2019-2020 学年度上学期期中考试
高二文科数学试题
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.命题 ，则 是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据全称命题的否定是特称命题可得结果.
【 详 解 】 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 ： 命 题 的 否 定 是
,
故选 C.
【点睛】本题考查了命题的否定，对于含有量词的命题的否定，只需改量词，否结论即可，
是基础题．
2.抛物线 的准线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及 的值，由抛物线的
准线方程分析可得答案。
【详解】解：根据题意，抛物线的方程为： ，则其标准方程为： ，
其焦点在 y 轴正半轴上，且 ，则其准线方程为： ；
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线变形为标准方程．
: (1, ),2 3xp x∀ ∈ +∞ > p¬
(1, ),2 3xx∀ ∈ +∞ ( ,1],2 3xx∀ ∈ −∞
0
0 (1, ),2 3xx∃ ∈ +∞
0
0 ( ,1],2 3xx∃ ∈ −∞
: (1, ),2 3xp x∀ ∈ +∞ >
0
0 (1, ),2 3xx∃ ∈ +∞
21
8y x=
2y = − 12y = 1
32x = 1
32y =
p
21
8y x= 2 8x y=
4p = 2y = −3.“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分
也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.
【详解】当 时， ，可知充分条件成立
当 时， ，可知必要条件不成立
“ ”是“ ”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.
4.已知双曲线的渐近线为 ，实轴长为 ，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在 轴上时, ; 当双曲线
的焦点在 轴上时, ,结合 可解得.
【详解】当双曲线的焦点在 轴上时, ,又 ,即 ,
x y= | | | |x y=
x y= x y=
x y= x y= ±
∴ x y= x y=
A
2
2y x= ± 4
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 8
y x− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 32
y x− =
x 2
2
b
a
=
y 2
2
a
b
= 2a =
x 2
2
b
a
= 2 4a = 2a =所以 ,所求双曲线的方程为: ;
当双曲线的焦点在 轴上时, ,又 ,即 ,
所以 ,所以所求双曲线的方程为: .
所以所求双曲线方程为: 或 .
故选： .
【点睛】本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线方程,属于基础题.
5.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，对于下列四个命题：
① ， ， ， ② ，
③ ， ， ④ ，
其中正确命题的个数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】
① ， ， ， ，则 与 可能相交，①错；② ， ，则
可能在平面 内，②错；③ ， ， ，则 与 可能异面，③错；④ ，
，则 与 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选 ．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题.空间
直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实
物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑
它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6.已知 ，则动点 的轨迹是（ ）
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左
支
【答案】A
2b =
2 2
14 2
x y− =
y 2
2
a
b
= 2 4a = 2a =
2 2b =
2 2
14 8
y x− =
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 8
y x− =
B
m n α β
m α⊂ n ⊂ α m β n β α β⇒ n m∥ n mα α⊂ ⇒
α β∥ m α⊂ n m nβ⊂ ⇒ m α n m nα⊂ ⇒
0 1 2 3
m α⊂ n α⊂ m β n β α β n m n α⊂ m
α α β m α⊂ n β⊂ m n m α
n α⊂ m n A
( ) ( )3,0 , 3,0 , 6M N PM PN− − = P【解析】
【分析】
根据 可得动点 的轨迹.
【详解】因为 ，故动点 的轨迹是一条射线，
其方程为： ，故选 A.
【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定
义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个
定点及动点是在同一个平面中.
7.在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 ，则 或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 为等边三角形可以
其大小．
【详解】如图，连接 ，
因为 ，所以异面直线 与 所成的角为 或其补角.
因为 为等边三角形，所以 .故选 C.
【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，
PM PN MN− = P
6PM PN MN− = = P
0, 3y x= ≥
1 1 1 1ABCD A B C D− 1A B 1AD
30° 45° 60° 90°
1D C 1AD C∠ 1AD C∆
1D C
1 1/ /A B D C 1A B 1AD 1AD C∠
1AD C∆ 1 60AD C °∠ =也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
8.过椭圆 的左焦点 做 轴的垂线交椭圆于点 ， 为其右焦点，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把 代入椭圆方程求得 的坐标，进而根据 ，推断出 ，整理得
，解得 即可．
【详解】已知椭圆的方程 ，由题意得把 代入椭圆方程，
解得 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ），∵ ，
∴ ，
即 ．∴ ，∴ ＝ 或 ＝﹣ （舍去）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属
于基础题．
9.如图，在长方体 中，若 分别是棱 的中
点，则必有（ ）
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F x P 2F
1 2 30F F P∠ =
2
2
1
3
1
2
3
3
x c= − P 1 2 30F F P∠ =
2
3
2 3
b
a
c
=
23 2 3 0e e+ − = e
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > x c= −
P c
2b
a
c
2b
a 1 2 30F F P∠ =
2
3tan302 3
b
a
c
= =
( )2 2 22 3 3ac b a c= = − 23 2 3 0e e+ − = e 3
3
e 3
1 1 1 1ABCD A B C D− , , ,E F G H 1 1 1 1 1 1A B BB CC C D， ， ，A.
B.
C. 平面 平面
D. 平面 平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据长方体的性质、平行线的性质、三角形中位线定理、面面平行的判定定理，对四个选项
逐一判断，最后选出正确的答案.
【详解】选项 A:由中位线定理可知： ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已
知直线平行，所以 不可能互相平行，故 A 选项是错误的；
选项 B: 由中位线定理可知： ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平
行，所以 不可能互相平行，故 B 选项是错误 ；
选项 C: 由中位线定理可知： ，而直线 与平面 相交，故直线 与平面
也相交，故平面 与平面 相交，故 C 选项是错误的；
选项 D:由三角形中位线定理可知： ，所以有 平面 ，
平面 而 ，因此平面 平面 ，故本题选 D.
【点睛】本题考查了面面平行 判定定理、线线平行的性质、三角形中位线定理，考查了推
理论证能力.
10.已知直线 ： 与抛物线 相交于 、 两点，且满足
，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
的
的
1BD GH
BD EF
EFGH ABCD
EFGH 1 1A BCD
1GH D C
1 ,BD GH
1EF A B
,BD EF
1EF A B 1A B ABCD EF
ABCD EFGH ABCD
1 1 1,EF A B EH A D EF 1 1A BCD EH
1 1A BCD EF EH E= //EFGH 1 1A BCD
l ( )( 1) 0y k x k= + > 2: 4C y x= A B
2AF BF= k
3
3 3 2 23 2 2【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线方程可知直线恒过定点 ，过 分别作准线的垂线，由 ，得到
点 为 的中点、连接 ，进而可知，由此求得点 的横坐标，则点 的坐标可得，最
后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【详解】解：抛物线 的准线 ，直线 ： 恒过定点 ，
如图过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ；
由 ，则 ，
所以点 为 的中点、连接 ，
则 ，
∴在 中， ，
为等腰三角形，点 的横坐标为 ，
故点 的坐标为 ，
又 ，
所以 ，
( 1,0)− ,A B 2AF BF=
B AP OB B B
2: 4C y x= 1x = − l ( 1)y k x= + ( 1,0)P −
,A B ,M N
2AF BF= | | 2 | |AM BN=
B AP OB
1| | | |2OB AF=
PFA∆ | | | |OB BF=
OBF∴∆ B 1
2
B
1 , 22
( 1,0)P −
2 0 2 21 3( 1)2
k
−= =
− −故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属
于中档题．
11.如图是某个正方体的平面展开图， ， 是两条侧面对角线，则在该正方体中， 与
（ ）
A. 互相平行 B. 异面且互相垂直 C. 异面且夹角为 D. 相交且夹
角为
【答案】D
【解析】
【分析】
先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.
【详解】
将平面展开图还原成正方体如图所示，则 B，C 两点重合，所以 与 相交，连接 ，则
为正三角形，所以 与 的夹角为 .
故选:D.
【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析
推理能力.
12.已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若
1l 2l 1l 2l
3
π
3
π
1l 2l AD
ABD△ 2l 2l 3
π
1 21,0 1,0F F−( ) ， ( )， ，则 C 的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得
，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定
义有 ．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，
解得 ．
所求椭圆方程为 ，故
选 B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补，
，两式消去 ，得 ，
解得 ． 所求椭圆方程为
2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2AF n= 1AF B△
1
1cos 3F AB∠ = 1 2AF F△ 3
2n =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△
2 2 2
1
4 9 9 1cos 2 2 3 3
n n nF AB n n
+ −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ =
3
2n =
2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△
2 2
2 1
2 2
2 1
4 4 2 2 2 cos 4 ,
4 2 2 cos 9
n n AF F n
n n BF F n
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠
2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ =
3
2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴，故选 B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，
很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题（共计 20 分）
13.已知点 在抛物线 上，则 ______；点 到抛物线 的焦点
的距离是______.
【答案】 (1). 2 (2). 2
【解析】
【分析】
将点 M 坐标代入抛物线方程可得 p 值，然后由抛物线的定义可得答案.
【详解】点 代入抛物线方程得：
，解得： ；
抛物线方程为： ，准线方程为： ，
点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离：
故答案为：2,2
【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.
14.双曲线 上的一点 到一个焦点的距离等于 1，那么点 到另一个焦点的
距离为 .
【答案】17.
【解析】
试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程 ，然后根据双曲线的定义知
2 2
13 2
x y+ =
(1,2)M 2: 2 ( 0)C y px p= > p = M C
(1,2)M
22 2 1p= × 2p＝
2 4y x= 1x＝-
1 1 2− − =（ ）
2 24 64 0x y− + = P P双曲线上的点 到两个焦点的距离之差的绝对值为 ，即可求出点 到另一个焦点的距离为
17.
考点：双曲线的定义.
15.如图所示， 四棱锥 中， 底面 为平行四边形， 是 上一点，当点 满
足条件： __________时， 平面 .
【答案】 是 中点
【解析】
点 E 的位置是棱 SA 的中点．
证明：取 SA 的中点 E，连接 EB，ED，AC，
设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴点 O 是 AC 的中点．
又 E 是 SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．
∴OE∥SC．
∵SC⊄平面 EBD，OE⊂平面 EBD，
∴SC∥平面 EBD．
故答案为 是 中点
16.给出以下命题，
P P
S ABCD− ABCD E SA E
SC EBD
E SA
E SA①命题“若 ，则 或 ”为真命题；
②命题“若 ，则 ”的否命题为真命题；
③若平面 上不共线的三个点到平面 距离相等，则
④若 ， 是两个不重合的平面，直线 ，命题 ，命题 ，则 是 的
必要不充分条件；
⑤平面 过正方体 的三个顶点 ，且 与底面 的交线为 ，
则 ∥ ；
其中，真命题的序号是______
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】
①利用逆否命题来判断；
②利用逆命题来判断；
③根据点在面的同侧和异侧来判断；
④根据面面平行的判定和性质来判断；
⑤根据面面平行的性质定理来判断.
【详解】解：①命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为：“若 且 ，
则 ”，其逆否命题为真命题，故原命题也为真，①是真命题；
②命题“若 ，则 ”的逆命题为：“若 ，则 ”，其逆命题为假
命题，因为 还有可能等于 0，故否命题也为假，②是假命题；
③若平面 上不共线的三个点到平面 距离相等，这三个点中若两个点在平面 的一侧，另
一个点在平面 的另一侧，就没有 ，③是假命题；
④命题 是 的不充分条件，因为要面面平行，需要两条相交直线与面平行，一条是不够的；
命题 是 的必要条件，因为面面平行，其中一个面上的任何一条线都和另一个面平行，④是
真命题；
⑤如图：
5a b+ ≠ 2a ≠ 3b ≠
1x = 2 0x x− =
α β α β∥
α β l α⊂ :p l β :q α β p q
α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1, ,B D A α 1111 DCBA l
l 1 1B D
5a b+ ≠ 2a ≠ 3b ≠ 2a = 3b =
5a b+ =
1x = 2 0x x− = 2 0x x− = 1x =
x
α β β
β α β∥
p q
p q面 面 ，面 ，面
，又 ，
∥ .
⑤是真命题.
故答案为：①④⑤
【点睛】本题考查了互为逆否命题同真同假以及线面，面面平行的判定和性质，是基础题.
三、解答题（共 70 分）
17.已知 p：方程 表示椭圆；q：双曲线 的离心率 ．
若 是真命题，求 m 取值范围；
若 是真命题， 是假命题，求 m 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）求出命题 为真命题的等价条件，结合 是真命题，则 同时为真命题，进行
计算即可．
（2）若 是真命题， 是假命题，则 一个为真命题，一个为假命题，进行计算即
可．
【详解】解： 方程 表示椭圆；
的
/ /ABCD 1111 DCBA ABCD BDα∩ = 1 1 1 1A B C D lα∩ =
/ /BD l∴ 1 1//BD B D
l∴ 1 1B D
2 2
12 6
x y
m m
− =− −
2
2 1yx m
− = ( )1,2e∈
( )1 p q∧
( )2 p q∨ p q∧
2 3m< < 0 2m< ≤ 3 4 4 6m m或≤ < < <
,p q p q∧ ,p q
p q∨ p q∧ ,p q
:p
2 2
12 6
x y
m m
− =− −则 ，则 ，
得 ，得 或 ，即 p： 或 ；
双曲线 的离心率 ．
则 ， ， ，
得 ，
则 ，即 ，则 q： ，
若 是真命题，则 ， 都是真命题，则 ，
得 ．
若 是真命题， 是假命题，
则 ， 一个为真命题，一个为假命题，
若 真 假，则 ，得 ，
若 假 真，则 ，此时 ，
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题
的关键．
18.如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点，且 为等腰直角三角
形， .
2 2
12 6
x y
m m
+ =− −
2 0
{ 6 0
2 6
m
m
m m
− >
− >
− ≠ −
2
{ 6
4
m
m
m
>
<
≠
2 4m< < 4 6m< < 2 4m< < 4 6m< <
:q
2
2 1yx m
− = ( )1,2e∈
1a = 2b m= 2 1c m= +
( )2
2
2 1 1,4ce ma
= = + ∈
( )0,3m∈ 0 3m< < 0 3m< <
( )1 p q∧ p q 2 4 4 6
{ 0 3
m m
m
< < < <
<
1 2 2
2
2
my y m
∴ + = +
( )1 2 1 2 2
42 2x x m y y m
+ = + − = − +
OMEN
OE OM ON= +
2 2
4 2,2 2
mE m m
− ∴ − + +
E C 4 22 0m m+ =
2 0m =
(2,0)E 2x ≠ ±
E OMEN
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