2019—2020 学年上期中考
21 届高二文科数学试题
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.将第Ⅰ卷的答案代表字母和第Ⅱ卷的答案填在答题表（答题卡）中.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则
（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理计算得到答案.
【详解】利用余弦定理：
故选：
【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.
2.已知等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先计算等差数列的通项公式，再代入计算得到答案.
【详解】 ， ，解得
故 ，
故选：
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.
ABC∆ A B C a b c 3b = 2c = 2cos 3A =
a =
5 17 22
2 2 2 22 cos 9 4 12 5 53a b c bc A a= + − = + − × = ∴ =
A
{ }na 5 3a = 10 8a = 100a =
5 1 4 3a a d= + = 10 1 9 8a a d= + = 1 1, 1a d= − =
2na n= − 100 98a =
C3.命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可.
详解： “全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“ ”的否定是
，故选 B.
点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对
所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，
所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命
题”.
4.椭圆的焦距为 8，且椭圆的长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得 、 的值，计算可得 的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案．
【详解】解：根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则 ， ，
即 ， ，
则 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
2
0 (0,1), 0x x x∀ ∈ − <
2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∉ − ≥ 2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥
2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∉ − < 2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∈ − ≥
∴ ( ) 2
0 0,1 , 0x x x∀ ∈ − <
( ) 2
0 0 00,1 , 0x x x∃ ∈ − ≥
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
2 2
1100 36
x y+ =
2 2
1100 36
x y+ =
2 2
1100 36
y x+ =
a c b
2 8c = 2 10a =
4c = 5a =
2 2 3b a c= − =
x
2 2
125 9
x y+ =若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
故要求椭圆的标准方程为 或 ，
故选： ．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
5.已知 ，若 ，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项 ，再证明 选项得到答案.
【详解】取 ，则 和 不成立，排除 ；
取 ， 不成立，排除 ；
即
故选：
【点睛】本题考查了不等关系式的判断，通过特殊值法可以快速排除选项，简化运算.
6. 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据面积公式得到 ，再利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理得到答案.
【详解】
.
在
y
2 2
125 9
y x+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
B
,a b∈R a b<
2a b< 2ab b< 1 1
a b
> 3 3a b<
, ,A B C D
3, 2a b= − = − 2a b< 2ab b< ,A B
1, 1a b= − = 1 1
a b
> C
2 2 2 23 3 1 3( )( ) ( ) ( ) 02 4a b a ab b a b a b ba b − = − + + = − + + a b≤ 12 2a b−≤
0x R∃ ∈ 2
0 1x < x R∀ ∈ 2 1x ≥
ABC∆ A B> sin sinA B>依次判断每个选项的正误，判断得到答案.
【详解】①若“ ”为假命题，则 ， 均为假命题或一真一假，①错误；
②命题“若 ，则 ” 否命题为“若 ，则 ”，条件结论均否定，②
正确；
③“ ， ”的否定是“ ， ” 根据命题否定的定义，③正确；
④在 中，“ ”是“ ”的充要条件.
根据大角对大边得到 ，根据正弦定理得到 ，充分性；
根据正弦定理得到 ，根据大角对大边得到 ，必要性.④正确.
故选：
【点睛】本题考查了命题的判断，意在考查学生的推断能力.
12.已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么
这个等差数列后三项和的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用 表示这个等差数列后三项和为 ，进而设 ，
利用三角函数的性质能求最大值。
【详解】设中间三项为 ，则 ，所以 ， ，
所以后三项的和为 ，
又因为 ，所以可令 ，
所以
故选：
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质。
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
的
p q∧ p q
a b> 12 2a b−> a b≤ 12 2a b−≤
0x R∃ ∈ 2
0 1x < x R∀ ∈ 2 1x ≥
ABC∆ A B> sin sinA B>
A B> a b> sin sinA B> sin sinA B>
a b> A B>
C
2 2 4x y+ = ,x y
1 102 10 3 102 2 10
,x y 3 9
4
x y+
2cos , 2sinx yθ θ= =
, ,a b c 2b x y= +
2
x yb
+= 3
2 4
b y x yc
+ += =
3 3 9
2 4 4
x y x y x yb c y y
+ + ++ + = + + =
2 2 4x y+ = 2cos , 2sinx yθ θ= =
( ) ( )3 9 3 3 10 3 10cos 3sin sin4 2 2 2
x y θ θ θ ϕ+ = + = + ≤
C13.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】
【详解】命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，
等价于∀t∈R，t2-2t-a≥0 是真命题，
∴△=4+4a≤0，解得 a≤-1．
∴实数 a 的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为（-∞，-1]．
14.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
则 ______．
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理及 可得 ，又 ，
所以 ，即 ,
由余弦定理可得 ，
则 ，应填答案
15.已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用均值不等式得到 ，再计算 得到答案.
【详解】正实数 ， ，则
当 时等号成立.
( ], 1−∞ −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 3a b bc− = ， 2 3sinC sinB=
A =
6
π
sin 2 3sinC B= 2 3c b= 2 2 3a b bc− =
2 2 26a b b= + 2 27a b=
2 2 2 2 2
2
13 7 3cos 2 24 3
b c a b bA bc b
+ − −= = =
6A
π=
6
π
a b 1a b+ = +a b
2
1
2ab ≤ ( )2
2a b+ ≤
a b 11 2 2a b ab ab+ = ≥ ∴ ≤
( )2
2 1 1 2 2a b a b ab a b+ = + + ≤ + = ∴ + ≤
1
2a b= =故答案为：
【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的应用能力.
16.若数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的
通项公式求出结果．
【详解】解：数列 满足 ， ，①
当 时， ，②
① ②得 ，
所以 ，
，
，
所有的式子相乘得 ，
所以
即首项符合通项，
故 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学生的
运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知 ， .设 ：函数 在 上单调递减； ：关于 的不等式
2
{ }na 1 12a = 2
1 2 32 3 n na a a na n a+ + +⋅⋅⋅+ = 2019a =
4
673
{ }na 1 12a = 2
1 2 32 3 n na a a na n a+ + +…+ =
2n
2
1 2 3 1 12 3 ( 1) ( 1)n na a a n a n a− −+ + +…+ − = −
− 2 2
1( 1) ( )n nn a n n a−− = −
1
1n
n
a n
a n−
−=
…
2
1
1
2
a
a
=
1
1na
a n
=
( )12 , 2na nn
= ≥
1
12 121a = =
12
na n
=
2019
12 4
2019 673a = =
4
673
0c > 1c ≠ p xy c= R q x的解集为 .如果“ ”为真，“ ”为假，求 的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
将题目分为 真 假和 假 真两种情况，分别计算得到答案.
【详解】若 真，即函数 在 上单调递减，则 ；
若 为真，即关于 的不等式 的解集为 ，则 ，解得 .
由“ ”为真，“ ”为假，可知 ， 中一真一假.
如果 真 假，则 ，解得 ；
如果 假 真，则 ，解得 .
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了根据命题的真假计算参数范围，确定 ， 为一真一假是解题的关键.
18.已知数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，并且 ， ， 成等差数列.
（1）求 的值；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比；
（2）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列 采用分组求和即可．
【详解】解：（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，
为
2 0x x c+ + > R p q∨ p q∧ c
( )10, 1,4
+∞
p q p q
p xy c= R 0 1c< <
q x 2 0x x c+ + > R 1 4 0c∆ = − < 1
4c >
p q∨ p q∧ p q
p q
0 1
10 4
c
c
< >
1c >
c ( )10, 1,4
+∞
p q
{ }na ( )0q q > 12a 3
1
2 a 2a
q
{ }nb n nb a n= + { }nb n nT
2q =
( )12 1 2
n n n +− +
{ }nb
12a 3
1
2 a 2a 3 1 22a a a= +即 ，
由于 ，所以 ，
所以 或 （舍），
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
又 ，
，
所以数列 的前 项和为：
.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用
以及等差数列和等比数列的前 项和公式的应用．主要考查学生的运算能力．
19.如图，港口 在港口 的正东 120 海里处，小岛 在港口 的北偏东 的方向，且在港
口 北偏西 的方向上，一艘科学考察船从港口 出发，沿北偏东 的 方向以 20 海
里/小时的速度驶离港口 .一艘给养快艇从港口 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 ，在
岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发，补给装船时间为 1 小时.
（1）求给养快艇从港口 到小岛 的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口 后，最少经过多少小时能和科考船相遇？
【答案】（1）快艇从港口 到小岛 的航行时间为 小时（2）给养快艇驶离港口 后，最少
2
1 1 12a q a a q= +
1 1a = 2 2 0q q− − =
2q = 1q = −
2q =
12n
na -= 12n
n nb a n n−= + = +
1
1 2 1 2 2n
na a a −+ +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ 1 2 2 11 2
n
n−= = −−
( )11 2 3 2
n nn
++ + +⋅⋅⋅+ =
{ }nb n
( ) ( )1 2 1 2n nT a a a n= + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+
( )12 1 2
n n n += − +
n
A O B O 60°
A 30° O 30° OD
O A B B
A B
A
A B 1 A经过 3 小时能和科考船相遇
【解析】
【分析】
（1）给养快艇从港口 到小岛 的航行时间，已知其速度，则只要求得 的路程，再利用
路程公式即可求得所需的时间．
（2）由（1）知，给养快艇从港口 驶离 2 小时后，从小岛 出发与科考船汇合，根据题意
确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．
【详解】（1）由题意知，在 中， ， ， ，
所以 ，
于是 ，
而快艇的速度为 海里/小时，
所以快艇从港口 到小岛 的航行时间为 小时.
（2）由（1）知，给养快艇从港口 驶离 2 小时后，从小岛 出发与科考船汇合.为使航行的
时间最少，快艇从小岛 驶离后必须按直线方向航行，
设给养快艇驶离港口 小时后恰与科考船在 处相遇.
在 中， ，
而在 中， ， ， ，
由余弦定理，得 ，
即 ，
化简，得 ，
解得 或 （舍去）.
故 .
即给养快艇驶离港口 后，最少经过 3 小时能和科考船相遇.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际
问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．
20.已知 ， ，且 .
A B AB
A B
AOB∆ 120OA = 30AOB∠ = ° 60OAB∠ = °
90∠ = °ABO
sin 120sin30 60AB OA AOB= ∠ = ° =
60v =
A B 60 1v
=
A B
B
B t C
AOB∆ cos 120cos30 60 3OB OA AOB= ∠ = ° =
COB∆ 60BC t= ( )20 2OC t= + 30BOC∠ = °
2 2 2 2 cosBC OB OC OB OC BOC= + − ⋅ ⋅ ∠
( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 360 60 3 20 2 2 60 3 20 2 2t t t= + + − × × + ×
28 5 13 0t t+ − =
1t = 13
8t = −
2 3t + =
A
0x > 0y > 8 0x y xy+ − =（1）当 ， 分别为何值时， 取得最小值？
（2）当 ， 分别为何值时， 取得最小值？
【答案】（1） ， 时， 最小（2） ， 时, 最小
【解析】
【分析】
（1）利用均值不等式将等式变换为不等式 ，计算得到答案.
（2）利用 1 的代换将 转化为 ，展开利用均值不等式得到答案.
【详解】（1）因为 ， ，且 ，所以 ，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 32.
（2）由已知得 ，所以
，当且仅当 ，即 ， 时取等号.
因此 的最小值为 .
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，其中 1 的代换是一个常用的方法，需要同学们熟练
掌握.
21.已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求 ， ， 的值及数列 的通项公式；
（2）求证： .
【答案】（1） ， ， , （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）代入数据计算 ， ， ，再利用公式 计算得到答案.
x y xy
x y x y+
16x = 2y = xy 8 2 2x = + 2 2 1y = + x y+
2 8xy xy≥
x y+ ( ) 8 1x y x y
+ +
0x > 0y > 8 0x y xy+ − = 8 2 8xy x y xy= + ≥
32xy ≥
8x y= 16x = 2y = xy
8 1 1x y
+ = ( ) 8 1 89 y xx y x y x y x y
+ = + + = + +
89 2 9 4 2y x
x y
≥ + ⋅ = + 8y x
x y
= 8 2 2x = + 2 2 1y = +
x y+ 9 4 2+
{ }na n nS 1 2a = ( ) ( )*1 23n nS n a n N= + ∈
2a 3a 4a { }na
1 2 3
1 1 1 1 1
na a a a
+ + +⋅⋅⋅+ <
2 6a = 3 12a = 4 20a = ( )1na n n= +
2a 3a 4a 1n n na S S −= −（2） ，利用裂项求和计算得到答案.
【详解】（1）因为 ，①
知 ，又 ，得 ，同理 ， ，
由①知当 时， ，②
①-②得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
上式对于 也成立，因此 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运
用.
22.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）点 满足 ，且线段 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)6
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到 间的关系，然
后由余弦定理求得 ，从而求角 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到 间的关系，
然后利用基本不等式即可求得最大值．
1 1 1
1na n n
= − +
( ) ( )*1 23n nS n a n N= + ∈
2 2 1 2
4
3S a a a= = + 1 2a = 2 6a = 3 12a = 4 20a =
2n ≥ ( )1 1
1 13n nS n a− −= +
( ) ( ) 1
1 12 13 3n n na n a n a −= + − +
( ) ( ) ( )11 1 2n nn a n a n−− = + ≥ ( )
1
1 21
n
n
a n na n−
+= ≥−
32
1
1 2 1
3 4 5 12 1 2 3 1
n
n
n
a aa na a a a a n−
+= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = × × × ×⋅⋅⋅× − ( )( )1 2n n n= + ≥
1n = ( )1na n n= +
( )
1 1 1 1
1 1na n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 1na a a n n
+ +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅ − +
11 11n
= −
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