开封五县联考高二期中考试
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 l50 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：必修 5 第二、三章，21 第二章双曲线结束.
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.下列命题是真命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的值域来对各选项中的特称或全称命题的真假进行判断.
【详解】对于选项 A， ， ，A 选项错误；
对于 B 选项， ， ，所以，不存在 ，使得 ，B 选项错误；
对于 C 选项， ， ，所以， ， ，C 选项正确；
对于 D 选项， ， ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，常用逻辑推证法或特例法来进行判断，
考查推理能力，属于基础题.
2.双曲线 的焦点坐标为（ ）
x∀ ∈R 2 0x > 0x∃ ∈R 02 0x <
0x∃ ∈R 2
0 0x ≥ x∀ ∈R 2 1x ≥
x∀ ∈R 2 0x ≥
x∀ ∈R 2 0x > 0x ∈R 02 0x <
x∀ ∈R 2 0x ≥ 0x∃ ∈R 2
0 0x ≥
x∀ ∈R 2 0x >
2 2
: 18 4
x yC − =A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断双曲线 的焦点位置，计算出双曲线的半焦距，即可得出双曲线 的焦点坐标.
【详解】由题意知，双曲线 的焦点在 轴上，半焦距为 ，
因此，双曲线 的焦点坐标为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线焦点坐标的求解，要判断出双曲线焦点的位置，考查计算能力，属
于基础题.
3.在等比数列 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等比中项的性质可求出 的值.
【详解】由等比中项的性质得 ，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查等比中项的计算，在解题时还要注意所求项的符号，考查计算能力，属于
基础题.
4.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
( )2,0± ( )0, 2±
( )2 3,0± ( )0, 2 3±
C C
C x 8 4 2 3+ =
C ( )2 3,0±
{ }na 3 5 12a a = 4a =
3 2 3 2± 2 3 2 3±
4a
2
4 3 5 12a a a= = 4 2 3a = ±
0 4x< < 2log 1x > A 1F 2F
1 2AF F∆ C
1
2
2
2
1
3
3
3
1 2 1 2AF AF F F= = 2a c= C
C 2c 1 2AF F∆ 1 2
1 2 2
AF AF
AF AF a
= + =
1 2AF AF a∴ = = 2a c= C 1
2
c
a
=
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
3
4y x=± 5
4y x= ±
4
5y x= ± 4
3y x= ±【分析】
设双曲线的焦距为 ，由题意得出关于 、 、 的关系式，求出 、 的等量关系，
即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线的焦距为 ，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得
，
则 ，即 ，即 ， ，则 ，
.
因此，双曲线的渐近线方程为 .
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是根据题中条件得出 、 的等量
关系，考查运算求解能力，属于中等题.
7.已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将代数式 展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.
【 详 解 】 ， ， 由 基 本 不 等 式 得
，当且仅当 时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故选：B.
( )2 0c c > a b c a b
( )2 0c c >
2 2 2
2b a c
c a b
= +
= +
( )224b c a= + ( ) ( )22 24 c a c a− = + ( )4 c a c a− = + 3 5c a∴ = 5
3
c
a
=
22 2
2
41 3
b c a c
a a a
− ∴ = = − =
4
3y x= ±
a b
0a > 0b > ( ) 64 1a b a b
+ +
32 36 39 45
( ) 64 1a b a b
+ +
0a > 0b > ( ) 4 16 4 16 20b aa b a b a b
+ + = + +
4 162 20 36b a
a b
≥ × + = 2b a=
( ) 64 1a b a b
+ + 36【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相
等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.
8.已知椭圆 两焦点间的距离为 ，且过点 ，则椭圆
的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义求出 ，再结合半焦距求出 的值，从而可得出椭圆 的标准方程.
【详解】由题意知，椭圆 的焦点坐标为 ，
由椭圆的定义得
， ， .
因此，椭圆 的标准方程为 .
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆标准方程 求解，在涉及椭圆的焦点时，可以充分利用椭圆的定义来
求解，考查计算能力，属于中等题.
9.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
的
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2 2 ( )3, 2A
C
2 2
14 2
x y+ =
2 2
16 4
x y+ =
2 2
18 6
x y+ =
2 2
15 3
x y+ =
a b C
C ( )2,0±
( ) ( )2 2
2 3 2 2 3 2 2 7 2 6 7 2 6a = + + + − + = + + −
( ) ( )6 1 6 1 2 6= + + − = 6a∴ = 6 2 2b = − =
C
2 2
16 4
x y+ =
{ }na n nS
1
5
1
3S
S
= 3
6
a
a
=
11
2
11
3
33
5
22
5利用等差数列的前 项和公式以及等差中项的性质可得出 的值.
【详解】由等差数列的前 项和公式得 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用等差数列前 项和公式以及等差中项性质的应用，考查计算能力，属于
中等题.
10.设命题 若函数 是减函数，则 ，命题 若函数
在 上是单调递增，则 .那么下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出命题 、 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.
【详解】若函数 是减函数，则 ，解得 ，命题 为真命题；
若函数 在 上是单调递增，其对称轴为直线 ，则 ，
解得 ，命题 为假命题.
因此， 为假， 为假， 为假， 为真.
故选：D.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了指数函数与二次函数的单调性，解题
的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.
11.设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 、 是双曲线
上关于 轴对称的不同两点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲
线 的离心率 是（ ）
A. B. C. D.
n 3
6
a
a
n
( )
( )
1 5
5 3
1 1111 6
5
52 311 11
2
a a
S a
a aS a
+
= = =+
3
6
33
5
a
a
=
n
:p ( ) ( )3 2 xf x a= − − 1a < :q
( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ 2a < −
p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧
p q
( ) ( )3 2 xf x a= − − 3 2 1a− > 1a < p
( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ x a= − 2a− ≤
2a ≥ − q
p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧
A B ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > P Q C
x AP BQ m n 1mn = −
C e
2 3 2 5【答案】A
【解析】
【分析】
设点 ，则点 ，由点 在双曲线 上得出 ，然后利用
斜率公式得出 ，由此可计算出双曲线 的离心率.
【详解】设点 .则 ， ， ，
则 ，又 ，即 ， ，
由 有 ， ，因此，双曲线 的离心率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也考查双曲线方程的应用，解题的关键在将点
横坐标与纵坐标通过点的坐标满足双曲线方程建立等式求解，考查运算求解能力，属于中等
题.
12.已知椭圆 ，点 为椭圆 上位于第一象限一点， 为坐标原点，过椭圆
左顶点 作直线 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 ， ，由题意得出 ，可得出 ，然后将点 、
( )0 0,P x y ( )0 0,Q x y− P C ( )2
2 2
02
2
0 aay b x= −
2
2 1b
a
= C
( )0 0,P x y ( )0 0,Q x y− 0
0
AP
ym k x a
∴ = = +
0
0
BQ
yn k x a
= = − −
2
0
2 2
0
ym n a x
⋅ = −
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
− = ( )2
2 2
02
2
0 aay b x= − ( )2
2 2
202
2 2 2
0
b x a bamn a x a
−
∴ = = −−
1mn = − a b= 2 2
2 2c a be a a
+= = = C 2
2 2
2 2
9 15: x yC a a
+ = P C O
A //l OP B 1
2AB OP= l
5 3
3 3 3 5
5 5
1 1( , )B x y ( )2 2,P x y 1
2AB OP= 1 2
1 2
1
2
1
2
x x a
y y
= −
=
B的坐标代入椭圆方程，得出 、 ，即可求出直线 的斜率.
【详解】由题知 ，设 ， .
则 ，可得 ， ， ，
点 、 都在椭圆 上， ，解得 ， ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查直线斜率的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，在涉及平行线截
椭圆所得弦长的比例关系时，可转化为共线向量比的问题求解，考查运算求解能力，属于中
等题.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.命题“ ” 否定为 .
【答案】
【解析】
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，先改变量词，再否定结论，
所以命题“ ”的否定为 ，
故答案为 .
14.已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上的截距最小时对应
的
P 2x 2y l
( ),0A a− 1 1( , )B x y ( )2 2,P x y
1
2AB OP= ( )1 1 2 2
1 1, ,2 2x a y x y + = 1 2
1
2x x a∴ = − 1 2
1
2y y=
P B C
2 2 2
2 2
22
22
2
5 9 5
15 9 52 2
x y a
yx a a
+ =
∴ − + =
2 4
ax = 2
5
4 3
ay =
l 2
2
5 4 5 3
34 3
y a
x a
= ⋅ =
0 ,x R∃ ∈ 0sin 1x >
0 ,x R∃ ∈ 0sin 1x >
x y
1 0
2 1 0
1
x y
x y
x
− + ≥
+ + ≥
≤
3z x y= −
3−
3z x y= − x的最优解，代入目标函数即可得出结果.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，得点 ，
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截
距取最小值，此时，目标函数 取得最小值 .
故答案为： .
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般要作出可行域，
利用数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
15.在数列 中， ， ，若对于任意的 ， 恒成
立，则实数 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用待定系数法得出 ，然后由参变量分离法得出 ，并利用单调性的定义
分析数列 ，求出该数列的最大项的值，从而可得出实数 的取值范围.
【详解】由 有 ，
故数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，可得 .
1 0
2 1 0
1
x y
x y
x
− + ≥
+ + ≥
≤
2 1 0
1 0
x y
x y
+ + =
− + =
1
0
x
y
= −
=
( )1,0A −
3z x y= − 3z x y= − ( )1,0A − x
3z x y= − ( )min 3 1 0 3z = × − − = −
3−
{ }na 1 4a = 1 3 2n na a+ = − *n∈N ( )1 2 5nk a n− ≥ −
k
1
27
1 3n
na − = 2 5
3n
nk
−≥
2 5
3n
n − k
1 3 2n na a+ = − ( )1 1 3 1n na a+ − = −
{ }1na − 3 3 1 3n
na − =不等式 可化为 ，
令 ，当 时 ；当 时， .
故当 时， ，故 ，
，因此，实数 最小值是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用待定系数法求数列通项，同时也考查了数列不等式的解法，在解题时
一般利用参变量分离法转化为数列的最值来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中
等题.
16.已知点 、 为椭圆 的左、右顶点，点 为 轴上一点，过 作 轴的
垂线交椭圆 于 、 两点，过 作 的垂线交 于点 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
设点 ，则 ， ，写出直线 和 方程，联立这两条直线的
方程，求出点 的坐标，即可得出 的值.
【详解】如下图所示，设 ，则 ， ，
由题设知 且 ，直线 的斜率 ，直线 斜率 .
的
的
( )1 2 5nk a n− ≥ − 2 5
3n
nk
−≥
( ) ( )*2 5
3n
nf n n
−= ∈N 1 2n≤ ≤ ( ) 0f n < 3n ≥ ( ) 0f n >
3n ≥ ( ) ( ) ( )
1 1
4 32 3 2 51 03 3 3n n n
nn nf n f n + +
−− −+ − = − = ≤ ( ) ( ) 13 27f n f≤ =
1
27k∴ ≤ k 1
27
1
27
A B
2
2: 14
xC y+ = M x M x
C P Q M AP BQ N BMN
BMQ
S
S
∆
∆
=
4
5
( ),P m n ( ),0M m ( ),Q m n− MN BQ
N BMN
BMQ
S
S
∆
∆
( ),P m n ( ),0M m ( ),Q m n−
2m ≠ ± 0n ≠ AP 2AP
nk m
= + MN 2
MN
mk n
+= −直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
联立 ，解得 .
又点 在椭圆 上，得 ， .
又 ， ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也
要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设命题 ，命题 ，若 是 的必要不充分
条件，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
解出命题 、 中的不等式，由题意得出 ，由此可得出关于实数 的不等
式组，解出即可得出实数 的取值范围.
【 详 解 】 解 不 等 式 ， 即 ， 解 得
.
解不等式 ，解得 .
所以， ， ，
由于 是 的必要不充分条件，则 ， ，解得 .
∴ MN ( )2my x mn
+= − − BQ ( )22
ny xm
= −−
( )
( )
2
22
my x mn
ny xm
+ = − −
= − −
( )2
2 2
4
4N
n m
y m n
−
= − − +
P C 2 24 4m n− = 4
5Ny n∴ = −
1 2
2 5BMN NS BM y BM n∆ = ⋅ = ⋅ 1
2BMQS BM n∆ = ⋅ 4
5
BMN
BMQ
S
S
∆
∆
∴ =
4
5
( ) ( )2: 2 1 1 0p x a x a a− − + − < :0 2 1 1q x≤ − ≤ p q
a
31, 2
p q ( )1 ,1 1,2 a a − a
a
( ) ( )2 2 1 1 0x a x a a− − + − < ( ) ( )1 0x a x a − − − > ≠ a
b P
1 2 10PF PF+ = 1 2PF PF⋅
1 2 1 2 16PF PF F F+ + = 1 2 6F F = 1 2 1 210PF PF F F∴ + = >
P 1F 2F
P ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a b ya b
+ = > > ≠ 2 10a = 5a =
2 2 3a b− = 4b = P ( )2 2
1 025 16
x y y+ = ≠
1 2 10PF PF+ =
2
1 2
1 2 252
PF PFPF PF
+ ⋅ ≤ =
1 2 5PF PF= = 1 2PF PF⋅ 2519.已知等差数列 的前 项和为 ，有 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出关于 和 的方程组，解出这两个量，再
利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）得知 ，然后利用裂项法求出数列 的前 项和 ，
即可证明出 .
【详解】（1）设数列 的公差为 ，有 ，解得 ，有
，因此，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）知 ，
有 ，
由 ，有 ，故有 ，由上知 .
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差
数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，
属于中等题.
20.双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 ，
在双曲线 上.
（1）求双曲线 的标准方程；
{ }na n nS 10 55S = 4 10S =
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nT 1 12 nT≤ <
na n=
{ }na d 1a d
{ }na
( )
1 1 1
1 1nb n n n n
= = −+ + { }nb n nT
1 12 nT≤ <
{ }na d 1
1
10 45 55
4 6 10
a d
a d
+ =
+ =
1 1
1
a
d
=
=
( )1 1na n n= + − = { }na na n=
( )
1 1 1
1 1nb n n n n
= = −+ +
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1nT n n n
= − + − + + − = − + +
*n∈N 1 10 1 2n
< ≤+
1 11 12 1n
≤ − > 1F 2F 15, 2
( )2 2, 1− C
C（2）直线 过点 且与双曲线 交于 、 两点，且 的中点的横坐标为 ，求直线
的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将点 、 的坐标代入双曲线 的方程，求出 、 的值，即可得出双
曲线 的标准方程；
（2）由题意知，直线 的斜率存在，设点 、 ，并设直线 的方程为
，将直线 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出 的值，即可得出
直线 的方程.
【详解】（1）由题意有 ，解得 ，
因此，双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题意知，直线 的斜率存在，设点 、 .
并设直线 的方程为 ， 联立方程 ，
消去 整理得 ， ，
得 ，满足直线与双曲线相交，因此，直线 的方程为 .
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了中点弦问题，可以利用点差法，也可以
将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知数列 的前 项和为 ， ， .
l 2F C A B AB 2 5−
l
2
2 14
x y− = ( )6 56y x= ± −
15, 2
( )2 2, 1− C a b
C
l ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l
( )5y k x= − l k
l
2 2
2 2
5 1 14
8 1 1
a b
a b
− =
− =
2
1
a
b
=
=
C
2
2 14
x y− =
l ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
l ( )5y k x= −
( )
2
2 14
5
x y
y k x
− =
= −
y ( ) ( )2 2 2 21 4 8 5 420 0k x k x k− ++ =− 2
1 2 2
8 5 4 54 1
kx x k
+ = = −−
6
6k = ± l ( )6 56y x= ± −
{ }na n nS 1 6a = 1
1 3 3n
n na a +
+ = +（1）证明：数列 为等差数列；
（2）求 ；
（3）对任意 将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的
前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的定义结合递推公式 ，可证明出数列 是等差数列；
（2）求出数列 的通项公式为 ，然后利用错位相减法求出数列 的前
项和 ；
（3）令 ，得出 ，可得出 ，然后利用分组
求和法求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）由 ，且 ，
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
（2）由（1）知 ，有 ，
由 ，
有 ，
作差有 ，
得
3
n
n
a
nS
*m∈N 3
n
n
a
( )23 ,3m m
mb { }mb
m mT
12 1 334 4
nn ++ × − 2 2 13 4 3 3
8
m m
m
+ +− × + −
1
1 3 3n
n na a +
+ = +
3
n
n
a
{ }na ( )1 3n
na n= + × { }na n
nS
23 1 3 mm n< + < 23 1 3 1m mn− < < − 23 3 1m m
mb = − −
{ }mb m mT
1
1
1 1
3 3
3 3 3 3
n
n n n n
n n n n
a a a a+
+
+ +
+− = − 1 13 3
n n
n n
a a = + − =
1 23
a =
3
n
n
a 2 1
( )1 1 13 3
n
n
a a n n= + − = + ( )1 3n
na n= + ×
( )22 3 3 3 1 3n
nS n= × + × + + + ×
( )2 3 13 2 3 3 3 3 1 3n n
nS n n += × + × + + × + + ×
( )2 3 12 2 3 3 3 3 1 3n n
nS n +− = × + + + + − + ×
( ) ( )2 3 12 3 3 3 3 3 1 3n n
nS n +− = + + + + + − + ×有 ，
因此， ；
（3）对任意 ，若 ，得 ，得 ，
故 ，
有
.
【点睛】本题考查利用定义证明等差数列，同时与考查了错位相减法与分组求和法，要熟悉
这些数列求和法对数列通项的要求，考查计算能力，属于中等题.
22.已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆 上一点， 轴，
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且
，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设椭圆 的焦距为 ，可得出点 在椭圆 上，将这个点的坐标代入椭
圆 的方程可得出 ，结合 可求出 的值，从而可得出椭圆 的标准方程；
（2）分直线 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在 轴时，可得出 ，从
而求出 的面积；在直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、
( ) ( ) ( )1
12 1 3 3
2
3 1 3
2 3 1 31 3
n
n
n
n
S n n +
+
−
− = + − + × ⋅
−
− + +=
12 1 334 4
n
n
nS ++= × −
*m∈N 23 1 3 mm n< + < 23 1 3 1m mn− < < − 23 3 2m mn≤ ≤ −
( )2 23 2 3 1 3 3 1m m m m
mb = − − + = − −
( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 9 1 9 3 1 3
3 3 3 3 3 3 1 9 1 3
m m
m m
mT m m
− −
= + + + − + + + − = − −− −
( ) ( )9 39 1 3 18 2
m m m= − − − − 2 2 13 4 3 3
8
m m
m
+ +− × += −
( )2 2
2: 1 22
x yC aa
+ = > F P C PF x⊥
2
2PF =
C
l C A B AB M O
2OM = AOB∆
2 2
18 2
x y+ = 2
C ( )2 0c c > 2, 2c
C
C
2
2
3
4
c
a
= 2 22a c= + a C
AB AB x⊥ 6AB =
AOB∆ AB AB y kx t= + ( )1 1,A x y，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合 ，得出
，计算出 与 的高，可得出 面积的表达式，然后可利用二次
函数的基本性质求出 面积的最大值.
【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，由题知，点 ， ，
则有 ， ，又 ， ， ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）当 轴时， 位于 轴上，且 ，
由 可得 ，此时 ；
当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，与椭圆交于 ， ，
由 ，得 .
， ，从而
已知 ，可得 .
.
设 到直线 的距离为 ，则 ，
.
( )2 2,B x y AB 2OM =
( )22
2
2
2 1 4
1 16
k
t k
+
= +
AB AOB∆ AOB∆
AOB∆
C ( )2 0c c > 2, 2P c
± 2b =
2
2
2
2
2 12
c
a
+ =
2
2
3
4
c
a
∴ = 2 2 2 22a b c c= + = + 2 8a∴ = 2 6c =
C
2 2
18 2
x y+ =
AB x⊥ M x OM AB⊥
2OM = 6AB = 1 32AOBS OM AB∆ = ⋅ =
AB x AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
18 2
x y
y kx t
+ =
= +
( )2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t+ + + − =
1 2 2
8
1 4
ktx x k
−∴ + = +
2
1 2 2
4 8
1 4
tx x k
−= + 2 2
4 ,1 4 1 4
kt tM k k
−
+ +
2OM = ( )22
2
2
2 1 4
1 16
k
t k
+
= +
( ) ( ) ( ) 2 2
2 22 2
1 2 1 2 2 2
8 4 81 4 1 41 4 1 4
kt tAB k x x x x k k k
− − = + + − = + − × + +
( ) ( )
( )
2 2
2
22
16 8 2
1
1 4
k t
k
k
− +
= +
+
O AB d
2
2
21
td k
= +
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 22
16 8 21 14 11 4AOB
k t tS k kk
∆
− +
= + ⋅ ++将 代入化简得 .
令 ，
则 .
当且仅当 时取等号，此时 的面积最大，最大值为 .
综上： 的面积最大，最大值为 .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，
一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常
用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.
( )22
2
2
2 1 4
1 16
k
t k
+
= +
( )
( )
2 2
2
22
192 4 1
1 16AOB
k k
S
k
∆
+
=
+
21 16k p+ =
( )
( )
( )2 2
2
2 22
112 1 1192 4 1 4
1 16AOB
ppk k
S pk
∆
− − + + = =
+
21 1 43 3 43 3p
= − − + ≤
3p = AOB∆ 2
AOB∆ 2
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