2019 学年度第一学期期中质量调研
高二数学试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分，
本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色签字笔镇写在答题卡指定位置.
3.答题时，必须用 0.5 毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效.
4.如有作图需要，可用 2B 铅笔作等，并加黑加粗，描写清楚.
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.
1.复数 是实数， 则 ______.
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
由复数 的虚部为 0 求得 ，再由 的范围得答案.
【详解】 是实数，
，即 ，
又
或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于
中档题.
2.若 a>0，b>0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值为
________．
【答案】9
【解析】
(1 sin ) (cos sin )z θ θ θ= + + − i [ ]0,2θ π∈ θ =
4
π 5
4
π
z tanθ θ
(1 sin ) (cos sin )z iθ θ θ= + + −
cos sin 0θ θ∴ − = tan 1θ =
[0,2 ],θ π∈
4
πθ∴ = 5
4
π
4
π 5
4
π【详解】由题意，求导函数 f′（x）=12x2-2ax-2b
∵在 x=1 处有极值
∴a+b=6
∵a＞0，b＞0
∴ab≤（ ）2=9，当且仅当 a=b=3 时取等号
所以 ab 的最大值等于 9
故答案为：9
3. ______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
先根据等比数列前 n 项和求和，再由虚数单位 的运算性质及复数的代数运算化简求值.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查了虚数单位 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.
4.5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______.
【答案】240.
【解析】
【分析】
先把 5 本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四
个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
【详解】从 5 本书中取出两本看做一个元素共有 种不同的取法，
这一元素与其他三个元素分给四个同学共有 种不同的分法，
根据分步乘法计数原理，共有 种不同的分法.
2
a b+
2 3 2007i i i i+ + + + =
1−
i
2 3 2007i i i i+ + + +
( ) ( )2007 4 501 31 1
1 1
i i i i
i i
× +− −
= =− −
2(1 ) 1(1 )(1 )
i i
i i
+= = −− +
1−
i
2
5 10C =
4
4 24A =
2 4
5 4 240C A⋅ =故答案为：240
【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.
5.已知 （ 为常数）在 上有最小值 3，那么此函数在 上
的最大值为______.
【答案】43.
【解析】
【分析】
先求导数，判断函数单调性和极值，结合 （ 为常数）在 上有
最小值 3，求出 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值.
【详解】 ，
,
令 ，解得 或 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当
时， 单调递减，
所以 在 时有极小值，也是 上 最小值，
即 ，
函数在 上的最大值在 或 时取得，
，
函数在 上的最大值为 43.
故答案为：43
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.
6.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，
每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有______种.
【答案】48.
【解析】
【分析】
的
3 2( ) 2 6f x x x m= − + + m [ ]2 2− , [ ]2 2− ,
3 2( ) 2 6f x x x m= − + + m [ ]2 2− ,
m
3 2( ) 2 6f x x x m= − + +
2( ) 6 12 6 ( 2)f x x x x x′∴ = − + = − −
( ) 0f x′ = 0x = 2x =
2 0x− < < ( ) 0, ( )f x f x′ < 0 2x< < ( ) 0, ( )f x f x′ >
2x > ( ) 0, ( )f x f x′ <
( )f x 0x = [ ]2 2− ,
(0) 3f m= =
[ ]2 2− , 2x = − 2x =
3 2 3 2( 2) 2 ( 2) 6 ( 2) 3 43; (2) 2 2 6 2 3 11f f− = − × − + × − + = = − × + × + =
∴ [ ]2 2− ,分两步完成，第一步先将 6 个裁判分为三组，第二步将分好的三组裁判安排到三个比赛场地，
由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】第一步，将 6 个裁判分为 3 组，由于每个场地的裁判来自不同的年级，只能分为高
一，高二；高一，高三；高二，高三这样三组，共有 种分组方法；
第二步，将分好的三组裁判安排到不同的三块场地，共有 种不同的安排方法，
由分步乘法计数原理知，不同的安排方法共 种.
故答案为：48
【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分步乘法计数原理，属于中档题.
7.若关于 的方程 在 上有根，则实数 的取值范围______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
分离参数可得 ，利用导数可知 在 上的值域，即可
求出 m 的取值范围.
【详解】由 上有根得 在 上有根，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数.
当 时， ，
又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，
故 ，
由 在 上有根，
在
2 2 2
2 2 2 8A A A =
3
3 6A =
4868 =×
x 3 3 0x x m− + = [ ]0,2 m
[ ]2 2− ,
33 , [0,2]m x x x= − ∈ 33y x x= − [0,2]x∈
2 3 0x x m− + = [ ]0,2 33m x x= − [ ]0,2
33y x x= − [0,2]x∈
23 3 3( 1)( 1)y x x x′ = − + = − − +
0 1x≤ < 0y′ > 1 2x< ≤ 0y′ <
33y x x= − [0,1) (1,2]
1x = max 2y =
0x = 0y = 2x = 2y = −
min 2y = −
[ 2,2]y∈ −
33m x x= − [ ]0,2可知 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.
8.已知函数 （ 为常数）在 处取得极值，则 值为______.
【答案】1.
【解析】
【分析】
先对函数求导，根据函数在 处取得极值应有 ，即可求解.
【详解】因为 ，
所以根据函数在 处取得极值应有 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.
9.若函数 在区间 上是单调递增函数，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】
，令 ，得 ，即函数 的单调
递 增 区 间 为 ， 又 因 为 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 所 以
，解得 ；故填 .
[ 2,2]m∈ −
[ 2,2]m∈ −
1( ) sin 2 sin33f x a x x= − a
3x
π= a
3x
π= 03f
π ′ =
( ) 2 cos2 cos3f x a x x′ = −
3x
π= 03f
π ′ =
22 cos cos 3 1 03 3a a
π π − × = − + =
1a =
2
4( ) 1
xf x x
= + ( 2 1)m m +， m
2 2
2 2 2 2
4( 1) 8 4(1 )(1 )( ) ( 1) ( 1)
x x x xf x x x
+ − − += = +
′
+
' ( ) 0f x > 1 1x− < < ( )f x
( 1,1)− ( ) 2
4
1
xf x x
= +
( ),2 1m m +
1
2 1 1
2 1
m
m
m m
≥ −
+ ≤
< +
1 0m− < ≤ ( 1,0]−点睛：已知函数 在所给区间上单调递增，求有关参数 取值范围，往往采用以下两种方
法：
①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；
②将问题转化为 在所给区间上恒成立进行求解.
10.质点运动的速度 ，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是
______.
【答案】108m.
【解析】
【分析】
令速度为 0 求出 t 的值 0 和 6，求出速度函数在 上的定积分即可.
【详解】由 ，得 或 ，
当 时，质点运动的路程为 ，
故答案为：108m
【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.
11.从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，
则不同的取法有______种.
【答案】350.
【解析】
【分析】
根据题意分两类，一类是 2 台组装机 3 台原装机，另一类是 3 台组装机 2 台原装机，再根据
加法计数原理即可求解.
【详解】由题意，可分两类：
第一类，2 台组装机 3 台原装机共有不同取法 种，
第二类，3 台组装机 2 台原装机共有不同取法 种，
根据加法计数原理，共有 种不同的取法.
故答案为：350
【点睛】本题主要考查了加法计数原理，组合的应用，属于中档题.
的( )f x
' ( ) 0f x ≥
( )218 3 /v t t m s= −
[0,6]
218 3 0t t− = 0t = 6t =
[0,6]t ∈ ( ) ( )6 62 2 3 3 2
00
18 3 9 6 9 6 108S t t dt t t= − = − = − + × =∫
3 2
6 5 200C C =
2 3
6 5 150C C =
200 150 350+ =12. 的展开式中 的系数是_____________．(用数字作答)
【答案】
【解析】
原 式 可 变 形 为 ， 只 需 考 虑 展 开 式 中 的 系 数
，所以 系数为 9+126=135，填 135.
【点睛】
二项式展开，如果式子比较复杂，可以考虑先化简再展开。
13. 给出右边的程序框图，那么输出的数是_______
【答案】2450
【解析】
由框图知，当 时 ；当 时 ；当 时 ；.当
时 .
故答案为 2450
【考点】算法框图的识别；逻辑思维；等差数列求和.
14.观察下列几个三角恒等式
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1
2 10(1 )(1 )x x x+ + − 4x
135
3 9(1 )(1 )x x− − 9(1 )x− 4 ,x x
4 4 4 1 1
5 9 2 9( ) 126 , ( ) 9T C x x T C x x= − = = − = − 4x②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1
③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．
一般的，若 tanα，tanβ，tanγ 均有意义，你可以归纳出结论：_____
【答案】 .
【解析】
【分析】
观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定
值：直角，右边的值都为常数 1，由此推广到一般结论即可
【详解】观察所给等式，若角 ， ， 满足 ，且 ， ， 都
有意义，
则 ，
故答案为：
【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于基础题
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分
15.已知复数 ，求实数 m 的值，使得复数 z 分别是：
(1)0；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
【答案】（1）m＝2；（2）m≠2 且 m≠1；（3）m＝－ ；（4）m＝0 或 m＝2。
【解析】
【分析】
分别根据复数的分类和复数的表示，列出方程组，即可求解答案.
详解】由题意得 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当 即 m＝2 时，z=0.
(2)当 m2－3m＋2≠0，即 m≠2 且 m≠1 时，z 为虚数．
(3)当 即 m＝－ 时，z 为纯虚数．
(4)当 2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即 m＝0 或 m＝2 时，z 是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
【
90 , tan tan tan tan tan tan 1α β γ α β β γ γ α+ + = + + = 则
α β γ 90α β γ+ + = tanα tan β tanγ
tan tan tan tan tan tan 1α β β γ γ α+ + =
90 , tan tan tan tan tan tan 1α β γ α β β γ γ α+ + = + + = 则
( ) 2 62 2(1 )1
mz i m ii
= − − −−＋
1
2【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的分类，
列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
16.已知 展开式中的倒数第三项的系数为 45，
求：（1）含 的项；
（2）系数最大的项．
【答案】(1) 210x3(2)
【解析】
【详解】（1）由已知得： ，即 ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
由通项公式得： ，
令 ，得 ，
∴含有 的项是 .
（2）∵此展开式共有 11 项，∴二项式系数（即项的系数）最大项是第 6 项，
∴
17.已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方.
【答案】（1） ， （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 利 用 函 数 的 导 数 可 确 定 函 数 为 增 函 数 ， 即 可 求 解 （ 2 ） 构 造 函 数
， 利 用 导 数 证 明 在 区 间 上 为 减 函 数 ， 故 最 大 值
即可证明.
234 1( )nxx
+
3x
25
12252x
2 45n
nC − = 2 45nC =
2 90 0n n− − = 9n = − 10n =
10 21
34
1 10
rr
r
rT C x x
−
−
+
=
10 2r10 4 3
10 4
r
r rC x
−− +−=
10 2 r 34 3
r−− + = 6r =
3x 6 3 3
7 10 210T C x x= =
55 21 25
5 34 12
6 10 252T C x x x
− = =
21( ) ln2f x x x= +
( )f x [ ]1,e
( )1,+∞ ( )f x 32( ) 3g x x=
2
max
1( ) 12f x e= + min
1( ) 2f x =
2 31 2( ) ln2 3F x x x x= + − ( )F x ( )1,+∞
1(1) 06F = −
( )f x∴ [ ]1,e
2
max
1( ) ( ) 12f x f e e∴ = = + min
1( ) (1) 2f x f= =
2 31 2( ) ln2 3F x x x x= + −
( )2
2 (1 ) 1 21( ) 2
x x x
F x x xx x
− + +′ = + − =
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
1(1) 06F = − < (1, )x∈ +∞ ( ) 0F x <
2 31 2ln2 3x x x∴ + <
3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c= + + + 1x = 2x =
,a b
[0 3]x∈ ， 2( )f x c< c
3a = − 4b = ( 1) (9 )−∞ − ∪ + ∞， ，
( )f x′ ( )1 0f ′ = ( )2 0f ′ =
( ) 3 22 9 12 8f x x x x c= − + +
( )f x ( )3 9 8f c= + 29 8c c+ <
( ) 26 6 3f x x ax b= + +′
( )f x 1x = 2x = ( )1 0f ′ = ( )2 0f ′ =即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以，当 时， 取得极大值 ，又
， ．则当 时，
的最大值为 ．因为对于任意的 ，有 恒成立，所以
，解得 或 ，因此 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数
极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出
函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左
正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在
处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间
上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
19.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/
小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距 100 千米。
（1）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【答案】(1) 17.5 L. (2) 当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少
为 11.25 L.
【解析】
本试题主要考查了导数在物理中的运用。
6 6 3 0
24 12 3 0
a b
a b
+ + =
+ + =
，
．
3a = − 4b =
( ) 3 22 9 12 8f x x x x c= − + +
( ) ( )( )26 18 12 6 1 2f x x x x x= − + = − −′
( )01x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )1 2x∈ ， ( ) 0f x′ <
( )2 3x∈ ， ( ) 0f x′ > 1x = ( )f x ( )1 5 8f c= +
( )0 8f c= ( )3 9 8f c= + [ ]0 3x∈ ，
( )f x ( )3 9 8f c= + [ ]0 3x∈ ， ( ) 2f x c<
29 8c c+ < 1c < − 9c > c ( ) ( )1 9， ，−∞ − ∪ + ∞
( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ =
( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x
( )f x 0x ( )f x
0x
y x
31 3 8(0 120).128000 80y x x x= − + < ≤解: (1)当 x=40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
要耗油( .
答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升.
(2)当速度为 x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为 h(x)升，依题意
得 h(x)=( )· ,
(x)= 其中 0＜x≤120
令 (x)=0，得 x=80.
当 x∈(0,80)时， (x)＜0,h(x)是减函数;
当 x∈(80 120)时， (x)＞0,h(x)是增函数.
∴当 x=80 时，h(x)取到极小值 h(80)=11.25.
因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，
最少为 11.25 升.
20.设函数
（Ⅰ）试问函数 能否在 处取得极值，请说明理由;
（Ⅱ）若 ，当 时，函数 的图像有两个公共点，求 的取值范围.
【答案】（1）f(x)在 x=-1 处无极值. （2） 或 c=
【解析】
【详解】解：
,
3 2 21( ) , ( ) 2 43f x x ax ax g x x x c= − − = + +
( )f x 1x = −
1a = − [ 3,4]x∈ − ( ) ( )f x g x与 c
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