湖南2019-2020高二数学上学期期中试题（Word版带解析）

2019—2020 学年度长郡高二期中联考 数学 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.椭圆 的一个焦点坐标为（ ） A. (5,0) B. (0,5) C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中所给的椭圆的方程，可得 的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点 的坐标. 【详解】因为 ，所以 ，故椭圆 的上焦点的坐标是 ， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目. 2.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 含一个量词的否定，全称改存在，再否定结论即可 【详解】将全称量词改成存在量词，再否定结论，可得 ， ， 故选：B. 2 2 19 16 x y+ = ( )7,0 ( )0, 7 ,a b 4, 3a b= = c 7= 2 2 + 19 16 x y = ( )0, 7 x∀ ∈R 3 2 1 0x x− +  0x∃ ∈R 3 2 0 0 1 0x x− +  0x∃ ∈R 3 2 0 0 1 0x x− + > 0x∃ ∈R 3 2 0 0 1 0x x− +  x∀ ∈R 3 2 1 0x x− + > 0x∃ ∈R 3 2 0 0 1 0x x− + >【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，基本方法为：先否定量词，再否定结论，属于 基础题 3.某高级中学共有学生 3000 人,其中高二年级有学生 800 人,高三年级有学生 1200 人,为了 调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取 75 人进行问卷调查，则高 一年级被抽取的人数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】 通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案. 【详解】抽取比例为 ，高一年级有 人，所以高一年级 应被抽取 人数为 . 【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小. 4.从装有 2 个白球和 3 个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件 是（ ） A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C. “都是白球”与“至少有一个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A 【解析】 【分析】 需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别 【详解】对于 A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A 正确； 对于 B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生， 如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B 不正确； 对于 C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故 C 错误； 的 75 1 3000 40 = 3000 (800 1200) 1000− + = 11000 2540 × =对于 D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥. 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定 互斥，属于基础题 5.过点 ，且与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设与曲线 有相同渐近线的双曲线的方程为 ，又因为该双曲线过点 ，所以 ，即 ，即 ，即该双曲线的标准方程为 .故选 D. 点睛：本题考查双曲线的几何性质；本题的技巧在于巧妙地设出双曲线方程，避免了讨论双 曲线是哪一种标准方程，常见设法是：以 为渐近线的双曲线可设为 ，与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 . 6.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中， 任取 2 种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 (2, 2)− 2 2 12 x y− = 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 2 − =y x 2 2 12 4 x y− = 2 2 12 4 y x− = 2 2 12 x y− = 2 2 2 x y λ− = ( )2, 2− ( )2 22 22 λ− − = 2λ = − 2 2 22 x y− = − 2 2 12 4 y x− = 0mx ny± = 2 2 2 2 ( 0)m x n y λ λ− = ≠ 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 x y a b λ− = 2 3 1 2 1 3 1 4【分析】 先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取 2 种 进行阅读，取到《红楼梦》的概率。 【详解】4 本名著选两本共有 种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有 种， 所以任取 2 种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为 。 故选 B. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题。 7.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲所得分数的极差为 22 B. 乙所得分数的中位数为 18 C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为 33，最低分为 11，极差为 22，A 正确；乙所得分数的中位数为 18，B 正 确 ； 甲 、 乙 所 得 分 数 的 众 数 都 为 22 ， C 正 确 ； 甲 的 平 均 分 为 ， 乙 的 平 均 分 为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选 D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的， 属于基础题型. 2 4 6C = 1 3 3C = 3 1=6 2 11 15 17 20 22 22 24 32 33 196 9 9x + + + + + + + += =甲 8 11 12 16 18 20 22 22 31 160 9 9x + + + + + + + += =乙8.已知命题 ,命题 , ，则下列命题中为真命题的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 命题 是假命题，命题 是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假. 【详解】因为 ，故命题 是假命题，又命题 是真命题，故 为假， 为假， 为假， 为真命题，故选 D. 【点睛】复合命题的真假判断有如下规律： （1） 或 ：一真比真，全假才假；（2） 且 ：全真才真，一假比假； （3） ：真假相反. 9.已知样本 ， ， ，…， 的平均数为 ，标准差为 ，那么样本 ， ， ，…， 的平均数和标准差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 结 合 平 均 数 基 本 公 式 和 方 差 公 式 求解即可 【详解】根据题意，样本 ， ， ，…， 的平均数为 ，标准差为 ，其方差为 ， 那么样本 ， ， ，…， 的平均数 ， 则其方差 ，则样本 ， ， ，…， 的标准差为 ， 故选：A. : ,sin 1p x R x∃ ∈ > ( ): 0,1q x∀ ∈ ln 0x < p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬ ( )p q¬ ∧ p q 1 sin 1x− ≤ ≤ p q p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬ ( )p q¬ ∧ p q p q p¬ 1x 2x 3x nx x s 13 1x + 23 1x + 33 1x + 3 1nx + 3 1x + 3s 3 1x + 9s 3 1x + 3 1s + 3x 9s ( )1 2 3 1 nx x x x xn = + + +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) ( ) ( )( )22 1 2 3 2 2 21 nS x x x xn x x x x= + + +⋅⋅⋅+− − − − 1x 2x 3x nx x s 2s 13 1x + 23 1x + 33 1x + 3 1nx + ( )1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1nx x x x x xn ′ = + + + + + +⋅⋅⋅+ + = + 2 29's s= 13 1x + 23 1x + 33 1x + 3 1nx + 3s【点睛】本题考查样本数据中平均数与标准差的求解，属于基础题 10.在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根 据 三 角 函 数 的 图 像 和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 得 到 ，根据几何概型判断，概率为： 故答案选 C。 11.已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以 为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据题意，画出椭圆与直线的图形； 设以点 P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A（ ， ），B（ ， ），斜率为 k； 则 ①， ②； ∴①﹣②，得 [ ]0,π x 1sin 2x ≤ 3 4 2 3 1 3 1 2 1sin 2x ≤ 5| 0 6 6x x x π π π ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤  或 13 .3 π π = 2 2 116 4 x y+ = (2,1)P P 1 2 1 2 − 2 2− 1x 1y 2x 2y 2 2 1 1x y 116 4 + = 2 2 2 2x y 116 4 + =， ∵由中点坐标公式： =4， =2， ∴ ； ∴k= ． 故选 B． 12. ，使 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得，问题转化为 的问题，设函数 ，利用该函数的单调性即可 求出参数范围 【详解】由题意可知： ，使 ，则 . 由于函数 是定义域内的单调递增函数， 故当 时，函数取得最小值 ， 综上可得，实数 的取值范围是 . 本题选择 B 选项. 【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数 的取值范围； 2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1) 恒成立 ； (2) 恒成立 . 13.已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上， ，则 （　　） A. B. C. D. ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2x x x x y y y y 016 4 + − + −+ = 1 2x x+ 1 2y y+ ( ) ( )1 2 1 24 x x 2 y y 016 4 − −+ = 1 2 − 0x∃ ≥ 2 0x x a+ − ≤ 1a > 1a ≥ 1a < 1a ≤ ( ) min 2 xa x≥ + 2xy x= + 0x∃ ≥ 2xa x≥ + ( ) min 2 xa x≥ + 2xy x= + 0x = 02 0 1+ = a 1a ≥ a ( )a f x ( )a f x ax= max( )a f x⇔  ( )a f x min( )a f x⇔  C 2 2 ( 0)x py p= > F C y A ( )01,M y C 05| | 4 yMF = tan FAM∠ = 2 5 5 2 5 4 4 5【答案】D 【解析】 【分析】 过 向抛物线的准线作垂线，垂足为 ，根据 和 在坐标求出 的值，进而 可得出 的值，再计算出 即可． 【详解】解：过 向抛物线的准线作垂线，垂足为 ，则 ，故 ． 又 在抛物线上，故 ，于是 ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故选 D． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 14.下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ” B. “ ”是“ ”的充要条件 C. 直线 ： ， ： ，“ ”是“ ”的充分不必 要条件 D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 【答案】C M N MN MF= M p MN tan FAM∠ M N 0 0 5| | 2 4 ypMN y= + = 0 2y p= ( )01,M y 0 1 2y p = 12 2p p = 1 2p = 05 5| | 4 4 yMN = = | | 4tan tan | | 5 ANFAM AMN MN ∠ = ∠ = = | | 1x = 1x = | | 1x = 1x ≠ 1x = − 2 5 6 0x x− − = 1l ( 1) 1 0ax a y+ + + = 2l 2 0x ay+ + = 2a = − 1 2l l⊥ x y≠ cos cosx y≠【解析】 【分析】 对 A，命题的否定为双否，可判断错误；对 B， 的解有两个，显然充要条件不 成立；对 C，两直线垂直还包括 的情况，充分不必要条件成立；对 D，余弦函数为周期 函数，显然一个函数值对应多个自变量，可判断错误 【详解】命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”，所以 A 不正确； “ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 B 不正确； 直线 ： ， ： ，“ 或 ”是“ ”的充要 条件，则“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 C 正确； 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”，显然不正 确，是假命题； 故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，综合性强，对于细节性问题考查到位，在平常学习中要 学会思辨，学会把握知识的连贯性和特殊性，属于中档题 15.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直 于 的直线 分别交 ， 于 两点，若 ， ， 成等差数列，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的性质可得：|AF|＝b，|OA|＝a，∴tan∠AOF＝ ，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝ ，在直角三角形 OAB 中求出|AB|和|OB|，再根据等差 2 5 6 0x x− − = 0a = | | 1x = 1x = | | 1x ≠ 1x ≠ 1x = − 2 5 6 0x x− − = 1l ( 1) 1 0ax a y+ + + = 2l 2 0x ay+ + = 2a = − 0a = 1 2l l⊥ 2a = − 1 2l l⊥ x y≠ cos cosx y≠ cos cosx y= x y= 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1l 2l F 1l l 1l 2l ,A B | |OA | |AB | |OB ( 0)FA FBλ λ= OED∆ 1 148 2S = × = 21 1 2 2b = 2 1b = 1b = x y b+  1 8 OEDS S∆> x y b+ = 1x y+ =即 ，故 的取值范围是 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查由目标函数对应面积的占比求参数问题，属于基础题 20.已知 为坐标原点，点 在抛物线 ： 上，过点 作两直线分别交抛物线 于点 ， ，若 ，则 的值为______. 【答案】－2 【解析】 【分析】 可先设 ， ，由斜率的定义表示出 ， ， ，结合抛物线方程进行 坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过 即可求解 【详解】设 ， ， 则 . ，同理 . ∵ ，∴ ，得 . ∴ . 又 ，∴ . 故答案为：－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数 满足 . （1）当 时，若 为真，求 的取值范围； 1b > b (1, )+∞ (1, )+∞ O (1,2)P C 2 4y x= P C A B 0PA PBk k+ = AB OPk k⋅ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ABk PAk PBk 0PA PBk k+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 1 2 2 2 12 1 1 2 4 4 4 AB y y y yk y yx x y y − −= = =− +− 1 1 2 11 1 2 2 4 1 214 PA y yk yx y − −= = =− +− 2 4 2PBk y = + 0PA PBk k+ = 1 2 4 4 02 2y y + =+ + 1 2 4y y+ = − 4 14ABk = = −− 2 21OPk = = 1 2 2AB OPk k⋅ = − × = − p x 2 23 2 0x ax a− + < 0a < q x 2 7 6 0x x+ + < 1a = − p q∧ x（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）将 代入 ，由 为真可判断 真且 真，分别求解出命题对 应的实数 的取值范围，再求交集即可； （2）先将 是 的必要不充分条件转化为 是 的必要不充分条件，再结合端点值建立不 等关系求解即可 【详解】（1）当 时， 真，则 ，解得 ； 真，则解得 . ∵ 为真，则 真且 真， 故 的取值范围为 . （2） 是 的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件， ∵ 真，有 ， ∴ 故 . 【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题，根据包含关系求解参数取值范围， 属于基础题 22.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线 上随机抽取 100 个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分 100 分），将 每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为 80 分及以上的产品 为一等品. p¬ q¬ a ( 2, 1)− − 3 1a− −  1a = − 2 23 2 0x ax a− + < p q∧ p q x p¬ q¬ q p 1a = − p 2 3 2 0x x+ + < 2 1x− < < − q 6 1x− < < − p q∧ p q x ( 2, 1)− − p¬ q¬ q p p 2a x a< < 1, 2 6, a a −  −   3 1a− − （1）求图中 的值，并求综合评分的中位数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取 5 个产品，再从这 5 个产品中随机抽取 2 个产品记录有关数据，求这 2 个产品中恰有一个一等 品的概率. 【答案】(1) ；中位数为 82.5. (2) 【解析】 【分析】 （1）根据频率之和为 1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判 中位数所在组距应在 80 到 90 之间，设综合评分的中位数为 ，结合频率计算公式求解即可； （2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典 概率公式求解即可 【详解】（1）由频率和为 1，得 ， ； 设综合评分的中位数为 ，则 ，解得 ， 所以综合评分的中位数为 82.5. （2）由频率分布直方图知，一等品 频率为 ，即概率为 0.6； 所以 100 个产品中一等品有 60 个，非一等品有 40 个，则一等品与非一等品的抽样比为 3：2； 所以现抽取 5 个产品，一等品有 3 个，记为 、 、 ，非一等品 2 个，记为 、 ； 从这 5 个产品中随机抽取 2 个，基本事件为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共 10 种； 抽取的这 2 个产品中恰有一个一等品的事件为： 、 、 、 、 、 共 6 种， 所以所求的概率为 . 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的 概率，属于中档题 23.已知动圆 过点 且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）若 ， 是曲线 上的两个点且直线 过 的外心，其中 为坐标原点，求证： 的 a 0.040a = 3 5 x (0.005 0.010 0.025 0.020) 10 1a+ + + + × = 0.040a = x (0.005 0.010 0.025) 10 0.040 ( 80) 0.5x+ + × + × − = 82.5x = (0.040 0.020) 10 0.6+ × = a b c D E ab ac aD aE bc bD bE cD cE DE aD aE bD bE cD cE 6 3 10 5P = = P 10, 8F      1 8y = − P C C A B C AB OAB∆ O直线 过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设点 ，由半径相等建立关系式，化简即可求得解析式； （2）可判断直线斜率一定存在，设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程求 得关于 的韦达定理，再由直线 过 的外心，可得 ，即 ，结合前式的韦达定理表示的关系式解方程可求参数 ，即可求定 点 【详解】（1）设点 ，则 ， 平方整理得： ， ∴曲线 的方程为 . （2）证明：由题意可知直线 的斜率一定存在，否则不与曲线 有两个交点. 设 的方程为 ，设点 ， ，联立方程 得 ， 则得 ， ， 由 得： ， . . . ∵直线 过 的外心，其中 为坐标原点，∴ . ∴ ， ∴ ， ， AB 2 1 2x y= ( , )P x y AB y kx m= + x AB AOB∆ OA OB⊥ 1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + =  m ( , )P x y 2 2 1 1( 0) 8 8x y y − + − = +   2 1 2x y= C 2 1 2x y= AB C AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 , 2 , y kx m y x = +  = 22 0x kx m− − = 1 2 2 kx x+ = 1 2 2 mx x = − 2 1 2x y= 2 1 12y x= 2 2 22y x= ( )22 2 1 2 1 2 1 22 2 4y y x x x x= ⋅ = 2 24 2 m m = × − =   2 8 0k m∆ = + > AB AOB∆ O OA OB⊥ 1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + =  2 02 m m− + = 0m ≠解得 ，当 时，满足 . ∴直线 过定点 . 【点睛】本题考查曲线轨迹方程的求法，由具体条件求证直线过定点问题，运算推理能力， 属于中档题 24.2019 年的流感来得要比往年更猛烈一些 据四川电视台 “新闻现场”播报，近 日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每 天都在九千人次以上 这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院 某课外 兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成 都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年 1 到 6 月每月 20 日的昼夜温差情况与患感冒就诊 的人数，得到如下资料： 日期 1 月 20 日 2 月 20 日 3 月 20 日 4 月 20 日 5 月 20 日 6 月 20 日 昼夜温差 10 11 13 12 8 6 就诊人数 人 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归 方程，再用被选取的 2 组数据进行检验． 若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 月至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回 归方程 ； 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到 的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ 参考公式： ， 【答案】（1） ；（2）见解析 1 2m = 1 2m = > 0∆ AB 10, 2      . 4SCTV − . . ( )x ℃ (y ) ( )1 y bx a= +   ( )2 ( b ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) n n i i i ii i n n i ii i x x y y x y nxy x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a y bx= −  ) 18 30ˆ 7 7y x= −【解析】 【分析】 根据数据求出 ， 以及 ， 的值，即可求出 y 关于 x 的线性回归方程； 分别计算出 1 月份和 6 月份对应的预测值，和 22 作差，进行比较即可得到结论． 【详解】 由表中 2 月至 5 月份的数据， 得 ， ， 故有 ， ， 由参考公式得 ，由 得 ， ∴y 关于 x 的线性回归方程 ． 由 1 月份数据得当 时， ． ， 由 6 月份数据得当 时， ． ， 则该小组所得线性回归方程是理想的． 【点睛】本题主要考查线性回归方程 求解，根据条件求出 ， 以及 ， 的值是解决本 题的关键 考查学生的运算能力． 25.已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， 为椭圆 上位于 轴同侧的两点， 的周长为 ， 的最大值为 . (Ⅰ)求椭圆 方程； (Ⅱ)若 ，求四边形 面积的取值范围. 的 的 ( )1 x y ˆb ˆa ( )2 ( )1 ( )1 4411 13 12 8 114 4x = + + + = = ( )1 9625 29 26 16 244 4y = + + + = = ( ) ( ) ( )5 2 ( ) 0 1 2 5 1 2 3 8 36i i i x x y y = − − = × + × + × + − × − =∑ 5 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 1 ( 3) 14i i x x = − = + + + − =∑ ˆ 18 7b = ˆˆa y bx= − ˆ 30 7a = − 18 30 7 7 ˆˆ ˆy bx a x= + = − ( )2 10x = 18 30 15010ˆ 7 7 7y = × − = 150 422 27 7 − = < 6x = 18 30 786 7 ˆ 7 7y = × − = 78 622 27 7 − = < x y ˆb ˆa . 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > 1 2,F F ,A B C x 1 2AF F∆ 6 1 2F AF∠ π 3 C 1 2 2 1 πAF F BF F∠ + ∠ = 1 2AF F B【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意得 2a+2c＝6，即 a+c＝3，再由当 A 为椭圆 C 的上下顶点时，∠F1AF2 的最大值为 ，此时△AF1F2 为等边三角形，得 a＝2c，结合隐含条件联立解得 a，b 的值，则可求椭圆方 程； （Ⅱ）由 ，得 ，延长 交椭圆 C 于点 ，由（Ⅰ）知 ， ，设 ， ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一 元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得四边形 的面积 S，再由换元法及函 数的单调性求解． 【详解】(Ⅰ) 的周长为 ， ，即 .① 当 为椭圆 的上下顶点时， 最大为 ，此时 为等边三角形， .② 由①②及 ，解得 ， ， ， 椭圆 的方程为 ； (Ⅱ) ， ，延长 交椭圆 于点 ， 由(Ⅰ)知 ， ，设 ， ，直线 的方程为 ， 联立方程 ，消去 并整理得 ， ， ，设 与 的距离为 ， 则四边形 面积 ， 2 2 14 3 x y+ = (0,3] 3 π 1 2 2 1 πAF F BF F∠ + ∠ = 1 2/ /AF BF 1AF A′ 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1 1( , )A x y 2 2( , )A x y′ 1 2AF F B 1 2AF F∆ 6 2 2 6a c∴ + = 3a c+ = A C 1 2F AF∠ π 3 1 2AF F∆ 2a c= 2 2 2a b c= + 2a = 3b = 1c = ∴ C 2 2 14 3 x y+ = 1 2 2 1 πAF F BF F∠ + ∠ = 1 2/ /AF BF∴ 1AF C A′ 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1 1( , )A x y 2 2( , )A x y′ AA′ 1x ty= − 2 2 14 3 1 x y x ty  + =  = − x 2 2(3 4) 6 9 0t y ty+ − − = 1 2 2 6 3 4 ty y t ∴ + = + 1 2 2 9 3 4y y t = − + 1AF 2BF d 1 2AF F B 21 2 1 1( ) ( )2 2 F AAS AF BF d AA d S∆ ′= + = ′ = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 6 9 12 1( ) 4 ( ) 4( )2 3 4 3 4 3 4 t tS F F y y y y y y y y t t t +∴ = − = − = + − = − − =+ + +， 令 ，则 ， ， 函数 在 上单调递减， ，故四边形 面积的取值范围是 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思 想方法，考查计算能力，属于中档题． 2 1m t= + m ≥ 1 2 12 12 13 1 3 mS m m m ∴ = =+ +  ( )S m [1, )+∞ (0,3]S∴ ∈ 1 2AF F B (0,3]