2019－2020 学年度上学期期中考试
高 2018 级数学试题（理科）
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.某学校有小学生 125 人，初中生 280 人，高中生 95 人，为了调查学生的身体状况，需要从
他们当中抽取一个容量为 100 的样本，采用较恰当的方法是（ ）
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样 D. 分层抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分
层抽样．
【详解】因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．
故选：B．
【点睛】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本．
2.下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
对于 中 ，故排除
对于 中 ，故排除
对于 中 故排除
故选
3.已知等差数列 ，若 ，则 前 7 项的和是（ ）
A. 112 B. 51 C. 28 D. 18
【答案】C
的
tan 4y x
π = +
2 xy x e= +
cosy x x= ln siny x x= −
A tan tan4 4x x
π π + ≠ − + A
C ( )cos cosx x x x≠ − − C
D ( )ln sin ln sinx x x x− ≠ − − − D
B
{ }na 2 510, 1a a= = { }na【解析】
由等差数列的通项公式结合题意有： ，
求解关于首项、公差的方程组可得： ，
则数列的前 7 项和为： .
本题选择 C 选项.
4.已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求 ，再根据 即可解出 m．
【详解】 ∵ ，
∴1-2(m+1)＝0，解得 m ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
5.下图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随
机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225 个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
2 1
5 1
10
4 1
a a d
a a d
= + =
= + =
1 13
3
a
d
=
= −
( )7 1
7 67 7 13 21 3 282S a d
×= + = × + × − =
(1,2)a = ( , 1)b m= − ( )a a b+ ∥ m =
1
2
1
2
−
a b+ ( )a a b+ ∥
1,1a b m+ = + （ ） ( )a a b+ ∥
1
2
= −由题意可得 ，解得 ，即可估计黑色部分的面积为 9，选 B．
6.袋中装有白球 3 个，黑球 4 个，从中任取 3 个，下列各对事件中互为对立事件的是（ ）
A. 恰有 1 个白球和全是白球 B. 至少有 1 个白球和全是黑球
C. 至少有 1 个白球和至少有 2 个白球 D. 至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球
【答案】B
【解析】
【分析】
从白球 3 个，黑球 4 个中任取 3 个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是
黑球，进而可分析四个事件的关系；
【详解】从白球 3 个，黑球 4 个中任取 3 个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两
黑和全是黑球，故
①恰有 1 个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，
②至少有 1 个白球和全是黑球是对立事件；
③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球不是互斥事件，
④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球不是互斥事件，
故选：B．
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件
之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．
7.某中学从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）
的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是 83，乙班学生成绩的平均数是 86，则
的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
225
16 400
S S
S
= =黑 黑
正方形
9S =黑
x y+【分析】
对甲组数据进行分析，得出 x 的值，利用平均数求出 y 的值，解答即可．
【详解】由茎叶图可知，茎为 8 时，甲班学生成绩对应数据只能是 83，80+x，85，因为甲班
学生成绩众数是 83，所以 83 出现的次数最多，可知 x＝3．
由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，
又乙班学生的平均分是 86，
总分等于 86×7＝602．所以 597+y＝602，解得 y＝5，
可得 x+y＝8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进
行分析，分别得出 x，y 的值，进而得到 x+y 的值．
8.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他
们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这 100 名学生参加实践
活动时间的中位数是（ ）
A. 7.2 B. 7.16 C. 8.2 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
由中位数两侧的面积相等，可解出中位数．
【详解】因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以 0.04×2+0.12×2+（x﹣6）
×0.15＝0.5，
可解出 x＝7.2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数，熟记中位数的计算方法是关键，属于基础
题．9.若正整数 N 除以正整数 m 后 余数为 r，则记为 ，例如 .如
图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行
该程序框图输出的 （ ）
A. 8 B. 18 C. 23 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序
的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】由已知中的程序框图可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：
①被 3 除余 2，
②被 5 除余 3，
③被 7 除余 2，
故输出的 i 为 23，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环
的方法解答，属于基础题．
10.已知一个样本为 x，1，y，5，其中 x,y 是方程组 的解，则这个样本的标准
的 ( , )Mod N m r= (10,4) 2Mod =
i =
2 2
2
10
x y
x y
+ =
+ =差是（ ）
A. 2 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得数据的平均数 2，由方差公式计算可得 s2 [12+x2+y2+52﹣4 2]
＝5，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，x，y 是方程组 的解，
则样本 x，1，y，5 中，有 x+1+y+5＝（x+y）+1+5＝8，其平均数
其方差 s2 [12+x2+y2+52﹣4 2]＝5，
则标准差 s ，
故选：D．
【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据平均数、方差的计算公式，
属于基础题．
11.过点 斜率为 k 的直线 l 与曲线 有公共点，则实数 k 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由曲线方程得出该曲线为半圆，作出图象，然后根据图象可得，相切时有最小值，经过点
（﹣1，1）时有最大值．
【详解】由题意有，曲线方程可化为（x+2）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），其轨迹为直线 y＝1 上
方的半圆（含与 y＝1 的交点），圆心为（﹣2，1）半径 r＝1，
2 5
x = 1
4
= × x×
2 2
2
10
x y
x y
+ =
+ =
1 5 24
x yx
+ + += =
1
4
= × x×
5=
(1,4) 2 4 3 1y x x= − − − +
9 17 3,8 2
−
3 9 17,4 8
+
9 17 4,8 3
−
2 9 17,3 8
+
直线 l 的方程为：y﹣4＝k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k+4＝0，
作出图象：
当直线 l 与半圆相切时，
解得 k 或 k （交点在 y＝1 下方，舍去）
当直线经过点 B（﹣1，1）时，
k
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、直线的斜率，考查数形结合思想，抓住临界位
置是关键，属于基础题．
12.若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为
，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
2
2 1 4 1
1
k k
k
− − − + =
+
9 17
8
−= 9 17
8
+=
( )
4 1 3
1 1 2
−= =− −
2 2 4 4 10 0x y x y+ − − − = : 0l ax by+ =
2 2
,12 4
π π
50, ,12 12
π π π ∪
,6 3
π π
5,12 12
π π
把圆的方程化为标准方程，找出圆心 A 的坐标和半径 r 的值，由圆 A 上有且仅有三个不同点
到直线 l 的距离为 ，则圆心 A 到直线 l 的距离等于 r ，故利用点到直线的距离公
式列出关于 k 的方程，求出方程的解得到 k 的取值范围，然后根据直线斜率与倾斜角的关系，
利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求出直线 l 的倾斜角．
【详解】由圆 的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，则圆心为（2，
2），半径为 ，设直线 为 y＝kx
圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则圆心到直线的距离应不大于
等于 r = ，
∴ 整理得：k2﹣4k+1≤0，解得：2 k≤2 ，
由 tan15°＝tan（45°﹣30°） 2 ，
tan75°＝tan（45°+30°） 2 ，
k＝tanα，则直线 l 的倾斜角的取值范围 ，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两角和与差
的正切函数公式，直线斜率与倾斜角的关系，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.已知两点 ， 关于坐标平面 xoy 对称，则 ________
【答案】-1
【解析】
【分析】
与点（a，b，c）关于平面 xoy 对称 点的坐标为（a，b，﹣c）．
【详解】∵两点 P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面 xOy 对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
则 a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
.
的
2 2 - 2 2
2 2 4 4 10 0x y x y+ − − − =
3 2 : 0l ax by+ =
: 0l ax by+ = 2 2
- 2 2 2
2
2 2
1
k
k
− ≤
+
丨 丨
2 3− ≤ 3+
45 30
1 45 30
tan tan
tan tan
°− °= =+ ° ° 3−
45 30
1 45 30
tan tan
tan tan
°+ °= =− ° ° 3+
5,12 12
π π
(3,1, )P a (3, ,2)Q b a b+ =【点睛】本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查
运算求解能力，是基础题．
14.圆 关于直线 对称的圆的标准方程是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
求已知圆的圆心坐标关于直线 3x﹣4y+5＝0 的对称点的坐标，求出半径 即可得到对称圆的方
程．
【详解】圆 x2+y2+4x﹣12y+39＝0 化为：（x+2）2+（y﹣6）2＝1，
圆心 O 坐标是（﹣2，6），
半径 R＝1，
直线 3x﹣4y+5＝0，与这条直线垂线的直线方程应该是 y x+c，
将圆心 O（﹣2，6）代入方程，
得到经过 O 点和直线 3x﹣4y+5＝0 垂直的直线方程是：y x 垂足是 a（1，2），
那么对称点 O′的坐标是 O′（4，﹣2），
所以求出对称圆的圆心坐标 O′（4，﹣2），半径 r＝R＝1，
得到对称圆方程：
（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
故答案为：（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
【点睛】本题是基础题，考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，
本题考查函数和方程的思想，注意垂直条件的应用．
15.已知直线 平行，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得 m 的值．
【详解】：∵l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，
2 2: 4 12 39 0C x y x y+ + − + = 3 4 5 0x y− + =
2 2( 4) ( 2) 1x y− + + =
4
3
= −
4
3
= − 10
3
+
1 2: 6 0, :( 2) 3 2 0l x my l m x y m+ + = − + + = m =
1−若 l1∥l2，则 ，解得：m=-1．
故答案为-1．
【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对两直线系数所满足关系
的记忆，是基础题．
16.已知 A,B 两点分别在两直线 ， 上运动， 是
线段 AB 的中点，且 ，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 A（m， ）、B（n， ），表示出点 P 的坐标，根据 ，可得 m+n＜2，由于
则 ，设 m+n＝t，则 t＜2，构造函数 f（t） ，求出函数的值
域即可．
【详解】设 A（m， ）、B（ n， ），则中点 P（ ， ）．
∵P（x0，y0）是线段 AB 的中点，∴x0 ，y0 ．
∵ ，∴ • ，
∴m+n＜2，
则 ，
设 m+n＝t，则 t＜2，
∴f（t） ，
易知函数 f（t）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递减，
当 t→﹣∞时，f（t）→ ，f（2） ，
故 f（t）的范围为（﹣∞， ）∪（ ，+∞），
1 3 ( 2) 0
1 2 6( 2) 0
m m
m m
× − −
× − − ≠
＝
1 : 2 6 1 0l x y+ − = 2 : 3 6 0l x y+ − = ( )0 0,P x y
0 0
3
4y x> 0
0
1y
x
+
1 7, ,3 4
−∞ − ∪ +∞
1 2
6
m− 6
3
n−
0 0
3
4y x＞
( )0
0
1 25 1
6 3
y
x m n
+ = −+
25 1
6 3t
= −
1 2
6
m− 6
3
n−
2
m n+ 13 2 2
12
m n− −
2
m n+= 13 2 2
12
m n− −=
0 0
3
4y x＞ 13 2 2 3
12 4
m n− − ＞
2
m n+
( ) ( )0
0
1 25 2 2 25 1
6 6 3
y m n
x m n m n
+ − −= = −+ +
25 1
6 3t
= −
1
3
− 25 1 7
12 3 4
= − =
1
3
− 7
4故答案为：（﹣∞， ）∪（ ，+∞）．
【点睛】本题考查了中点坐标公式，函数的值域的求法，函数的单调性，属于中档题．
三、解答题（17 题 10 分，18～22 题每题 12 分）
17.已知圆 M 的方程是
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若圆 M 与圆 外切，求实数 m 的值.
【答案】(1) (2)4
【解析】
【分析】
（1）配方得 ，由 5-m>0 求解即可
（2）根据两圆相外切的充要条件，圆心距等于半径之和，求出参数 m 的值．
【详解】（1）圆 M 的标准方程是 ，则
故 m 的取值范围是
（2）由已知得圆 标准方程是
圆 与圆 相外切，则圆心距等于半径之和，即
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，
两点间的距离公式的应用，两圆相切的充要条件，属于基础题型．
18.扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，
每天上午第三节课后全校大课间活动时长 35 分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简
单随机抽样法抽取了 100 名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调
查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
的
1
3
− 7
4
2 2 2 4 0x y x y m+ − − + =
2 2: 8 12 36 0N x y x y+ − − + =
( ,5)−∞
2 2( 1) ( 2) 5x y m− + − = −
2 2( 1) ( 2) 5x y m− + − = − 5 0 5m m− > ⇒ <
( ,5)−∞
N 2 2( 4) ( 6) 16x y− + − =
M N 2 2(4 1) (6 2) 5 4 4m m− + − = − + ⇒ =
[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180]若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于 120 分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）将频率视为概率，估计我校 7000 名学生中“锻炼达人”有多少?
（2）从这 100 名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取 5 人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这 5 人中随机抽取 2 人作为组长候选人，求抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率.
【答案】(1)700 人；(2) ①男生抽取 4 人，女生抽取 1 人．②
【解析】
【分析】
（1）100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，由此能求出 7000 名学生中“锻炼达人”的
人数．
（2）①100 名学生中的“锻炼达人”有 10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．从 10 人中按性别
分层抽取 5 人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，5 人中
随机抽取 2 人，利用列举法能求出抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率．
【详解】（1）由表可知，100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，将频率视为概率，我校 7000
名学生中“锻炼达人”的人数为 （人）
（2）①由（1）知 100 名学生中的“锻炼达人”有 10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．
从 10 人中按性别分层抽取 5 人参加体育活动，则男生抽取 4 人，女生抽取 1 人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，则 5
人中随机抽取 2 人的所有结果有：男 1 男 2，男 1 男 3，男 1 男 4，男 1 女，男 2 男 3，男 2
男 4，男 2 女，男 3 男 4，男 3 女，男 4 女．共有 10 种结果，且每种结果发生的可能性相
等．记“抽取的 2 人中男生和女生各 1 人”为事件 A，则事件 A 包含的结果有男 1 女，男 2 女，
男 3 女，男 4 女，共 4 个，故 ．
【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
19.已知 的顶点 ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 ，AC 边上的
高 BH 所在直线方程为 .求：
（1）直线 BC 的斜截式方程；
2
5
107000 700100
× =
4 2( ) 10 5P A = =
ABC∆ (5,1)A 2 5 0x y− − =
2 5 0x y− − =（2） 的面积.
【答案】(1) (2)8
【解析】
【分析】
（1）设点 B（m，n），由题意利用三角形中线的性质求出 B 的坐标，同理可得 C 的坐标，可得
BC 斜率，再利用点斜式求出直线 BC 的的方程．
（2）先求出线段 BC 的长度，再利用点到直线的距离公式求出点 A 到直线 BC 的距离 h，从而
求得△ABC 的面积．
【详解】（1）设点 ，则点 ，由已知有
故点 ，同理设 则 则点 ，故直线 的方
程为 ，化为斜截式方程为
（2）由（1）知 ，直线 的一般式方程为
边上的高即点 到直线 的距离为
【点睛】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式
的应用，属于基础题
20.随着人们经济收入的不断增加，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤
其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问
题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y
（万元）有如表的数据资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6
ABC∆
6 9
5 5y x= −
( , )B m n 5 1,2 2
m nM
+ +
2 5 0 1
5 1 32 5 02 2
m n m
m n n
− − = = − ⇒ + + = −× − − =
( 1, 3)B − − ( ),C x y
2 5 0 4
1 325
x y x
y y
x
− − = = ⇒− == − −
(4,3)C BC
63 ( 1)5y x+ = + 6 9
5 5y x= −
2 2| | (4 1) (3 3) 61BC = + + + = BC 6 5 9 0x y− − =
BC A BC 2 2
| 30 5 9 | 16
616 5
h
− −= =
+
1 1 16| | 61 82 2 61ABCS BC h∆ = ⋅ = × × =总费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求线性回归方程 ；
（2）估计使用年限为 12 年时，使用该款车的总费用是多少万元?
线性回归方程 中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：
，
【答案】(1) (2) 14.84 万元
【解析】
【分析】
（1）由已知表格中的数据求得 进而求得 与 的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取 x＝12 求得 y 值即可．
【详解】（1）由表可得 ，
， ，
，所求线性回归方程为
（2）当 时， ，即使用 12 年的车的总费用大概为 14.84 万
元．
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
21.如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上一点， ， 平面 ABC，D 为 PA 中
点， .
ˆˆ ˆy bx a= +
ˆˆ ˆy a bx= +
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆa y bx= −
1.23 0 8ˆ .0y x= +
,x y b a
1 (2 3 4 5 6) 45x = + + + + = 1 (2.2 3.8 5.5 6.5 7.0) 55y = + + + + =
5
1
112.3i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
90i
i
x
=
=∑
5
1
5
2 2
1
5 112.3 5 4 5ˆ 1.2390 5 165
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
−
=
− ⋅ − × ×= = =− ×−
∑
∑
ˆˆ 5 1.23 4 0.08a y bx= − = − × = 1.23 0 8ˆ .0y x= +
12x = ˆ 1.23 12 0.08 14.84y = × + =
6ABC
π∠ = PA ⊥
2 4PA AB= =（1）求证： ；
（2）求直线 BD 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）推导出 PA⊥BC，BC⊥AC，由此能证明 BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC．
（2）推导出 BC⊥平面 PAC，从而平面 PBC⊥平面 PAC，作 DE⊥PC 于点 E，连接 BE，则 DE⊥平
面 PBC，∠DBE 是直线 BD 与平面 PBC 所成的角．由此能求出直线 BD 与平面 PBC 所成角的正弦
值．
【详解】（1） 平面
为圆 的直径
又 故 平面
（2）由（1）知 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面
而平面 平面 ，
作 于点 ，连接 ，则 平面
故 是直线 与平面 所成的角．
由题意有 ， ，
BC PC⊥
34
34
PA ⊥ ABC PA BC⇒ ⊥
AB O BC AC⇒ ⊥
PA AC A= BC ⊥ PAC BC PC⇒ ⊥
BC ⊥ PAC BC ⊂ PBC
PBC ⊥ PAC
PBC PAC PC=
DE PC⊥ E BE DE ⊥ PBC
DBE∠ BD PBC
1AC = 4PA = 2 2 17PC PA AC= + =由 与 相似有 ，即
又
在 中，
故直线 BD 与平面 PBC 所成角的正弦值是 ．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.已知 的三顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）求 的外接圆圆 M 的方程；
（2）已知动点 P 在直线 上，过点 P 作圆 M 的两条切线 PE,PF，切点分别为 E,F.
①记四边形 PEMF 的面积分别为 S，求 S 的最小值；
②证明直线 EF 恒过定点.
【答案】(1) (2) ①4；②定点 ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设圆 M 的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），分别代入 A，B，C 三点，解方程可
得 a，b，r，可得所求圆 M 的方程；
（2）①由三角形的面积公式可得 S＝|PE|•|EM|＝2|PE|，结合勾股定理和点到直线的距离公
式，可得所求最小值；
②判断四点 P，E，M，F 共圆，求得以 PM 为直径的圆的方程和圆 M 方程，相减可得直线 EF 的
方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
【详解】（1）设 的外接圆圆 M 的标准方程为 ，根据题意
有
故所求的圆 M 的方程为
PEDRt∆ PACRt∆
DE PD
CA PC
= 2 2
1 17 17
DE DE= ⇒ =
2 2 2 22 2 2 2BD AD AB= + = + =
DEBRt∆
2 1 34sin 3417 2 2
DEDBE BD
∠ = = × =
34
34
ABC∆ ( 1,0)A − (3,0)B (1,2)C
ABC∆
5 0x y+ − =
2 2( 1) 4x y− + = (2,1)
ABC∆ 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r− + − = >
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1 ) (0 ) 1
(3 ) (0 ) 0
(1 ) (2 ) 2
a b r a
a b r b
a b r r
− − + − = =
− + − = ⇒ =
− + − = =
2 2( 1) 4x y− + =（2）① ，故当 最小时，S 最小．
的最小值即为点 到直线 的距离
故
②由圆的切线性质有 ，则 ， ， ， ，
四点共圆，该圆是以 PM 为直径的圆，设圆心为点 N．点 P 是直线 上一动点，
设 ，则圆 N 的方程为
圆 M 与圆 N 相交于点 E,F
由 消去 ， 得直线 EF 的方程为
即 ，令 得
故直线 EF 恒过定点 .
【点睛】本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的性质，以及直线恒过定点的求法，
考查化简运算能力，属于中档题．
22 | || | 2 | | 4Rt PEMS S PE EM PM∆= = = − | |PM
| |PM (1,0)M 5 0x y+ − =
2 2
|1 0 5 | 2 2
1 1
h
+ −= =
+
2
min 2 4 4S h= − =
90PEM PFM °∠ = ∠ = 180PEM PFM °∠ + ∠ = P E M
F 5 0x y+ − =
( ,5 )P m m−
2 2( 1)( ) ( 5) 0 ( 1) ( 5) 0x x m y y m x y m x m y m− − + + − = ⇒ + − + + − + =
2 2
2 2
2 3 0
( 1) ( 5) 0
x y x
x y m x m y m
+ − − =
+ − + + − + =
2x 2y
( 1) ( 5) 3 0m x m y m− − − − =−
( 1) 5 3 0x y m x y− − − −+ = 1 0
5 3 0
x y
x y
− − =
− + − =
2
1
x
y
=
=
(2,1)
微信/支付宝扫码支付