2019-2020 学年度上学期高二年级
期中考试数学（理）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程化成标准形式，即 x2= y，求出 p= ，即可得到焦点坐标．
【详解】抛物线 y=2x2 的方程即 x2= y，∴p= ，故焦点坐标为（0， ），
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线 标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线 y=2x2 的方程化为标准
形式，是解题的突破口．
2.如果命题“ 且 ”是假命题，“ ”也是假命题，则（ ）．
A. 命题“ 或 ”是假命题 B. 命题“ 或 ”是假命题
C. 命题“ 且 ”是真命题 D. 命题“ 且 ”是真命题
【答案】C
【解析】
“ ”也是假命题，则 q 是真命题，“ 且 ”是假命题，得出 p 是假命题，故
为真命题，命题“ 且 ”是真命题。
3.命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）
A. 对任意 ，都有 B. 不存在 ，都有
C. 存在 ，使得 D. 存在 ，使得
【答案】D
【解析】
全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定， 的否定为 ，所以命题的
的
22y x=
1( ,0)2
1( ,0)8
1(0, )8
1(0, )4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
8
p q p¬
p¬ q p q
p¬ q p q¬
q¬ p q
¬ p ¬ p q
x∈R 2 ln2x ≥
x∈R 2 ln2x < x∈R 2 ln2x <
x∈R 2 ln2x ≥ x∈R 2 ln2x <
2 ln2x ≥ 2 ln2x 0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为
( )
A. y＝± x B. y＝±2x
C. y＝± x D. y＝± x
【答案】C
【解析】
x∈R 2 ln2x <
ABC△ A B< sinA sinB<
ABC A B< a b<
2 sina R A= 2 sinb R B=
2 sin 2 sinR A R B∴ <
sinA sinB∴ <
sinA sinB > ( )3,0F F E A
B AB ( )1, 1− E
2 2
145 36
x y+ =
2 2
136 27
x y+ =
2 2
127 18
x y+ =
2 2
118 9
x y+ =设 ，直线 的斜率 ， ，两式相减得
， 即
， 即 ，
，解得： ，方程是 ，故选 D.
8.如图， 是 重心， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用平面向量的基本定理，把向量 ，用 表示出来，从而求出系数即可.
详解：因为 ，
则
，故选 D.
点睛：本题考查了空间向量的基本定理，及向量的线性运算，试题属于基础题，熟记向量的
运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
的
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 1 0 1
1 3 2k
− −= =−
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
{
1
x y
a b
x y
a b
+ =
+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 0x x x x y y y y
a b
+ − + −+ =
( )( )
( )( )1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 20 02 2
y y y y
a b x x x x a b
+ −+ = ⇔ + × × =+ − −
2 22a b=
2 2 2 29,c a b c= = + 2 218, 9a b= =
2 2
118 9
x y+ =
G ABC∆ , ,OA a OB b OC c= = = OG =
1 2 2
3 3 3a b c+ + 2 2 1
3 3 3a b c+ +
2 2 2
3 3 3a b c+ + 1 1 1
3 3 3a b c+ +
OG , ,OA OB OC
, ,OA a OB b OC c= = =
1 1( ) ( )3 3OG OA AG OA AB AC OA OB OA OC OA = + = + + = + − + −
1 1 1 1( )3 3 3 3OA OB OC a b c= + + = + + 9.过椭圆 的左顶点 A 的斜率为 的直线交椭圆 C 于另一点 B，且点
B 在 轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆的离心率为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件用 c 求 B 坐标，根据斜率公式得结果
【详解】因为 B 在 轴上的射影恰好为右焦点 F，所以
因为椭圆的离心率为 ，所以
因此 ，选 C.
【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及斜率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与
其准线相交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标，从而得到 AF 的斜率 k＝-2．过 M 作 MP⊥l 于 P，根据抛物线
物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN 中，根据 tan∠NMP＝﹣k＝2，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算
出|MN| |PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．
【详解】∵抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F（1，0），点 A 坐标为（0，2），
∴抛物线的准线方程为 l：x＝﹣1，直线 AF 的斜率为 k＝﹣2，
过 M 作 MP⊥l 于 P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > k
x 2
3 k
1
3
− 1
3
1
3
± 1
2
±
x
2
( , )bB c a
±
2
3
3 5 5 3, ( , ), ( ,0)2 2 6 2
ca c b c B c c A= = ∴ ± −
5 0 16
3 3
2
c
k cc
± −
= = ±
+
(0,2)A C 2 4y x= F FA C M
N :FM MN =
2: 5 1: 2 1: 5 1:3
5=∵Rt△MPN 中，tan∠NMP＝﹣k＝2，
∴ 2，可得|PN|＝2|PM|，
得|MN| |PM|，
因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1： ．
故选：C．
【点睛】本题给出抛物线方程和射线 FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的
定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为点 ， ，抛
物线 与双曲线在第一象限内相交于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据准线方程和抛物线定义可知四边形 为平行四边形，从而可知 为半通径，从而
可构造出关于 的齐次方程，解方程求得离心率.
【详解】由 可得准线方程为： （过点 ）
设 到准线的距离为 ，则
又 ，
PN
PM
=
2 2| | 5PN PM= + =
5
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)( 0)F c c >
2 4y cx= P 2 1 2PF F F=
1 2+ 1 3+ 2 3
1 2PHF F 2PF
,a c
2 4y cx= x c= − 1F
P PH 2PH PF=
1 2/ /PH F F 2 1 2PH PF F F= =四边形 为平行四边形 轴
又 ，则 ，即：
解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于 的齐次方程，从而建立起
关于离心率的方程.
12.已知 是两个定点，点 是以 和 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且
，记 和 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意设焦距为 ，椭圆 长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，不妨令 在双
曲线的右支上
由双曲线的定义 ①
由椭圆的定义 ②
又 故 ③
得 ④
将④代入③得 即
即
故选 D
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑
的
∴ 1 2PHF F 2PF x∴ ⊥
2
2 2bPF ca
= = 2 2 2 2b c a ac= − = 2 2 1 0e e− − =
1 2e = +
A
,a c
1 2,F F P 1F 2F
1 2PF PF⊥ 1e 2e
2 2
1 2 2e e+ = 2 2
1 2 4e e+ = 2 2
1 2
1 1 4e e
+ =
2 2
1 2
1 1 2e e
+ =
2c 2a 2m P
1 2 2PF PF m− =
1 2| | 2PF PF a+ =
0
1 2 90F PF∠ = ， 2 2 2
1 2| | 4 PF PF c+ =
2 2+① ② 2 2 2 2
1 2| | 2 2PF PF a m+ = +
2 2 22a m c+ = ， 2 2
2 2
1 1
2c c
a m
+ ＝ ，
2 2
1 2
1 1 2e e
+ =出两曲线离心率所满足的方程．
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.椭圆 的离心率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用标准方程，求出 a，b，然后求解 c，即可求解离心率．
【 详 解 】 椭 圆 的 长 半 轴 为 a ＝ 3 ， 短 半 轴 为 b ＝ 2 ， 则 半 焦 距 为
c ．
所以椭圆的离心率为：e ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
14.若正四棱柱 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 与 所成角的
余弦值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值．
【详解】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
∵正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2，高为 4，
∴B（2，2，0），D1（0，0，4），A（2，0，0），D（0，0，0），
（﹣2，﹣2，4）， （﹣2，0，0），
2 2
19 4
x y+ =
5
3
2 2
19 4
x y+ =
9 4 5= − =
5
3
c
a
= =
5
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD AD
6
6
1BD = AD =设异面直线 BD1 与 AD 所成角为 θ，
则 cosθ ．
∴异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，
是基础题．
15.如图，过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于点 ，交其准线于点
，若 ，且 ，则 为_______．
的
1
1
4 6
624 2
BD AD
BD AD
⋅
= = =
⋅⋅
6
6
6
6
2 2 ( 0)y px p= > F l ,A B
C 4BC BF= 6AF = p【答案】
【解析】
【分析】
分别过 A、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将 A、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结
合已知比例关系，即可得 p 值．
【详解】设 A，B 在准线上的射影分别为 A′，B′，则|BC|＝4|BB′|，且
由于|BC|＝4|BB′|，故|AC|＝4|AA′|＝24，从而 即
故 ，即 p＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转
化化归的思想方法，属中档题．
16.已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲
线交于 两点. 设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，
则双曲线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，利用已知条件，结合梯形中位线性质得 b＝3，再利用 a,b,c 关系列出方程组转化
求解即可．
【详解】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线
y ，即 bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是 AB 的中点，EF 3，
9
2
' 6AF AA= =
3
1
CF
AF
= 3
4
CF
AC
=
3
' 4
p
AA
= 9
2
9
2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > x
,A B ,A B 1d 2d 1 2 6d d+ =
2 2
13 9
x y− =
b xa
=
1 2
2
d d+= =EF b，
所以 b＝3，双曲线 1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，可得 ，
可得： ，解得 a ．
则双曲线的方程为： 1．
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，注意梯形中位线的应用，
考查计算能力．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知直线 ： 与椭圆 相离，求椭圆上的点到直线 的距离的
最大值和最小值．
【答案】最大值 ，最小值
【解析】
【分析】
设与直线 ： 平行的直线为 ，利用直线与椭圆相切求得最大最小值
【详解】设与直线 ： 平行的直线为 ，
2 2
bc
a b
= =
+
2 2
2 2
x y
a b
− = 2c
a
=
2 2
2 4a b
a
+ = 3=
2 2
3 9
x y− =
2 2
13 9
x y− =
l 7 0x y− + = 2 29 16 144x y+ = l
6 2 2
l 7 0x y− + = y x m= +
l 7 0x y− + = y x m= +联立
消 得 ，令 则
和 和椭圆相切
，
故最大值为 ，最小值为
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查转化化归能力，找到相切时为取得最值处是
关键，是中档题
18.已知点 的坐标是 ，过点 的直线 与 轴交于 ，过点 且与直线 垂直的
直线 交 轴与点 ，设点 为 的中点，求点 的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知：点 M 既是 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点，又是 Rt△OAB 的斜边 AB 的中点，可得|OM|
＝|CM|，利用两点间的距离公式即可得出．
【详解】在直角三角形 和直角三角形 中， 是 中点 ，
设 则 ,
化简得 ，故点 的轨迹方程为
【点睛】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．
19.已知抛物线 的准线方程为 ， 为抛物线的焦点．
（I）求抛物线 的方程；
（II）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（ ,2），求 的最小值．
【答案】(I) (II)4
【解析】
2 29 16 144x y
y x m
+ =
= +
y 2 225 32 16 144 0x mx m+ + − = 214400 576 0m∆ = − = 5m = ±
5y x∴ = + 5y x= −
min
7 5 2
2
d
−∴ = = max
7 ( 5) 6 2
2
d
− −= =
6 2 2
C (2,3) C CA x A C CA
CB y B M AB M
4 6 13 0x y+ − =
AOB ACB M AB ∴ OM CM=
(2,3)C
( , )M x y 2 2 2 2( 2) ( 3)x y x y+ = − + −
4 6 13 0x y+ − = M 4 6 13 0x y+ − =
2: 2 ( 0)C y px p= > 1
2x = − F
C
7
2
PA PF+
2 2y x=【分析】
（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得 p＝1，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）过 A 作 AB⊥准线 l，垂足为 B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求
最小值；
【详解】(I)∵准线方程 x=- ,得 =1，
∴抛物线 C 的方程为
(II)过点 P 作准线的垂线，垂足为 B，则 =
要使 + 的最小，则 P，A，B 三点共线
此时 + = + =4·
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和
抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
20.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 , ，
, 是 中点.
（I）求直线 与平面 所成的角的正弦值；
（II）求点 到平面 的距离．
【答案】(I) (II)
【解析】
【分析】
（I）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积运算公式，求解．
（II）利用点面距离的向量公式求 P 到平面的距离．
1
2
p
2 2y x=
PB PF
PA PF
PA PF 7
2
1
2
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 4PA AD= =
2AB = M PD
CD ACM
P ACM
6
3
2 6
3【详解】因为 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ；
设平面 的一个法向量 ，由 可得： ，
令 ，则 .
(I)设所求角为 ，又 ，则 ，
(II)设点 到平面 距离为 ， 则 .
【点睛】本题考查利用向量法求空间角、空间距离问题．利用向量求直线与平面所成的角及
点到平面的距离关键是求得平面的法向量．
21.已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ，
， 为 的中点， 为 中点.
（1）求证：直线 平面 ；
, ,AP AB AD
(0,0,0)A (0,0,4)P (2,0,0)B (2,4,0)C (0,4,0)D (0,2,2)M
ACM ( , , )n x y z= ,n AC n AM⊥ ⊥ 2 4 0
2 2 0
x y
y z
+ =
+ =
1z = (2, 1,1)n = −
α ( )2,0,0CD = − 4 6sin 32 6
CD n
CD n
α ⋅= = =
×
P CA M h ( )0,0,4AP = 4 2 6
36
AP nh n
⋅= = =
1 1 1ABC A B C− ABC 1AA ⊥ ABC
12, 6AB AA= = E 1AA F BC
/ /AF 1BEC（2）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析; （2） .
【解析】
试题分析：先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；（1）求
出直线的方向向量和平面的法向量，利用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量
的夹角进行求解.
试题解析：取 中点为 ，连接 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
，
（1）则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
,令 ，则 ，即 ，所以 ，故直线
平面 ．
（2）设平面 的法向量 ，则 ．
22.已知 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点，点 在椭圆
上，且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点。
（1）求 , 的值：
（2）过点 作不与 轴重合的直线 ，设 与圆 相交于 A，B 两点，且与椭圆
相交于 C，D 两点，当 时，求△ 的面积。
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
1BEC ABC
10
10
1 1B C S FS F FA x FC y FS
z ( ) ( ) ( ) ( )3,0,0 , 0,1,0 , 0,0,0 , 0, 1,0A C F B −
( ) ( ) ( ) ( )1 13,0,6 , 0,1,6 , 0, 1,6 , 3,0,3A C B E−
( )3,0,0AF = − ( ) ( )13, 1,3 , 0, 2,6BE BC= − = −
1BEC ( )1 1 1, ,m x y z=
10, 0m BE m BC ⋅ = ⋅ =
1 1 1
1 1
3 3 0{
2 6 0
x y z
y z
− + =
− + = 1 3y = 1 10, 1x z= = ( )0,3,1m = 0AF m⋅ =
/ /AF 1BEC
ABC ( )0,0,1n = 10cos 10
m n
m n
θ ⋅= =
1F 2F E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = ＞ ＞ 2( 1, )2P − E
2 4y x= E
a b
2F x l l 2 2 2 2x y a b+ = + E
1 1 1F A F B =⋅
1FCD
2, 1a b= = 4 6
7【分析】
（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出 ， ；
（2）设直线 方程为 ，联立直线与圆的方程可以求出 ，再联立直线和椭圆的方程
化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．
【详解】（1） 焦点为 F（1，0），则 F1（1，0），F2（1，0），
，解得 ， ＝1， ＝1，
（Ⅱ）由已知，可设直线 方程为 ， ，
联立 得 ，易知△＞0，则
＝ ＝
＝
因为 ，所以 ＝1，解得
联立 ，得 ，△＝8 ＞0
设 ，则
【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解
决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。 意在考查学生的数学运算能力。
a b
l 1x ty= + 2t
2 4y x＝
1 22 PF + PF 2 2a＝ ＝ 2a = c b
l 1x ty= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2
1
3
x ty
x y
= +
+ =
2 2( 1) 2 2 0t y ty+ + − =
1 2 2
1 2 2
2t
t +1
2
t +1
y y
y y
+ = −
= −
1 1F A F B⋅
11 2 2( 1)( 1)x x y y+ + + 1 2 1 2(ty +2)(ty +2)+y y
2
2
1 2 1 2 2
2- 2tt +1 y y + 2t y + y + 4 t +1
（ ） （ ） ＝
1 1 1F A F B =⋅ 2
2
2-2t
t +1
2 1t 3
＝
2
2
1
12
x ty
x y
+ +
＝
＝
2 2t +2 y +2ty-1 0（ ） ＝ 2t +1（ ）
3 3 4 4C , ), ( , )x y B x y（
3 4 2
3 4 2
2ty +y t +2
1y y 2t
−
− +
＝
＝
1
2
FCD 1 2 3 4 2
481 8 1+t 4 63S F F y -y 72 t +2 7
3
∆
×
⋅ （ ）＝ ＝ ＝ ＝
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