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2019-2020 学年北京市密云区高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】直接根据交集的定义计算即可；
【详解】
解： ，
故选：B
【点睛】
本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题.
2．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.
【详解】
最小正周期
故选：
【点睛】
本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题.
3．下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，为指数函数，其定义域为 ，不是偶函数，不符合题意；
{ }1 013M = − ，，， { }1 3N = −， M N∩
{ }1 013M = − ，，， { }1 3N = −，
{ }1M N∴ ∩ =
cos2y x=
2
π π 2π 4π
cos2y x= 2
2T
π π= =
B
(0, )+∞
2xy = 3y x= cosy x= | |y ln x=
A 2xy = R第 2 页 共 17 页
对于 ， ，为幂函数，是奇函数，不符合题意；
对于 ， ，为偶函数，在 不是增函数，不符合题意；
对于 ， ，为偶函数，且当 时， ，为增函数，
符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基
础题．
4．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；
【详解】
解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题 的否定为
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
5．已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1 2 3 4
6.1 2.9 3.5 1
那么函数 一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
B 3y x=
C cosy x= (0, )+∞
D
, 0
( ), 0
lnx xy ln x ln x x
= = − y lnx=
20, 5 6 0x x x∀ < − + − >
20, 5 6 0x x x∀ < − + − < 20, 5 6 0x x x∀ < − + − ≤
2
0 0 00, 5 6 0x x x∃ < − + − ≤ 2
0 0 00, 5 6 0x x x∃ < − + − <
2 0: 0, 5 6x xp x∀ < − + − >
2
0 0 00, 5 6 0x x x∃ < − + − ≤
R ( )f x
x
( )f x − − −
( )f x
(1,2) (2,3) (3,4) (4,+ )∞第 3 页 共 17 页
【解析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相
应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
【详解】
解：因为函数 是定义在 上的连续函数，且 ， ，
根据函数零点的存在定理可知故函数 在区间 内存在零点．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区
间的端点函数值异号，属于基础题．
6．函数 的图象如图所示，为了得到函数 的图象，可以把函数 的
图象（ ）
A．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
B．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
C．每个点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位
【答案】A
【解析】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得
的解析式，再利用 的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：根据函数 的图象，设 ，
可得 ， ， ．
再根据五点法作图可得 ， ， ，
( )f x R ( )1 0f > ( )2 0f <
( )f x ( )1,2
( )f x 2siny x= ( )f x
π
6 2
π
3
1
2
1
2
π
3
2 π
6
A ω ϕ ( )f x
sin( )y A xω ϕ= +
( )f x ( ) sin( )f x A xω ϕ= +
2A = 1 2 2
2 3 6
π π π
ω = − 2ω∴ =
2 06
π ϕ× + =
3
ϕ π∴ = − ( ) sin( )f x x
π= −2 2 3第 4 页 共 17 页
故可以把函数 的图象先向左平移 个单位，得到 的
图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），即可得到 函数的
图象，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，由函数的最值求出 ，由
周期求出 ，由五点法作图求出 的值． 的图象变换规律，属于基础
题．
7．定义域均为 的两个函数 ， ，“ 为偶函数”是“ ，
均为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由函数 ， 定义在 上，令 ，则
的定义域也为 ，关于原点对称，只要看 与 的关系即
可得出 为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件．
【详解】
解：令 ，
由 ， 均为偶函数，则 ，
，故 是偶函数，即必要性成立；
反之，设 ， ， 是偶函数，而
， 均不是偶函数，故充分性不成立；
则“ 为偶函数”是“ ， 均为偶函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求
( )f x
6
π
2sin(2 ) 2sin 23 3y x x
π π= + − =
2siny x=
sin( )y A xω ϕ= + A
ω ϕ sin( )y A xω ϕ= +
R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x+ ( )f x ( )g x
( )f x ( )g x R ( ) ( ) ( )h x f x g x= +
( ) ( ) ( )h x f x g x= + R ( )h x− ( )h x
( )h x
( ) ( ) ( )h x f x g x= +
( )f x ( )g x x∈R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x h x− = − + − = + = ( )h x
2( )f x x x= + ( ) 2g x x= − ( ) 2( ) ( ) 2h x f x g x x= + = +
( )f x ( )g x
( ) ( )f x g x+ ( )f x ( )g x第 5 页 共 17 页
解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题．
8．已知函数 关于 x 的方程 ，有四个不同的
实数解 ,则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意作函数 与 的图象，从而可得 ，
， ，从而得解
【详解】
解：因为 ，可作函数图象如下所示：
依题意关于 x 的方程 ，有四个不同的实数解 ,即函数
与 的图象有四个不同的交点，由图可知令
，
则 ， ，即 ，所以 ，则
，
所以 ，
因为 ，在 上单调递增，所以 ，即
故选：B
2
2
log , 0( )
2 , 0.
x xf x
x x x
>= − − ≤
， ( ) ,f x m m R= ∈
1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x+ ++
(0,+ )∞ 10, 2
31, 2
(1,+ )∞
( )y f x= y m=
1 2 2x x+ = −
2 40 log 2x< 3 4 1x x =
2
2
log , 0( )
2 , 0.
x xf x
x x x
>= − − ≤
，
( ) ,f x m m R= ∈ 1 2 3 4, , ,x x x x
( )y f x= y m=
1 2 3 4
11 0 1 22x x x x< − < < < < < < <
1 2 2x x+ = − 2 3 2 4log logx x− = 2 3 2 4log log 0x x+ = 3 4 1x x =
3
4
1x x
= ( )4 1,2x ∈
1 2 3 4 4
4
12x x x x xx
+ + + = − + + ( )4 1,2x ∈
1y xx
= + ( )1,2x∈ 52, 2y ∈ 4
4
1 52, 2xx
+ ∈
1 2 3 4 4
4
1 12 0, 2x x x x xx
∴ + + + = − + + ∈ 第 6 页 共 17 页
【点睛】
本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题
二、填空题
9． ________________．
【答案】
【解析】根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】
解：
故答案为：6
【点睛】
本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题.
10．函数 的最小值为__________．
【答案】
【解析】利用基本不等式 即可求解.
【详解】
解: ，
01
3
2
127 log 45
+ + =
6
( )01 11 33 23 33
2 2 2
127 log 4 3 1 log 2 3 1 2log 2 3 1 2 65
× + + + + + + = + + = = =
( )4 2 0y x xx
= + + >
6
( 0, 0)2
a b ab a b
+ ≥ > >
0x >第 7 页 共 17 页
函数
当且仅当 ，即 时，上式取等号.
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础
题.
11．函数 的定义域是_______________．
【答案】
【解析】由 解不等式可得函数的定义域．
【详解】
解：由 ， ，可解得 ， ，
函数 的定义域为 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查正切函数的定义域，属于基础题．
12．给出下列三个论断：① ；② ；③ 且 .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：
__________．
【答案】①③推出②，②③推出①
【解析】利用不等式的基本性质可得．
【详解】
解：由① ；② ；③ 且 .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：
（1）若 ， 且 ，则 ；或（2）若 ， 且 ，则 ；
对于（1）若 且 ，则 ，由不等式的性质可得 即 ；
∴ 4 42 2 2 2 2 2 6y x xx x
= + + ≥ ⋅ + = × + =
4 0x xx
= >， 2x =
6
1 tan( )3 4y x
π= −
3{ | , }4x x k k Z
ππ≠ + ∈
4 2x k
π ππ− ≠ + ( )k Z∈
4 2x k
π ππ− ≠ + ( )k Z∈ 3
4x k
ππ≠ + ( )k Z∈
∴ 1 tan( )3 4y x
π= − 3| ,4x x k k Z
ππ ≠ + ∈
3| ,4x x k k Z
ππ ≠ + ∈
a b> 1 1
a b
< 0a < 0b <
a b> 1 1
a b
< 0a < 0b <
a b> 0a < 0b < 1 1
a b
< 1 1
a b
< 0a < 0b < a b>
0a < 0b < 0ab > a b
ab ab
> 1 1
a b
1 1ab aba b
× < × b a<
2 1( )= 2
x
x
kf x k
⋅ −
+ =k
±1
( )f x ( ) ( )f x f x− = −
2 1( )= 2
x
x
kf x k
⋅ −
+
( ) ( )f x f x∴ − = −
∴ 21 12
2 2
x x
x x k
k
k
k−
−
⋅ ⋅=−
+ − −
+
2 2( 1) (2 ) 01xk∴ +− =
2 1 0k∴ − =
1k∴ = ±
1k = 2 1( )= 2 1
x
xf x
−
+ R 2 1 1 2( )= ( )2 1 2 1
x x
x xf x f x
−
−
− −− = = −+ +
1k = − 2 1( )= 2 1
x
xf x
− −
−
{ }| 0x x ≠ 2 1 1 2( )= ( )2 1 2 1
x x
x xf x f x
−
−
− − +− = = −− −
±1
( ) ( )f x f x− = −第 9 页 共 17 页
1000，此时标准地震的振幅 A0 为 0.001，则此次地震的震级为 级；9 级地震
的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 倍．
【答案】6，10000
【解析】【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得
M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设 9 级地震的最大的振幅是 x，5 级地震最大振幅是
y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知 9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10000
倍．
解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的
振幅为 0.001，
则 M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．
设 9 级地震的最大的振幅是 x，5 级地震最大振幅是 y，
9=lgx+3，5=lgy+3，解得 x=106，y=102，
∴ ．
故答案耿：6，10000．
点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．
三、解答题
15．已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）当 时，求 ， ；
（3）当 时，求 的范围．
【答案】（1） ， ； （2）
， ； （3）
【解析】（1）首先求出集合 ，再根据交集、并集的定义计算即可；
（2）首先求出集合 ，再根据交集、并集的定义计算即可；
（3）由 ，即 与 无公共部分，从而求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）当 时， ，
所以 ， .
（2）当 时， ，
6
2
10 1000010
x
y
= =
{ }| 2 3M x x= − < ≤ { }|N x x a= ≤
1a = − M N∩ M N∪
4a = M N∩ M N∪
=M N ∅ a
{ }| 2 1M N x x= − < ≤ − { }| 3M N x x= ≤
{ }| 2 3M N x x= − < ≤ { }| 4M N x x= ≤ { | 2}a a ≤ −
N
N
M N∩ = ∅ M N
1a = − { | 1}N x x= ≤ −
{ }| 2 1M N x x= − < ≤ − { }| 3M N x x= ≤
4a = { | 4}N x x= ≤第 10 页 共 17 页
所以 ， .
（3）因为 ， 所以 的范围是 .
【点睛】
本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.
16．已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆
交点为 ．
（1）求 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得 ， ， ，
再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；
【详解】
解：（1）根据题意 ， ， ，
所以 ，
．
（2） 因为 ，
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，
{ }| 2 3M N x x= − < ≤ { }| 4M N x x= ≤
M N∩ = ∅ a { | 2}a a ≤ −
α x
4 3( , )5 5P −
cos 4
πα + sin 2α
3sin 2cos
5cos 3sin
α α
α α
−
+
24
25
− 17
11
−
3sin 5
α = 4cos 5
α = − 3tan 4
α = −
3sin 5
α = 4cos 5
α = − 3tan 4
α = −
7 2cos( ) cos cos sin cos4 4 4 10
π π πα α α+ = − = −
24sin 2 2sin cos 25
α α α= = −
3tan 4
α = −
3sin 2cos 3tan 2
5cos 3sin 5 3tan
α α α
α α α
− −=+ +
33 2 174
3 115 3 4
− − = = − + − 第 11 页 共 17 页
属于基础题.
17．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．现已画出函
数 在 轴右侧的图象，如图所示．
（1）画出函数 在 轴左侧的图象，根据图象写出函数 在 上的单调区间；
（2）求函数 在 上的解析式；
（3）解不等式 .
【答案】（1）图见解析；函数的单调增区间是 ，单调减区间是
（2） （3）
【解析】（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间；
（2）当 时， ，再根据当 时， ，可得
．再根据函数 为偶函数，可得 ，由
此能求出函数 的解析式．
（3）因为 ，当 时， ，当 时， ；由函数图象读
出解集即可；
【详解】
解：（1）如图作函数图象.
( )f x R 0x ≥ 2( ) 4f x x x−=
( )f x y
( )f x y ( )f x R
( )f x R
( ) 0xf x <
( ) ( )2 0 2− + ∞， ， ，
( ) ( )2 0 2−∞ −， ， ，
2
2
4 , 0( )
4 , 0
x x xf x
x x x
− ≥= + 0x ≥ 2( ) 4f x x x−=
2 2( ) ( 4) 4( )f x x xx x−− − = +− = ( )f x 2( ) 4f x x x= +
( )( )f x x R∈
( ) 0xf x < 0x < ( ) 0f x > 0x > ( ) 0f x 2 2( ) ( 4) 4( )f x x xx x−− − = +− =
( )f x R
0x < 2( ) ( ) 4f x f x x x= − = +
2
2
4 , 0( )
4 , 0
x x xf x
x x x
− ≥= + 4x < − 0x > ( ) 0f x < 0 4x< <
( ) ( )4 0 4−∞ − ， ，
2( ) 3sin cos cosf x xx x= −
( )f x
( )f x第 13 页 共 17 页
【答案】（1） ；单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
， ； （2） 或 ， .
【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为
，
再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出 的
单调区间；
（2）令 ，即 ，即 或
， ，解得即可；
【详解】
（1）
，
即 ，
所以 的最小正周期 .
因为 的单调增区间为 ， ，
令 ，
解得 ， .
因为 的单调减区间为 ， ，
令 ，
解得 ， .
所以 的单调递增区间为 ， .
T π= [ , ]6 3k k
π ππ π− + k Z∈
5[ , ]3 6k k
π ππ π+ + k Z∈
6x k
π π= +
2x k
π= + π k Z∈
( ) 1sin 2 6 2f x x
π = − −
( )f x
1sin(2 ) 06 2x
π− − = 1sin(2 )6 2x
π− = 2 26 6x k
π π π− = +
52 26 6x k
π π π− = + k Z∈
2( ) 3sin cos cosf x xx x= −
3 cos2 1sin 22 2
xx
+= −
1sin 2 6 2x
π = − −
( ) 1sin 2 6 2f x x
π = − −
( )f x 2
2T
π π= =
siny x= 2 ,22 2k k
π ππ π − + k Z∈
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
6 3k x k
π ππ π- £ £ + k Z∈
siny x= 32 ,22 2k k
π ππ π + + k Z∈
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ++ ≤ ≤
5
3 6k x k
π ππ π ++ ≤ ≤ k Z∈
( )f x ,6 3k k
π ππ π − + k Z∈第 14 页 共 17 页
单调递减区间为 ， .
（2）函数 的零点，
令 ，即 .
或 ，
解得 或 ，
所以 的零点为 或 ，
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考
查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
19．已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若函数 为偶函数，求 的值；
（3）设函数 ，若对任意 ，存在 ，使得
，求 的取值范围．
【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】（1）代入 的值，求出函数的最大值即可；
（2）根据偶函数图象关于 轴对称，二次函数的一次项系数为 0，可得 的值；
（3）求解 的值域 和 的值域 ，可得 ，即可求解实数 的取值
范围．
【详解】
（1）当 时，
故当 时， 的最大值是 1
（2）因为函数 为偶函数，
，所以 ，
5,3 6
π πkπ kπ + + k Z∈
1( ) sin 2 6 2f x x
π = − −
1sin(2 ) 06 2x
π− − = 1sin(2 )6 2x
π− =
2 26 6x k
π π π− = + 52 26 6x k
π π π− = + k Z∈
6x k
π π= +
2x k
π= + π k Z∈
( )f x
6x k
π π= +
2x k
π= + π k Z∈
2( ) 1,f x x mx m R= − + + ∈
0m = ( )f x
( ) ( ) 2h x f x x= + m
( ) 2sin( )6g x x
π= + 1 [1,2]x ∈ 2 [0, ]x π∈
2 1( ) ( )g x f x= m
2m = − [1,2]
m
y m
( )f x M ( )g x N M N⊆ m
0m = ( ) 2 1f x x= − +
0x = ( )f x
( ) ( ) ( )22 2 1h x f x x x m x= + = − + + +
( ) ( )h x h x− = 2 0m + =第 15 页 共 17 页
可得 ，
即实数 的值为 .
（3）
，
，
所以 的值域为 ．
当 时，存在 ，使得 ，设 的值域 ，
转化为：函数 的值域是 的值域的子集；
即：当 时，
函数 ，对称轴 ，
当 时，即 ，可得 ； ；
可得： ；
当 时，即 ，可得 ， 或
，
显然 ，不满足 ，此时无解；
当 时，即 ，可得 ， ；不满
足 ，此时无解；
综上可得实数 的取值范围为
【点睛】
本题主要考查偶函数的性质的应用，二次函数的最值问题，存在性问题，属于中档
题.．
20．对于正整数集合 ，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，
且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 为“可分集合”.
2m = −
m 2−
( ) 2sin( )6g x x
π= +
[0, ]x π∈
7,6 6 6x
π π π ∴ + ∈
( )g x [ 1,2]−
[ ]1,2x∈ 2 [0, ]x π∈ 2 1( ) ( )g x f x= ( )f x M
( )f x ( )g x
[ ]1,2x∈ [ 1,2]M ⊆ −
( ) 2 1f x x mx= − + +
2
mx =
12
m ≤ 2m ≤ min( ) (2) 2 3f x f m= = − max( ) (1)f x f m= =
21 2 3m m− −
2
1 24
m + ≤
22
m ≥ 4m≥ min( ) (1)f x f m= = max( ) (2) 2 3f x f m= = −
2 3 2m − ≤
m [ ]1,2
{ }( )*
1 2, , , , 3nA a a a n N n= ⋅⋅⋅ ∈ ≥
( )1,2, ,ia i n= ⋅⋅⋅
A第 16 页 共 17 页
（1）判断集合 和 是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合 一定不是“可分集合”；
（3）若集合 是“可分集合”.
①证明： 为奇数；
②求集合 中元素个数的最小值.
【答案】（1）集合 不是“可分集合”，集合 是“可分集合”；
（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是 7
【解析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；
（2）不妨设 ，若去掉的元素为 ，则有 ①，或
者 ②；若去掉的元素为 ，则有 ③，或者
④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；
（3）①设集合 所有元素之和为 ，由题可知，
均为偶数，因此 均为奇数或偶数.分类讨论 为
奇数和 为偶数的情况，分析可得集合 中元素个数 为奇数；②结合（1）（2）问，
依次验证当 时，当 时，当 时集合 是否为“可分集合”，从而证明结论.
【详解】
（1）集合 不是“可分集合”，集合 是“可分集合”；
（2）不妨设 ，
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元
素之和相等，则有 ①，或者 ②；
若去掉的元素为 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元
素之和相等，则有 ③，或者 ④.
由①、③，得 ，矛盾；由①、④，得 ，矛盾；
由②、③，得 ，矛盾；由②、④，得 ，矛盾.
因此当 时，集合 一定不是“可分集合”；
（3）①设集合 所有元素之和为 .
{ }1,2,3,4,5 { }1,3,5,7,9,11,13
{ }1 2 3 4 5, , , ,A a a a a a=
{ }( )*
1 2, , , , 3nA a a a n N n= ⋅⋅⋅ ∈ ≥
n
A
{ }1,2,3,4,5 { }1,3,5,7,9,11,13
1 2 3 4 5a a a a a< < < < 2a 1 5 3 4a a a a+ = +
5 1 3 4a a a a= + + 1a 2 5 3 4a a a a+ = +
5 2 3 4a a a a= + +
{ }1 2, , , nA a a a= M
( )1,2, ,iM a i n− = ( )1,2, ,ia i n= M
M A n
3n = 5n = 7n = A
{ }1,2,3,4,5 { }1,3,5,7,9,11,13
1 2 3 4 5a a a a a< < < <
2a { }1 3 4 5, , ,a a a a
1 5 3 4a a a a+ = + 5 1 3 4a a a a= + +
1a { }2 3 4 5, , ,a a a a
2 5 3 4a a a a+ = + 5 2 3 4a a a a= + +
1 2a a= 1 2a a= −
1 2a a= − 1 2a a=
5n = A
{ }1 2, , , nA a a a= M第 17 页 共 17 页
由题可知， 均为偶数，因此 均为奇数或偶数.
如果 为奇数，则 也均为奇数，由于 ，所以
为奇数.
如果 为偶数，则 均为偶数，此时设 ，则 也是
“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和
也为奇数，则集合 中元素个数 为奇数.
综上所述，集合 中元素个数为奇数.
②当 时，显然任意集合 不是“可分集合”.
当 时，第（2）问已经证明集合 不是“可分集合”.
当 时，集合 ，因为：
3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合 是“可分集合”.
所以集合 中元素个数 的最小值是 7.
【点睛】
本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然
后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分
析能力，属于难度较高的创新题.
( )1,2, ,iM a i n− = ( )1,2, ,ia i n=
M ( )1,2, ,ia i n= 1 2 nM a a a= + + + n
M ( )1,2, ,ia i n= 2i ia b= { }1 2, , , nb b b
A n
A
3n = { }1 2 3, ,a a a
5n = { }1 2 3 4 5, , , ,A a a a a a=
7n = { }1,3,5,7,9,11,13A =
A
A n
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