2019 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考
数 学 试 题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得 ，选 D.
2.复数 满足 ，则复数 的实部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数模的运算、除法的运算化简 ，由此求得复数 的实部.
【详解】依题意 ，所以 ，故 的实
部为 .
故选：D.
【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于
基础题.
3.已知向量 ， .若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
{ }2| log 1M x x= < { }2| 1 0N x x= − ≤ M N =
{ }|1 2x x≤ < { }| 1 2x x− ≤ < { }| 1 1x x− < ≤
{ }| 0 1x x< ≤
(0,2), [ 1,1], (0,1]M N M N= = − ∩ =
z (1 ) 1z i i− = − z
1− 1 2
2
− 2
2
z z
1 1 1 2i− = + = ( )
( )( )
2 12 2 2
1 1 1 2 2
iz ii i i
+= = = +− − + z
2
2
(2,3)a = ( ,4)b x= / /( )a a b− x =
3
8
8
3
1
2【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 的坐标，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得 的值.
【详解】依题意 ，由于 ，所以 ，解得
.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.
4.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类 冰箱类 小家电类 其它类
营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%
净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86%
则下列判断中正确的是（）
A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损
B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供
D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．
【详解】根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损
的，A 正确；
小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；
该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确；
所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D
a b− x
( )2 , 1a b x− = − − / /( )a a b− ( ) ( )2 3 2 1 0x− × − × − =
8
3x =正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．
5.已知圆 ，则两圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．
【详解】由题意，可知圆 ，即为 ，表示以 为圆心，半径
为 1 的圆，圆 ，即为 ，表示以 为圆心，半径为 3 的圆，
由于两圆的圆心距等于 等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选 D.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的
方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角公式求得 ，再利用诱导公式求得结果.
【详解】
2 2 2 2
1 2x y -2 3x-4y 6 0 x y -6y 0C C+ + = + =： ， ：
1C 2 2( 3) ( 2) 1x y− + − = 1( 3,2)C
2C 2 2( 3) 9x y+ − = 1(0,3)C
3 1 2+ =
1cos 6 3
πα + = sin 2 6
πα − =
8
9
− 8
9
7
9
7
9
−
cos 2 3
πα +
1cos 6 3
πα + =
2 2 7cos 2 2cos 1 13 6 9 9
π πα α ⇒ + = + − = − = −
7cos 2 cos 2 sin 23 6 2 6 9
π π π πα α α ∴ + = − + = − − = −
7sin 2 6 9
πα ∴ − = 本题正确选项：
【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知
角联系起来.
7.若偶函数 在区间 上单调递增， 且 ， 则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 的奇偶性和单调性，画出 大致图像，根据图像求得不等式 的解
集.
【 详 解 】 由 于 函 数 是 偶 函 数 ， 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 且 ， 所 以
，且函数在 上单调递减.由此画出函数图像如下图所示，由图可知，
能 使 ， 即 ， 也 即 自 变 量 和 对 应 函 数 值 异 号 的 的 解 集 是
.
故选：A.
C
( )f x ( ,0]−∞ (3) 0f = ( ) 0f x
x
<
( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞ ( , 3) (0,3)−∞ − ∪
( , 3) (3, )−∞ − ∪ +∞ ( 3,3)−
( )f x ( )f x ( ) 0f x
x
<
( )f x ( ,0]−∞ (3) 0f =
( ) ( )3 3 0f f− = = [ )0,+∞
( ) 0f x
x
< ( ) 0x f x⋅ < x
( ) ( )3,0 3,− ∪ +∞【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础
题.
8.如图，在四面体 ABCD 中，已知 那么 D 在面 ABC 内的射影 H 必在（ ）
A. 直线 AB 上 B. 直线 BC 上
C. 直线 AC 上 D. 内部
【答案】A
【解析】
由 可得 ，即平面 内的射影 必在平面 与
平面 的交线 上，故选 A
,AB AC BD AC⊥ ⊥
ABC∆
, ,AB AC BD AC⊥ ⊥ AC ABD⊥ 平面 ABC H ABC
ABD AB9.过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则该直
线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意，设直线的方程为 ；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线
的距离公式即可求出结果.
【详解】由题意设直线 的方程为 ，因为圆 的圆心为 ，
半 径 为 ， 又 弦 长 ， 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 为
，
所以有 ，解得 .
故选 A
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关
的问题，属于基础题型.
10.已知 为正实数，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ,当且仅当
时取等号，故选 D.
考点：基本不等式.
( )0,1P l ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = A B 2AB =
1± 2± 3± 2±
1y kx= +
l 1y kx= + ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( )1,1
1r = 2AB =
2
2 1 212 2 2
ABd r
= − = − =
2
2
21
k
k
=
+ 1k = ±
,x y 4 3
3
x y
x y x
++
5
3
10
3
3
2
4 3 4 3 4 31 2 1 33 3 3
x y x x y x x y
x y x x y x x y x
+ ++ = + − ≥ − =+ + +
4 3
3
x x y
x y x
+=+【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式
时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构
定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这
方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.
11.若对圆 上任意一点 ， 的取值与
， 无关， 则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式，转化 为点 到两条平行直线的距离之和
来求解实数 a 的取值范围
【详解】依题意 表示 到两
条 平 行 直 线 和 的 距 离 之 和 与 无 关 ， 故 两 条 平 行 直 线
和 在圆 的两侧，画出图像如下图所示，故
圆心 到直线 的距离 ，解得 或 （舍去）
故选：D.
2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( , )P x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − −
x y
4a ≤ 4 6a− ≤ ≤ 4a ≤ 6a ≥ 6a ≥
3 4 3 4 9x y a x y− + + − − P
3 4 3 4 93 4 3 4 9 5 5
x y a x yx y a x y
− + − −− + + − − = + ( ),P x y
3 4 0x y a− + = 3 4 9 0x y− − = ,x y
3 4 0x y a− + = 3 4 9 0x y− − = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − =
( )1,1 3 4 0x y a− + = 3 4 15
ad
− += ≥ 6a ≥ 4a ≤ −【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的
数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12.在 中, , , ,点 在边 上,点 关于直线 的对称
点分别为 ,则 的面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解三角形，建立坐标系，设 AD 斜率为 k，用 k 表示出 B′纵坐标，代入面积公式得出面积关
于 k 的函数，根据 k 的范围和函数单调性求出面积最大值．
【详解】由余弦定理可得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝12+9﹣2×2 3 3，
∴AC ，且 AC2+BC2＝AB2，
ABC∆ 30B = 3BC = 2 3AB = D BC ,B C AD
,B C′ ′ BB C′ ′∆
9 3 3
2
− 6 3
7
9 3
7
3 3
2
3× 3
2
× =
3=∴AC⊥BC，
以 C 为原点，以 CB，CA 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设直线 AD 的方程为 y＝kx ，
当 D 与线段 AB 的端点重合时，B，B'，C'在同一条直线上，不符合题意，
∴则 k ，设 B′（m，n），显然 n＜0，
则 ，解得 n ，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C ，
令 f（k） （k ），则 f′（k） ，
令 f′（k）＝0 可得 k 或 k （舍），
∴当 k 时，f′（k）＞0，当 k 时，f′（k）＜0，
∴当 k 时，f（k）取得最大值 f（ ） ．
故选：D．
【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题
的方法，属于较难题．
3+
3
3
−＜
3 32 2
1
3
n mk
n
m k
+ = ⋅ +
= − −
2
6 2 3
1
k
k
+= +
2 2
1 1 6 2 3 9 3 332 2 1 1
k kBC n k k
− − += ⋅ ⋅ = × × = −+ +
2
9 3 3
1
k
k
+= − +
3
3
−＜
( )2
2 2
3 3 2 3 3
( 1)
k k
k
+ −
= +
3= − 3
3
=
3−＜ 3− ＜ 3
3
−＜
3= − 3− 3 3
2
=二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 ，则 _________.
【答案】
【解析】
由函数的解析式有： ，
则： .
点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解
析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每
个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 30 的素数中，随机选
取两个不同的数，其和等于 30 的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法先求出不超过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【详解】在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个，
从中选 2 个不同的数有 45 种，
和等于 30 的有（7，23），（11，19），（13，17），共 3 种，
则对应的概率 P ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.
15.过圆 上一点 作圆的切线， 则该切线的方程为______ ．
【答案】
( ) , 0{
ln , 0
xe xf x
x x
≤=
>
1
2f f
=
1
2
1 1ln2 2f =
1ln 21 1 1ln2 2 2f f f e
= = =
30 7 23= +
1
15
2
10C =
3 1
45 15
= =
1
15
2 2 5x y+ = (2, 1)M −
2 5 0x y− − =【解析】
【分析】
求得圆心 的坐标，进而求得直线 的斜率，从而求得过 点的圆的切线的斜率，由此求
得切线方程.
【详解】依题意圆心为 ，故 ，所以过 点的圆的切线的斜率为 ，由点斜
式得切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查过圆上一点的切线方程的求法，属于基础题.
16.体积为 三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ， ，
， 则球 的表面积的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出三角形 的三边长，利用三棱锥 的体积列方程.计算出三角形 的外接
圆半径，由此计算出球 的半径的表达式，并求得球 的半径的最小值，进而求得其表面积
的最小值.
【详解】设 三条边长为 ，则
①.
由于 平面 ，所以三棱锥 的体积为 ，所
以 ②.
设 的外心为 ，球 的球心为 .
由正弦定理得 外接圆的半径为 .
由图可知，球 的半径 ，将①代入上式得
的
O OM M
( )0,0O 1
2OMk
−= M 2
( ) ( )1 2 2y x− − = − 2 5 0x y− − =
2 5 0x y− − =
3
6 P ABC− O PA ⊥ ABC 2PA =
2
3ABC
π∠ = O
8π
ABC P ABC− ABC
O O
ABC∆ , ,AB c BC a AC b= = =
2 2 2 2 22π2 cos 3b a c ac a c ac= + − = + +
PA ⊥ ABC P ABC− 1 1 2π 3 3sin 23 2 3 6 6
acac× × = =
1ac =
ABC∆ 1O O O
ABC∆
1 1 2
2π2 2 3 3sin 3
b b br = × = × =
O
2 2
2 2 12 3
PA bR r = + = + ，当且仅当 时等号成立.故球 表面
积的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，
考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档
题.
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中，a， b， c 分别为角 A，B，C 所对边的长，
.
（1）求角 C 的值：
（2）设函数 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得 的值，进而求得 的大小.
（2）利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简 表达式，根据 的取值范围，结合三角
【
2 2
2 21 1 1 23 3
a c ac ac acR ac
+ + += + ≥ + = + = 1a c= = O
24π 4π 2 8πR = × =
8π
ABC∆
(sin -sin ) ( )(sin sin )a A B c b B C= − +
3( ) cos sin( )3 4f x x x
π= ⋅ + − (A)f
60C = ° ( ) 1 1,2 2f A ∈ −
cosC C
( )f x A函数值域的求法，求得 的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得： ，
∴ ，∴ ，∴ .
（2）
，
∵ ， ，∴ .
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查辅助
角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.
18.已知圆 .
（1）若圆 的切线 在 轴、 轴上的截距相等，求切线 的方程；
（2）若点 是圆 C 上的动点，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出圆心和半径.当切线过原点时，设切线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半
径，求得 的值.当切线不过原点时，切线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径，
求得 的值.
（2）将问题转化为直线 与圆 有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不
等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】（1）由方程 知圆心为 ，半径为 ，
当切线过原点时，设切线 方程为 ，则 ，
∴ ，即切线 方程为 .
当切线不过原点时，设切线 方程 ，为
( )f A
2 2 2a ab bc c b bc− = + − −
2 2 2a b c ab+ − = 1cos 2C = 60C = °
( ) 1 3 3cos sin cos2 2 4f x x x x
= + −
( )1 3 1 cos2 1sin 2 sin 2 604 2 2 2
xx x
+= + ⋅ = +
0 120A° < < ° 60 2 60 300A< +
=
+ 0x < ( ) ( )f x f x= − −
m ( )f x [ ]1,1−
1 2 1a− < − ≤
0x < 0x− >
2 2( ) ( ) [ ( ) 2( )] 2f x f x x x x x= − − = − − − + − = + 2m =
( )f x =
2
2
2 , 0
0, 0
, 0
x x x
x
x mx x
− + >
=
+
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