江西上饶市山江湖协作体2019-2020高二数学上学期期中（自招班）试题（Word版带解析）

江西省上饶市“山江湖”协作体 2019-2020 学年高二上学期期中数学(自招班)试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对集合 内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案. 【详解】集合 中，解不等式 ，得 ， 所以集合 而集合 所以 ， 故选 C 项. 【点睛】本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题. 2.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的内部随机取一点 E，则△ABE 的面积大于 的概率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得正方形边长为 2,E 到 AB 的距离大于 时满足题意,由几何概型公式计算可得答案. 【详解】解:由题意得，正方形边长为 2,E 到 AB 的距离大于 时，△ABE 的面积大于 ,易得 { | 1 10}A x x= − 3 3a 23 b 2 1 a b +【答案】D 【解析】 ∵ 是 与 的等比中项， ∴ ， ∴ ， ∴ ，当且仅当 且 ， 即 时等号成立．选 D． 6.在 中， ， ， ，则 的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角形中的正弦定理求出角 B，利用三角形内角和求出角 C，再利用三角形的面积公式求 出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为 中， ， ， ， 由正弦定理得： ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，故选 C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中 所给的条件，应用正弦定理求得 ，从而求得 ，之后应用三角形 面积公式求得结果. 3 3a 23 b 2 2 23 3 3 ( 3) 3a b a b+× = = = 2 1a b+ = 2 1 2 1 4 4( 2 )( ) 4 4 2 8b a b aa ba b a b a b a b + = + + = + + ≥ + ⋅ = 4b a a b = 2 1a b+ = 1 1,2 4a b= = ABC△ 60A∠ = ° 4AC = 2 3BC = ABC△ 4 3 4 2 3 3 ABC∆ 60A∠ = ° 4AC = 2 3BC = sin sin BC AC A B = 2 3 4 sin 60 sin B° = sin 1B = 90 , 30B C° °∠ = ∠ = 1 2 3 4 sin30 2 32ABCS ° ∆ = × × × = sin 1B = 90 , 30B C° °∠ = ∠ =7.设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 把 化简为 ，然后令 ，然后作图，找出可行域，即可根据图象 找出答案. 【详解】 作图可得，可行域为阴影部分，对于 ，可化简为 ， 令 ，明显地，当直线 过 时， 即当 时， 取最大值 4，则 的最大值为 16. 答案选 D 【点睛】本题考查线性规划的求最值问题，属于基础题 8.利用数学归纳法证明“ 且 ”的过程中，由假 设“ ”成立，推导“ ”也成立时，该不等式左边的变化是（ ） A. 增加 B 增加 C. 增加 并减少 . ,x y 0 0 2 x y x y ≥  ≥  + ≤ 2 4x yz = × 2 4x yz = × 22x yz += 2h x y= + 2 4x yz = × 22x yz += 2h x y= + 2h x y= + ( )0,2 2 4x y+ = h 2 4x yz = × 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3n n n + +…+ >+ + ( 2n ≥ )*n N∈ n k= 1n k= + 1 3 3k + 1 1 1 3 1 3 2 3 3k k k + ++ + + 1 3 3k + 1 1 2 1 2 2k k ++ +D. 增加 并减少 【答案】D 【解析】 【分析】 由题写出 时的表达式和 的递推式，通过对比，选出答案 【详解】 时，不等式为 时，不等式为 ，增加 并减少 . 故选 D. 【点睛】用数学归纳法写递推式时，要注意从 到 时系数 k 对表达式的影响，防 止出错的方法是依次写出 和 的表达式，对比增项是什么，减项是什么即可 9.已知三棱锥 的底面 是边长为 2 的等边三角形， 平面 ，且 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用 也垂直于这个小圆，即可利用 球心与小圆圆心建立起直角三角形， ，根据题意可求出 是底面三角形 的外接圆的半径，利用 计算 即可，最后即可求出球的表面积。 【详解】由已知得，作下图 1 1 1 3 1 3 2 3 3k k k + ++ + + 1 1 2 1 2 2k k ++ + n k= 1n k= + n k= 1 1 1 1 1 2 +1 2 2 2 3 3 3k k k k + + +…+ >+ + 1n k= + 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 3 3 1 3 2 3 3 3k k k k k k + +…+ + + + >+ + + + + 1 1 1 3 1 3 2 3 3k k k + ++ + + 1 1 2 1 2 2k k ++ + n k= 1n k= + n k= 1n k= + P ABC− ABC PA ⊥ ABC 2PA = 68 3 π 20π 48π 28 3 π PA 1' 12d OO PA= = = r 2 2d R r= − R，连结 ，延长至圆上交于 H， 过 作 交 于 ， 则 为 ，所以， 为斜边 的中点， 所以， 为 的中位线， 为小圆圆心，则 为 的中点，则 ，则 ， ， 则球的半径 球的表面积为 答案选 D. 【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用 进行计算 ，难点在于构造三 要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等。 10.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与 圆 的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 化简圆 到直线 的距离 PA ABC⊥ 平面 PO O 'OO PA ABC平面 'O PAH∆ Rt∆ O PH 'OO PAH∆ 'O 'O AH ' ' 1 2 OO O H PA AH = = 2 22 2 3' ' 2 13 3O H AO= = − = 1' 12OO PA= = 2 2 4 21' ' 1 3 3R OH OO O H= = + = + = 2 284 3R ππ = 2 2 2d R r= − R ( )2 2: 2 0 0M x y ay a+ − = > 0x y+ = 2 2 M ( ) ( )2 2: 1 1 1N x y− + − = ( ) ( )22 2 1: 0, ,M x y a a M a r a M+ − = ⇒ = ⇒ 0x y+ = 2 ad = ⇒， 又 两圆相交. 选 B 11. 将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒中，每个盒内至少有 1 个球，则不同的放法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 96 【答案】B 【解析】 解：因为将 个不同的球放入 个不同的盒中，每个盒内至少有 个球，则 4=1+1+2,分为三组，然后分配，则不同的放法种数为 种，选 B 12.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对勾函数求得 在 的最小值，再 得图象向右移动 个单 位，其函数值扩大 倍，从而求解. 【详解】当 时， 的最小值是 由 知 当 时， 的最小值是 当 时， 的最小值是 ( ) 2 2 12 2 0,2 , 2 2 a a a M r   + = ⇒ = ⇒ =   ( ) 2 1 21,1 , 1 2N r MN r r MN= ⇒ = ⇒ − < < 1 2r r+ ⇒ 4 3 1 1 1 2 34 3 2 32 2 36C C C AA = ( )f x R ( ) ( )2 2f x f x+ = ( ]0,2x∈ ( ) 1 9 4f x x x = + − ( ],x m∈ −∞ ( ) 2 3f x ≥ − m 21 5  −∞  ， 16 3  −∞  ， 18 4  −∞  ， 19 4  −∞  ， ( )f x ( ]0,2x∈ ( ) ( )2 2f x f x+ = 2 2 ( ]0,2x∈ ( ) 1 9 4f x x x = + − 1 ,4 − ( ) ( )2 2f x f x+ = ( ]2,4x∈ ( ) ( ) 1 92 2 4f x x x = − + −− 1 ,2 − ( ]4,6x∈ ( ) ( ) 1 94 4 4f x x x = − + −− 1,−要使 ，则 ， 解得： 或 故选 D. 【点睛】本题考查对勾函数和 的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度 题. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.设随机变量 ， ，若 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项分布数学期望的计算公式可求出 ；由 ，利用二项 分布概率公式可求得结果. 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项分布概率公式、数学期望公式的应用问题，属于基础题. 14.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ,则 _______． 【答案】0.01 【解析】 【分析】 根据正态分布的对称性，求得 的值. 【详解】根据正态分布的对称性有 . 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题. ( ) 2 3f x ≥ − ( ) 1 9 24 4 4 3x x − + − ≥ −− 19 4x ≤ 16.3x ≥ ( ) ( )2 2f x f x+ = (2, )B pξ  (4, )B pη  2( ) 3E ξ = ( 3)P η ≥ = 1 9 p ( ) ( ) ( )3 3 4P P Pη η η≥ = = + = ( ) 22 3E pξ = = 1 3p∴ = 14, 3Bη  ∴    ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 4 4 1 2 1 13 3 4 3 3 3 9P P P C Cη η η      ∴ ≥ = = + = = × + =           1 9 X 2(4, )N σ (2 6) 0.98P X< ≤ = ( 2)P X < = ( 2)P X < 1 (2 6) 1 0.98( 2) 0.012 2 P XP X − < ≤ −< = = =15.在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将 此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直， ，则四面体 的外接球半径 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】 通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径. 【详解】若 两两垂直,可将四面体 补成一长方体，从而长方体的外接 球即为四面体的外接球，于是半径 ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键. 16.已知正项数列 满足 ， ，则数列 的前 项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知表达式因式分解得到数列 递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式 裂项，利用裂项相消求和得解. 【详解】由已知得 所以 又因为 所以 所以 所以 的 ABC∆ , ,BC AC AC b BC a⊥ = = ABC∆ 2 2 2 a br += S ABC− SA SB SC、 、 , ,SA a SB b SC c= = = S ABC− R = 2 2 2 2 a b c+ + SA SB SC、 、 S ABC− 2 2 2 2 a b cR + += 2 2 2 2 a b c+ + { }na ( ) ( )2 2 1 12 1 2 0n n n nn a n a a na+ ++ + + ⋅ − = 1 4a = ( ) ( )1 2 na n n    + ⋅ +   n 22 22 n n + −+ 2 2 1 1 1(2 ) 2 ( ) 0,n n n n n n nn a a a a a a a+ + ++ ⋅ − + + = 1 1( )(2 2 ) 0,n n n n na a na na a+ ++ − + = 0na > 12 2 0.n n nna na a+− + = 1 12n n a n a n + += × 1 4a =； 累乘得 所以 所以 = 所以 累加求和得 故答案为 【点睛】本题关键将已知表达式因式分解得递推式，再运用累乘和裂项相消求和的方法求解， 属于难题. 2 1 22 ;1 a a = × 3 2 32 2 a a = × 4 3 42 ;3 a a = ×  1 2 ;1 n n a n a n− = × − 12 .n na n+= ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 12 2 2 ,1 2 1 2 2 1 n n n na n n n n n n n + + +⋅= = −+ ⋅ + + ⋅ + + + ( ) ( )1 2 na n n+ ⋅ + 2 12 2 2 1 n n n n + + −+ + ( ) ( ) 3 2 1 2 2 ;1 1 1 2 3 2 a = −+ ⋅ + ( ) ( ) 4 3 2 2 2 ;2 1 2 2 4 3 a = −+ ⋅ + ( ) ( ) 5 4 3 2 2 ;3 1 3 2 5 4 a = −+ ⋅ +  ( ) ( ) 2 12 2 ;1 2 2 1 n n na n n n n + + = −+ ⋅ + + + 22 2;2 n n + −+ 22 2;2 n n + −+三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.已知不等式 的解集为 ． (1)求 ， 的值； (2)求函数 的最小值． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 分析：第一问应用一元二次不等式解的边界值就是对应的一元二次方程的根，从而将 代 入，求得 的值，代入原不等式，解不等式即可求得 的值；第二问先将 的值代入，之后 对式子进行整理，应用基本不等式求得结果. 详解：(1)∵不等式 的解集为 ∴1 和 是方程 的两根 ,∴ 解得 ， . (2)由(1)得 , 当且仅当 ，即 时，函数 有最小值 8． 点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果； （2）将 的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解. 18.已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 . （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 的值． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 试题分析：（1）正弦定理得 ， ，所以 2 3 2 0ax x− + < { 1 }A x x b= < < a b 1( ) (2 ) ( )( 1)f x a b x a b x = + − − − ( )x A∈ 1 2 8 1x = a b ,a b 2 3 2 0ax x− + < { 1 }A x x b= < < b 2 3 2 0ax x− + = 2 3 2 0 3 2 0 a ab b − + =  − + = 1a = 2b = ( ) ( )1 14 4 1 4 81 1f x x xx x = + = − + + ≥− − ( ) 14 1 1x x − = − 3 2x A= ∈ ( )f x ,a b a b c ABC∆ A B C 3 sin cos 2 0b A a B a− − = B 7b = ABC∆ 3 2 a c+ 2 3B π= 3a c+ = 3sin sin sin cos 2sin 0B A A B A− − = sin 16B π − =  ；（2）根据面积公式和余弦定理，得 ，所以 . 试题解析： （Ⅰ）由已知及正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，即 又 ， ，所以 . （Ⅱ）由已知 ， 由余弦定理得 ，即 ， 即 ，又 所以 . 19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2=2，公差 d≠0，a2，a4，a8 成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）运用等比中项的性质和等差数列的通项公式，可得公差、首项，进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式，可得 ，再由数列的裂项相消求和，化 简可得所求和． 【详解】解：（1）设等差数列 的首项为 公差为 ； ， ， 成等比数列， ， ，即 ， ，又 ， ， 2 3B π= ( )27 a c ac= + − 3a c+ = 3sin sin sin cos 2sin 0B A A B A− − = sin 0A ≠ 3sin cos 2 0B B− − = sin 1,6B π − =   ( ) 50, , ,6 6 6B B π π ππ  ∈ ∴ − ∈ −   6 2B π π∴ − = 2 3B π= 1 1 3 3sin , 22 2 2 2ABCS ac B ac ac∆ = = ⋅ = ∴ = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 17 2 2 2a c ac ac  = + − − ⋅ −   ( )27 a c ac= + − 0, 0a c> > 3a c+ = 1 n n b S = na n= 2 1 n n + 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n = = −+ + { }na 1a d 2a 4a 8a 2 2a = ∴ 2 4 2 8a a a=  2(2 2 ) 2 (2 6 )d d+ = + 24 4d d∴ = 0d ≠ 1d∴ =， 故 ． （2）由（1）得 ， ， ． 【点睛】本题考查等比中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求 和，考查化简运算能力，属于基础题． 20.如图，四棱锥 P 一 ABCD 中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD 为正三角形．且 PA=2 ． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PBC； （2）若点 P 到底面 ABCD 的距离为 2，E 是线段 PD 上一点，且 PB∥平面 ACE，求四面体 A-CDE 的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）证明 AB⊥PB，AB⊥BC，推出 AB⊥平面 PBC，然后即可证明平面 PAB⊥平面 PBC． （2）设 BD，AC 交于点 O，连接 OE，点 P 到平面 ABCD 的距离为 2，点 E 到平面 ABCD 的距离为 h= = ，通过 VA-CDE=VE-CDA，转化求解四面体 A-CDE 的体积． 【详解】（1） ，且 ， ， 1 2 1a a d∴ = − = 1 ( 1)na a n d n= + − = 1( ) (1 ) ( 1) 2 2 2 n n n a a n n n nS + + += = = 1 n n b S = ∴ 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n = = −+ + ∴ 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( )] 2(1 )2 2 3 1 1 1n nT n n n n = − + − +…+ − = − =+ + + 3 8 9 2 23 × 4 3 AB AD⊥ 2AB AD= = 2 2BD∴ =又 为正三角形， ，又 ， ， ， ，又 ， ， ， ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ． （2）如图，设 ， 交于点 ， ， 且 ， ，连接 ， 平面 ， ，则 ， 又点 到平面 的距离为 2， 点 到平面 的距离为 ， ， 即四面体 的体积为 ． 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象 能力以及计算能力． 21.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生 命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 100 名机动车司机，得到以下统 计：在 55 名男性司机中，开车时使用手机的有 40 人，开车时不使用手机的有 15 人；在 45 名女性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人． （1）完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别 有关； （2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 3 辆， PBD∆ 2 2PB PD BD∴ = = = 2AB = 2 3PA = ∴ 2PBA π∠ = AB PB∴ ⊥ AB AD⊥ / /BC AD AB BC∴ ⊥ PB BC B= AB∴ ⊥ PBC AB ⊆ PAB ∴ PAB ⊥ PBC BD AC O / /BC AD 2AD BC= 2OD OB∴ = OE / /PB ACE / /PB OE∴ 2DE PE= P ABCD ∴ E ABCD 2 423 3h = × = 1 1 1 4 82 23 3 2 3 9A CDE E CDA ACDV V S h− − ∆∴ = = = × × × × = A CDE− 8 9记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X，若每次抽检的结果都相互独立， 求 X 的分布列和数学期望 E（X）． 参考公式与数据： ，其中 n=a+b+c+d． 【答案】（1）有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（2）分布列见解析， 【解析】 【分析】 （1）根据题意填写 2×2 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）求出任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率，知 X 的可能取值，且 X 服 从二项分布，计算对应的概率，写出 X 的分布列，计算数学期望值． 【详解】（1）填写 2×2 列联表，如下； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 根据数表，计算 = ≈8.25＞ 7.879， 所以有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； （Ⅱ）由题意，任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率是 ， 则 的可能取值为：0，1，2，3，且 ， ( )( )( )( ) 2 2 ( )n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 99.5% 6( ) 5E X = ( )( )( )( ) 2 2 ( )n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2100 (40 25 20 15) 55 45 60 40 × × − × × × × 40 2 100 5 = X 2~ (3, )5X B可得 ， 所以 ， ， ， ； 所以 分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 ． 【点睛】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档题． 22.已知动点 P 与两个定点 O（0，0），A（3，0）的距离的比值为 2，点 P 的轨迹为曲线 C． （1）求曲线 C 的轨迹方程 （2）过点（﹣1，0）作直线与曲线 C 交于 A，B 两点，设点 M 坐标为（4，0），求△ABM 面积 最大值． 【答案】（1） ；（2）2 【解析】 【分析】 （1）设点 ，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程； （2）由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，求得 到直线的距离， 以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求． 【详解】（1）设点 ， ,即 ， 的 的 3 3 2 2( ) (1 ) ( )5 5 k k kP X k C −= = −  0 3 0 3 3 2 27( 0) ( ) ( )5 5 125P X C= = =  1 2 3 3 2 54( 1) ( )5 5 125P X C= = =  2 2 3 3 2 36( 2) ( )5 5 125P X C= = =  3 0 3 3 3 2 8( 3) ( ) ( )5 5 125P X C= = =  X X P 27 125 54 125 36 125 8 125 2 6( ) 3 5 5E X = × = ( )2 24 4x y− + = ( ),P x y l l ( )1y k x= + M ( ),P x y 2PO PA = 2PO PA=，即 ， 曲线 方程为 ． （2）由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 方程为 ， 由（1）可知，点 是圆 的圆心， 点 到直线 的距离为 ，由 得 ，即 ， 又 ， 所以 ， 令 ，所以 ， ， 则 ， 所以 ， 当 ，即 ，此时 ，符合题意， 即 时取等号，所以 面积的最大值为 . 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线 的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题． 的 ( )22 2 24 3x y x y ∴ + = − +  ( )2 24 4x y− + = ∴ C ( )2 24 4x y− + = l l ( )1y k x= + M ( )2 24 4x y− + = M l 2 5 1 kd k = + 2d < 2 5 2 1 k k < + 2 40 21k≤ < 2 2 2 4 212 4 2 1 kAB d k −= − = + ( )2 22 2 22 5 4 2151 4 21• •2 1 11ABM k kkkS AB d k kk ∆ −−= = =+ ++ 21t k= + 251 21t≤ < 21 1 125 t < ≤ ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 5 4 21 5 1 25 21 21 46 25 25 465 5 211ABM k k t t t tS k t t t t∆ − − − − + − −= = = = + −+ 2 2 25 46 1 23 45 21 5 25 225 25ABMS t t t∆ −  = + − = − − + ≤   1 23 25t = 25 23t = 2 2 4 23 21k = < 46 23k = ± ABM∆ 2