闵行区七校联考高二期中数学卷
一. 填空题
1. ________
【答案】
【解析】
【分析】
由 ,再结合 ,可求出答案.
【详解】由题意, .
故答案 :0.
【点睛】本题考查了极限的计算,考查了学生对极限知识的掌握,属于基础题.
2.已知 ，则与它同向的单位向量 ________（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】
求出 ,与 同向的单位向量为 ,求出即可.
【详解】由题意, ,则与 同向的单位向量 .
故答案为: .
【点睛】与 同向的单位向量为 ,相反方向的单位向量为 .
3.经过点 且平行于直线 的直线方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
为
1lim 3n n→∞
=
0
1 1 1lim lim3 3n nn n→∞ →∞
= 1lim 0
n n→∞
=
1 1 1 1lim lim 0 03 3 3n nn n→∞ →∞
= = × =
(3, 4)n = −
0n =
3 4( , )5 5
−
n
n 0
nn
n
=
( )223 4 5n = + − = n
0
3 4,5 5 5
nn = = −
3 4( , )5 5
−
( )0a a ≠ a
a
a
a
−
(1,2) 1 2
2 3
x y+ −=
3 2 1 0x y− + =先求出所求直线的斜率,该直线又过点 ,可求出该直线的方程.
【详解】设所求直线为 ,直线 的斜率为 ,故直线 的方程为 ,
化为一般方程为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了直线方程的求法,考查了平行直线的性质,属于基础题.
4.已知数列 为等差数列， ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
由 ,可求出答案.
【详解】在等差数列 中, .
故答案为:85.
【点睛】本题考查了等差数列的前 项和公式的应用,考查了等差中项的运用,属于基础题.
5.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为________
【答案】
【解析】
【分析】
由 在 方向上的投影为 ,计算求解即可.
【详解】由题意, , ,
设 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了平面向量的投影,考查了向量的数量积的计算,考查了学生的计算能力,属
(1,2)
l 1 2
2 3
x y+ −= 3
2 l ( )32 12y x− = −
3 2 1 0x y− + =
3 2 1 0x y− + =
{ }na 9 5a = 17S =
85
( )1 17
17 9
17 172
a aS a
+= =
{ }na ( )1 17
17 9
17 17 17 5 852
a aS a
+= = = × =
n
( 1,1)a = − (3,1)b = b a
2−
b a cos a bb
a
θ ⋅=
3 1 2a b⋅ = − + = − ( )2 21 1 2a = − + =
a b θ b a 2cos 2
2
a bb
a
θ ⋅ −= = = −
2−于基础题.
6.若数列 为等比数列，且 ， ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
由数列 是公比为 的等比数列，可知 也是等比数列,其公比为 ,
利用等比数列的前 项和公式可求出答案.
【详解】数列 是公比为 的等比数列，则 也是等比数列,公比为
,
.
【点睛】本题考查了等比数列 性质,考查了等比数列前 项和公式的运用, 考查了学生的计
算求解能力,属于基础题.
7.若数列 的所有项都是正数，且 （ ），则该数列的
通项公式 ________
【答案】
【解析】
【分析】
当 时, ,与原式作差可求出 的表达式,进而
可求出数列的通项公式.
【详解】由题意,当 时, ,即 ,
当 时, ,
则 ,
的
{ }na 1 2a = 2
2q = 1 3 5 2 1na a a a −+ + +⋅⋅⋅+ =
2
14 2n−−
{ }na 2
2q = 1 3 5 2 1, , , , na a a a −⋅⋅⋅ 2q
n
{ }na 2
2q = 1 3 5 2 1, , , , na a a a −⋅⋅⋅
2 1
2q =
( )2
1
1 3 5 2 1 2 2
12 11 12 411 21 2
n n
n n
a q
a a a a q− −
− − + + +⋅⋅⋅+ = = = −− −
n
{ }na 2
1 2 na a a n n+ +⋅⋅⋅+ = + *n∈N
na =
24n
2n ≥ ( )2
1 2 1 1 1na a a n n−+ +⋅⋅⋅+ = − + − na
1n = 1 1 1 2a = + = 1 4a =
2n ≥ ( )2
1 2 1 1 1na a a n n−+ +⋅⋅⋅+ = − + −
( ) ( ) ( ) ( )22
1 2 1 2 1 1 1n na a a a a a n n n n−
+ +⋅⋅⋅+ − + +⋅⋅⋅+ = + − − + − 化简得 ,即 .
经验证 时, 符合 ,故数列的通项公式 .
故答案 : .
【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,要注意验证 时是否满足 的表达式,属于基
础题.
8.已知坐标平面内两个不同的点 ， （ ），若直线 的倾斜角
是钝角，则 的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
由 直 线 的 倾 斜 角 是 钝 角 ， 可 知 直 线 的 斜 率 存 在 , 且 , 即 可 得 到
,求解即可.
【详解】因为直线 的倾斜角是钝角，所以直线 的斜率 存在,且 ,
,
则 ,解得 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求
解能力,属于中档题.
9.已知无穷等比数列 的前 项和为 ，所有项的和为 ，且 ，则其首项
的取值范围________
【答案】
【解析】
为
2na n= 24na n=
1n = 1 4a = 24na n= 24na n=
24n
1n = na
1(1,1)P 2 2
2 ( , 3 3)P a a a− + a∈R 1 2PP
a
( ) ( )1,1 1,2− ∪
1 2PP 1 2PP k k 0<
2
2
3 3 1 01
a ak a
− + −=
18 2 1a = −, ,
.
故答案为: .
【点睛】本题考查了数列的周期性,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
12.在直角 中， ， ， ， 是 内一点，且 ，
若 （ ），则 的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
将 两边同时平方,展开计算可得到关于 的等式,进而结合基本不等式
可求出 的最大值.
【详解】由题意, , , , .
将 两边同时平方得: ,
则 ,所以 ,当且仅当 时取等号.
则 ,
即 ,
故 的最大值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了向量的数量积的运用,利用基本不等式求最值是解决本题的一个较好方法.
1
3
1
111 12
11 31 2
aa a
−− = =+ +
=
2 18 2 1a a= = −
2018 2019 2 3
22 3a a a a+ = + = −
22 3
−
ABC△ π
2A∠ = 2AB = 4AC = M ABC△ 1
2AM =
AM AB ACλ µ= + ,λ µ ∈R 2λ µ+
2
4
AM AB ACλ µ= + ,λ µ
2λ µ+
2
4AB = 2
16AC = AB AC⊥ 2 1
4AM =
AM AB ACλ µ= + 2 2 22 2 +2AM AB AC AB ACλ µ λµ= + ⋅
2 21 4 164
λ µ= + 2 2 2 21 4 2 41 46
λ µ λ µ λµ= + ≥ = 2λ µ=
( )2 2 2 1 1 1 12 +4 4 416 16 16 8
λ µ λ µ λµ λµ+ = + = + ≤ + =
( )2 12 8
λ µ+ ≤
2λ µ+ 2
4
2
4二. 选择题
13.等差数列 中，公差 ，且 、 、 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 、 、 成等比数列，可得 ,即 ,将 代入求解
即可.
【详解】等差数列 中， , ,
因为 、 、 成等比数列，所以 ,
即 ,解得 .
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质,等比中项的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
14.数列 中， （ ），则数列 的极限为（ ）
A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. 不存在
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出 和 时,数列 的极限,比较发现二者不同,从而可选出答案.
【详解】当 时, , ,
当 时, , ,
显然 ,即数列 的极限不存在.
故选:D.
{ }na 1d = 1a 3a 4a 1a =
4− 6− 8− 10−
1a 3a 4a 2
3 1 4a a a= ( ) ( )1 1 1
2 32a d a a d= ++ 1d =
{ }na 3 1 12 2a a d a= + = + 4 1 13 3a a d a= + = +
1a 3a 4a 2
3 1 4a a a=
( ) ( )2
1 1 12 3a a a+ = + 1 4a = −
{ }na 2
2
1( ) 2 12
2 1 21
n
n
n k
a
n n kn
= −= − = +
*k ∈N { }na
2 1n k= − 2n k= { }na
2 1n k= − 1( )2
n
na = lim lim( ) 01
2n n
n
na→∞ →∞
= =
2n k=
2
2
2 1
1n
na n
−= +
2 2
2
2
122 1 211lim lim lim
1n n nn
n na n
n
→∞ →∞ →∞
=
−
+
=− =+
0 2≠ { }na【点睛】本题考查了数列极限的求法,考查了学生的推理能力,属于基础题.
15.有下列命题：①若 与 是非零向量，则 ；②若
且 ，则 ；③若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ；④ ；其中正确命题
的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
结合平面向量的性质,对四个命题逐个分析可选出答案.
【详解】对于命题①, ,故命题①正确;
对于命题②,取 , ,此时 ,显然 ,故命题②不
正确;
对于命题③,取 ,此时 ∥ ， ∥ ，则 和 不一定平行；故命题③不正确;
对于命题④, 和 都表示实数, 表示与 共线的向量, 表示与 共线的
向量,故 和 不一定相等,即命题④不正确.
故正确命题的个数为 1.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
16.已知向量 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ， ，其中
，设 为 和 的夹角，则（ ）
A. 随着 的增大而增大 B. 随着 的增大而减小
C. 随着 的增大， 先增大后减小 D. 随着 的增大， 先减小后增大
【答案】B
【解析】
【分析】
分别以 和 所在的直线为 轴和 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,
a b ( ) ( ) 0 | | | |a b a b a b+ ⋅ − = ⇔ = a b b c⋅ = ⋅
0b ≠ a c= a b b c a c ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2 2
( ) ( ) 0 | | | |a b a b a b a b+ ⋅ − = ⇔ = ⇔ =
( )0,1b = ( ) ( )1,0 , 2,0a c= = 0b ba c⋅ = ⋅ = a c≠
0b = a b b c a c
b c⋅ a b⋅ ( )a b c⋅ ⋅ a ( )a b c⋅ ⋅ c
( )a b c⋅ ⋅ ( )a b c⋅ ⋅
i j
na
ni a n⋅ = 2 1nj a n⋅ = +
*n∈N n
θ i
na
n
θ n n
θ n
n n
θ n n
θ
i j x y可得 , ,设 ,进而可得到 的表达式,结合函数的单调性可
选出答案.
【详解】分别以 和 所在的直线为 轴和 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标
系,
则 , ,设 ,
因为 ， ,所以 ,
则 ,
为 和 的夹角， , , ,则 ,
显然 为减函数,
又因为函数 在 上为增函数,所以 随着 的增大而减小.
故选:B.
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的
一个较好方法,属于中档题.
三. 解答题
17.已知 ， ，其中 、 分别是 轴、 轴正方向同向的单位向量.
（1）若 ∥ ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】
由题可得 与 的坐标,
（1）利用向量平行的坐标运算,可求出 的值；
( )1,0i = ( )0,1j = ( ),n n na x y= tan n
θ
i j x y
( )1,0i = ( )0,1j = ( ),n n na x y=
ni a n⋅ = 2 1nj a n⋅ = + , 2 1n nx n y n= = +
( ),2 1na n n= +
n
θ i
na 2 1 1tan 2n
n
n n
y n
nx
θ += = = + *n∈N tan 0n
θ > π0, 2n
θ ∈
1tan 2n n
θ = +
tany x= π0, 2
n
θ n
2a i j= − + 2b ki j= + i j x y
a b k
| 2 | 3a b− = k
a b k
4− 1− ( , 4) ( 4,1)−∞ − −
a b
k（2）求出 ,利用 可求出 的值；
（3）设 与 的夹角为 ，可得 ,结合 ,可求出答
案.
【详解】由题意, , .
（1） ∥ ，则 ,解得 ;
（2） ,则 ,化简得 ,即
.
（3）设 与 的夹角为 ，则 ,
因为 为锐角,所以 ,即 ,
解得 .
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了平行向量的性质,考查了向量的模,考查了向
量夹角的计算,属于基础题.
18.已知数列 满足： ， .
（1）计算数列的前 4 项；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1） 、 、 、 （2）
【解析】
【分析】
（1）分别将 代入 ,可求得数列的前 4 项；
（2）将 等号两端取倒数可得 ,即证数列 是等差数列,由
2a b− | 2 | 3a b− = k
a b θ 2
2 2cos
5 4
a b
a b
k
k
θ − += =
⋅ × +
⋅
0 cos 1θ< <
( )2,1a = − ( ),2b k=
a b 2 2 0k− × − = 4k = −
( )2 2 2 , 3a b k− = − − − ( ) ( )2 2| 2 | 2 2 3 3a b k− = − − + − = ( )21 0k + =
1k = −
a b θ 2
2 2cos
5 4
a b
a b
k
k
θ − += =
⋅ × +
⋅
θ 0 cos 1θ< <
2
2 20 1
5 4
k
k
− +< <
× +
( , 4) ( 4,1)k ∈ −∞ − −
{ }na 1
1
2a = 1 1
n
n
n
aa a+ = +
{ }na
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1na n
= +
1,2,3n = 1 1
n
n
n
aa a+ = +
1 1
n
n
n
aa a+ = + 1
1 1 1
n na a+
- = 1{ }
na
1{ }
na的通项公式可求得 的通项公式.
【详解】（1） ,可得 ; ,可得 ; ,可得
.
故数列 的前 4 项为 、 、 、 .
（2）将 等号两端取倒数得, ,
则 ,即数列 是以 为首项,公差为 1 的等差数列,
则 ,即 .
故 的通项公式为 .
【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差数列的判定,考查了学生的推理能力,
属于基础题.
19.已知平行四边形 中，若 是该平面上任意一点，则满足
（ ）.
（1）若 是 的中点，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线，求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
{ }na
1n = 1
2
1
1
1 3
aa a
= =+ 2n = 2
3
2
1
1 4
aa a
= =+ 3n =
3
4
3
1
1 5
aa a
= =+
{ }na 1
2
1
3
1
4
1
5
1 1
n
n
n
aa a+ = + 1
1 11
n na a+
= +
1
1 1 1
n na a+
- = 1{ }
na 1
1 2a
=
1 2 1 1
n
n na
= + − = + 1
1na n
= +
{ }na 1
1na n
= +
OABC P OP OA OBλ µ= +
,λ µ ∈R
P BC λ µ+
A B P 1λ µ+ =
1
2（1） ,再结合 ,可求出 ;
（2）设 可得 ,结合 ,可得到
,从而可证明 .
【详解】（1）由题意, ,
又 ,故 ,即 .
（2） 、 、 三点共线，设 ,
则 ,
又 ,故 ,即 .
【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能
力,属于基础题.
20.如图，已知点列 、 、 、 、 （ ）依次为函数
图像上的点，点列 、 、 、 （ ）依次为 轴
正半轴上的点，其中 （ ），对于任意 ，点 、 、 构成一个顶角
的顶点为 的等腰三角形.
（1）证明：数列 等差数列；
（2）证明： 为常数，并求出数列 的前 项和 ；
（3）在上述等腰三角形 中，是否存在直角三角形？若存在，求出 值，若不存在，
请说明理由.
,
是
1
2OP OB BP OB BC= + = + BC OA= − ,λ µ
AP t AB= ( )t ∈R OP OA AP OA t AB= + = + AB AO OB= +
( )1OP t OA tOB= − + 1λ µ+ =
1 1 1
2 2 2OP OB BP OB BC OB AO OB OA= + = + = + = −
OP OA OBλ µ= + 1 , 12
λ µ= − = 1
2
λ µ+ =
A B P AP t AB= ( )t ∈R
( ) ( )1OP OA AP OA t AB OA t AO OB t OA tOB= + = + = + + = − +
OP OA OBλ µ= + 1 ,t tλ µ= − = 1λ µ+ =
1 1(1, )B y 2 2(2, )B y 3 3(3, )B y ⋅⋅⋅ ( , )n nB n y *n∈N
1 1
4 12y x= + 1 1( ,0)A x 2 2( ,0)A x ⋅⋅⋅ ( ,0)n nA x *n∈N x
1x a= 0 1a< < *n∈N nA nB 1nA +
nB
{ }ny
2n nx x+ − { }nx 2n 2nS
1n n nA B A + a【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析； （3）存在; 的值为 ， ，
【解析】
【分析】
（1）利用点列为函数 图像上的点，可求出 的通项公式,进而可证明结论;
（2） 与 是等腰三角形,可得 ,两式相减可得到
,进而可求得数列 的前 项和 ;
（3）要使 为直角三角形,可得 ,结合数列 的通项公式,
分类讨论可求得 的值.
【详解】（1）点列 、 、 、 、 （ ）依次为函数
图像上的点，所以 , ,则 .
故数列 是等差数列；
（2） 与 是等腰三角形,可得 ,相减可得
,即 为常数.
, ,令 ,得 ,
因为 ,所以数列 的奇数项可以构成一个以 为首项,公差为 2 的等差数列,
数列 的偶数项可以构成一个以 为首项,公差为 2 的等差数列,
当 为奇数时, ,当 为偶数时, ,
则数列 的前 项和 .
2
2 2nS n= a 2
3
1
6
7
12
1 1
4 12y x= + { }ny
1n n nA B A + 1 1 2n n nA B A+ + +
1
1 2
2
12
n n
n n
x x n
x x n
+
+ +
+ = + = +
2 2n nx x+ − = { }nx 2n 2nS
1n n nA B A + 1
12 4 12n n
nx x+
= +
− { }nx
a
1 1(1, )B y 2 2(2, )B y 3 3(3, )B y ⋅⋅⋅ ( , )n nB n y *n∈N
1 1
4 12y x= + 1 1
4 12ny n= + ( )1
1 114 12ny n+ = + + 1
1
4n ny y+ − =
{ }ny
1n n nA B A + 1 1 2n n nA B A+ + +
1
1 2
2
12
n n
n n
x x n
x x n
+
+ +
+ = + = +
2 2n nx x+ − = 2n nx x+ −
1
2
n nx x n++ = 1x a= 1n = 2 2x a= −
2 2n nx x+ − = { }nx a
{ }nx 2 a−
n 1nx n a= + − n nx n a= −
{ }nx 2n
( ) ( ) ( ) 2
2
2 1 2 12 22 2n
n n n nna n a nS
− −= + + − + =
（3）要使 为直角三角形,则 ,即 ,
当 为奇数时, ,则 ,即 ,
, 为奇数,
当 ,得 ,当 ,得 , 时,不符合题意.
当 为偶数时, ,则 ,即 ,
当 ,得 , 时,不符合题意.
综上所述,存在直角三角形,此时 的值为 .
【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列的求和,考查了三角形知识的应用,考查
了分类讨论的数学思想,考查了学生的逻辑推理能力,属于难题.
21.已知 ， ，对任意 ，有 成立.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ， ， 是数列 的前 项和，求正整数 ，使得对任意 ，
恒成立；
（3）设 ， 是数列 的前 项和，若对任意 均有 恒成
立，求 的最小值.
【答案】（1） （2） 或 （3）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 可 得 , 结 合 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 可 得 到 的 关 系 式 , 再 结 合
可证明数列 是等比数列,进而可求出通项公式;
（2）将 两端同时除以 ,可得到 ,从而可证明数列 是
1n n nA B A + 1 2n n nA A y+ = 1
12 4 12n n
nx x+
= +
−
n ( )1 2 1n nx x a+ − = − 12 2(1 )4 12
n a + = −
11
12 4
na = −
0 1a< < n
1n = 2
3a = 3n = 1
6a = 5n ≥
n 1 2n nx x a+ − = 12 24 12
n a + =
1
4 12
na = +
2n = 7
12a = 4n ≥
a 2 1 7, ,3 6 12
( ,2)na S= (1,1 )nb a= − *n∈N a b⊥
{ }na
1
1 2 2n
n nb b +
+ = − 1 8b = nT { }nb n k *n∈N
k nT T≥
1
1(1 )(1 )
n
n
n n
ac a a
+
+
= + + nR { }nc n *n∈N nR λ<
λ
2n
na = 4 5 2
3
a b⊥ 0a b⋅ = ,n nS a
1n n na S S −= − { }na
1
1 2 2n
n nb b +
+ = − 12n+ 1
1 12 2
n n
n n
b b+
+ − = −
2
n
n
b 等差数列,即可求出 的表达式,进而求得 的通项公式,通过判断其表达式特点,可求出
满足题意的正整数 ;
（3）由题得, ,利用裂项相消求和法可求出 ,结
合不等式的性质,可求出 的最小值.
【详解】（1）由题可得 ,则 ,
当 时,可得 .
时, ,则 ,即
,
故数列 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,通项公式为 .
（2） ,等式两端同时除以 得: ,即 ,
故 是以 为首项,公差为 的等差数列,通项公式为 ,
则 .
因为当 ， ，当 时 , ,所以当 或 时, 取最大值,对任
意 ， 恒成立.
（3）由题意, ,
则
,故 .
所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示,考查了数列通项公式的求法,考查了利用裂项
相消法求数列的前 项和，考查了不等式性质的运用,属于难题.
2
n
n
b { }nb
k
1
1 1
2 1 12( )(1 2 )(1 2 ) 1 2 1 2
n
n n n n nc
+
+ += = −+ + + + nR
λ
0a b⋅ = ( )2 1 0n nS a+ − =
1n = 1 2a =
2n ≥ ( )1 12 1 0n nS a− −+ − = ( ) ( )1 1 12 1 2 1 2 0n n n n n nS a S a a a− − −+ − − − − = − =
12n na a −=
{ }na 2n
na =
1
1 2 2n
n nb b +
+ = − 12n+ 1
1 12 2
n n
n n
b b+
+ = − 1
1 12 2
n n
n n
b b+
+ − = −
2
n
n
b
1 42
b = 1− ( )4 1 52
n
n
b n n= − − = −
(5 ) 2n
nb n= − ⋅
6n ≥ 0nb < 1 4n≤ ≤ 0nb > 5 0b = 4k = 5 nT
*n∈N k nT T≥
1
1 1
2 1 12( )(1 2 )(1 2 ) 1 2 1 2
n
n n n n nc
+
+ += = −+ + + +
2 2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 ( ) 2( ) 2( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3n n n n nR + + +
= − + − + + − = − = −
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