蓉城名校联盟 2019~2020 学年度上期高中 2018 级期中联考文科数学
一、选择题:
1.在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则 ， 两点间的距离是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间两点之间的距离公式: ,将 ，
两点代入,即可求得 , 两点间的距离.
详解】 ，
= =
故选:C.
【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键.
2.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ”的否定是
“ ， ”.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关
系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.
3.若命题 是真命题， 是真命题，则下列命题中，真命题是（ ）
【
( )2,1,3A ( )4,3,0B − A B
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 2d x x y y z z= − + − + − ( )2,1,3A
( )4,3,0B − A B
( )2,1,3A ( )4,3,0B −
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 2d x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 22+4 1 3 3 0+ − + − 7
1x∀ ≥ 2 2 1 0x x− + ≥
0 1x∃ ≥ 2
0 02 1 0x x− + < 0 1x∃ < 2
0 02 1 0x x− + <
0 1x∃ ≥ 2
0 02 1 0x x− + ≤ 0 1x∃ < 2
0 02 1 0x x− + ≤
21, 2 1 0x x x∀ ≥ − + ≥
0 1x∃ ≥ 2
0 02 1 0x x− + <
p q¬A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，命题 是真命题，则 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，命题 是真命题，则 是假命题，
由真值表可得，命题 和 和 都为假命题，只有命题 为真命题.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值
表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.
4.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的方程，求得 ，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案.
【详解】由双曲线 ，可得 ，即 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记
双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5.若圆 ： 与圆 ： 外切，则正数 的值是
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
p q∧ p q¬ ∨ p q¬ ∧ ¬ p q∨
q¬ q
q¬ q
p q∧ p q¬ ∨ p q¬ ∧ ¬ p q∨
2 2
125 100
x y− =
4y x= ± 2y x= ± 1
4y x= ±
1
2y x= ±
5, 10a b= =
2 2
125 100
x y− = 2 225, 100a b= = 5, 10a b= =
2by x xa
= ± = ±
1C ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = 2C ( ) ( )2 2 22 3x y r+ + + = r【解析】
【分析】
由圆 和圆 相外切，可得 ，列出方程，即可求解.
详解】由题意，圆 ： 与圆 ： ，
可得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ，
又由圆 和圆 相外切，可得 ，即 ，
解得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方
法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.“ ”是“直线 与圆 ”相切的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，求得 或 ，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
当直线 与圆 相切，可得 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
所以“ ”是“直线 与圆 ”相切的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答
中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，
属于基础题.
【
1C 2C 1 2 1 2C C r r= +
1C ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = 2C ( ) ( )2 2 22 3x y r+ + + =
1 2(1,1), ( 2, 3)C C − − 1 21,r r r= =
1C 2C 1 2 1 2C C r r= + ( ) ( )2 21 2 1 3 1r+ + + = +
4r =
1c = 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + =
1c = 3c =
( ) ( )2 22 1 2x y− + + = (2, 1)− 2
0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = d r=
1 2
2
cd
− += = 1 2c + = 1c = 3c =
1c = 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + =7.已知双曲线 ： （ ， ）的左右顶点分别为 ， ，
点 ，若三角形 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的几何性质，根据 为等腰直角三角形，求得 ，得到 ，即可求
解双曲线的离心率，得到答案.
【详解】由题意，三角形 为等腰直角三角形，可得 ，即 ，
又由 ，所以 ，即 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以双曲线的离心率 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的
几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.已知过点(1，-2)的直线 与圆 交于 ， 两点，则弦长 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当弦长 取得最小值时,点 为弦 的中点,再由勾股定理可求得 的最小值.
当弦 同时过点(1,-2)和圆心时 的取值最大值.
【详解】
即
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > ( )1 ,0A a− ( )2 ,0A a
( )0,B b 1 2BA A C
2 3
1 2BA A∆ a b= 2 22c a=
1 2BA A a b= 2 2a b=
2 2 2c a b= + 2 2 2a c a= − 2 22c a=
2
2 2c
a
=
2 2e = 1e > 2e =
l 2 2( 1) ( 2) 25x y− + − = A B AB
[ ]4,10 [ ]3,5 [ ]8,10 [ ]6,10
AB (1 )2−， AB AB
AB AB
2 2( 1) ( 2) 25x y− + − =
2 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 圆心为 ,半径
由直线恒过定点 ，圆心
时弦长最短
在 中 由勾股定理得:
解得
再由弦 经过圆心时弦长最长为
则 .
故选:D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,解答中掌握圆的基本性质,数形结合是
解答的关键.
9.经过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，且 为 的中点，则直线
的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ， ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率.
【详解】设 ， ，则 ，
两式相减，可得 ，整理得 ，
所以 ，
∴ ( )1,2C = 5r
( )1, 2P − ( )1,2C
CP l⊥
Rt CPA
2
2 2| | 2
ABCP r
+ =
min| | 6AB =
AB max| |AB = 2 10r =
| | [6,10]AB ∈
( )1,1P l
2 2
13 2
x y+ = M N P MN l
2
3
− 2
3
3
2
− 3
2
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
1 1
2 2
2 2
13 2
13 2
x y
x y
+ =
+ =
2 2 2 2
2 1 2 1 03 2
x x y y− −+ = ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1 03 2
x x x x y y y y+ − + −+ =
( )
( )2 12 1
2 1 2 1
2
3
x xy yk x x y y
+−= =− +又由 为 的中点，可得 ，则 ，
即直线 的斜率为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求
解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10.已知圆 ： （ 为圆心），点 ，点 是圆 上的动点，线
段 的垂直平分线交线段 于 点，则动点 的轨迹是（ ）
A. 两条直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线
【答案】B
【解析】
【分析】
由线段 的垂直平分线交线段 于 点， ，得到 ，结合椭圆
的定义，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，线段 的垂直平分线交线段 于 点， ，
又由 ，即 ，
根据椭圆的定义，可得点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以
及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11.已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，且 ，过左焦
点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， ，若三角形 的周长为 ，
P MN 1 2 1 22, 2x x y y+ = + = 2 2 2
3 2 3k
×= − = −×
l 2
3
−
M ( )2 22 25x y− + = M ( )2,0N − A M
AN AM P P
AN AM P AP PN= 5PM PN+ =
AN AM P AP PN=
5AM AP PM r= + = = 5 4PM PN MN+ = > =
P M N
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( )0a b> > 1F 2F 1 2 8F F =
1F l C P Q 2PF 2QF 2PQF 20，则三角形 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 和椭圆的定义，可得 ，求得 ，进而求得
直角 的面积，得到答案.
【详解】由题意，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，三角形 的周长为 ，
根据椭圆的定义，可得 ，解得 ，
又由 ，即 ，解得 ，
又由 和椭圆的定义，可得 ，
由 ，可得 ，
所以直角 的面积为 .
故选:A
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有
椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.
12.已知圆 ，圆 ， ， 分别是圆 ，
上的动点.若动点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
2 90QPF∠ = ° 1 2PF F
9 18 25 50
2 90QPF∠ = ° 1 2
2 2
1 2
10
64
PF PF
PF PF
+ = + = 1 2 18PF PF =
1 2PF F∆
1F l C P Q 2PQF 20
4 20a = 5a =
1 2 8F F = 2 8c = 4c =
2 90QPF∠ = ° 1 2
2 2 2
1 2
2 10 (1)
(2 ) 64 (2)
PF PF a
PF PF c
+ = = + = =
2(1) (2)− 1 2 18PF PF =
1 2PF F∆ 1 2
1 92S PF PF= =
1 2PF PF
2 2
1 :( 1) ( 1) 1C x y− + − = 2 2
2 :( 2) ( 1) 4C x y− + − = A B 1C
2C P 0x y+ = PA PB+
5 2
2 14 3− 13 3−根 据 题 中 给 的 条 件 , 作 出 两 个 圆 和 直 线 的 图 象 , 将 就 转 化 为
的最小值,运用几何知识,作出 关于直线
对称点 ,并求出坐标,由平面几何的知识可知,当 与 、 共线时, 取得最
小值,最后利用两点问题距离公式: 即可求得答案.
【详解】先作图:
根据:
得: 的圆心 ,
得: 的圆心 ,
对于直线 上的任一点 ,由图象可知,要使 的得最小值,
可转化为求 的最小值
即可看作直线 上一点到两定点距离之和的最小值减去 ,
又 关于直线 对称的点为
当 与 、 共线时, 取得最小值
即直线 上一点到两定点距离之和取得最小值为
的最小值为
的最小值为
故选:D.
【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题,考查了
数形结合思想,利用圆的几何性质转化是解题的关键.
0x y+ = PA PB+
1 2 1 2PC PC R 3r PC PC+ − − = + − 1C 0x y+ =
C C P 2C 1 2PC PC+
( ) ( )2 2
1 2 1 2d x x y y= − + −
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
1C (1,1) 1r =
2C (2,1) 2R =
0x y+ = P PA PB+
1 2 1 2PC PC R 3r PC PC+ − − = + −
0x y+ = 3
1C 0x y+ = C(-1,-1)
C P 2C 1 2PC PC+
0x y+ = 2CC 13=
∴ 1 2PC PC+ 13
∴ PA PB+ 1 2 min( ) 3 13 3PC PC+ − = −二、填空题:
13.双曲线 的其中一个焦点坐标为 ，则实数 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由双曲线方程，得到 ，根据 ，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得 ，
又由 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，
以及合理利用 ，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于
基础题.
14.两圆 ， 相交于 ， 两点，则公共弦 所在的直
线的方程是______.（结果用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案.
【详解】由题意，圆 ， ，
两圆方程相减，可得直线方程为 ，
即两圆的公共弦所在直线的方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了圆与圆 位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线
方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
的
2 2
14
x y
k
− = ( )6,0 k =
2 2, 4a k b= = 2 2 2c a b= +
2 2
14
x y
k
− = 2 2, 4a k b= =
2 2 2c a b= + 4 6k + = 2k =
2
2 2 2c a b= +
2 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y x y+ − − = M N MN
2 0x y+ − =
2 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y x y+ − − =
2 0x y+ − =
2 0x y+ − =
2 0x y+ − =15.已知椭圆 的左焦点为 ，动点 在椭圆上，则 的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 , 由 两 点 间 距 离 公 式 : 可 求 出
结合 即可求得: 根据 椭圆 上
的可求得: ,即可求得 的取值范围.
【详解】解法一:
椭圆标准:
化简为:
可得: ,
设 故 即:
由 点事椭圆 上的点得: ,可得:
由两点间距离公式:
可得: =
即
解法二:
2 2
: 116 12
x yC + = F M MF
[ ]2,6
0 0( , )M x y ( ) ( )2 2
1 2 1 2d x x y y= − + −
( ) ( )2 2
0 0= +2 0MF x y+ −
2 2
0 0 116 12
x y+ = 0
1= +4,2MF x M C
04 4x− ≤ ≤ MF
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
∴ 2 2
: 116 12
x yC + =
2 2
2 2 14 (2 3)
x y+ =
4a = 2 3b =
2 2 2+a b c=
∴ 2c =
0 0( , )M x y 0a x a− ≤ ≤ 04 4x− ≤ ≤
M C
2 2
0 0 116 12
x y+ =
2
2 0
0 =12(1- )16
xy
( ) ( )2 2
1 2 1 2d x x y y= − + −
( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 0
0 0 0= +2 0 = +2 12(1- )16
xMF x y x+ − + 0
1 +42 x
∴ 0
12 +4 62 x≤ ≤
2 6MF≤ ≤由椭圆结论椭圆上点到左焦点的距离等于 (此结论可由椭圆的知识可证明)
即:
可得: , ,
则
即
故答案为: .
【点睛】本题考查椭圆的性质,解题时可以用两点间距离公式,表示出 ,在结合椭圆上横
坐标的取值范围,即可求得答案.也可以使用椭圆的结论即:椭圆上点到左焦点的距离等于
,可简化计算.
16.给出下列说法:①方程 表示的图形是一个点;②命题“若 ，
则 或 ”为真命题;③已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过右焦
点 被双曲线截得的弦长为 4 的直线有 3 条;④已知椭圆 上有两
点 ， ，若点 是椭圆 上任意一点，且 ，直线 ，
的斜率分别为 ， ，则 为定值 .
其中说法正确的序号是________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据曲线方程的几何意义、命题和逆否命题真假相同，圆锥曲线的基本性质,逐个选项进行判
断,即可求得答案.
ex a+
0=MF ex a+
0a x a− ≤ ≤ 04 4x− ≤ ≤
4a = 2 3b = 2c =
∴ 1= 2e
0 0
1= = 42MF ex a x+ +
∴ 0
12 +4 62 x≤ ≤
2 6MF≤ ≤
[ ]2,6
MF
ex a+
21 ( 1) 0x y+ + − = 0x y+ ≠
1x ≠ − 1y ≠ 2 2 4x y− = 1F 2F
2F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
( )0 0,A x y ( )0 0,B x y− − ( ),P x y C 0x x≠ ± PA PB
1k 2k 1 2k k⋅ 2
2
b
a
−详解】① 由 , 故 表示点
,故①正确;
②逆否命题为“若 且 ，则 ”为真，根据原命题和逆否命题真假相同,则
原命题为真,故②正确;
③根据异支焦点弦实轴最短为 4，同支焦点弦通径最短为 4，满足条件的直线只有 2 条,故③
错误;
④根据两点斜率公式:
可得: ,
由 相减可得 则 ,
故④正确;
故答案为: ①②④.
【点睛】本题考查原命题和逆否命题真假判断,逆否命题和原命题真假相同,在原命题难以判
断时,将其转化为逆否命题进行判断.本题还考查了圆锥曲线的基本知识,在熟记基本知识基
础上,要能灵活使用,这是解本题的关键.
三、解答题:
17.已知直线 ，直线 经过点 ，且 .
(1)求直线 的方程;
(2)记 与 轴相交于点 ， 与 轴相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的面积
【答案】(1) (或写成 )；(2)5.
【解析】
【分析】
【 2 1 0 11 ( 1) 0 1 0 1
x xx y y y
+ = = − + + − = ⇒ ⇒ − = =
21 ( 1) 0x y+ + − =
( )1,1−
1x = 1y = − 0x y+ =
2 1
2 1
y yk x x
−= −
0
1
0
y yk x x
−= −
0
2
0
y yk x x
+= + ∴
2 2
0 0 0
1 2 2 2
0 0 0
y y y y y yk k x x x x x x
− + −⋅ = × =− + −
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
+ =
+ =
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2
0
0x x y y y y b
a b x x a
− − −+ = ⇒ = −−
2
1 2 2
bk k a
⋅ = −
1 : 2 4l y x= + 2l ( )1,1 1 2l l⊥
2l
1l x A 2l x B 1l 2l C ABC△
1 3
2 2y x= − + 2 3 0x y+ − =(1)设直线 的解析式为 ,由于 ,根据两条直线垂直是: ,可求得
的 ,即 的解析式为 ,代入点 即可求解出直线 的方程.
(2)求出的 , , 坐标,然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得 的面积.
【详解】(1) ,根据两条直线垂直是:
可求得 的 ,
则 的解析式为 ,将点 代入解得:
即 (或写成 )
(2)在 中，令 ，得 ，即
在 中，令 ，得 ，即
解方程组 ，得 ， ，即
如图:
则 底边 的长为 ，
边上的高为
故 .
【点睛】本题主要考查直线的斜率公式,两直线垂直的性质,点到直线的距离公式,数形结合是
解题的关键.
18.命题 方程 表示焦点在 轴上的双曲线;命题 若存在 ，使得
2l y kx b= + 1 2l l⊥ 1 2 1k k× = − 2l
1
2k = − 2l 1
2y x b= − + ( )1,1 2l
A B C ABC△
1 2l l⊥ 1 2 1k k× = −
2l 1
2k = −
2l 1
2y x b= − + ( )1,1 3= 2b
2
1 3: 2 2l y x= − + 2 3 0x y+ − =
2 4y x= + 0y = 2x = − ( )2,0A −
1 3
2 2y x= − + 0y = 3x = ( )3,0B
2 4
1 3
2 2
y x
y x
= + = − +
1x = − 2y = ( )1,2C −
ABC△ AB ( )3 2 5AB = − − =
AB 2Cy =
1 | | 52ABC CS AB y= ⋅ =△
:p
2 2
13 1 3
x y
m m
+ =− − x :q 0x ∈R成立.
(1)如果命题 是真命题，求实数 的取值范围;
(2)如果“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
分析】
(1) 若命题 为真命题,即 表示焦点在 轴上的双曲线,根据焦点在 轴上
的双曲线的标准方程为: ,可得 ,即可得出答案.
(2)由“ ”为假命题，“ ”为真命题,可得: 则 、 两个命题一真一假,可分为二
种情况即: 真 假, 假 真.通过联立不等式组,即可求得答案.
【详解】(1) 若命题 为真命题,即 表示焦点在 轴上的双曲线
可化为
标准方程为: ,可得:
即:
解得: 的取值范围是 .
(2)若命题 为真命题，则 有解，得 ，
又“ ”为假命题，“ ”为真命题，则 、 两个命题一真一假，
当 真 假，则 ，解得 ;
【
02sin 0m x− =
p m
p q∧ p q∨ m
1 33 m< < 12, (2,3)3
−
p
2 2
13 1 3
x y
m m
+ =− − x x
2 2
2 2 1x y
a b
− =
( )
( )
3 1 0
3 0
m
m
− > − 0
m
m
− >
−
m 1 33 m< <
q 02sinm x= 2 2m− ≤ ≤
p q∧ p q∨ p q
p q
1 33
2 2
m
m m
<
C 2y x= b
1F 2F C P C 1 2PF PF⊥ 1 2PF F∆ C
2
2 19
yx − =
C 1a = 2y x= 2b
a
=
1 2PF PF⊥ 1 2PF F△ 1 2 18PF PF =
3b =
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 2 2a = 1a =又由双曲线一条渐近线方程为 ，所以 ，可得 .
（2）由双曲线定义可得 ，
又因为 ，且 的面积为 9，即 ，
所以 ，且
又由 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
故双曲线 的标准方程为： .
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解
答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于基础题.
21.已知直线 ， .
(1)若直线 ， 分别经过定点 ， ，求定点 ， 的坐标;
(2)是否存在一个定点 ，使得 与 的交点到定点 的距离为定值?如果存在，求出定点
的坐标及定值 ;如果不存在，说明理由.
【答案】(1) ；(2) 存在， ， .
【解析】
【分析】
(1) 求 直 线 经 过 定 点 ， 即 当 . 求 直 线 经 过 定 点 , 可 将
化简为 即当
即可得出答案.
(2) 解法一:通过直线 可解得 将其代入
,整理的 ,进而可以得出定点,和定长.
2y x= 2b
a
= 2 2b a= =
1 2 2 2PF PF a− = =
1 2PF PF⊥ 1 2PF F△ 1 2
1 182 PF PF× =
1 2 18PF PF = 2 2 2 2
1 2 1 2 4PF PF F F c+ = =
( )2 22
1 2 1 2 1 24 2 40c PF PF PF PF PF PF= + = − + = 2 10c =
2 22 10 1 9c ab = −= =− 3b =
C
2
2 19
yx − =
1 : 0( )l x my m+ = ∈R 2 : 2 4 0( )l mx y m m− − + = ∈R
1l 2l M N M N
Q 1l 2l Q Q
r
( ) ( )0,0 , 2,4M N ( )1,2 5r =
1l M
0 (0,0)0
x My
= ⇒ = 2l N
2 : 2 4 0( )l mx y m m− − + = ∈R ( 2) ( 4) 0m x y− − − = 2 0
4 0
x
y
− =
− =
1 : 0( )l x my m+ = ∈R xm y
= −
2 : 2 4 0( )l mx y m m− − + = ∈R 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =解法二:当 ,直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,所以 ，即两条直
线始终垂直,根据由圆的知识: 圆周角所对的弦是圆的直径, 即可得出 和
为直径端点的圆周上.即可求出答案.
【详解】(1)由 ，当 ，则 .
由 ，
当 ，则 .
(2)解法一:由 可知当 时，得: ，
代入 ， ，
整理得: ，
可得交点 一定在圆: 上，
故满足条件的定点 为 ，定值 .
解法二:由 时两直线垂直，
时， ，即两条直线始终垂直，
又 过定点 ， 过定点 ，
则 与 的交点在以 和 为直径端点的圆周上，
根据中点坐标公式: 的 的圆心为
根两点距离公式: 求得
可得交点 一定在圆: 上，
故满足条件的定点 为 ，定值 .
0m ≠ 1l 1k m= − 2l 2
1k m
= 1 2 1k k× = -
90 ( )0,0M ( )2,4N
1 : 0l x my+ = m∈R
0 (0,0)0
x My
= ⇒ =
2 : 2 4 0 ( 2) ( 4) 0l mx y m m x y− − + = ⇒ − − − =
m∈R
2 0 2 (2,4)4 0 4
x x Ny y
− = =⇒ ⇒ − = =
1l 0y ≠ xm y
= −
2l
2 2 4 0x xyy y
− − + + =
2 2 2 4 0( 0)x y x y y+ − − = ≠
P 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
Q ( )1,2 5r =
0m =
0m ≠ 1 2 1k k× = -
1l ( )0,0M 2l ( )2,4N
1l 2l ( )0,0M ( )2,4N
1 2
1 2
2
2
x xx
y yy
+ = + =
Q ( )1,2
( ) ( )2 2
1 2 1 2d x x y y= − + − | | 2 5MN =
P 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
Q ( )1,2 5r =综上所述: 存在一个定点 ，使得 与 的交点到定点 的距离为 .
【点睛】本题考查了求直线过定点问题,和两直线交点轨迹问题.在求解直线过定点时,将所给
表达式整理成关于参数 的方程:例如: ,在根据 此式恒成立可
得所过定点.
22.已知椭圆 长轴的两个端点分别为 ， ， 离心率 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）作一条垂直于 轴的直线，使之与椭圆 在第一象限相交于点 ，在第四象限相交于
点 ，若直线 与直线 相交于点 ，且直线 的斜率大于 ，求直线 的斜率
的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，求得 ，再由 ，求得 的值，即可求解；
（2）设 ，其中 ， ，可得 ，求得直线 的
方程，联立方程组，求得点 的坐标，得出直线 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率
的取值范围.
【详解】（1）由题意知，椭圆 长轴的两个端点分别为 ， ，可得 ，
又由 ，即 ，可得 ，
又因为 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，其中 ， ，可得 ，
由斜率公式，可得 ， ，
Q ( )1,2 1l 2l Q 5
m ( 2) ( 4) 0m x y− − − = m R∈
C ( )2,0A − ( )2,0B 3
2e =
C
x C M
N AM BN P OP 2
5 AM k
2
2 14
x y+ = 1 1,4 2
,a c 2 2 2b a c= − b
( )0 0,M x y 00 2x< < 00 1y< < ( )0 0,N x y− ,AM BN
P OP k
C ( )2,0A − ( )2,0B 2a =
3
2e = 3
2
c
a
= 3c =
2 2 2 22 2 ( 3) 1b a c− −= = =
C
2
2 14
x y+ =
( )0 0,M x y 00 2x< < 00 1y< < ( )0 0,N x y−
0
0 2AM
yk x
= +
0
02BN
yk x
= −所以直线 的方程为 ；直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，即点 ，
所以 ，即 ，
又由 ，
令 ， ，则
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即实数直线 的斜率 的取值范围 .
【点睛】本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合
应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率 的表达式是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试
题.
AM ( )0
0
22
yy xx
= ++ BN ( )0
0
22
yy xx
= −−
( )
( )
0
0
0
0
22
22
yy xx
yy xx
= + +
= − −
0
0 0
24 , yx yx x
= = 0
0 0
24 , yP x x
0
0 0
0
2
2
4 2 5OP
y
x yk
x
= = > 0
4 15 y< <
( )2 20 0 00 0
22
0 0 00
4 4 2 1 1
2 4 24 4 2
y y yy yk x y yy
− − − −= = = =+ −− +
2
01 y t− = 30, 5t ∈
2
0 1y t= −
( )2
22
11 1 1 1 1 212 1 2 1 2 12 1
tt tk t t tt
−− −= = × = × = × − +− + +−
30, 5t ∈
2 5 ,21 4t
∈ +
1 2 1 11 ,2 1 4 2t
× − + ∈ +
1 1,4 2k ∈ AM k 1 1,4 2
k
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