河南省洛阳市2019-2020高二数学上学期期中试题（Word版带解析）

洛阳市 2019——2020 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 第 I 卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.考试结束，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若 ，那么下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中条件，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为 ，所以 ， ， ，则 ，即 ，故 A 正确； 由 ，即 ，故 B 正确； 由 ，即 ，故 C 错误； 由 ，所以 ，故 D 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查由题中条件判断所给的不等式，熟记不等式的性质即可，属于常考题 型. 2.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 一定是 （ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角 三角形 【答案】B 0a b< < 2ab b> 2ab a< 1 1 a b < b a a b < 0a b< < 0a b− < 0ab > 0b a− > 2 ( ) 0= − >− b a bab b 2ab b> 2 ( ) 0− = − 1 1 a b > 2 2 ( )( ) 0 − + −− = = 2 2( 1) 2 221 1 1n n na n n n + −= = = −+ + + 1 2 2 2 2 22 2 01 1 ( 1)n na a n n n n n n−    − = − − − = − = >   + + +    { }na y 2 1y x x = + 2 2 3 2 xy x += + x xy e e−= + 1sin 0sin 2y x xx π = + < 1 2y x x = + ≥ 1x x = 1x = 0x < 1 1( ) 2y x xx x   = + = − − + − ≤ −     1x x − = − 1x = − 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 12 2 2 2 2 2 x xy x x x x x + += = + = + + ≥ + + + + 2 2 12 2 x x + = + 2 2 1x + = 2 2 1x + = 2 2x xy e e−= + ≥ x xe e−= 0x = 0 2x π< < 0 sin 1x< < 1 1sin 2 sin 2sin sin = + ≥ ⋅ =y x xx x 1sin sin =x x sin 1x = sin 1x ≠ { }na 1 7 2 69, 8a a a a+ = = 1n na a +< 10a 16 2 16 8 2 8 1 7 1 7 9 8 a a a a + =  = 1 7 1 8 a a =  = 1q > { }na 1 7 2 69, 8a a a a+ = = 1 7 1 7 9 8 a a a a + =  = 1 7 1 8 a a =  = 1 7 8 1 a a =  =又 ，所以 ，且 ，因此 ，则 ，故 . 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与性质即可，属于 常考题型. 6.已知锐角三角形的三边分别为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意知三角形 三个内角都是锐角，分别根据边长为 所对的角为锐角，边长为 所对 的角为锐角两种情况，结合余弦定理，即可求出结果. 【详解】因为锐角三角形的三边分别为 ， 则三角形的三个内角都是锐角， 设边长为 所对的锐角为 ，由余弦定理可得： ， 则 ； 设边长为 所对的锐角为 ，由余弦定理可得： ， 则 ； 综上， 的取值范围是 . 故选：D 【点睛】本题主要考查由三角形的形状求参数的问题，熟记余弦定理即可，属于常考题型. 7.若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 的 1n na a +< 1 7 1 8 a a =  = 1q > 6 8=q 3 2 2=q 9 10 1 16 2= =a a q 5,12, x x ( )7,17 ( )7,13 ( )7, 119 ( )119,13 12 x 5,12, x 12 A 2 2 25 12cos 010 + −= >xA 119>x x B 2 2 212 5cos 0120 + −= >xB 13 3 1 2 1= + + ≥ +ab a b ab 3 2 1 0− − ≥ab ab ( )( )3 1 1 0+ − ≥ab ab 1≥ab 1 3 ≤ −ab 1≥ab a b= { }na n nT ( )* 1 1 1+ += ∈− n n n aa n Na 1 1 3a = 2019T 3− 2− 1 3 2 3 5 { }na 4 4 1 1 1 n n n aa a+ += − 1 1 3a = 1 2 1 111 3 211 1 3 ++= = =− − aa a 2 3 2 1 1 2 31 1 2 + += = = −− − aa a 3 4 3 1 1 3 1 1 1 3 2 + −= = = −− + aa a 4 5 4 111 12 11 31 2 −+= = =− + aa a { }na 4 4 1 2 3 4 1 12 ( 3) 13 2  = = × × − × − =  T a a a a所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题 型. 9.如图，在 中， 是 边上一点， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先 由 余 弦 定 理 求 出 ， 得 出 ， 再 由 正 弦 定 理 得 到 ，即可求出结果. 【详解】因为 ， ，所以 ， 因此 ，所以 ， 又 ， ，由正弦定理可得： ， 所以 . 故选：D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 1 2 3 4 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2017 2018 2012 9 901 1... 2 ( 3) 23 = ⋅ ⋅ = = × × − = −a a a a a a a a a a a a aT ABC△ 45 8B AC D= ° =， ， BC 5 7DC DA= =， AB 4 2 4 3 8 4 6 1cos 7ADC∠ = 4 3sin 7 ∠ =ADB sin sin = ∠ DA AB B ADB 5 7DC DA= =， 8AC = 2 2 27 5 8 1cos 2 7 5 7 + −∠ = =⋅ ⋅ADC 1cos 7 ∠ = −ADB 4 3sin 7 ∠ =ADB 45B = ° 7=DA sin sin = ∠ DA AB B ADB 4 37sin 7 4 6sin 2 2 ⋅⋅ ∠= = =DA ADBAB B10.实数 满足条件 .当目标函数 在该约束条件下取到 最小值 时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先将目标函数化为 ，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到 ，再由 ，结合基本不等式，即可 求出结果. 【详解】由 得 ， 因为 ，所以直线的斜率为 ， 作出不等式 对应的平面区域如下： 由图像可得：当直线 经过点 时，直线 在 轴截距最小，此时 最小。 由 解得 ，即 ， 此时目标函数 的最小值为 ， 即 ，所以 . ,x y 1 0 2 3 0 x y x y − − ≤  − − ≥ ( ), 0z ax by a b= + > 4 1 2 a b + 6 4 3 2 a zy xb b = − + 2 4a b+ = 1 2 1 1 2 1 4(2 ) 2 24 4    + = + + = + + +       b aa ba b a b a b z ax by= + a zy xb b = − + , 0a b > 0a b − < 1 0 2 3 0 x y x y − − ≤  − − ≥ a zy xb b = − + A a zy xb b = − + y z 1 0 2 3 0 x y x y − − =  − − = 2 1 x y =  = (2,1)A ( ), 0z ax by a b= + > 4 2 4a b+ = ( )1 2 1 1 2 1 4 1(2 ) 2 2 4 2 4 24 4 4    + = + + = + + + ≥ + =       b aa ba b a b a b当且仅当 ，即 时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式 综合，熟记基本不等式，会求解简单的 线性规划问题即可，属于常考题型. 11.设等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则使 的 的个 数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由题意，根据等差数列前 项和的性质，得到 ，再由 ，得到 ，从而即可求出结果. 【详解】因为等差数列 的前 项和分别为 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 为使 ，只需 ，又 ，所以 可能取的值为： ， 因此 可能取的值为： . 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列前 项和的应用，熟记等差数列前 项和的公式与性质即可， 属于常考题型. 12.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，点 是 的中点， 若 ，则 面积的最大值为（ ） 的 4b a a b = 1 2 a b =  = { } { },n na b n ,n nS T 3 33 3 n n S n T n += + n n a Zb ∈ n 3 4 5 6 n 2 1 2 1 123 1 − − = = + + n n n n a S b T n n n a Zb ∈ 12 1 ∈+ Zn { } { },n na b n ,n nS T 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) 2 ( ) 2 n n n n nn n n n a a a na S n b bb nb T − − − − + = = =+ 3 33 3 n n S n T n += + 2 1 2 1 3(2 1) 33 6 30 3 15 1232 1 3 2 2 1 1 − − − + + += = = = = +− + + + + n n n n a S n n n b T n n n n n n a Zb ∈ 12 1 ∈+ Zn n∈ +N 1n + 2,3,4,6,12 n 1,2,3,5,11 n n ABC△ A B C， ， a b c， ， 2 2c = P AB PC a b= − ABC△A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意得到 ，结合余弦定理得到 ，且 ， 再由余弦定理，得到 ，求出 ，根据三角形面积公式， 得到 ，即可求出结果. 【详解】因为点 是 的中点， ， ， 所以 ，即 ， 即 ，所以 ， 整理得： ，因此 ，即 ， 当且仅当 时，等号成立；且 ； 又 ，所以 ， 因此 面积为 ，当且仅当 时，取得最大值. 故选：A 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理，结合基本不等式，以及二次函数性质即可 求解，属于常考题型. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设 ，则四个数 ， ， ， 中最小的是__________． 【答案】 3 3 2 3 12 cos cosAPC CPB∠ = − ∠ 2 2 4 4+ = −a b ab 2ab ≥ 2 6cos −= abC ab 22 6sin 1 − = −   abC ab 2 2 21 1 1sin ( ) (2 6) 3( 4) 122 2 2∆ = = − − = − − +ABCS ab C ab ab ab P AB 2 2c = PC a b= − cos cosAPC CPB∠ = − ∠ 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + −= −⋅ ⋅ PA PC AC PB PC BC PA PC PB PC 2 2 2 22 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) a b b a b a a b a b + − − + − −= − ⋅ − ⋅ − 2 2 2 2 22 ( ) 2 ( ) 0+ − − + + − − =a b b a b a 2 2 4 4 0+ − + =a b ab 2 2 4 4 0 4 2+ − + = ≥ −a b ab ab 2ab ≥ 2a b= = 2 2 4 4+ = −a b ab 2 2 8 4 12 2 6cos 2 2 + − − −= = =a b ab abC ab ab ab 22 6sin 1 − = −   abC ab ABC△ 2 2 21 1 2 6 1sin 1 ( ) (2 6)2 2 2∆ − = = − = − −  ABC abS ab C ab ab abab 21 13( 4) 12 12 32 2 = − − + ≤ =ab 4ab = 0 1a b< < < 2 ab 2ab +a b 2 2a b+ 2ab【解析】 【分析】 根据基本不等式，先得到 ， ，再由作商法，比较 与 ， 即可得出结果. 【详解】因为 ，所以 ， ， 又 ，所以 ， 综上， 最小. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可， 属于常考题型. 14.若实数 满足 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域，化目标函数为 ，令 ，则 表示平面区域内的点 与定点 连线的斜率，结合图像求出 的范围，进而可求出 结果. 【详解】由约束条件 作出可行域如下： 2a b ab+ > 2 2 2a b ab+ > 2 ab 2ab 0 1a b< < < 2a b ab+ > 2 2 2a b ab+ > 2 1 2 = ab ab 2ab 2ab ,x y 0 0 4 3 12 x y x y ≥  ≥  + ≤ 2 3 1 x yz x + += + 9 ,74      2 3 121 1 + + += = ++ + x y yz x x 1 1 += + yt x 1 1 += + yt x ( , )x y ( 1, 1)− −P t 0 0 4 3 12 x y x y ≥  ≥  + ≤因为 ，令 ，则 表示平面区域内的点 与定点 连线的斜率， 由图像可得： ； 由直线 ，易得 ， ， 因此 ， ，所以 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，会分析目标函数的 几何意义即可，属于常考题型. 15.已知数列 的前 项和 ，若此数列为等比数列，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 先由 ，求出 ， ；再由数列是等比数列，得到 也 满足 ，列出等式，即可求出结果. 【详解】因为数列 的前 项和 ， 2 3 121 1 + + += = ++ + x y yz x x 1 1 += + yt x 1 1 += + yt x ( , )x y ( 1, 1)− −P ≤ ≤PA PBk t k 4 3 12x y+ = (3,0)A (0,4)B 4 1 50 1 += =+PBk 0 1 1 3 1 4 += =+PAk 1 54 ≤ ≤t 92 ,74  = + ∈  z t 9 ,74      { }na n 2 12 n nS a+= + a = 2− 2 12 n nS a+= + 2 1 1 3 2 − −= − = ⋅ n n n na S S 2n ≥ 1a 2 13 2 −= ⋅ n na { }na n 2 12 n nS a+= +所以 ， ； 又 ，因为数列 为等比数列，则 也满足 ， 即 ，解得 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查由等比数列的前 项和求参数，熟记等比数列的通项公式与求和公式即 可，属于常考题型. 16.在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意，结合正弦定理与两角和的正弦公式，得到 ，再由 ， 根 据 三 角 形 形 状 判 断 ， 令 ， 将 所 求 式 子 化 为 ，根据基本不等式，即可求出 结果. 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 即 ， 所以 ， 又 ， 因为 为锐角三角形，所以 ，因此 ； 所以 ， 令 ，则 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2+ − − −= − = + − + = ⋅n n n n n na S S a a 2n ≥ 1 8= +a a { }na 1 8= +a a 2 13 2 −= ⋅ n na 1 8 3 2 6= + = ⋅ =a a 2a = − 2− n ABC△ , ,A B C , ,a b c 3 sin=b c A tan tan tanA B C+ + 12 tan tan 3tan tan+ =A C C A tan tantan tan( ) 1 tan tan += − + = − − A CB A C A C tan tan 1 0− >A C tan tan 1− =A C m 2tan tan (tan tan ) 3( 1)tan tan tan tan tan 1 + ++ + = =− A C A C mA B C A C m 3 sin=b c A sin 3sin sin=B C A sin( ) 3sin sin+ =A C C A sin cos cos sin 3sin sin+ =A C A C C A tan tan 3tan tan+ =A C C A tan tantan tan( ) 1 tan tan += − + = − − A CB A C A C ABC△ tan tantan 01 tan tan += − >− A CB A C tan tan 1 0− >A C tan tantan tan tan tan tan 1 tan tan ++ + = + − − A CA B C A C A C 2 2tan tan tan tan tan tan (tan tan ) 1 tan tan tan tan 1 − − += =− − A C A C A C A C A C A C tan tan 1− =A C m (tan tan )tan tan tan ( 1) ++ + = +A CA B C mm， 当且仅当 ，即 时，取等号； 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记正弦定理，两角和的正弦、正切公式，以及基 本不等式即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设 为等差数列 的前 项和.已知 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项 公式； （2）由（1）的结果，得到 ，进而可求出前 项和. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， 由题意可得 ，解得 ， 所以 的通项公式为 ； 由 得 ， 从而 ( )23tan tan 3( 1) 1( 1) 3 2 3 2 2 12 +  = + = = + + ≥ + =   A C mm mm m m 1=m m 1m = nS { }na n 3 75, 49a S= = { }na 1 1 n n n b a a + = { }nb n nT 2 1na n= − 2 1n nT n = + { }na d 1 1 1 2 2 1 2 1nb n n  = − − +  n { }na d 1 1 2 5 7 67 492 a d a d + = ×+ = 1 1 2 a d =  = { }na 2 1na n= − ( )2 ( )1 ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n  = = − − + − +  1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1       = − + − + + −      − +      nT n n【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以 及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型。 18.在 中，角 “的对边分别为 .已知 （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积. 【答案】(1) (2)3 或 1 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，由 ，得到 ，即可求出结果； （2）先由 ，求出 ，由余弦定理 ，求出 或 ， 再由三角形面积公式，即可求出结果 【详解】 在 中，因为 ， 所以由正弦定理得 ； （2）因为 ，所以 . 由余弦定理 得 ， 整理得 ，解得 或 . 所以 的面积 或 1. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 19.为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张 元，使用规定： 不记名，每卡每次仅限 人，每天仅限 次.公司共 名员工，公司领导打算组织员工分批去 健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次 元，如果 . 1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 10,4 5C a c π= = sin A 5c = ABC△ 2 5 5 2 10,4 5C a c π= = 2 10sin sin5A C= 5c = 2 2a = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 3b = 1b = ( )1 ABC△ 2 10,4 5C a c π= = 2 10sin sin5A C= 2 10 2 2 5 5 2 5 = × = 5c = 2 2a = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 25 8 2 2 2 2 = + − ⋅ ⋅ ⋅b b 2 4 3 0b b− + = 3b = 1b = ABC△ 1 sin 32S ab C= = 360 1 1 90 40要使每位员工健身 次，那么公司购买多少张健身卡最合算，共需花费多少元钱？ 【答案】公司购买 张健身卡最合算，共需花费 元. 【解析】 【分析】 设购买 张健身卡，这项健身活动的总支出为 ，根据题意得到 ，由 基本不等式，即可求出结果. 【详解】设购买 张健身卡，这项健身活动的总支出为 , 则 , 即 当且仅当 即 时取等号. 所以公司购买 张健身卡最合算，共需花费 元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 20.（1）设不等式 对于满足 的实数 x 都成立，求正实数 的取 值范围； （2）设不等式 对于满足 的实数 都成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先由 得 ，令 ，由 ，结合 二次函数的性质，只需 ，求解，即可得出结果； （2）先将原不等式化为 ，令 ，原问题可 转化为关于 的函数在 上的函数值恒小于 ，只需 ，求解，即可得出 结果. 10 10 7200 x y 90 10 40 360y xx ×= × + x y 90 10 40 360y xx ×= × + 100 100360 360 2 7200 = + ≥ × ⋅ =  y x xx x 100 xx = 10x = 10 7200 ² 2 2 1 0ax x a− − + < 1 1x − ≤ a 2 2 2 1 0ax x a− − + < 2a ≤ a x 1 3,2 2      1 11 1 7,2 2  − + +    1 1x − ≤ 0 2.x≤ ≤ ( ) ( )2 2 2 1 0 2f x ax x a x= − − + ≤ ≤ 0a > ( ) ( ) 0 0 2 0 f f     1t < n 13 2 n t −  > −   3 2t > − 3 12 t∴− < < 1t = −