2019~2020 学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由斜率的定义求解即可
【详解】由斜率的定义得 ，
故答案为：直线 的斜率为
故选：
【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题
2.在空间直角坐标系中，点 与 之间的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可结合两点间距离公式求解
【详解】由两点间距离公式得
故选：B
【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题
3.过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
.
( )1,2A ( )2, 1B − AB
1
3
1
3
− 3 3−
2 1
2 1
2 1 31 2
y yk x x
− += = = −− −
AB 3−
D
( )1,2, 1P − ( )0,1,1Q
2 6 5 3
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 1 2 6l x x y y z z= − + − + − = + + =
( )0, 1− 1
2y x=
2 1y x= − − 2 1y x= − 2 2y x= − +
2 1y x= +【分析】
由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可
【 详 解 】 由 两 直 线 垂 直 斜 率 之 积 为 -1 可 得 直 线 斜 率 为 ， 再 由 点 斜 式 可 得
，化简得
故选：A
【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题
4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包
括三种切割方式：横切，竖切，斜切
【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为
圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的
切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形
故选：D
【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题
5.与圆 关于原点对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
1 21
2
k
−= = −
( )2 0 1y x= − − − 2 1y x= − −
( ) ( )2 21 2 1x y− + + =
( ) ( )2 21 2 1x y− + − = ( ) ( )2 21 2 1x y+ + + =
( ) ( )2 21 2 1x y+ + − = ( ) ( )2 22 1 1x y− + + =【分析】
可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可
【详解】圆 的圆心为 ，圆心关于原点的对称点为 ，故对称
的圆的方程为：
故选：C
【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题
6.已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
由线面平行的性质可判断 A 错；由平行的递推性判断 B 对；C 项可能性很多， 与 不一定
垂直；D 项可能性很多，不一定
【详解】对 A，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，
如图：
对 B，根据平行的递推性，可得正确，如图：
对 C，可随机举一反例，如图：
( ) ( )2 21 2 1x y− + + = ( )1, 2− ( )1,2−
( ) ( )2 21 2 1x y+ + − =
m n α β
m α n ⊂ α m n m α⊥ α β∥ m β⊥
m α α β⊥ m β⊥ m α n α m n
m β
m n直线与 斜交；
对 D，直线有可能相交，如图：
故选：B
【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题
7.已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两直线一般式对应系数关系 求解即可
【详解】由题可知，应满足 ，则两直线可化为 ，由平行直
线间距离公式
故选：C
【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题
8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，
无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视
β
1 : 3 0l mx y+ − = 2 : 0l x y m− − =
2 2 4 2 2
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ≠
1 3 11 1
m mm
−= ≠ ⇒ = −− −
3 0
1 0
x y
x y
− + =
− + =
1 2
2 2
2 2
2
C Cd
A B
−= = =
+图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 ，则该鳖臑的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可
【详解】由三视图，画出图形，如图：
则该鳖臑的体积为：
故选：A
【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题
9.已知实数 ， 满足条件 则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可将目标函数转化为 ，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可
1
6 9 18 27
1 1 3 4 3 63 2V = × × × × =
x y
2 0,
2 2 0,
3,
x y
x y
x
+ − ≥
− + ≥
≤
3z x y= −
6 10
3
9
2
− 10
3
−
3 3
x zy = −【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为 ，要使 取到最小值，则截
距 取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为 ，代入
得
故选：C
【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关
键，属于基础题
10.已知正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线
与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】如图：
3 3
x zy = − z
3
z− 53, 2
3z x y= −
9
2z = −
1 1 1 1ABCD A B C D− M N AB 1AA 1C M
BN
30° 45° 60° 90°作 的中点 ，连接 ， 由题设可知 ，则异面直线 与 所成角
为 或其补角，设正方体的边长为 4，由几何关系可得， ， ，
，得 ，即
故选：D
【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题
11.已知 ， ，点 为圆 上任意一点，则 面积的
最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线 距离的最大值，由
点到直线距离公式即可求解
【详解】如图所示：
要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线 距离的最大值，求圆心到直线距离，再
加上半径即可，圆 可转化为 ，圆心为 ， ，
则直线方程为 ，圆心到直线的距离 ，则
， ，则
故选：C
AN 'N 'N M 1 'C N 'N M BN 1C M BN
1'N MC∠ ' 5N M = 1 6C M =
1 ' 41C N = 2
1 1
2 2' 'N M MC N C= + 1' 90N MC∠ = °
( )3,0A − ( )0,1B C 2 2 4 1 0x y y+ + + = ABC∆
3
2
3 3
2
5 3
2
7 3
2
AB
AB
2 2 4 1 0x y y+ + + = ( )22 2 3x y+ + = ( )0, 2− 1 3
33ABk = =
3 13y x= +
3 3 3
21 13
d = =
+
max
3 3 5 332 2h d r= + = + = 3 1 2AB = + = 1 5 3 5 3= 22 2 2ABCS∆ × × =【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题
12.将边长为 2 的正 沿着高 折起，使 ，若折起后 四点
都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过底面三角形 BCD 求出底面圆的半径 DM，判断球心到底面圆的距离 OM，求出球 O 的半径，
即可求解球 O 的表面积．
【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，
底面三角形的底面外接圆圆心为 M，半径为：r,由余弦定理得到 BC= ，再由正弦定理得到
见图示：
AD 是球的弦，DA= ，将底面的圆心 M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的一半，
即为球心的位置 O，∴OM= ，在直角三角形 OMD 中，应用勾股定理得到 OD，OD 即为球的半
径.∴球的半径 OD= ．
该球的表面积为：4π×OD2=7π；
故选：B．
【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、
切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的
ABC∆ AD 120BDC∠ = A B C D、 、 、
O O
7
2
π 7π 13
2
π 13
3
π
3
0
3 2 1.sin120 r r= ⇒ =
3
3
2
3 71+ =4 2关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几
何体已知量的关系，列方程(组)求解.
二、填空题（共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分）
13.圆 的半径为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将一般式化为标准式即可求得
【详解】由 ，则半径为
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题
14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积
为 ．
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 由 ， 得 ， 即 ，
∴ ．
考点：圆锥的侧面图与体积．
15.已知长为 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则线段
的中点的轨迹方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得
【详解】如图：
2 2 2 2 0x y x y+ + + =
2
( ) ( )2 22 2 2 2 0 1 1 2x y x y x y+ + + = ⇒ + + + = 2r =
2
3 2
3
π
2 2
3
π
2 r
l
πθ = 2 2
3 3
rπ π= 1r =
2 2 2 21 1 2 21 3 13 3 3V r hπ π π= = ⋅ ⋅ − =
( )2 0a a > AB A B x y AB
( )2 2 2 0x y a a+ = >不论直线怎么移动，线段 的中点的 始终为 斜边上的中线，即 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题
16.如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点, 是
侧面 内一点，若 平行于平面 ,则线段 长度的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱 中点 ，连接 ，连接 ，
因为 为所在棱的中点，所以 ，所以 ，又
平面 平面 ，所以 平面 ；因为 ，所以四
边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，又 ，所以 平面 ，因为 是侧面
内 一 点 ， 且 平 面 ， 则 必 在 线 段 上 ， 在 直 角 中 ，
，同理，在直角 中，求得 ，所
以 为等腰三角形，当 在 中点 时， ，此时 最短， 位于
的
AB P Rt OAB∆ OP a=
( )2 2 2 0x y a a+ = >
( )2 2 2 0x y a a+ = >
1 1 1 1 1DABC A B C D− ,E F 1,BC CC P
1 1BCC B 1AP AEF 1AP
3 2 5
4 2
，
1 1 1,BB B C ,M N MN 1BC
, , ,M N E F 1 1/ / , / /MN BC EF BC / /MN EF MN ⊄
,AEF EF ⊂ AEF / /MN AEF 1 1/ / ,AA NE AA NE=
1AENA 1 / /A N AE 1A N ⊄ AEF AE ⊂ AEF
1 / /A N AEF 1A N MN N= 1 / /A MN AEF P 1 1BCC B
1 / /A P AEF P MN 1 1A B M∆
2 2 2
1 1 1 1
1 51 ( )2 2A M A B B M= + = + = 1 1A B N∆
1
5
2A N =
AMN∆ P MN O 1A P MN⊥ 1AP P ,M N处时 最长， ， ，所
以线段 长度的取值范围是 .
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的
判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学
生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，
试题有一定的难度，属于中档试题.
三、解答题（共 5 个小题，共 48 分）
17.已知 的顶点 ， ， 是 的中点.
（1）求直线 的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先设 ，再结合中点坐标公式求解即可；
（2）所求直线与 直线垂直，可算出斜率，又直线过点 ，利用点斜式即可求解；
【详解】（1）设 ，由题意得 ∴ ∴ .
∴直线 的方程为 ；
（2）∵ ， ，∴ ，
1AP 2 2 2 2
1 1
5 2 3 2( ) ( )2 4 4AO A M OM= − = − = 1 1
5
2A M A N= =
1AP 3 2 5
4 2
，
ABC∆ ( )1,4A − ( )2, 1B − − ( )0,1M BC
AC
AC
3 11 0x y+ − = 3 5 0x y− + =
( ),C x y
AC B
( ),C x y 2 0,
1 2,
x
y
− + =
− + =
2,
3,
x
y
=
=
( )2,3C
AC 3 11 0x y+ − =
( )1,4A − ( )2,3C 1
3ACk = −∴ 边上的高所在直线的斜率 ，
∴ 边上 高所在直线方程为： ，即 .
【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题
18.如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）要证直线 平面 ，可在平面 中找一条线与 平行，连接 ，先
证明 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；
（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线 平面 的两条交线即可；
【详解】（1）连接 ，∵ 是正方体， ， ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ， .
∴ 是平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
的
AC 3k =
AC ( )3 2 1y x= + − 3 5 0x y− + =
1 1 1 1ABCD A B C D− E F AB 1 1C D
EF 1 1ADD A
EF ⊥ 1 1A B CD
EF 1 1ADD A 1 1ADD A EF 1AD
1AEFD
EF ⊥ 1 1A B CD
1AD 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AB C D∴ 1 1AB C D=
E F AB 1 1C D 1AE FD∥ 1AE FD=
1AEFD 1EF AD∥
EF ⊄ 1 1ADD A 1AD ⊂ 1 1ADD A
EF 1 1ADD A（2）由（1）得 ，∵ 是正方体.
∴ 平面 ，∴ ，∴ ，
∵ 是正方体，∴ 是正方体，
∴ ，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 .
【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题
19.已知圆 与圆 .
（1）若圆 与圆 外切，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若直线 与圆 的相交弦长为 ，求实数 的值.
【答案】（1）5；（2） 或 .
【解析】
分析】
（ 1 ） 先 将 圆 化 成 标 准 式 ， 利 用 两 圆 相 切 的 性 质 ， 得 圆 心 距 等 于 半 径 之 和 ， 即
，即可求解；
（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成
圆心到直线距离问题，可进一步求解
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ，∴ ；
【
1EF AD∥ 1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1A B ⊥ 1 1ADD A 1 1 1A B AD⊥ 1 1A B EF⊥
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1ADD A
1 1A D AD⊥ 1A D EF⊥
1A D ⊂ 1 1A B CD 1 1A B ⊂ 1 1A B CD 1 1 1 1A B A D A∩ =
EF ⊥ 1 1A B CD
2 2
1 : 1C x y+ = 2 2
2 : 6 0C x y x m+ − + =
1C 2C m
2 0x y n+ + = 2C 2 3 n
3 5n = − + 3 5n = − −
2C
1 2 1 2C C r r= +
2 2 1x y+ = ( )1 0,0C 1 1r =
2 2 6 0x y x m+ − + = ( )2 23 9x y m− + = − ( )2 3,0C 2 9r m= −
1C 2C 1 2 1 2C C r r= + 3 1 9 m= + − 5m =（2）由（1）得 ，圆 的方程为 ， ， ，
由题意可得圆心 到直线 的距离 ，
∴ 或 .
【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题
20.如图，在四棱锥 中， ， , ,
, 是正三角形.
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线 平面 ，又 平面
，即可得证；
（2）作点 的中点 ，连接 ， ，由面面垂直的和判定定理可得 与平面 所
成角为 ，通过计算即可求得
【详解】（1）证明：∵ 是正三角形， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ ；
（2）设点 是 的中点，连接 ， ，
5m = 2C ( )2 23 4x y− + = ( )2 3,0C 2 2r =
2C 2 0x y n+ + = 2
2
3 3 1
5
nd r
+= = − =
3 5n = − + 3 5n = − −
P ABCD− AD CD⊥ AD BC∥ 2 2 4AD BC CD= = =
2 5PC = PAD∆
CD PA⊥
AC PCD
15
5
CD ⊥ PAD PA ⊂
PAD
PD E AE CE AC PCD
ACE∠
PAD∆ 2 4AD CD= =
4PD = 2CD = 2 2 2 20PC PD CD= + = CD PD⊥
AD CD⊥ CD ⊥ PAD CD PA⊥
E PD AE CE∵ 是正三角形，∴ ， ，
由（1）得 平面 ，∴平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ 与平面 所成角为 ，
∵ ，∴ ,
∴ .
【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题
21.如图，在四棱锥 中， ， ， ,
， 是正三角形.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证 平面 ，再说明 平面 ，即可得
证；
（2）设点 是 的中点，连接 ， ，通过几何关系可得 是二面角
的平面角，再计算即可
PAD∆ AE PD⊥ 2 3AE =
CD ⊥ PAD PCD ⊥ PAD
AE ⊥ PCD
AC PCD ACE∠
AD CD⊥ 2 2 2 5AC AD CD= + =
15sin 5
AEACE AC
∠ = =
P ABCD− AD CD⊥ AD BC∥ 2 2 4AD BC CD= = =
2 5PC = PAD∆
CD PA⊥
P BC A− −
60
CD ⊥ PAD PA ⊂ PAD
E AD PE BE PBE∠ P BC A− −【详解】（1）证明：∵ 是正三角形， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ ；
（2）设点 是 的中点，连接 ， ，
∵ 是正三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ 是正方形，
∴ ，∴ 平面 ，∴ ，
∴ 是二面角 的平面角，
由（1）得 平面 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题
22.已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线
， ，切点分别为 ， .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）当 取最大值时，求 的外接圆方程.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题知，可设 ，切线长 ，半径 ，圆心与点 的长度 组成直角三角形，
故有 ，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点 的坐标；
PAD∆ 2 4AD CD= =
4PD = 2CD = 2 2 2 20PC PD CD= + = CD PD⊥
AD CD⊥ CD ⊥ PAD CD PA⊥
E AD PE BE
PAD∆ PE AD⊥ 2 3PE =
AD BC∥ BC BE⊥
2 2 4AD BC CD= = = 2DE BC= =
AD CD⊥ AD BC∥ BCDE
BC BE⊥ BC ⊥ PBE BC PB⊥
PBE∠ P BC A− −
CD ⊥ PAD CD PE⊥ BE PE⊥
tan 3PEPBE BE
∠ = = 60PBE∠ = °
2 2: 4O x y+ = P : 2 8 0l x y− − = P O
PA PB A B
2 3PA = P
APB∠ APO∆
( )0, 4P − 16 12,5 5P −
2 24 8 16
5 5 5x y − + + =
( ),P x y PA r P OP
22OP r PA= + P（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点 位置，此时圆心位置为点 与点 的中点坐标，
半径为 ，结合垂直关系和直线方程可求点 ，进而求得 的外接圆方程
【详解】（1）设 ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 解得 或
∴ 或 ；
（2）由题意可知当 时， 取最大值，设此时 ，
由 得 ∴ ， 的外接圆圆心为 ，半径
，∴ 的外接圆方程为 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理
的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题
23.已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线
， ，切点分别为 ， .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）设 的外接圆为圆 ，当点 在直线 上运动时，圆 是否过定点（异于原点
）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） 或 ；（2）是过定点， .
【解析】
【分析】
（1）由题知，可设 ，切线长 ，半径 ，圆心与点 的长度 组成直角三角形，
P O P
1
2 OP P APO∆
( ),P x y 2 2 4x y+ = ( )0,0O 2r =
2 3PA = 22 4OP r PA= + =
2 2 16,
2 8 0,
x y
x y
+ =
− − =
0,
4,
x
y
=
= −
16 ,5
12 ,5
x
y
=
= −
( )0, 4P − 16 12,5 5P −
OP l⊥ APB∠ ( ),P x y
2 ,
2 8 0
y x
x y
= −
− − =
8 ,5
16 ,5
x
y
=
= −
8 16,5 5P − APO∆ ' 5
4 ,5
8O −
1 4 5' 2 5r OP= = APO∆
2 24 8 16
5 5 5x y − + + =
2 2: 4O x y+ = P : 2 8 0l x y− − = P O
PA PB A B
2 3PA = P
APO∆ M P l M
O
( )0, 4P − 16 12,5 5P −
8 16,5 5
−
( ),P x y PA r P OP故有 ，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点 的坐标；
（2）可先设 ，则 ，整理得 的外接圆方程为
，结合 代换得 ，要使
圆 恒过定点满足，即 ，解出对应的 ，即可求解
【详解】（1）设 ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 解得 或
∴ 或 ；
（2）设 ，则 ，
∴ 的外接圆方程为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，令
则 或 （舍去），∴圆 过定点 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，
解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转
化成恒成立问题，属于中档题
22OP r PA= + P
( )0 0,P x y 0 0,2 2
x yM
APO∆
2 2
0 0 0x x x y y y− + − = 0 02 8 0x y− − = ( ) ( )2 2
08 2 0x x y y x y− + − + =
M 2 2
2 0,
8 0,
x y
x x y
+ =
− + =
,x y
( ),P x y 2 2 4x y+ = ( )0,0O 2r =
2 3PA = 22 4OP r PA= + =
2 2 16,
2 8 0,
x y
x y
+ =
− − =
0,
4,
x
y
=
= −
16 ,5
12 ,5
x
y
=
= −
( )0, 4P − 16 12,5 5P −
( )0 0,P x y 0 0,2 2
x yM
APO∆ 2 2
0 0 0x x x y y y− + − =
0 02 8 0x y− − = 0 02 8x y= +
( ) ( )2 2
08 2 0x x y y x y− + − + = 2 2
2 0,
8 0,
x y
x x y
+ =
− + =
8 ,5
16
5,
x
y
=
= −
0,
0
x
y
=
= M 8 16,5 5
−
微信/支付宝扫码支付