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ） =﹣3λ2+2λ=0， 解得 λ= 或 λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数 λ= ，使得 ⊥ ． 【点睛】 本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题， 是综合性题目． 21．在 中，角 、 、 的对边分别是 ， ， 满足 . （1）求角 的值； （2）若 且 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】(1)化简所得的三角函数式，结合三角形的性质可得角 的值； (2)利用正弦定理将边的取值范围问题转化为三角函数求值域的问题，结合角的范围即可 AB CB CA= −    2 2=4 =1 =2 1 cos60 =1CB CA CB CA⋅ × ×    ， ， ( )2 2 22 = 3AB CB CA CB CA CB CB CA CA∴ = − = − = − ⋅ +         2 3 2 3第 13 页 共 13 页 确定 的取值范围. 【详解】 （1） ， 化简得 ，所以 . （2）由正弦定理得 ， 则 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若 出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、 余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．