2019----2020 学年度上学期期中考试
高二年级理科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1.知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解二次不等式求得 A,再进行并集运算
【详解】 =（0,4），则
故选：C
【点睛】本题考查并集运算，考查解二次不等式，是基础题
2.设命题 ，则 为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项.
【详解】原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选 B.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础
题.
3.如果 ，那么下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
2{ | 4 }A x x x= < { | 2 5}B x x= < < A B =
(0,2) (2,4) (0,5) (4,5)
2{ | 4 }A x x x= < A B = (0,5)
0:p x∃ < 0, 0
0 1xe x− > p¬
0, 1xx e x∀ ≥ − > 0, 1xx e x∀ < − ≤
0
0 00, 1xx e x∃ ≥ − ≤ 0
0 00, 1xx e x∃ < − ≤
0 a b< <
a c b c+ < + a b< 2 2ac bc< 1 1
a b
>逐一分析每一个选项判断得解.
【详解】对于选项 A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；
对于选项 B,因为 ，所以 ，所以该选项正确；
对于选项 C,当 c=0 时，显然不成立，所以该选项错误；
对于选项 D, 所以 ，所以该选项正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式 性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平.
4.函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数排除 A,C,由单调性排除 D
【详解】对 A,C，函数为偶函数，故错误；
对 D,函数为奇函数，令 ， ，故函数不是增函数，
错误
故选：B
【点睛】本题考查函数的单调性及奇偶性判断，熟记定义是关键，注意举反例的应用
5.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲、乙两人的各科平均分相同
B. 甲的中位数是 83，乙的中位数是 85
C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定
的
0 a b< < a b<
1 1 0,b a
a b ab
−− = > 1 1
a b
>
x xy e e−= + 1y x x
= − ln | |y x= sin xy x
=
( ) sin xy f x x
= = ( ) 20 2f f
ππ π
= < = D. 甲的众数是 89，乙的众数为 87
【答案】D
【解析】
【分析】
利用中位数、众数、平均数、茎叶图的性质求解．
【详解】对于选项 A,甲的平均数 ，
乙的平均数 ，所以选项 A 是正确的；
对于选项 B,由茎图知甲的中位数是 83，乙的中位数是 85，故选项 B 正确；
对于选项 C,由由茎图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成绩比乙各科
成绩稳定，故选项 C 正确；
对于选项 D, 甲的众数是 83，乙的众数是 98，故选项 D 错误；
故选：D
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数的计算和概念，考查茎叶图的性质，意在考查
学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.已知 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. -5 B. 5 C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
通过平行可得 m 得值，再通过数量积运算可得结果.
【详解】由于 ，故 ，解得 ，于是 ， ，
所以 .故选 A.
【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.
7.某同学根据一组 x，y 的样本数据，求出线性回归方程 和相关系数 r，下列说法
正确的是（ ）
A. y 与 x 是函数关系 B. 与 x 是函数关系
C. r 只能大于 0 D. ｜r｜越接近 1，两个变量相关关系越
( )1 74368 74 77 83 83 84 89 92 939 9x = + + + + + + + + =甲
( )1 74364 66 74 76 85 87 98 98 959 9x = + + + + + + + + =乙
(2,3)a = ( , 1)b m m= − ( ,3)c m= / /a b b c⋅ =
/ /a b ( )2 1 =3m m− 2m = − ( 2, 3)b = − − ( 2,3)c = −
4 9 5b c⋅ = − = −
y bx a= +
y弱
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线性回归方程的定义进行求解即可
【详解】解：由两变量 x，y 具有线性相关关系，可知 y 与 x 不是函数关系，故 A 错误；
求出线性回归方程 x ，其中 与 x 是函数关系，故 B 正确；
相关系数可能大于 0，也可能小于 0，故 C 错误；
|r|越接近 1，两个变量相关关系越强，故 D 错误．
故选：B．
【点睛】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题．
8.知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式化简求得 再利用同角三角函数求得答案
【详解】 故
所以 ，
故选：B
【点睛】本题考查二倍角的正余弦公式，考查同角三角函数基本关系，熟记公式是关键，是
基础题
9.如图，在三棱锥 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，
．若 是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
y b=
a+ y
(0, )2
πα ∈ 2sin 2 1 cos2α α= − cosα =
1
5
5
5
3
3
2 5
5
tanα
2sin 2 1 cos2α α= − 24sin cos 2sinα α α=
(0, )2
πα ∈ 5sin 0 tan 2 cos 5
α α α≠ ∴ = =，
1 1 1ABC A B C−
14, 6AB AA= = E 1BB 1BE B E= 1A E 1ACA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐
标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 所成角的余弦值．
【详解】以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空
间直角坐标系，
∵在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，
E，F 分别是棱 BB1，CC1 上的点，且 BE＝B1E，
∴A1（4，0，6），E（2，2 ，3），A（4，0，0），
（﹣2，2 ，﹣3）， （-4，0，6），
设异面直线 与 所成角所成角为 θ，
则 cosθ ．
∴异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 ．
故选：A．
13
13
2 13
13
5 13
13
8 13
13
1AC
3 ( )1 0,0,6C =
1A E = 3 1AC =
1A E 1AC
1 1
1 1
10 13
1310 13
A E AC
A E AC
⋅
= = =
⋅
13
13【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问
题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所
成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空
间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
10.设 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值是（ ）
A. B. C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 是 与 的 等 比 中 项 ， ，
，当且仅当 时，等号成立，即
的最小值是 ．故选 B．
考点：1、正弦定理；2、和差角公式．
【思路点睛】先根据等比中项的概念得出 ，再将 转化为
，最后利用基本不等式求 的最值．利用基本不等式求最值
时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一
“正”，二“定”，三“相等”．本题主要考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想，特别
要注意 的灵活运用，属于基础题．
11.已知圆 ： 和点 ，若圆 上存在两点 使得
0a > 0b > 3 3a 3b 1 2
a b
+
4 2 3 2 2+
3 3a 3b 3 3, 1a b a b+∴ = + =
1 2 1 2 2( )( ) 3 b aa ba b a b a b
∴ + = + + = + + 3 2 2≥ + 2=b a
a b
1 2
a b
+
3 2 2+
1a b+ = 1 2
a b
+
1 2 2( )( ) 3 b aa ba b a b
+ + = + + 1 2
a b
+
1
C ( ) ( )2 21 2 2x y− + − = ( )0 0P x ， C A B，，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过将圆与两条切线夹角转化成直角三角形中的边角关系来进行求解，辅助图形加以求解即
可
【详解】
当 和 与圆 相切时， 最大，要使圆 上存在两点 使得 ，则
，∴ ，即 ，解得 ，
故选 B．
【点睛】本题考查过圆外一点的两条切线与圆的夹角的基本关系，解题方法一般为将夹角问
题转化为直角三角形问题，通过勾股定理进行求解
12.已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为双曲线左支上一点，
为等腰三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 详 解 】 由 题 意 知 等 腰 中 ， ， 设 ， 则
，其中 必为锐角．
∵ 外接圆的半径为 ，
3APB
π∠ = 0x
[ 3 1]− ， [ 1 3]− ， [ 2 3]− ， [ 2 4]− ，
PA PB C APB∠ C A B，
3APB
π∠ =
6APC
π∠ ≥
2 2 2
sin 6
PC π≤ = ( ) ( )2 2
0 1 0 2 2 2x − + − ≤ 01 3x− ≤ ≤
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > A B P
ABP∆ 5a
15
5
15
4
15
3
15
2
ABP∆ | | 2AB AP a= = ABP APB θ∠ = ∠ =
1 2F AP θ∠ = θ
ABP∆ 5a∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
设点 P 的坐标为 ，则 ，
故点 P 的坐标为 ．
由点 P 在双曲线上得 ，整理得 ，
∴ ．选 C．
点睛：
本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和
要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点
P 的坐标是解题的突破口．在得到点 P 的坐标后根据点在椭圆上可得 间的关系，最后根据
离心率的定义可得所求．
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.抛物线 ： 上一点，若 到 的焦点的距离为 ，则 __________.
【答案】6
【解析】
分析】
由焦半径公式直接求解即可
【详解】由焦半径公式知
故答案为：6
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，熟记焦半径公式是关键，是基础题
14.椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是__________.
【答案】
【
22 5 sin
aa θ=
5sin 5
θ = 2 5cos 5
θ =
25 2 5 4 2 5 3sin 2 2 ,cos2 2 ( ) 15 5 5 5 5
θ θ= × × = = × − =
( , )x y 11 8( cos2 ) , sin 25 5
a ax a AP y APθ θ= − + = − = =
11 8( , )5 5
a a−
2 2
2 2
11 8( ) ( )5 5 1
a a
a b
− =
2
2
2
3
b
a
=
2
2
151 3
c be a a
= = + =
,a c
,a b
C 2 8y x= ( )0 0,P x y C 8 0x =
0 08 62
px x+ = ∴ =
2 2
14 2
x y+ = ( )1,1
2 3 0x y+ − =【解析】
【分析】
由题意可知：将 E，F 代入椭圆方程，由中点坐标公式 ，做差求得直线 EF 的斜率
公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．
【详解】设过点 A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
由中点坐标公式可知： ，
则 ，两式相减得： 0，
∴ ，
∴直线 EF 的斜率 k ，
∴直线 EF 的方程为：y﹣1 （x﹣1），整理得：2y+x﹣3＝0，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，涉及中点弦问题经常
利用点差法求解，属于中档题．
15.如图，设△ 的内角 所对的边分别为 ，
，且
1 2
1 2
12
12
x x
y y
+ = + =
1 2
1 2
12
12
x x
y y
+ = + =
2 2
1 1
2 2
2 2
14 2
14 2
x y
x y
+ =
+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 2
x x x x y y y y+ − + −+ =
1 2
1 2
1
2
y y
x x
− = −−
1 2
1 2
1
2
y y
x x
−= = −−
1
2
= −
2 3 0x y+ − =
ABC , ,A B C , ,a b c
3( cos cos ) 2 sina C c A b B+ =.若点 是△ 外一点， ， ，则四边形 面积的最大值
为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理，利用“边化角”化简 ，可得 ，以角 D
为未知量建立关于角 D 的三角函数，即可得出最大值.
【 详 解 】 由 正 弦 定 理 可 得 ， , 即
,所以 又 ，所以△ 等边三角形，
在 △ADC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， , 故 四 边 形 面 积 为
,所
以当 ,四边形 面积最大，最大值为 .
【点睛】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式
子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
16.过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ，则
球的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出 外接圆 半径，根据题意结合勾股定理计算出球的半径 R，即可求
出球的体积.
【详解】 的外接圆半径为
为
的
3CAB
π∠ = D ABC 1DC = 3DA = ABCD
5 3 32
+
3( cos cos ) 2 sina C c A b B+ =
3B
π=
3(sin cos sin cos ) 2sin sinA C C A B B+ =
23sin 2sinB B= 3sin , .2 3B B
π= =
3CAB
π∠ = ABC
2 10 6cosAC D= − ABCD
23 3 3 3 5 3sin (10 6cos ) sin 3sin( )4 2 4 2 2 3ABC ADCS S AC D D D D
π+ = + = − + = + −△ △
5,3 2 6D D
π π π− = = ABCD 5 3 32
+
3AB BC CA= = =
32
3
π
ABC△
ABC△ r则由正弦定理得： ,
设球的半径为 R,截面和球心的距离等于球半径的一半,
则： ，解得
所以球的体积为 ,故答案为 .
【点睛】本题主要考查了球的体积公式，确定 的外接圆半径时，采用正弦定理是解题
的关键.
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18、19、20、21、22 每题 12 分，共 70 分）
17.为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生
中抽出 60 名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并
画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点
值为代表）
【答案】（1）第四组的频率为 0.3，直方图见解析；（2）众数：75，中位数： ，均分为
71 分
【解析】
【分析】
（1）由各组的频率和等于 1 求解第四组频率，再补全直方图即可
（2）利用最高的矩形得众数；利用左右面积相等求中位数；利用组中值估算抽样学生的平均
分
【详解】(1)因为各组的频率和等于 1，所以第四组的频率为
3 2sin 60 r=° 3r =
2
2 21
2R R r = + 2R =
34 32
3 3
RV
π π= = 32
3
π
ABC△
1733.
补全的频率分布直方图如图所示．
(2)众数为： ，
设中位数为 x,则
抽取学生的平均分约为 45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝
71(分)，所以可估计这次考试的平均分为 71 分．
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查
了作图能力，属于中档题．
18.已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为 3 的等比数列，
且 ．
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 n 项和 ．
【 答 案 】 （ Ⅰ ） ， ． （ Ⅱ ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设出等差数列 的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知 ， ，可
以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列 是公比为 3 的等比数列，且
．可以得到数列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列前 n 项和公式，利用分组求和法求数列 的前 n 项和 .
1 0.025 0.015 2 0.010 0.0( )05 10 0.3− − × + + × =
70+80 =752
( ) 10.1+2 0.15+ 70 0.03 0.5 733x x× − × = ⇒ =
{ }na 2 5a = 4 9a = { }n nb a+
1 3b =
{ }na { }nb
{ }nb nS
2 1na n= + *n∈N 1 *6 3 (2 1),n
nb n n−= × − + ∈N
1 23 3 2n n n+ − − −
{ }na 2 5a = 4 9a =
{ }n nb a+
1 3b = { }n nb a+ { }nb
{ }nb nS【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 d．
由 ， ，得 ，解得 ．
所以 ．
即 的通项公式为： ， ．
由于 是公比为 3 的等比数列，且 ，
所以 ．
从而 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ） ．
数列 的前 n 项和
．
【点睛】本题考查了等差数列基本量求法，考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和
等比数列前 n 项和公式，考查了数学运算能力.
19.点 满足 ,设点 的轨迹是曲线 ．
（1）求曲线 的方程．
（2）直线 过焦点与曲线 交于两点 ， ， ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）由抛物线定义得曲线方程；
（2）设直线方程并与抛物线联立，由韦达定理及弦长公式求解即可
【详解】（1）点 满足 ，则点 M 的轨迹是以点 为焦点的
抛物线∴ ∴ 所以曲线 的方程为
{ }na
2 5a = 4 9a = 9 5 2d= + 2d =
2 ( 2) 5 2( 2) 2 1na a n d n n= + − = + − = +
{ }na 2 1na n= + *n∈N
{ }n nb a+ 1 1 6b a+ =
1 1
1 1( ) 3 6 3n n
n nb a b a − −+ = + ⋅ = ×
1 1 *6 3 6 3 (2 1),n n
n nb a n n− −= × − = × − + ∈N
1 *6 3 (2 1),n
nb n n−= × − + ∈N
{ }nb 16(1 3 3 ) [3 5 (2 1)]n
nS n−= + + + − + + + +
6(1 3 ) [3 (2 1)]
1 3 2
n n n− + += −−
1 23 3 2n n n+= − − −
( , )M x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + M C
C
l C A B | | 8AB = l
2 4y x= 1 0x y− − = 1 0x y+ − =
( , )M x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + ( )1,0F
12
p = 2p = c 2 4y x=（2）当直线的斜率不存在， ，不合题意舍去
当直线的斜率存在，设直线的方程为 ，与抛物线联立得
由 ，所以 ，故直线方程为 或
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，熟练利用韦达定理及弦长
公式计算是关键，是基础题
20.如图，在△ABC 中，边 AB=2， ，且点 D 在线段 BC 上，
(I)若 ，求线段 AD 的长；
(II)若 BD=2DC， ，求△ABD 的面积.
【答案】（I） （II）
【解析】
【分析】
(I)由 可得 ,由 可得 ,然后在三角形 ABD 中用正弦定理可得 AD;
(II)根据 得 ,再根据面积公式和已知条件可得 的值,然后在三角
形 ABC 中用余弦定理求得 BC 的值,从而可得 BD 的值,最后用面积公式可得△ABD 的面积.
【详解】（I）由 可得
由 ,可得 ,
| | 4AB =
( )( )1 0y k x k= − ≠
( ) 2
2 2 2 2
1 2 2
2 42 4 0 kk x k x k x x k
+− + + = ∴ + =
| | 8AB = 2
1 2 2
2 4+2 +2=8 1kx x kk
++ = ⇒ = ± 1 0x y− − =
1 0x y+ − =
1cos 3B =
3
4ADC
π∠ =
sin 4 2sin
BAD
CAD
∠ =∠
8
3AD = 8 2
3
cos B sin B ADC∠ ADB∠
2BD DC= ， 2BAD
CAD
S
S
∆
∆
= AC
1cos 3B = 2 2sin 3B = ，
3
4ADC
π∠ = 3
4 4ADB
π ππ∠ = − =在三角形 ADB 中,由正弦定理 可得 ,
所以 .
（II）由 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，可得 或 （舍去），
所以 .
【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理以及三角形的面积公式,本题属于中档题.
21.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ，
，点 是 的中点.
求证： 平面 ；
若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
,sin sin
AD AB
ABD ADB
=∠ ∠
2
2 2 2
3 2
AD =
8
3AD =
2BD DC= ， 2BAD
CAD
S
S
∆
∆
=
1 sin2 21 sin2
AB AD BAD
AC AD CAD
⋅ ∠
=
⋅ ∠
sin 4 2 2sin
BAD ABCAD
∠ = =∠ ， 4 2AC =
ABC∆ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅
23 4 84 0BC BC− − = 6BC = 14
3BC = −
1 1 2 2 8 24 sin 2 42 2 3 3ABDBD S AB BD B∆= = ⋅ = × × × =，
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD
PD DC= E PC
( )1 / /PA BDE
( )2 BD PBC 30° C PB D− −
60°（1 ）连接 交 于 ，连接 ，利用线面平行的判定定理，即可证得 平面
；
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， ，分别求得平面 和平面 的一个法向量 和 ，利用向
量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知， ， ，
又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，
又由直线 与平面 所成的角为 ，
得 ，解得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
由向量的夹角公式，可得 ，
又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 .
AC BD O OE / /PA
BED
( )2 D , ,DA DC DP x y z
1PD CD= = AD a= PBC PBD n m
AC BD O OE
,PE EC AO OC= = / /PA EO∴
PA BED EO ⊂ BED / /PA BED
( )2 D , ,DA DC DP x y z
D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ，
( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = −
PBC ( , )n x y z= ，
· 0
· 0
PB n
PC n
=
=
0
0
ax y z
y z
+ − =
− = (0,1,1)n =
BD PBC 30
2
1 1cos , 21 2
DB n
DB n
DB n a
= = =
+ ×
1a =
PBD 1, )0( 1,m = −
1 1cos , 22 2
n mn m
n m
= = =
×
C PB D− − C PB D− − 60°【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间
想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理
是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，
通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
22.已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过坐标原点 作直线 交椭圆 于 、 两点，过点 作 的平行线交椭圆 于 、
两点.
①是否存在常数 ，满足 ？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由；
②若 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） ① ，②
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的性质 ，代入数据，计算 a,b，即可（2）①分别设出 AB
和 OP 的方程，结合椭圆方程，用斜率表示 ，计算 即可②将这两个面积和转
化成三角形 OBA 的面积，然后结合直线与圆锥曲线方程，计算最值，即可。
【详解】（1） 得到 ，结合 得到 ，
将点 代入椭圆方程中，解得
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ( )6,2 3
3
C
O PQ C P Q 2F PQ C A
B
λ 2AB OPλ=
2AF P∆ 1S 2OF B∆ 2S 1 2S S S= + S
2 2
112 8
x y+ = 3
3
8 3
3
2 2 2 , ca b c e a
= + =
2AB OPλ= λ
3 ,3
ce a
= = 3a c= 2 2 2 ,a b c= + 2b c=
( )6,2 2, 2 3, 2 2c a b= = =所以椭圆方程为：
（2）
①设 OP 直线方程 ，结合椭圆方程 ，代入
得到 ，设
，而结合焦半径公式
设 AB 的直线方程为 ，代入椭圆方程，计算出
，结合 ，代入
可得
②分析图可知，所求面积之和实则为 ，故
设直线 AB 的方程为 ，则
其中 d 为圆心 O 到直线 AB 的距离，则 则
将直线方程代入椭圆方程，得到
为
2 2
112 8
x y+ =
y kx= 2 2
112 8
x y+ =
2
2
2
24 24
3 2
kOP k
+= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2AB AF BF= + 2 1 2 2,AF a ex BF a ex= − = −
( )2y k x= −
2
2
3 84 3 3 3 2
kAB k
= − ⋅ +
2AB OPλ=
3
3
λ =
S∆ΟΑΒ
2x my= + 1
2S d AB∆ΟΑΒ = ⋅
2 2
0 0+2 2
1+ 1
md
m m
+ ⋅= =
+
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 + 1AB x x y y my my y y m y y= − + − = + − − − = + −
( )22
1 2 1 21 + 4m y y y y= + −
( )2 22 3 8 16 0m y my+ + − =解得 ，代入 中，得到
，令 ，得到 ，
则当 时，该函数取到最大值，代入 中，得到 。
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法和直线与椭圆的综合问题，本题主要用直线的斜率分别
表示各个参数，建立等式，计算最值。
1 2 1 22 2
8 16,2 3 2 3
my y y ym m
+ = − = −+ + OABS∆
2
2
8 3 3
2 +3OAB
mS m∆
+= 2 +1t m= 2
8 3 8 3 , 112 1 2
tS tt t t
∆ΟΑΒ = = ≥+ +
1t = OABS∆
8 3
3S∆ΟΑΒ =
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