江苏省2020届高考数学模拟试题（一解析版）

江苏省 2020 届高考数学模拟试题（一） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束 后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 参考公式： 样本数据 的方差 ，其中 ． 一、填空题：(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．) 1．已知 i 为虚数单位，复数 ，则 ＝_______． 【答案】 【解析】 ,故答案为： . 2．已知集合 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】∵集合 ∴集合 1 2, , , nx x x… ( )22 1 1 n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ 1 1 iz = + z 2 2 1 1 1 2i1 i 2 2 2z z= = − ⇒ =+ 2 2 { }1,0,1A = − { }2| 0B x x= > A B = { }1,1− { }2| 0B x x= > { }| 0B x x= ≠∵集合 ∴ ，故答案为： . 3．函数 的定义域为________． 【答案】 【解析】由题意得 ，解得 ， ∴函数 的定义域为 ，故答案为 ． 4．若一组数据 7， ，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的方差是______. 【答案】 【解析】平均数为 ，故 ， 方差为 ，故答案为： 5．某学校高三年级有 、 两个自习教室，甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、 乙两人不在同一教室上自习的概率为________. 【答案】0.5 【解析】由题意可知，甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种， 甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在 、 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教 室自习，则丙可在 、 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有 种选 择，因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 0.5 6．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______. { }1,0,1A = − { }1,1A B∩ = − { }1,1− ( ) 2 1xf x = − [ )0,+∞ 2 1 0x − ≥ 0x ≥ ( )f x [ )0,+∞ [ )0,+∞ x 4 5 7 6 8 8 75 x+ + + + = 6x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 27 7 7 6 7 6 7 8 7 8 4 5 5 − + − + − + − + − = 4 5 A B 3 3 32 A B A B 2 2 4× =【答案】25 【解析】模拟执行伪代码，可得： ． 7．在平面直角坐标系 中，双曲线 的右准线与渐近线的交点在抛物线 上，则实数 的值为________. 【答案】 【解析】双曲线 的半焦距为 ，则双曲线 的右准线方程为 ，渐近线方程为 ，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为 . 由题意得 ，解得 ，故答案为： . 8．等比数列 中，若 ， ， ， 成等差数列，则 ______. 【答案】64 【解析】设等比数列的公比为 . ∵ ， ， 成等差数列， ， ∵ ，∴ 0 1 3 5 7 9 25S = + + + + + = xOy 2 2 13 x y− = 2 2y px= p 4 1 2 2 13 x y− = 2 2 2 13 x y− = 3 2x = 3 3y x= ± 3 3,2 2  ±    2 3 322 2p  ± = ×    1 4p = 1 4 { }na 1 1a = 24a 32a 4a 1 7a a = ( )0q q ≠ 24a 32a 4a 2 4 34 4a a a+ =∴ 3 2 1 1 14 4a q a q a q+ =∴ 1 1a = 3 24 4q q q+ =∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： . 9．已知正方体 ，棱长为 1.点 E 是棱 上的任意一点，点 F 是棱 上的任意一点， 则三棱锥 的体积为______. 【答案】 【解析】如下图所示： ∵正方体 棱长为 1，点 是棱 上的任意一点，点 是棱 上的任意一点. ∴ ，故答案为： . 10．已知 ， ( ， )，则 ＝_______． 【答案】 【解析】∵ ，∴ ， 则 ，平方可得 ，故答案为： . 11．已知点 M 是曲线 y＝2lnx＋x2﹣3x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程 为_______． 0q ≠ 2q = 2 6 6 1 7 1 2 64a a a q= = = 64 1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1B C B ECF− 6 1 1 1 1 1ABCD A B C D− E AD F 1 1B C 1 1 1 1 1 11 1 13 2 3 2 6B ECF F BCEV V BC AB B B− −= = × × × = × × × × = 1 6 3cos2 4sin( )4 πα α= − α ∈ 4 π π sin 2α 1 9 − 3cos2 4sin( )4 πα α= − 3(cos sin )(cos sin ) 2 2(cos sin )α α α α α α+ − = − 2 2sin cos 3 α α+ = 1sin 2 9 α = − 1 9 −【答案】 【解析】 ， ， ＝1 时有最小值 1，此时 M(1，﹣2)， 故切线方程为： ，即 ，故答案为： . 12．如图，在 中， 、 是 上的两个三等分点， ，则 的最小值 为________. 【答案】 【解析】由于 、 是 上的两个三等分点，则 ， 由图形可得 ， ， ， 由 ，即 ， 整理得 ，即 ， 由基本不等式得 ， 当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 ，故答案为： . 3y x= − 2 2 3y xx ′ = + − 2 2 3M M k xx = + − Mx 2 1y x+ = − 3y x= − 3y x= − ABC∆ D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅    cos ADE∠ 7 4 D E BC BD DE EC= =   AB DB DA DE DA= − = − −     2AC DC DA DE DA= − = −     AE DE DA= −   2AB AD AC AE⋅ = ⋅    ( ) ( ) ( ) ( )2 2DE DA DA DE DA DE DA− − ⋅ − = − ⋅ −       2 2 7 4DA DE DA DE⋅ = +    2 2 7 cos 4DA DE ADE DA DE⋅ ∠ = +    2 22 2 2 44 4cos 77 7 DA DEDA DE ADE DA DE DA DE ⋅×+ ∠ = ≥ = ⋅ ⋅        2DA DE=  cos ADE∠ 4 7 4 713．在平面直角坐标系 中，圆 ： 上存在点 到点 的距离为2， 则实数 的取值范围是______. 【答案】 【解析】∵圆 ： ∴ ，其圆心 ，半径 ，∵点 到点 的距离为 2 ∴ 点的轨迹为: ∵ 又在 上，∴圆 与圆 有交点，即 . ∴ 或 ∴实数 的取值范围是 ，故答案为： . 14．设函数 ， ，其中 、 .若 恒成立，则当 取得最小值时 的值为______. 【答案】 【解析】构造函数 ， 则 ，由于 ， 所以，函数 的图象关于点 对称，且 . ①当 时， ，函数 在区间 上单调递增， xOy C 2 2 22 2 2 1 0x ax y ay a− + − + − = P ( )0,1 a 1 17 1 17,0 1,2 2    − +∪        C 2 2 22 2 2 1 0x ax y ay a− + − + − = ( ) ( )2 2 1x a y a− + − = ( ),C a a 1r = P ( )0,1 P 2 2( 1) 4x y+ − = P 2 2( ) ( ) 1x a y a− + − = C ( )22 1 4x y+ − = 2 22 1 ( 1) 2 1a a− ≤ + − ≤ + 1 17 02 a − ≤ ≤ 1 171 2a +≤ ≤ a 1 17 1 17,0 1,2 2    − +∪        1 17 1 17,0 1,2 2    − +∪        ( ) 3f x x ax b= − − [ ]1,1x∈ − a b∈R ( )f x M≤ M ba + 4 3 ( ) 3g x x ax b= − − ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2g x g x x ax b x ax b b+ − = − − + − + − = − ( )y g x= ( )0, b− ( ) 23g x x a′ = − 0a ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )y g x= [ ]1,1−则 ， 所以 ， 此时，当 ， 时， 取最小值 ； ②当 时，对任意的 ， ，函数 在区间 上单调递减， 则 ， 所以 ， 此时，当 ， 时， 取最小值 ； ③当 时，令 ，得 ，令 ，列表如下： 极大值 极小值 不妨设 ，则 ，则 ， ( ) ( ) 1 1 1 1 M f a b M f a b  ≥ = − − ≥ − = − + − ( ) ( )1 11 1 1 1 12 2 a b a ba b a bM a a − − − − + −− − + − + −≥ ≥ = − = − ≥ 0a = 1 1b− ≤ ≤ M 1 3a ≥ [ ]1,1x∈ − ( ) 0g x′ ≤ ( )y g x= [ ]1,1− ( ) ( ) 1 1 1 1 M f a b M f a b  ≥ = − − ≥ − = − + − ( ) ( )1 11 1 1 1 22 2 a b a ba b a bM a a − − − − + −− − + − + −≥ ≥ = − = − ≥ 3a = 2 2b− ≤ ≤ M 2 0 < < 3a ( ) 0g x′ = 3 ax = ± ( )0,13 at = ∈ x [ )1, t− − t− ( ),t t− t ( ],1t ( )g x′ + 0 − 0 + ( )g x    ( )0 0g b= − ≥ 0b ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 1 1 M f a b M f t t b M f t t b M f a b  ≥ = − −  ≥ = − − ≥ − = −  ≥ − = − + −， ，且 ， ， ，若 ，则 ， 若 ，则 ，但 ， ， 所以， . 当 时， ， 当且仅当 ， 时，即当 ， 时， 取得最小值 ; 当 时， . 综上所述，当 ， 时， 取得最小值 ，此时 ，故答案为： . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 15．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值. ( ) ( ) ( ) ( ){ }max 1 , , , 1M f f t f t f∴ ≥ − − ( ) ( ) ( )2 0 0g t g t g− + = ≥ ( ) ( )g t g t< − ( ) ( ) ( )g t g t f t∴ − ≥ = ( ) ( ) ( )1 1 2 0 0g g g− + = ≥ ( ) ( )1 1g g− ≥ ( ) ( ) ( )1 1 1g g f− ≥ = ( ) ( )1 1g g− < ( )1 0g > ( ) ( )1g t g− > − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )23 3 3 21 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1g t g t b a b t a t t t t− − = − − − − = + − = + − = − + ( ) ( ){ } ( ) ( ) 11 ,0 2max , 1 1, 12 g t g t g g t t  < ≤− =   − < 3 4a = 0b = M 1 4 3 4a b+ = 3 4 ABC∆ A B C a b c 1a = 3cos 3B = 3A π= sinC 2b = c【解析】（1）在 中， ，则 ， 因为 ，所以 . 在 中， ，所以 ， 所以 . （2）由余弦定理得 ，则 ， 所以 ， ，因为 ，所以 ，即 . 16．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥DC，△PCD 为正三角形，平面 PCD⊥ 平面 ABCD，E 为 PC 的中点． （1）证明：AP∥平面 EBD； （2）证明：BE⊥PC． 【解析】（1）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OE 因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 O 为 AC 中点，又 E 为 PC 中点，故 AP∥OE， 又 AP 平面 EBD，OE 平面 EBD，所以 AP∥平面 EBD ； ABC∆ 0 B π< < sin 0B > 3cos 3B = 2 2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B  = − = − =    ABC∆ A B C π+ + = ( )( ) ( )sin sin sinC A B A Bπ= − + = + sin sin sin cos cos sin3 3 3C B B B π π π = + = +   3 3 1 6 3 6 2 3 2 3 6 += × + × = 2 2 22 cosb a ac B c= − + ( )2 232 1 2 3c c= − ⋅ + 2 2 3 1 03c c− − = ( ) 33 03c c  − + =    3 03c + > 3 0c − = 3c = ⊄ ⊂（2）∵△PCD 为正三角形，E 为 PC 中点，所以 PC⊥DE 因为平面 PCD⊥平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD＝CD， 又 BD 平面 ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面 PCD 又 PC 平面 PCD，故 PC⊥BD，又 BD DE＝D，BD 平面 BDE，DE 平面 BDE 故 PC⊥平面 BDE，又 BE 平面 BDE，所以 BE⊥PC． 17．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，椭圆 右顶点为 ，点 在圆 ： 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2）点 在椭圆 上，且位于第四象限，点 在圆 上，且位于第一象限，已知 ，求 直线 的斜率. 【解析】（1）圆 ： 的圆心 ，半径 ，与 轴交点坐标为 ， ， 点 在圆 ： 上，所以 ，从而 ， ， 所以 ，所以椭圆 的标准方程为 . （2）由题，设点 ， ， ；点 ， ， .  ⊂ ⊂  ⊂ ⊂ ⊂ xOy C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F A 2F A ( ) 2 22 1x y- + = C M C N A 13 2AM AN= −  1F M A ( )2 22 1x y− + = ( )2,0A 1r = x ( )1,0 ( )3,0 2F A ( )2 22 1x y− + = ( )2 1,0F 2a = 1c = 2 2 2 22 1 3b a c= − = − = C 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,M x y 10 2x< < 1 0y < ( )2 2,N x y 2 0x > 2 0y >则 ， ，由 知点 ， ， 共线. 直线 的斜率存在，可设为 ，则直线 的方程为 ， 由 ，得 ，或 ， 所以 ， 由 ，得 ，解得 ，或 ， 所以 ， 代入 得 ， ，又 ，得 ， 所以 ，又 ， 可得直线 的斜率为 . 18．如图，在圆锥 中，底面半径 为 ，母线长 为 .用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆 心为 ，半径为 ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心 为顶点挖去一个倒立的小圆锥 ，记圆锥 体积为 . ( )1 12,AM x y= − ( )2 22,AN x y= − 13 2AM AN= −  A M N AM ( )0k k > AM ( )2y k x= − ( ) ( )2 2 2 2 1 y k x x y  = − − + = 2 2 2 2 12 1 1 1 kx k k ky k  += + + + = + 2 2 2 2 12 1 1 1 kx k k ky k  += − + + = − + 2 2 2 2 1 12 ,1 1 k k kN k k  + ++  + +  ( ) 2 2 2 14 3 y k x x y  = − + = ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2 0 x y =  = 2 2 2 8 6 3 4 12 3 4 kx k ky k  −= + − = + 2 2 2 8 6 12,3 4 3 4 k kM k k  − −  + +  13 2AM AN= −  2 2 2 2 2 2 2 8 6 12 13 1 12, ,3 4 3 4 2 1 1 k k k k k k k k k   − − + +− = −     + + + +    ( )( )2 24 9 52 51 0k k− + = 0k > 3 2k = 31, 2M  −   ( )1 1,0F − 1F M ( ) 3 32 1 1 4 − = −− − SO R 3 l 5 1O r O 1OO 1OO V（1）将 表示成 的函数； （2）求 的最大值. 【解析】（1）在 中， ， 由 可知， ， 所以 ， 所以 ，所以 ， ； （2）由（1）得 ， ， 所以 ，令 ，得 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减. 所以当 时， 取得最大值 . 答：小圆锥的体积 的最大值为 . V r V SAO∆ 2 2 2 25 3 4SO SA AO= − = − = 1SNO SAO△ △ 1SO r SO R = 1 4 3SO r= 1 44 3OO r= − 2 2 31 4 4( ) π (4 ) π(3 )3 3 9V r r r r r= − = − 0 3r< < 2 34( ) π(3 )9V r r r= − 0 3r< < 24( ) π(6 3 )9V r r r′ = − ( ) 0V r′ = 2r = (0,2)r ∈ ( ) 0V r′ > ( )V r (0,2) (2,3)r ∈ ( ) 0V r′ < ( )V r (2,3) 2r = ( )V r 16π(2) 9V = V 16π 919．已知函数 （ ） （1）当 ，证明 ； （2）如果函数 有两个极值点 ， （ ），且 恒成立，求实数 k 的取值范围. （3）当 时，求函数 的零点个数. 【解析】（1） 时， 等价于证明： 即证 ，令 ，当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增 ∴ ，∴ ，证毕! （2） 的两根分别为 ， ∴ ，解得 ∴ 显然 在 上单调递减. ∴ ( ) ( )2lnf x x a x x= + − a R∈ 0a = ( ) 1f x x< − ( )f x 1x 2x 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x k+ < 0a < ( )f x 0a = ( ) lnf x x= ln 1x x≤ − ln 1 0x x− − ≥ ( ) ln 1g x x x= − − ( ) 1 11 xg x x x −′ = − = 0 1x< < ( ) 0g x′ < ( )g x 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 0 ln 1 0g x x x≥ ⇒ − − ≥ ( ) ( ) 21 2 1 0 2 1 0f x x a ax axx ′ = + − = ⇒ − + = 1x 2x 2 1 2 1 2 8 0 1 02 1 02 a a x x x x a  ∆ = − >  + = >   = > 8a > ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 1 2 2lnf x f x x x a x x x x+ = + − + − ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1ln 22 a x x x x x xa  = + + − − +  ( )1 1 1ln 2 ln 2 14 2 4 aa a a g aa  = − + − − = − − − =   ( )g a ( )8,+∞ ( ) ( )8 ln16 2 1 4ln 2 3g a g< = − − = −∴ （3）当 时， ，令 ∴其只有一个正数根 ， （ ） 且当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减 ∴ 最大值 令 ， （ ） 令 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增 ∴ ∴ ①当 ，即 时， ，此时 只有一个零点 ②当 ，即 且 时，此时 ，注意到 （i）当 时， ，而 令 取 知 4ln 2 3k ≥ − − 0a < ( ) 22 1ax axf x x − +′ = ( ) 20 2 1 0f x ax ax′ = ⇒ − + = 2 1 8 4 a a ax a − −= 2 1 1 2 1 1 12 1 0 2ax ax a x x − + = ⇒ = − 1 1 2x > 10 x x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1x x> ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1 1ln ln 1 2 xf x x a x x x x −= = + − = + − ( ) 1ln ln 1 2 xx x x −= + − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 11 1 1 1 2 1 2 x xh x x xx x − + −′ = + = − − − ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 4 1 14 4 1 1 2 1 2 x xx x x x x x x − −− + −= = − − 1 2x > ( ) 0 1h x x′ = ⇒ = 1 12 x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )min 1 0h x h= = ( ) 0f x ≥ 最大值 ( )max 0f x = 1 1x = 1a = − ( )f x 1x = ( )max 0f x > 0a < 1a ≠ − ( )1 0f x > ( )1 0f = 1a < − 10 1x< < ( ) ( ) ( )( )2 2ln 1 1 1x a x x x a x x x ax+ − < − + − = − + ( )( ) 11 1 0x ax x a − + = ⇒ = − 0 1x a = − ( )0 0f x 0 1x a ′ = − ( )0 0f x′ < ( )f x ( )1 0,x x′ 1a = − 0a < 1a ≠ − ( )f x { }na 1 3a = *n∈N 1 1( 0)n na ka k+ = − ≠ { }1na − 1 k 4 , , 1, ,n n n nb a n −=  − 为奇数 为偶数 { }nb n nS m 2 2 1 m m S S − { }nb 1 1n na ka+ = − 1 3a = 2 3 1a k= − 2 3 3 1a k k= − − { 1}na − 2 2 1 3( 1) ( 1)( 1)a a a− = − − 2 2(3 2) 2 (3 2)k k k− = × − − 23 10 8 0k k− + = 2k = 4 3k = 4 3k = 1 43 ( 3)3n na a+ − = − 3na = 1 2na − = { 1}na − 2k = 1 1 2( 1)n na a+ − = − { 1}na − 1 1 21 n n aq a + −= =− k 2 1 2n na − = 4 , , 2 , ,n n n nb n −=   为奇数 为偶数则 ， 则 ， 因为 ，又 ， 且 ， ，所以 ，则 ，设 ， 则 或 为偶数，因为 不可能，所以 或 为偶数， ①当 时， ，化简得 ， 即 ，所以 可取值为 1，2，3， 验证 ， ， 得，当 时， 成立. ②当 为偶数时， ， 设 ，则 ， 由①知 ，当 时， ； 当 时， ，所以 ，所以 的最小值为 ， 所以 ，令 ，则 ， 2 2 (4 1) 4 (4 3) 4 [4 (2 1)] 4m mS m= − + + − + + + − − + 2(4 1) (4 3) [4 (2 1)] 4 4 4mm= − + − + + − − + + + +  14 4(4 ) 3 m m m + −= − + 2 1 2 2 4 4(4 ) 3 m m m mS S b m m− −= − = − + 2 2 +1 3 2 4m m mb b m+ = − + 2 2 2 +3 2 2 +1( ) ( ) 3 4 2 0m m m m mb b b b+ + − + = × − > 2 3 5 0b b+ = > 1 3 0b = > 2 1 0mS − > 2 0mS > 2 2 1 0,m t m S b tS − = > ∈ *N 1,3t = t 3 1b = 1t = t 2 1 2 1 =m m S bS − 14 4(4 ) 3 34 4(4 ) 3 m m m m m m + −− + =−− + 26 24 8 4 4mm m− + = − −≤ 2 4 2m m− + ≤0 m 2 1 7 3 S S = 4 3 3S S = 6 5 87 23 S S = 2m = 4 1 3 S bS = t 1 2 2 2 1 4 4(4 ) 33 14 4 3 12 4(4 ) 13 4 m m m m m m mS S m mm m + − −− + = = +− − + −− + + 23 12 4 4m m m mc − + −= 2 1 1 9 42 21 4m m m m mc c+ + − +− = 3m > 4m = 5 4 5 3 04c c −− = < 4m > 1 0m mc c+ − > 4 5 6c c c> < = − = − = ⋅ ×      1B AC C− − 7 7 yx 42 = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y G x y 2 2 1 1 2 24 , 4x py x py= = 21 4y xp = 1 2y xp ′ =所以曲线 C 在点 A 处的切线方程为 ， 在点 B 处的切线方程为 ， 因为两切线均过点 G，所以 ， 所以 A，B 两点均在直线上 ，所以直线 AB 的方程为 ， 又因为直线 AB 过点 F(0，p)，所以 ，即 G 点轨迹方程为 ； （2）设点 G( ， )，由（1）可知，直线 AB 的方程为 ，即 ， 将直线 AB 的方程与抛物线联立， ，整理得 ， 所以 ， ，解得 ， 因为直线 AB 的斜率 ，所以 ， 且 ， 线段 AB 的中点为 M ， 所以直线 EM 的方程为： ， 1 1 1 1 1 1 1( )2 2y x x x y x x yp p = − + = − ( )2 2 2 2 2 1 1 2 2y x x x y x x yp p = − + = − 0 1 0 1 1 2y x x yp = − 0 2 0 2 1 2y x x yp = − 0 0 1 2y x x yp = − 0 0 1 2y x x yp = − 0y p= − y p= − 0x p− 0 1 2p x x yp − = − 0 1 2y x x pp = + 0 2 1 2 4 y x x pp x py  = +  = 2 2 02 4 0x x x p− − = 1 2 02x x x+ = 2 1 2 4x x p= − 2 2 1 2 02 4x x x p− = + 0 1 02k xp = ≠ 0 0x ≠ 2 2 2 0 1 2 41 x pAB k x x p += + − = 2 0 0 1( , )2x x pp + 2 0 0 0 2 1( ) 2 py x x x px p = − − + +所以 E 点坐标为(0， )， 直线 AB 的方程整理得 ， 则 G 到 AB 的距离 ， 则 E 到 AB 的距离 ， 所以 ， 设 ，因为 p 是质数，且 为整数，所以 或 ， 当 时， ， 是无理数，不符题意， 当 时， ， 因为当 时， ，即 是无理数，所以 不符题意， 当 时， 是无理数，不符题意， 综上，当 G 点横坐标为整数时，S 不是整数． 2 0 1 2 x pp + 2 0 2 2 0x x py p− + = 2 2 0 2 2 1 02 2 0 4 4 4 x p d x p x p + = = + + 2 2 0 2 2 2 02 2 0 4 4 4 x p d x p x p − − = = + + 2 2 2 2 0 0 1 2 ( 4 ) 41 ( )2 x p x pS AB d d p + += + = 0x mp= 0x 1m p = ( 0)m Z m∈ ≠ 1m p = 0 1x = ± 2 2 2 2 0 0( 4 ) 4x p x pS p + += ( 0)m Z m∈ ≠ 2 2 2( 4) 4S m p m= + + 2m ≥ 2 24 ( 1)m m+ < + 2 4m + 2m ≥ 1m = ± 2 4 5m + =