奉贤中学高二期中数学卷
一.填空题
1.直线 l 过点 A（1,2），且法向量为（1，-3），则直线 l 的一般式方程为____________
【答案】x-3y+5=0
【解析】
【分析】
先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为 ，再结合直线点斜式方程的求法，求出
直线方程，然后整理为一般式即可.
【详解】解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为 ，
又直线过点 A（1,2），由直线点斜式方程可得 ，
整理得 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了直线 法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，
属基础题.
2.向量 在向量 方向上的投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.
【详解】依题意得 ，因此向量 在向量 方向上的投影为 .
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.
3.直线 与直线 的夹角为________
【答案】
【解析】
【分析】
的
1
3
1
3
12 ( 1)3y x− = −
3 5 0x y− + =
3 5 0x y− + =
(3,4)a = (1, 1)b = −
2
2
−
· 1, 2a b b= − = a b · 2
2
a b
b
= −
3 2 0x y+ + = 1 0x + =
6
π分别求两直线 倾斜角，即可得出夹角.
【详解】因为直线 的斜率为 ，所以其倾斜角为 ，
又直线 的倾斜角为 ，
所以两直线夹角为： .
故答案为：
【点睛】本题主要考查求两直线的夹角，熟记斜率的定义，会求倾斜角即可，属于基础题型.
4.设变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
先由约束条件作出可行域，化目标函数 为 ，根据直线
在 轴上的截距 越大， 就越大；结合图像，即可得出结果.
【详解】由约束条件 作出可行域如下：
因为 化为 ，
因此直线 在 轴上的截距 越大， 就越大；
由图像可得：直线 过点 时，截距最大；
的
3 2 0x y+ + = 3k = − 2
3
π
1 0x + =
2
π
2
3 2 6
π π π− =
6
π
x y
0
1 0
3 0
y
x y
x y
≥
− + ≥
+ − ≤
2 3z x y= +
8
2 3z x y= + 2
3 3
zy x= − + 2
3 3
zy x= − +
y
3
z z
0
1 0
3 0
y
x y
x y
≥
− + ≥
+ − ≤
2 3z x y= + 2
3 3
zy x= − +
2
3 3
zy x= − + y
3
z z
2
3 3
zy x= − + A由 解得 ，即 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何
意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
5.行列式 中，元素 的代数余子式的值为____________.
【答案】29
【解析】
【分析】
由已知得元素 是第 2 行第 3 列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得 的
代数余子式.
【 详 解 】 由 题 意 得 元 素 的 代 数 余 子 式 是 第 2 行 第 3 列 元 素 的 代 数 余 子 式
,
故填：29.
【点睛】本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的
位置有关，属于基础题.
6.关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到 即是原方程组的解，代入原方程组，求出 ，即可得出结果.
1 0
3 0
x y
x y
− + =
+ − =
1
2
x
y
=
= (1,2)A
max 2 6 8= + =z
8
3 5 1
2 3 6
7 2 4
−
−
−
6−
6− 6−
6−
( ) ( )2 3 3 5( 1) ( 1) 3 2 5 7 297 2
+ − − = − × × − − × − = −
x y 2 5
3 2
x my
nx y
+ =
− =
1 0 3
0 1 1
m
n
=
3
5-
3
1
x
y
=
=
,m n【详解】因为关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的
矩阵为 ，
所以 即是原方程组的解，代入原方程组，可得： ，
解得： ，因此 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的
矩阵表示即可，属于常考题型.
7.已知 ， ，向量 与向量 垂直，则实数 的值为________
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再由向量垂直，得到 ，根据向量数量
积的坐标表示，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又向量 与向量 垂直，
所以 ，即 ，
即 ，解得： .
故答案为：
【点睛】本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于
常考题型.
8.已知 ， ， ，则 ________
【答案】
x y 2 5
3 2
x my
nx y
+ =
− =
1 0 3
0 1 1
3
1
x
y
=
=
6 5
3 3 2
m
n
+ =
− =
1
5
3
m
n
= − =
3
5
= −m
n
3
5-
( 3,2)a = − ( 1,4)b = − a a λb+ λ
13
11
−
( 3 ,2 4 )+ = − − + a λb λ λ ( ) 0a a bλ⋅ + =
( 3,2)a = − ( 1,4)b = − ( 3 ,2 4 )+ = − − + a λb λ λ
a a λb+
( ) 0a a bλ⋅ + = 3( 3 ) 2(2 4 ) 0− − − + + =λ λ
11 13 0+ =λ 13
11
λ = −
13
11
−
| | 1a = 1b| |= | | 3a b+ = | |a b− =
1【解析】
【分析】
先由题意求出 ，根据向量模的计算公式，即可得出结果.
【详解】因 ， ， ，
所以 ，因此 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型.
9.已知定点 ， 是圆 上的动点，则当 取到最小值时，
点的坐标为________
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到点 在圆 外，记圆 的圆心
为 ，半径为 ，根据点与圆位置关系，得到 ，推出 为
的中点，进而可求出结果.
【详解】因为 ，所以点 在圆 外，
记圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
此时 三点共线，
由 可得： 为 的中点，
因此 的坐标为： ，即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及中点坐标公式即
为
a b⋅
| | 1a = 1b| |= | | 3a b+ =
( )2 2 2
2 3+ = + + ⋅ =a b a b a b 1
2a b⋅ =
( )2
| | 1 1 2 1− = − = + − ⋅ =a b a b a b
1
(0, 5)A − P 2 2( 2) ( 3) 2x y− + + = | |PA P
(1, 4)−
(0, 5)A − 2 2( 2) ( 3) 2x y− + + = 2 2( 2) ( 3) 2x y− + + =
(2, 3)M − 2r = min
= −PA PM r P AM
2 2(0 2) ( 5 3) 8 2− + − + = > (0, 5)A − 2 2( 2) ( 3) 2x y− + + =
2 2( 2) ( 3) 2x y− + + = (2, 3)M − 2r =
2 2
min (0 2) ( 5 3) 2 2= − = − + − + − =PA PM r
, ,A P M
1
2
=PA PM P AM
P
0 2 5 3,2 2
+ − −
(1, 4)−P
(1, 4)−可，属于常考题型.
10.如图，已知 是边长为 等边三角形，点 、 分别是边 、 的中点，连结
并延长到点 ，使得 ，则 的值为________
【答案】
【解析】
【分析】
先 由 题 意 ， 得 到 ， 推 出 ， 再 由
，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 ，点 、 分别是边 、 的中点，
所以 ，
因此 ，
又 ， 是边长为 的等边三角形，
所以
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本
定理即可，属于常考题型.
11.在平面直角坐标系 中，已知直线 与点 ，若直线 上存在点
满足 ，（ 为坐标原点），则实数 的取值范围是________
【答案】
的ABC∆ 1 D E AB BC
DE F 2DE EF= AF BC⋅
1
8
3 3
2 4DF DE AC= = 1 3
2 4
= + = + AF AD DF AB AC
BC AC AB= −
2DE EF= D E AB BC
3 3
2 4DF DE AC= =
1 3
2 4
= + = + AF AD DF AB AC
BC AC AB= − ABC∆ 1
( ) 2 21 3 1 3 1
2 4 2 4 4
⋅ = + ⋅ − = − + − ⋅
AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB
1 3 1 1 3 1 1cos602 4 4 2 4 8 8
°= − + − ⋅ = − + − = AC AB
1
8
xOy : 0+ + =l x y a (2,0)A l M
2=MA MO O a
2 4 2 2 4 2,3 3
− +
【解析】
【分析】
先设 ，根据 ， ，得到 ，再由
题意，得到 ，求解，即可得出结果.
【详解】由题意设 ，
因为点 ， ，
所以 ，
整理得： ①
因为直线 上存在点 满足 ，
所以方程①有解，因此 ，
解得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
12.如图，已知半圆 （ ），点 ，点 ，点 在半圆上，点 在
轴上，且 是以 为底边的等腰三角形，若直线 与直线 平行，则点 的横
坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先设 ，由题意易得： ；再由题意，得到 ，得到直线 的方
( , )− −M x x a (2,0)A 2=MA MO 2 26 (6 4) 3 4 0x a x a+ + + − =
( )2 2(6 4) 24 3 4 0∆ = + − − ≥a a
( , )− −M x x a
(2,0)A 2=MA MO
2 2 2 2( 2) ( ) 2 ( )− + − − = + − −x x a x x a
2 26 (6 4) 3 4 0x a x a+ + + − =
l M 2=MA MO
( )2 2(6 4) 24 3 4 0∆ = + − − ≥a a
2 4 2 2 4 2
3 3
− +≤ ≤a
2 4 2 2 4 2,3 3
− +
2 2 1x y+ = 0y≥ ( 1,0)A − (0,1)D C B
x ABC∆ AB AC BD B
1 2−
( ,0)B a 1 0a− < < 1= = −AC BDk k a AC程为： ；再由 是以 为底边的等腰三角形，根据直线 方程，得到
，代入 ，求解，即可得出结果.
【详解】因为点 在 轴上，设 ，由题意易得： ，
因 点 ，所以 ，又直线 与直线 平行，所以 ，
由点 ，可得直线 的方程为： ；
因为 是以 为底边的等腰三角形，所以 点横坐标为： ，代入 ，
可得， ，即 ，
又因为点 在半圆 （ ）上，
所以 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，解得： 或 ，
因为 ，所以 ，
即点 的横坐标为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及直线平行的判定
条件即可，属于常考题型.
二、填空题
13.若 与 都是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分
也不必要
【答案】C
为
1 ( 1)= − +y xa ABC∆ AB AC
1 1,2 2
− + −
a aC a
2 2 1x y+ =
B x ( ,0)B a 1 0a− < <
(0,1)D 1= −BDk a AC BD 1= −ACk a
( 1,0)A − AC 1 ( 1)= − +y xa
ABC∆ AB C 1
2
a − 1 ( 1)= − +y xa
1 1 112 2
− + = − + = −
a ay a a
1 1,2 2
− + −
a aC a
C 2 2 1x y+ = 0y≥
2 21 1
2 12
− +− + =
a a
a
2 2 2 2( 1) 4 ( 1)− = − +a a a a
2 2 2( 1) 3 2 1− = − −a a a a ( )( )2 2( 1) 3 1 1− = + −a a a a
( )( )3 21 3 1 0− − − − =a a a a ( ) ( ) ( )3 2 21 2 2 1 0 − − − + − − = a a a a a a
( )( )( )21 1 2 1 0− + − − =a a a a 1a = ± 1 2a = ±
1 0a− < < 1 2a = −
B 1 2−
1 2−
a b c− a b a c⋅ = ⋅ ( )a b c⊥ − 【解析】
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果.
【详解】因为 与 都是非零向量，若 ，则 ，即 ，
所以 ；因此“ ”是“ ”的充分条件；
若 ，则 ，所以 ；因此“ ”是“ ”
的必要条件；
综上，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积
的运算法则即可，属于常考题型.
14.已知直线方程为 ，则下列各点不在这条直线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意得到直线方程为： ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以，由 得， ；
当 ， 时， ，故点 在直线 上；
当 ， 时， ，故点 不在直线 上；
当 ， 时， ，故点 在直线 上；
a b c− a b a c⋅ = ⋅ 0⋅ − ⋅ = a b a c ( ) 0⋅ − = a b c
( )a b c⊥ − a b a c⋅ = ⋅ ( )a b c⊥ −
( )a b c⊥ − 0⋅ − ⋅ = a b a c a b a c⋅ = ⋅ a b a c⋅ = ⋅ ( )a b c⊥ −
a b a c⋅ = ⋅ ( )a b c⊥ −
1
3 5 1 0
2 3 1
x y
=
−
( 2,3)− (4,7) (3,5) 1( ,4)2
2 5 19 0− + =x y
1
3 5 1 5 2 9 10 3 3 2 5 19
2 3 1
= − + + − − = − +
−
x y
x y y x x y
1
3 5 1 0
2 3 1
x y
=
−
2 5 19 0− + =x y
2x = − 3y = 2 5 19 0− + =x y ( 2,3)− 2 5 19 0− + =x y
4x = 7y = 2 5 19 8 0− + = − ≠x y (4,7) 2 5 19 0− + =x y
3x = 5y = 2 5 19 0− + =x y (3,5) 2 5 19 0− + =x y当 ， 时， ，故点 在直线 上.
故选：B
【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需
熟记直线的矩阵形式，属于常考题型.
15.动点 P 满足 （ ），动点 P 一定会过
ΔABC 的（ ）
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心
【答案】C
【解析】
【分析】
取 中点 ，做出简图，由 化简得 ，根
据 得 、 、 三点共线，所以点 一定会通过 重心.
【详解】取 中点 ，做出示意图如下图所示：
由图可知 ，
故 ，
因为 ，所以 、 、 三点共线，即点 在 的中线 所在直线上，
所以点 一定会过 的重心。
故选：C.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件
化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题.
16.在平面直角坐标系中， 、 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线
相切，则圆 面积的最小值（ ）
1
2x = 4y = 2 5 19 0− + =x y 1( ,4)2
2 5 19 0− + =x y
1 (1 ) (1 ) (1 2 )3OP OA OB OCλ λ λ = − + − + + Rλ ∈
AB D 2OA OB OD+ = 2(1 ) 1 2
3 3OP OD OC
λ λ− += +
2(1 ) 1 2 13 3
λ λ− ++ = P C D P ABC△
AB D
2OA OB OD+ =
1 2(1 ) 1 2(1 ) (1 ) (1 2 )3 3 3OP OA OB OC OD OC
λ λλ λ λ − + = − + − + + = +
2(1 ) 1 2 13 3
λ λ− ++ = P C D P AB CD
P ABC△
A B x y AB C
3 2 1 0x y+ − = CA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得到点 在圆 上，（其中 为坐标原点），由 向直线 作垂线，
垂足为 ，当 恰为圆 与直线 的切点时，圆 的半径最小，根据点到直线
距离公式，即可求出结果.
【详解】因为 为直径， ，（其中 为坐标原点），
所以点 在圆 上，
由 向直线 作垂线，垂足为 ，
则当 恰为圆 与直线 的切点时，圆 的半径最小，
此时圆的直径为点 到直线 的距离 ，
此时圆的半径为 ，
所以圆 面积的最小值为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的应用，熟记直线与圆位置关系，以及点到直线距
离公式即可，属于常考题型.
52
π
54
π
56
π
58
π
O C O O 3 2 1 0x y+ − =
D D C 3 2 1 0x y+ − = C
AB 90AOB °∠ = O
O C
O 3 2 1 0x y+ − = D
D C 3 2 1 0x y+ − = C
(0,0)O 3 2 1 0x y+ − =
2 2
1 13
133 2
−= =
+d
1 13
2 26
= =r d
C
2
2
min
13
26 52
ππ π = = ⋅ =
S r三.解答题
17.设向量 ， .
（1）若 ，且 ，求 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，结合向量共线的坐标表示，得到 ，进而可求出结
果；
（2）先由题意得到 ， ，再由向量模的计算公式，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ，因此 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ， ，所以 ，
由 得 ，
即 ，因此 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及由向量的模求向量模的问题，熟记向量共线
的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型.
18.已知关于 、 的方程组（ ） .
（1）写出方程组（ ）的增广矩阵；
(cos ,sin )a θ θ= 1 3( , )2 2
= −b
/ /a b (0, )θ π∈ θ
3 3+ = −a b a b a b+
2
3
πθ = 2
3 1cos sin 02 2
θ θ+ =
1= =a b 0a b⋅ =
(cos ,sin )a θ θ= 1 3( , )2 2
= −b / /a b
3 1cos sin 02 2
θ θ+ = tan 3θ = −
(0, )θ π∈ 2
3
πθ =
(cos ,sin )a θ θ= 1 3( , )2 2
= −b 1= =a b
3 3+ = −a b a b 2 22 29 6 6 9+ ⋅ + = − ⋅ +a a b b a a b b
9 6 1 1 6 9+ ⋅ + = − ⋅ +a b a b 0a b⋅ =
( )2 22 2 2+ = + = + ⋅ + =a b a b a a b b
x y ∗ 6 0
( 2) 3 2
x my
m x y m
+ + =
− + = −
∗（2）解方程组（ ），并对解的情况进行讨论.
【答案】（1） ；（2）当 时，无解；当 时，有无穷组解；当
且 时，有唯一解.
【解析】
【分析】
（1）根据方程组得到 ，即可直接写出其增广矩阵；
（2）分别讨论 ， ， 且 三种情况，即可得出结果.
【详解】（1）因为方程组（ ） 可化为 ，
因此，其增广矩阵为： ；
（2）当 时，方程组（ ）可化为 ，此时方程组无解；
当 时，方程组（ ）可化为 ，此时方程组有无穷组解；
当 且 时，由 解得 ，显然只有唯一解.
【点睛】本题主要考查求方程组的系数矩阵，以及解方程组的问题，熟记二元一次方程组的
矩阵表示，以及二元一次方程组的解法即可，属于常考题型.
19.已知 ，直线 分别交 轴、 轴的正半轴于 、 两点， 为坐标原点.
（1）若直线 方程为 （ ），且 ，求 的值；
（2）若直线 经过点 ，设 的斜率为 ， 为线段 的中点，求 的最小值.
【答案】（1）1 或 2 或 ；（2）
【解析】
【分析】
∗
1 6
2 3 2
m
m m
−
− − 1m = − 3m =
1m ≠ − 3m ≠
6
( 2) 3 2
x my
m x y m
+ = −
− + = −
1m = − 3m = 1m ≠ − 3m ≠
∗ 6 0
( 2) 3 2
x my
m x y m
+ + =
− + = −
6
( 2) 3 2
x my
m x y m
+ = −
− + = −
1 6
2 3 2
m
m m
−
− −
1m = − ∗ 6
3 3 2
x y
x y
− = −
− + =
3m = ∗ 3 6
3 6
x y
x y
+ = −
+ = −
1m ≠ − 3m ≠ 6
( 2) 3 2
x my
m x y m
+ = −
− + = −
2 6
1
4
1
mx m
y m
+ = − +
= − +
(2,1)P l x y A B O
l y x b= − + 0b > 1ABPS =
b
l P l k M AB OM OP⋅
3 17
2
+ 9
2（1）先由题意得到 、 ， ，根据点到直线距离公式得到点 到直
线 的 距 离 为 ： ， 再 由 三 角 形 面 积 公 式 ， 得 到
，求解，即可得出结果；
（2）先由题意得到直线 的方程为： ，求出 、 两点坐标，由题意确定
，求出 点坐标，再由向量数量积的坐标表示，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】（1）因为直线 方程为 （ ） 分别交 轴、 轴的正半轴于 、
两点，
所以 、 ，因此 ，
又点 到直线 的距离为： ， ，
所以 ，
因此 ，由 ，解得 ，因为 ，所以 ；
由 ，解得 或 ，
综上， 的值为 1 或 2 或 ；
（2）由题意得，直线 的方程为： ，
由 得 ，所以 ；由 得 ，所以 ；
又 、 两点分别在 轴、 轴的正半轴上，
所以 ，解得 ；
因为 为线段 的中点，所以 ，
( ,0)A b (0, )B b 2AB b= (2,1)P
y x b= − + 2 1 3
1 1 2
+ − −= =
+
b bd
31 12 2
−= ⋅ = =ABP
b bS AB d
l 1 ( 2)y k x− = − A B
k 0< M
l y x b= − + 0b > l x y A B
( ,0)A b (0, )B b 2AB b=
(2,1)P y x b= − + 2 1 3
1 1 2
+ − −= =
+
b bd 1ABPS =
3 31 1 2 12 2 22
− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = =ABP
b b bS AB d b
2 3 2− = ±b b 2 3 2− =b b 3 17
2
±=b 0b > 3 17
2
+=b
2 3 2− = −b b 1b = 2b =
b 3 17
2
+
l 1 ( 2)y k x− = −
0x = 1 2y k= - (0,1 2 )−B k 0y = 12x k
= − 12 ,0A k
−
A B x y
12 0
1 2 0
k
k
− >
− >
k 0<
M AB 1 11 ,2 2
− − M kk因此 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查直线方程的应用，以及向量数量积的最值，熟记直线方程的常用形式，
点到直线距离公式，以及向量数量积的运算法则，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.
20.如图，扇形 的圆心角为 ，半径为 1，圆心为原点 ，点 在 轴正半轴上.
（1）求点 的坐标；
（2）已知 ，直线 ，点 在直线 上，点 在弧 上，且
，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由题意得到 ，在单位圆内，即可取出坐标；
（2）先设 ， ，根据题意，得到 ，推出
，表示弧 上的点与定点 连线的斜率，结合图像，
即可得出结果.
( )1 1 5 1 5 92 1 22 2 2 2 2
⋅ = − + − = + − + − ≥ + = OM OP k kk k
1− = −k k 1k = −
OM OP⋅ 9
2
OAB 3
π
O A x
B
1(0, )3M − : 3
kl y kx= + P l Q AB
2 + 0MP MQ = k
1 3( , )2 2
( , 6 3 3] [3, )−∞ − − +∞
3AOB
π∠ =
0 0( , )P x y ( , )Q x y
0
0
2
1
2
xx
yy
= − + = −
0
0
3 ( 1)3 12
3 23 1 12 3
− + += = =+ − + −
yy yk x x x
AB 2, 13
− N【详解】（1）因为扇形 的圆心角为 ，所以 ，又扇形所在圆的半径为 1，
所以： ， ，
即点 的坐标为 ；
（2）设 ， ，因为 ，所以 ， ，
由 得 ，所以 ，
又点 在直线 上，
所以 ，即 ，
又点 在弧 上，
所以 表示弧 上的点与定点 连线的斜率，
由图像可得： ，或 ；
故 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查直线与圆的综合应用，根据三角函数定义，以及平面向量坐标运算处
理，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.
OAB 3
π
3AOB
π∠ =
11 cos 2
= × ∠ =Bx AOB 31 sin 2
= × ∠ =By AOB
B 1 3( , )2 2
0 0( , )P x y ( , )Q x y 1(0, )3M − 0 0
1, 3
= + MP x y 1, 3
= + MQ x y
2 + 0MP MQ = 0
0
2 0
2 12 03 3
x x
y y
+ = + + + =
0
0
2
1
2
xx
yy
= − + = −
P : 3
kl y kx= +
0 0 3
= + ky kx 0
0
3 ( 1)3 12
3 23 1 12 3
− + += = =+ − + −
yy yk x x x
( , )Q x y AB
1
2
3
+=
−
yk
x AB 2, 13
− N
0 1 321 3
+≥ = =
−ANk k
3 12 6 3 31 2
2 3
+
≤ = = − −
−BNk k
k ( , 6 3 3] [3, )−∞ − − +∞21.如图，圆 与 轴交于 、 两点，动直线 （ ）与 轴、
轴分别交于点 、 ，与圆交于 、 两点（点 纵坐标大于点 纵坐标）.
（1）若 ，点 与点 重合，求点 的坐标；
（2）若 ， ，求直线 将圆分成的劣弧与优弧之比；
（3）若 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ，是否存在实数 使得 ？若存
在，求出 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，
【解析】
【分析】
由题意得到 ， ，
（1）由 得 ，根据点 与点 重合，得到 在直线
上，求出 ，联立直线与圆的方程，根据韦达定理，即可求出结果；
（2）取 中点为 ，连结 ，由题意得到 ，推出 ，从而求出直线
，再求出 ，进而可求出结果；
（2）设 、 ，联立直线与圆的方程，得到 ，再由题意
得 ，推出 ，求出 或 ，根据
得到 ，进而可求出结果.
2 2 4x y+ = x A B :l y kx b= + 0k > x y
E F C D D C
2b = C A D
2b = CE FD= l
1b = AD CB 1k 2k k 1
2
2k
k
=
k
2 4( , 2)3 3 1: 2 3
2k =
( 2,0)A − (2,0)B
2b = : 2= +l y kx C A ( 2,0)C − : 2= +l y kx
2
2k =
EF P OP OP CD⊥ OE OF=
: 2= +l y x 2
3COD
π∠ =
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y
1 2 2
1 2 2
2
1
3
1
kx x k
x x k
+ = − +
= − +
( )1 2 1
2 1 2
( 2) 22
−= =+
k y x
k y x
( )1 2 1 23 10 12 0+ + + =x x x x 3
2k = 1
6k = 1 2 0y y <
2 1
4k >【详解】因为圆 与 轴交于 、 两点，所以 ， ，
（1）由 得 ，又点 与点 重合，直线 与圆 交于 、
两点，
所以 在直线 上，
因此 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，因此 ，
所以 ，即 ；
（2）取 中点为 ，连结 ，因为 ，所以 为 中点，
所以 ，因此 ，
所以直线 的斜率为 ，由 得： ，
由点到直线距离公式可得： ，又 ，
所以 ，故 ，所以 ，
因此劣弧 的长度为： ，
又圆的周长为： ，
所以直线 将圆分成的劣弧与优弧之比为 .
2 2 4x y+ = x A B ( 2,0)A − (2,0)B
2b = : 2= +l y kx C A l 2 2 4x y+ = C D
( 2,0)C − : 2= +l y kx
2 2 0− + =k 2
2k =
2 2
2 22
4
y x
x y
= +
+ =
23 4 4 0+ − =x x 4
3
⋅ = −C Dx x 2
3
=Dx
2 2 4 222 3 3
= × + =Dy 2 4 2,3 3
D
EF P OP CE FD= P CD
OP CD⊥ OE OF=
:l y kx b= + 1k = 2b = : 2= +l y x
2 1
1 1
= =
+OP 2OD =
1cos 2
∠ =POD 3
π∠ =POD 2
3COD
π∠ =
CD 2 42 3 3
π π⋅ =
2 2 4π π⋅ =
l 4 4: 4 1: 23 3
π ππ − = （3）设 、 ，因为 ，所以 ，代入圆 可得：
，整理得： ，
所以 ，
又 、 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
即 ，即 ，
整理得： ，解得 或 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的应用，通常需要联立直线与圆的方程，结合韦达
定理，点到直线距离公式等求解，属于常考题型.
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1b = : 1l y kx= + 2 2 4x y+ =
2 2( 1) 4+ + =x kx 2 2(1 03) 2+ −+ =x kxk
1 2 2
1 2 2
2
1
3
1
kx x k
x x k
+ = − +
= − +
2
1
2 2
= +
yk x
1
2
1 2
= −
yk x ( )1 2 1
2 1 2
( 2) 22
−= =+
k y x
k y x
2 2
1 14= −y x 2 2
2 24= −y x
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
222 2
2 1 2 12 1
2 22 2
1 21 2 1 2
4 2 2 2( 2) 42 22 4 2
− − − −− = = =+ ++ − +
x x x xy x
x xy x x x
( )1 2 1 23 10 12 0+ + + =x x x x 2 2
9 20
1 1 12 0− −+ + + =k
k k
212 20 3 0k k− + = 3
2k = 1
6k =
( )1 2, 2,2∈ −x x ( )1 2 1
2 1 2
( 2) 2 02
−= = >+
k y x
k y x 1 2 0y y <
1 2( 1)( 1) 0+ +
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