2019-2020学年山东省威海市文登区高一上学期期末数学试题（解析版）

第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年山东省威海市文登区 高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．下列集合与集合 相等的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据集合的含义，对选项进行逐一分析即可. 【详解】 对 ：集合中的元素代表 点，与集合 不同； 对 ：集合中的元素代表 点，与集合 不同； 对 ： ，解得 或 ，与集合 元素相同； 对 ：表示两个代数式的集合，与集合 不同. 故选：C. 【点睛】 本题考查集合相等的判断，属基础题. 2．已知 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】 由 ， 而 推不出 ， “ ”是“ 充分不必要条件 3．已知集合 ， ，则( ) A． ， B． ， {2,3}A = {(2,3)} {( , }) | 2, 3}x y x y= = { }2| 5 6 0x x x− + = { 2, 3}x y= = A ( )2,3 A B ( )2,3 A C 2 5 6 0x x− + = 2x = 3x = A D A a R∈ 2a > 1 1 2a < 1 1 22a a ⇒ 1 1 2a < 2a > ∴ 2a > 1 1 2a < { 1,0,1,2}A = − { | 1}B x x= ≤ x A∀ ∈ x B∈ x B∀ ∈ x A∉第 2 页 共 16 页 C． ， D． ， 【答案】C 【解析】先求得集合 ，再判断两个集合之间的关系. 【详解】 对集合 ， 故存在集合 A 中的元素-1 或 2，使得其不属于集合 . 故选：C. 【点睛】 本题考查集合之间的关系，属基础题. 4．下表为国家统计局对 2012-2018 年的农产品生产价格指数进行的统计数据，则下列 四个类别的产品生产价格一直在增长的是，生产价格指数最不稳定的是( ) 农产品生产价格指数（上年 100） 指标 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 种植业产品 104.8 104.3 101.8 99.2 97.0 99.5 101.2 林业产品 101.2 99.1 99.4 97.9 96.1 104.9 98.9 畜牧产品 99.7 102.4 97.1 104.2 110.4 90.8 95.6 渔业产品 106.2 104.3 103.1 102.5 103.4 104.9 102.6 A．畜牧产品，种植业产品 B．渔业产品，畜牧产品 C．渔业产品，林业产品 D．畜牧产品，渔业产品 【答案】B 【解析】根据图表中价格指数的增长情况以及波动情况，即可容易选择. 【详解】 根据图表可知： 渔业产品每一年的价格指数均超过 ，故都在增长； 又畜牧产品的价格指数增长波动最大. 故选：B. 【点睛】 x A∃ ∈ x B∉ x B∀ ∈ x A B∈  B { } [ ]| 1 0,1B x x= ≤ = B = 100第 3 页 共 16 页 本题考查数据分析，属基础题. 5．某班有男生 28 人，女生 16 人，用分层抽样的方式从中抽取容量为 的样本，若男 生抽取了 7 人，则 的值为( ) A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【解析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易判断. 【详解】 根据题意可得 ，解得 . 故选：B. 【点睛】 本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题. 6．从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇 到红灯的概率分别为 ， ， .则某人从甲地到乙地至少遇到 2 次红灯的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先计算至多 1 次遇到红灯的概率，再用 1 减去所求概率，即可求得结果. 【详解】 若从甲地到乙地，遇到 1 次红灯，则概率为 ， 没有遇到红灯的概率为 ， 故某人从甲地到乙地至少遇到 2 次红灯的概率为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查独立事件的概率计算，属基础题. 7．下列大小关系正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】D n n 7 28 16 28 n =+ 11n = 1 2 1 3 1 4 6 24 7 24 11 24 17 24 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 × × + × × + × × = 1 2 3 1 2 3 4 4 × × = 11 1 71 24 4 24 − − = 2.31 2.32 12.3 22  < > = = >       2.3 1 2.321 2.3 22   < 0a > 1a ≠ 1| 0 2x x < log 4x a x < 0 1a< < logay x= 4xy = 1 21log 42a = 2 2a =第 5 页 共 16 页 【解析】根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即 可. 【详解】 不妨记两个黑球为 ，两个红球为 ，从中取出 2 个球，则所有基本事件如下： ， 恰有一个黑球包括基本事件： ，都是黑球包括基本事件 ， 两个事件没有共同的基本事件，故互斥； 至少一个黑球包括基本事件： ，都是红球包括基本事件 ， 两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立. 故选：BC 【点睛】 本题考查对立事件和互斥事件的判断，属基础题. 10．年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则 ( ) 1 2,A A 1 2,B B 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2, , , , ,A A A B A B A B A B B B 1 1 1 2 2 1 2 2, , ,A B A B A B A B 1 2A A 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, , , ,A A A B A B A B A B 1 2B B第 6 页 共 16 页 A．2014~2018 年，国内生产总值增长率连续下滑 B．2014~2018 年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C．第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D．2018 年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过 50% 【答案】BD 【解析】根据表格中数据，结合选项进行逐一分析即可. 【详解】 对 ： 年国内生产总之增长率相对 年上涨，故 错误； 对 ：从图表中可知，随着第三产业增加值的增长，国内生产总值的在不断增长，故 正确； 对 ： 年第三产业的增长率相对 年在增大，而国内生产总值的增长率在下 降，故 错误； 对 ： 年第三产业的增加值超过 万亿元，而当年的国内生产总值有 90 万亿元， 故占比超过 ，故 正确； 故选：BD. 【点睛】 本题考图表数据的分析，属基础题. 11．已知函数 有且只有一个零点，则( ) A． B． C．若不等式 的解集为 ，则 D．若不等式 的解集为 ，且 ，则 【答案】ABD 【解析】根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可 容易求得. 【详解】 因为 有且只有一个零点， 故可得 ，即可 . 对 ： 等价于 ，显然 ，故 正确； A 2017 2016 A B B C 2015 2014 C D 2018 45 50% D 2( ) ( 0)f x x ax b a= + + > 2 2 4a b− ≤ 2 1 4a b + ≥ 2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x 1 2 0x x > 2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− = 4c = 2( ) ( 0)f x x ax b a= + + > 2 4 0a b= − = 2 4 0a b= > A 2 2 4a b− ≤ 2 4 4 0b b− + ≥ ( )22 0b − ≥ A第 7 页 共 16 页 对 ： ，故 正确； 对 ：因为不等式 的解集为 ， 故可得 ，故 错误； 对 ：因为不等式 的解集为 ，且 ， 则方程 的两根为 ， 故可得 ， 故可得 ，故 正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题. 12．已知 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，若 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据函数性质，赋值即可求得函数值以及函数的周期性. 【详解】 因为 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数， 故可得 ， 则 ，故 选项正确； 由上述推导可知 ，故 错误； 又因为 ，故 选项正确. 又因为 ，故 错误. 故选：AD. 【点睛】 本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解，属综合基础题. B 2 1 1 14 2 4 4a b bb b b + = + ≥ × = B C 2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x 1 2 0x x b= − < C D 2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− = 2 0x ax b c+ + − = 1 2,x x ( ) ( )2 2 1 2 1 24 4 4 2 4x x x x a b c c c+ − = − − = = = 4c = D ( )f x R ( 1)f x + (1) 2f = (3) 2f = − ( 2) ( ) f x f x+ = (5) 2f = − ( 4) ( ) f x f x+ = ( )f x R ( 1)f x + ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1f x f x f x f x= − − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2f x f x f x f x f x+ = − − = − + = − − = D ( ) ( ) ( )2 2f x f x f x= − + ≠ + B ( ) ( ) ( )3 1 1 2f f f= − = − = − A ( ) ( )5 1 2 2f f= = ≠ − C第 8 页 共 16 页 三、填空题 13．一组数据 2，3，4，5，7，10，12，14，16 的 25%分位数为________. 【答案】 【解析】先求数据的中位数，再求前一组数据的中位数即可. 【详解】 因为有 9 个数据，故可得其中位数为 ， 则中位数前有 2,3,4,5 合计 4 个数，其中位数为 ， 故可得其 25%分位数为 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查四分位数的求解，属基础题. 14． ________. 【答案】 【解析】根据对数和指数的运算即可容易求得. 【详解】 原式 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查对数和指数的运算，属基础题. 15．三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时，用几何的方法讨论一元二次方程 的解：将四个长为 ，宽为 的矩形围成如图所示正方形，于是中 间小正方形的面积为________，且大正方形的面积为________，从而得到一元二次方程 的根.（用 ， 表示） 【答案】 3.5 7 3.5 3.5 3.5 3 2 1 2 2 3 1log log 6 24 4  + − =   3 8 − 3 2 2 4 3 27 27 3log 6 log 8 33 2 8 8 8    = × − = − = − = −       3 8 − 2 0x px q+ − = x p+ x p q 2p 2 4p q+第 9 页 共 16 页 【解析】根据题意，用整体代入的思想，即可容易求得结果. 【详解】 由题可知，小正方形的边长为 ，则小正方形的面积为 ； 又四个小长方形的面积为 ， 故可得大正方形的面积为： ， 又因为 ，故可得 代入上式 可得大正方形的面积为 . 故答案为： ； 【点睛】 本题考查一元二次方程根的求解，属基础题. 16．若 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围 为________. 【答案】 【解析】令 ，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】 令 ，由 可得 ， 则问题等价于存在 ， ， 分离参数可得 若满足题意，则只需 ， 令 ，令 ， 则 ，容易知 ， 则只需 ，整理得 ， 解得 . x p x p+ − = 2p ( )4x x p+ ( )2 2 24 4 4p x xp p x x p+ + = + + 2 0x px q+ − = ( )x x p q+ = 2 4p q+ 2p 2 4p q+ ( 2, 1)x∃ ∈ − − ( )2 4 2 1 0x xm m− + + > m ( )4,5− 2x t= 2x t= ( 2, 1)x∃ ∈ − − 1 1,4 2t  ∈   ( )2 4 2 1 0x xm m− + + > 1 1,4 2t  ∈   ( )2 2 1 0m m t t− + + > 2 2 1tm m t +− > − 2 2 1 min tm m t + − > −   ( ) 2 2 1 1 1th x t t t +  = − = − −   1 mt = ( )2,4m∈ ( )2 , 2,4y m m m= − − ∈ 4 16 20miny = − − = − 2 20m m− > − 2 20 0m m− − < m∈ ( )4,5−第 10 页 共 16 页 故答案为： . 【点睛】 本题考查由存在性问题求参数值，属中档题. 四、解答题 17．设集合 ， ，若 ， ，写出符合条件的所有集合 . 【答案】 ， ， ， ， ， ， ， 【解析】求得二次函数的值域和二次不等式，再写出集合的子集即可. 【详解】 由题意知， ， . 若 ， ，所以 ， 所以 ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】 本题考查集合子集的求解，属基础题. 18．空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照 AOI 大小分为六级.某地区一监测站记录自 2019 年 9 月起连续 天空气 质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图. 空气质量指 数（AOI） 空气质量等 级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 频数（天） 25 40 10 5 0 ( )4,5− { }2| 4 10A y y x x= = − + { }2| 13 36 0,B x x x x N= − + < ∈ C A⊆ C B⊆ C C = ∅ {6} {7} {8} {6,7} {6,8} {7,8} {6,7,8} { | 6}A y y= ≥ { | 4 9, } {5,6,7,8}B x x x N= < < ∈ = C A⊆ C B⊆ {6,7,8}C A B⊆ ∩ = C = ∅ {6} {7} {8} {6,7} {6,8} {7,8} {6,7,8} n (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250, )+∞ m第 11 页 共 16 页 （Ⅰ）求 ， 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数； （Ⅲ）在空气质量指数分别为 和 的监测数据中，用分层抽样的方法 抽取 6 天，再从中任意选取 2 天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率. 【答案】（Ⅰ） ， ，直方图见解析；（Ⅱ）90，81.25；（Ⅲ） . 【解析】（Ⅰ）由频率的计算公式，即可求得参数 ，根据表格中数据，即可补全直 方图； （Ⅱ）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，即可容易求得； （Ⅲ）先用分层抽样求得 天中在区间 和 的天数，列举出所有任取 天的可能性，找出满足题意的可能性，根据古典概型的概率求解公式即可求得结果. 【详解】 （Ⅰ）由题知 ，解得 ，所以 . 频率分布直方图如图： （Ⅱ）平均数为 m n (50,100] (100,150] 20m = 100n = 8 15 ,m n 6 (50,100] (100,150] 2 100.002 50 n × = 100n = 20m =第 12 页 共 16 页 ； 中位数为 ； （Ⅲ）按分层抽样在 和 中抽取分别抽取 4 天和 2 天， 在所抽取的 6 天中，将空气质量指数为 的 4 天分别记为 ， ， ， ， 空气质量指数为 的 2 天分别记为 ， ， 从中任取 2 天的基本事件为 共 15 个， 其中事件 “两天空气质量等级不同”发生基本事件包括 8 个， 所以概率 . 【点睛】 本题考查频率的计算，频率分布直方图的绘制，以及由频率分布直方图计算中位数和平 均数，古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合中档题. 19．已知命题 ， ， ， .试判断“ 为真命题”与“ 为真命题”的充分必要关系. 【答案】“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件. 【解析】由恒成立问题求得“ 为真命题”与“ 为真命题”对应的参数范围，结合集合 之间的关系，判断充分性和必要性. 【详解】 若 为真命题，则 ， 令 ， 在 单调递减， 所以 ，∴ ， . ， ， [25 0.005 75 0.008 125 0.004 175 0.002 225 0.001] 50× + × + × + × + × × 6.25 30 25 17.5 11.25 90= + + + + = 0.5 0.2550 50 81.250.4 −+ × = (50,100] (100,150] (50,100] 1A 2A 3A 4A (100,150] 1B 2B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B A B ( ) ( ) ( ) ( )}3 2 4 1 4 2 1 2, , , , , , ,A B A B A B B B M 8( ) 15P M = : [ 5, 3]p x∀ ∈ − − 2 2 2 3 0x x k+ − + < : (0, )q x∃ ∈ +∞ 2 4 2x x kx − + − > p q¬ p q¬ p q¬ p ( )2 max 2 3 2x x k+ + < [ 5, 3]x∈ − − 2 2( ) 2 3 ( 1) 2f x x x x= + + = + + ( )f x [ 5, 3]x∈ − − max( ) ( 5) 18f x f= − = 2 18k > 9k > : (0, )q x¬ ∀ ∈ +∞ 2 4 2x x kx − + − ≤第 13 页 共 16 页 若 为真命题，则 由 . ，可得 ， 所以 因为 ， 所以“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件. 【点睛】 本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题. 20．已知偶函数 ，且 . （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由函数定义域关于原点对称，以及函数值，待定系数即可求得结果； （Ⅱ）根据对数型复合函数的值域以及 的值域，即可求得参数 的范围. 【详解】 （Ⅰ）函数 的定义域为 ， 对于 ，因为 ，所以 因为 为偶函数，所以其定义域关于原点对称 所以对于 ，一定有 ，则 且有 ，可得 所以 解得 ， 因为 ， 所以 ，从而 . q¬ max 2 4m xx   ≥ − + +     2 22xx x + ≥ 2 2x = max 2 4 4 2 2xx   − + + = −     4 2 2k ≥ − { | 9} { | 4 2 2}k k k k≠ > ⊂ ≥ − p q¬ 2 2( ) log (1 ) log (1 )( 0)f x ax bx a= + + + > 2 12 f   = −    a b ( ),0 1( ) 2 , 1x f x xg x m x ≤   + > 1 0ax + > 0a > 1x a > − ( )f x 1 0bx + > 0b < 1x b < − 1 1 a b = − 0a b+ = 2 2 2 2 2 2 2 1log 1 log 1 log 1 12 2 2 2f a a a        = + + − = − = −                    21 11 2 2a− = 2 1a = 0a > 1a = 1b = −第 14 页 共 16 页 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， 当 时，可得 ，所以 ，即 ； 当 时， ，所以 ， 因为 的值域为 ，所以 ， 故 . 【点睛】 本题考查由对数型复合函数的奇偶性求参数值，以及对数型符合函数值域的求解，属中 档题. 21．2019 年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有 90 万元无息贷款没有偿 还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供 30 万元无息贷款，用以购买某种生产 设备.已知该设备每生产 1 万件产品需再投入 4 万元的生产资料费，已知一年内生产该 产品 万件的销售收入为 万元，且 ，企业在经营 过程中每月还要支付给职工 3 万元最低工资保障. （Ⅰ）写出该企业的年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润； （Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）年产量为9 万件时，企业 获得的年利润最大为 24 万元；（Ⅲ）5 年. 【解析】（Ⅰ）根据 ，分段求得利润，将其写成分段函数即可； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，求分段函数的最值； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求，解简单不等式即可求得. 【详解】 （Ⅰ）当 时， 年利润 ； 时， . ( )2 2log 1 ,0 1( ) 2 , 1x x xg x m x  − ≤  W x 22 20 36,0 5 ( ) 3244 96, 5 x x x W x x xx − + − < ≤=  − − + > ( )R x 0 5x< ≤ 2 224 2 4 36 2 20 36W x x x x x= − − − = − + − 5x > 324 324132 4 36 4 96W x xx x = − − − = − − +第 15 页 共 16 页 所以 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时， ， 所以当 万件时，企业获得的利润最大为 14 万元； 时， ， 当且仅当 万件时，乙获得的利润最大为 24 万元. 综上可知，年产量为 9 万件时，企业获得的年利润最大为 24 万元. （Ⅲ）由题意，设最早 年后还清所有贷款， 则有 ，解得 ， 所以企业最早 5 年后还清所有贷款. 【点睛】 本题考查分段函数模型的实际应用，属综合基础题. 22．已知函数 （ 且 ）. （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）用定义证明 在 单调递增； （Ⅲ）若 ， 成立，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） 或 . 【解析】（Ⅰ）先求得 ，再根据对数的运算性质，即可求得结果； （Ⅱ）对 进行分类讨论，根据单调性定义，作差比较大小即可证明； （Ⅲ）利用（Ⅱ）中所证，根据函数单调性求解不等式即可. 【详解】 （Ⅰ） ，因为 ， 所以 . （Ⅱ）设 且 ，那么 22 20 36,0 5 ( ) 3244 96, 5 x x x W x x xx − + − < ≤=  − − + > 0 5x< ≤ 22( 5) 14W x= − − + 5x = 5x > 324 3244 96 2 4 96 24W x xx x = − − + ≤ − × + = 9x = n 24 30 90 0n − − ≥ 5n ≥ ( ) x xf x a a−= + 0a > 1a ≠ 10a = (1 2lg 5)f − ( )f x [0, )+∞ [ 3,0]x∀ ∈ − (2 4) ( )f x f x m+ < + m 5 2 4m < − 5m > 1 2 5lg− a 1 2lg 5 1 lg5 lg2− = − = 10a = lg 2 lg 2 1 5(1 2lg 5) (lg2) 10 10 2 2 2f f −− = = + = + = 1 2, [0, )x x∀ ∈ +∞ 2 1x x> ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 22 1 1 11 1 x x x x x x x x x x x x x x a a a f x f x a a a a a a a a a + − − + − − − = + − + = − + − =  第 16 页 共 16 页 当 时， ，则 ， 又 ， ，则 ， 所以 ，从而 ； 当 时， ，则 ， 又 ， ，则 ， 所以 ，从而 ， 综上可知 在 单调递增. （Ⅲ）由题意可知 的定义域为 ，且 ， 所以 为偶函数. 所以 等价于 ， 又因为 在 单调递增， 所以 ，即 ， 所以有： ， ， 令 ， 则 ， ， ， 且 ，或 或 ， 所以 或 . 【点睛】 本题考查对数的运算性质，以及利用函数单调性的定义求证指数型函数的单调性，涉及 利用函数单调性求解不等式，属综合中档题. 0 1a< < 2 1x xa a< 2 1 0x xa a− < 2 1 0x x+ > 2 10 1x xa +< < 2 1 1 0x xa + − < ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 x x x x x x a a a f x f x a + − − − = > ( ) ( )2 1f x f x> 1a > 2 1x xa a> 12 0x xa a− > 2 1 0x x+ > 2 1 1x xa + > 2 1 1 0x xa + − > ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 22 1 1 0 x x x x x x a a a f x f x a + + − − − = > ( ) ( )2 1f x f x> ( )f x [0, )+∞ ( )f x R ( )( ) ( )x x x xf x a a a a f x− − − −− = + = + = ( )f x (2 4) ( )f x f x m+ < + (| 2 4 |) (| |)f x f x m+ < + ( )f x [0, )+∞ | 2 4 | | |x x m+ < + 2 2(2 4) ( )x x m+ < + [ 3,0]x∀ ∈ − 2 23 (16 2 ) 16 0x m x m+ − + − < 2 2( ) 3 (16 2 ) 16g x x m x m= + − + − ( 3) 0 (0) 0 g g −  ( 4)( 4) 0 ( 1)( 5) 0 m m m m − + >  − − > 4m > 4m < − 5m > 1m < 4m < − 5m >