2020 年高考（理科）数学一模（问卷）试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知复数 z＝cos23°+isin23°（i 为虚数单位），则 z• ＝（ ）
A．cos46° B．sin46° C．cos45° D．tan45°
2．已知集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{x| ≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
3．已知函数 f（x）＝xlnx，则 f（x）的导函数 y＝f'（x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量 的夹角为 120°，且 ， ，则向量 在向量 方向上的投影
是（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．
5．已知 F1F2 分别为双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上一点，
PF2 与 x 轴垂直，∠PF1F2＝30°，且焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝± x B．y＝± x C．y＝±2x D．y＝±3x
6．△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ctanC＝ acosB+ bcosA，若 c＝
2 ，a＝4，则 b 的值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．
7．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城
市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：
甲说：我去过阿勒泰；乙说：丙去过阿勒泰；
丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；
丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．我国在北宋 1084 年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，
刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨
辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元
玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和
开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书
中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上一点且 CE＝2EC1，则异面直线 AE 与 A1B
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数 f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间[﹣ ]单调递减，在区间
（ ）有零点，则 φ 的取值范围是（ ）
A．[ ] B．[ ） C．（ ] D．[ ）
11．已知函数 f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，当 x∈[0，
1]时，f（x）＝ ，则 f（2020）＝（ ）
A．2020 B． C． D．0
12．已知 F 是椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E 交
于 P，Q 两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应的横线上，答错位
置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．函数 y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为 3x+by﹣c＝0，则 b+c＝ ．
14．设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z＝2x+y 最大值为 ．
15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，已知△ABC 和
△BCD 所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且 a2+b2+c2
＝1，则鳖臑 A﹣BCD 的外接球的表面积为 ．
16．已知函数 f（x）＝ ﹣2klnx+kx，若 x＝2 是函数 f（x）的唯一极值点，则实数 k 的取
值集合是 ．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝4a1，a2 是 a1+1 与 a3 的等差中项．
（1）求 an 与 Sn；
（2）若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为梯形，且 AB∥DC，AB⊥AD，平面 PAD
⊥平面 ABCD．
（Ⅰ）证明：平面 PDC⊥平面 PAD；
（Ⅱ）若 PA＝PD＝AB＝ DC，∠PAD＝60°，求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值．
19．某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满 300 元可转动如图所示
的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域Ⅰ返券 60 元；停在区域Ⅱ返券 30 元；停在区域Ⅲ不返券．例如：消费 600 元，可抽奖 2 次，
所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费 300 元，求返券金额不低于 30 元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费 600 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 X
（元）．求随机变量 X 的分布列和数学期望．
20．已知函数 f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．
（Ⅰ）若 a＝1，求函数 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f（x）有两个极值点；x1、x2，且 x1＜x2，求证：f（x1）＜0 且 f（x2）＞﹣
．
21．椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）中，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的
面积为 1，|AB|＝ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是椭圆 C 上一点，F1、F2 是椭圆的左右两个焦点，直线 F1P、F2P 分别交 x＝4
于 M、N，是否存在点 P，使 S△PMN＝5S ，若存在，求出 P 点的横坐标；若不存
在，请说明理由．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系：xOy 中曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），M 是 C1 上的动
点，P 点满足 ＝3 ，P 点的轨迹为曲线 C2．
（Ⅰ）求 C2 的参数方程；
（Ⅱ）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 y＝ x 与 C1 的异于极点
的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，将曲线 C1、C2 的方程转化为极坐标方程后，
求|AB|．[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，g（x）＝x+2．
（Ⅰ）当 m＝﹣1 时，求不等式 f（x）＜3 的解集；
（Ⅱ）当 x∈[﹣m， ）时 f（x）＜g（x），求 m 的取值范围．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知复数 z＝cos23°+isin23°（i 为虚数单位），则 z• ＝（ ）
A．cos46° B．sin46° C．cos45° D．tan45°
【分析】利用互为共轭复数的运算性质即可得出．
解：z• ＝cos223°+sin223°＝1＝tan45°．
故选：D．
2．已知集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{x| ≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
3．已知函数 f（x）＝xlnx，则 f（x）的导函数 y＝f'（x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求导可得 f′（x）＝lnx+1（x＞0），再根据图象变换得出正确选项．
解：f′（x）＝lnx+1（x＞0），
故 f′（x）＝lnx+1 相当于函数 y＝lnx 向上移动了一个单位，由选项可知，选项 C 符
合．故选：C．
4．已知向量 的夹角为 120°，且 ， ，则向量 在向量 方向上的投影
是（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．
【分析】根据平面向量数量积与投影的定义，计算即可．
解：向量 的夹角为 θ＝120°，
且 ， ，
∴（ + ）• ＝ + • ＝12+1×2×cos120°＝0；
∴向量 在向量 方向上的投影是
| + |cos＜ + ， ＞＝| + |× ＝ ＝0．
故选：A．
5．已知 F1F2 分别为双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上一点，
PF2 与 x 轴垂直，∠PF1F2＝30°，且焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝± x B．y＝± x C．y＝±2x D．y＝±3x
【分析】先求出 c 的值，再求出点 P 的坐标，可得|PF2|＝ ，再由已知求得|PF1|，然后
根据双曲线的定义可得 的值，则答案可求．
解：由题意，2c＝2 ，
解得 c＝ ，
∵F2（c，0），设 P（c，y），
∴ ，解得 y＝± ，
∴|PF2|＝ ，
∵∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|＝ ，由双曲线定义可得： ＝2a，
则 2a2＝b2，即 ．
∴双曲线的渐近线方程为 y＝ ．
故选：B．
6．△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ctanC＝ acosB+ bcosA，若 c＝
2 ，a＝4，则 b 的值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinCtanC＝ sinC，结合
sinC≠0，可求得 tanC＝ ，结合范围 C∈（0，π），可求 C，进而根据余弦定理 b2﹣4b﹣
12＝0，解方程可求 b 的值．
解：∵ctanC＝ acosB+ bcosA，
∴由正弦定理可得：sinCtanC＝ （sinAcosB+sinBcosA）＝ sin（A+B）＝ sinC，
∵sinC≠0，
∴可得 tanC＝ ，
∵C∈（0，π），
∴C＝ ，
∵c＝2 ，a＝4，
∴由余弦定理 c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得 28＝16+b2﹣2× ，可得 b2﹣4b﹣12＝0，
∴解得 b＝6，（负值舍去）．
故选：A．7．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城
市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：
甲说：我去过阿勒泰；
乙说：丙去过阿勒泰；
丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；
丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．
解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；
如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．
故选：C．
8．我国在北宋 1084 年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，
刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨
辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元
玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和
开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书
中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数 n＝ ＝45，他取到
的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数 m＝ ＝35，由此能求出他取到的
书的书名中有“算”字的概率．
解：《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数
书九章》，
李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉
算法》，
朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．某图书馆中正好有这十本书，
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数 n＝ ＝45，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数 m＝ ＝35，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为 p＝ ＝ ．
故选：D．
9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上一点且 CE＝2EC1，则异面直线 AE 与 A1B
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出异面直线 AE 与 A1B 所成角的余弦值．
解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB＝3，则 A（3，0，0），E（0，3，2），A1（3，0，3），B（3，3，0），A1（3，
0，3），
＝（﹣3，3，2）， ＝（0，3，﹣3），
设异面直线 AE 与 A1B 所成角为 θ，
则异面直线 AE 与 A1B 所成角的余弦值为：
cosθ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．10．函数 f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间[﹣ ]单调递减，在区间
（ ）有零点，则 φ 的取值范围是（ ）
A．[ ] B．[ ） C．（ ] D．[ ）
【分析】根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系进行求解即可．
解：由 2kπ≤2x+φ≤2kπ+π，k∈Z，
得 kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ + ，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[kπ﹣ ，kπ+ ﹣ ]，k∈Z，
∵f（x）在区间[﹣ ]单调递减，
∴kπ﹣ ≤﹣ 且，kπ+ ﹣ ≥ ，
即 ，得 kπ+ ≤ ≤kπ+ ，k∈Z，
即 2kπ+ ≤φ≤2kπ+ ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴当 k＝0 时， ≤φ≤ ，
∵由 2x+φ＝kπ+ 得 x＝ ﹣ + ，∵f（x）在区间（ ）有零点，
∴满足﹣ ＜ ﹣ + ＜0，
当 k＝0 时，﹣ ＜﹣ + ＜0，
得 ＜φ＜ ，
综上 ＜φ≤ ，
故选：C．
11．已知函数 f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，当 x∈[0，
1]时，f（x）＝ ，则 f（2020）＝（ ）
A．2020 B． C． D．0
【分析】根据题意，由函数 f（x）的对称性可得 f（x+4）＝﹣f（x+2），即 f（x+2）＝﹣
f（x），进而可得 f（x+4）＝f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，据此可得 f
（2020）＝f（0），由函数的解析式计算可得答案．
解：根据题意，函数 f（x+2）为奇函数，即函数 f（x）的图象关于点（2，0）对称，则有
f（﹣x）＝﹣f（x+4），
函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，则 f（﹣x）＝f（2+x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），即 f（x+2）＝﹣f（x），
则有 f（x+4）＝f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，
f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝0；
故选：D．
12．已知 F 是椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E 交
于 P，Q 两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得 a 和 c 的关系，即可求得椭圆
的离心率．
解：设椭圆的右焦点 F′，连接 PF′，QF′，根据椭圆对称性可知四边形 PFF'Q 为平行
四边形，则|QF|＝|PF'|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，
所以|PF|+|PF'|＝4|PF'|＝2a，则|PF'|＝ ，|PF|＝
由余弦定理可得（2c）2＝|PF|2+|PF'|2﹣2|PF||PF'|cos60°＝（|PF|+|PF'|）2﹣3|PF||PF'|，
即 4c2＝4a2﹣ a2＝ a2，
∴椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应的横线上，答错位
置，书写不清，模棱两可均不得分.）
13．函数 y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为 3x+by﹣c＝0，则 b+c＝ 1 ．
【分析】先将（1，1）分别代入函数解析式和切线方程得关于 a，b，c 的两个方程，再对
函数求导数，利用切点处导数值等于切线斜率列方程，解方程组即可．
解：因为 y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为 3x+by﹣c＝0，∴切线斜率为 ．
∴ ，∴a＝1，∴y′＝4x﹣1，∴ ，
故 b＝﹣1，c＝2．
∴b+c＝1．
故答案为：114．设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z＝2x+y 最大值为 14 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可求出 z 的最大值．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z，
平移直线 y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，y＝﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最大．
由 ，
解得 ，即 A（4，6），
代入 z＝2x+y＝2×4+6＝14．
即目标函数 z＝2x+y 最大值为 14．
故答案为：14．
15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，已知△ABC 和
△BCD 所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且 a2+b2+c2
＝1，则鳖臑 A﹣BCD 的外接球的表面积为 π ．
【分析】要求外接球，需知到其半径，因为球心到球面的点的距离相等，可以找出一点到
ABCD 四个点的距离相等，求解即可．解：因为球心到球面的点的距离相等，可以找出一点到 ABCD 四个点的距离相等，在直角
三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，
可知 AD 中点 O 到 A，B，C，D 的距离相等，所以 AO＝ AD；
而 AD2＝AB2+BD2＝AB2+BC2+CD2＝a2+b2+c2＝1；
∴A﹣BCD 的外接球的半径为：r＝ ；
故 A﹣BCD 的外接球的表面积为：4πr2＝π；
故答案为：π．
16．已知函数 f（x）＝ ﹣2klnx+kx，若 x＝2 是函数 f（x）的唯一极值点，则实数 k 的取
值集合是 [﹣ ，+∞） ．
【分析】由已知可知 x＝2 是 f′（x）＝0 唯一的根，进而可转化为﹣k＝ 在 x＞0 时没
有变号零点，构造函数 g（x）＝ ，x＞0，结合导数及函数的性质可求．
解：函数定义域（0，+∞）， ＝ ，
由题意可得，x＝2 是 f′（x）＝0 唯一的根，
故 ex+kx2＝0 在（0，+∞）上没有变号零点，
即﹣k＝ 在 x＞0 时没有变号零点，
令 g（x）＝ ，x＞0，则 ，
当 x＞2 时，g′（x）＞0，函数单调递增，当 0＜x＜2 时，g′（x）＜0，函数单调递减，
故当 x＝2 时，g（x）取得最小值 g（2）＝ ，
故﹣k 即 k ．
故答案为：[﹣ ）．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝4a1，a2 是 a1+1 与 a3 的等差中项．
（1）求 an 与 Sn；
（2）若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为 q，由 S2＝4a1，a2 是 a1+1 与 a3 的等差中项．可
得 a1（1+q）＝4a1，2a2＝a1+1+ a3，即 2a1q＝a1+1+ a1q2，联立解得 a1，q，再利用通项
公式与求和公式即可得出 an，Sn．
（2）bn＝ ＝ ＝ （ ﹣ ），利用裂项求和方法
即可得出数列{bn}的前 n 项和 Tn．
解：（1）设等比数列{an}的公比为 q，∵S2＝4a1，a2 是 a1+1 与 a3 的等差中项．
∴a1（1+q）＝4a1，2a2＝a1+1+ a3，即 2a1q＝a1+1+ a1q2，
联立解得 a1＝2，q＝3，
∴an＝2×3n﹣1．
Sn＝ ＝3n﹣1．
（2）bn＝ ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ + ﹣ +……+
＝ ．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为梯形，且 AB∥DC，AB⊥AD，平面 PAD
⊥平面 ABCD．
（Ⅰ）证明：平面 PDC⊥平面 PAD；
（Ⅱ）若 PA＝PD＝AB＝ DC，∠PAD＝60°，求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值．【分析】（Ⅰ）先利用面面垂直的性质定理可得 AB⊥平面 PAD，进而得到 CD⊥平面 PAD，
再根据面面垂直的判定定理得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解即可．
解：（Ⅰ）证明：∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，AB⊥AD，AB
在平面 ABCD 内，
∴AB⊥平面 PAD，
又∵AB∥CD，
∴CD⊥平面 PAD，
而 CD 在平面 PAD 内，
∴平面 PDC⊥平面 PAD；
（Ⅱ）作 PO⊥AD 于 O，则 PO⊥平面 ABCD，过 O 作 OE∥AB 交 BC 于 E，
如图，以 O 为坐标原点，DA，OE，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，
设 AB ＝ 2 ， 则 ， 故
，
设 平 面 PAB 的 一 个 法 向 量 为 ， 则 ， 则 可 取
，
设 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 为 ， 则 ， 则 可 取
，
∴ ，
由图可知，二面角 A﹣PB﹣C 的平面角为锐角，故二面角 A﹣PB﹣C 的平面角的余弦值为．
19．某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满 300 元可转动如图所示
的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域Ⅰ
返券 60 元；停在区域Ⅱ返券 30 元；停在区域Ⅲ不返券．例如：消费 600 元，可抽奖 2 次，
所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费 300 元，求返券金额不低于 30 元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费 600 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 X
（元）．求随机变量 X 的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）设指针落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别记为事件 A、B、C，则 P（A）＝ ，P
（B）＝ ，P（C）＝ ，若返券金额不低于 30 元，则指针落在区域Ⅰ或区域Ⅲ，再根据
和事件求概率即可；
（Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为 0，30，60，90，120，然后结合独立事件依次求出每个 X
的取值所对应的概率即可得到分布列，再求数学期望即可得解．
解：（Ⅰ）设指针落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别记为事件 A、B、C，则 P（A）＝ ，P（B）＝
，P（C）＝ ，
若返券金额不低于 30 元，则指针落在区域Ⅰ或区域Ⅲ的概率为 P（A）+P（B）＝，
即消费 300 元的顾客，返券金额不低于 30 元的概率是 ．
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘 2 次，随机变量 X 的可能取值为 0，30，60，90，
120，
P（X＝0）＝ ，
P（X＝30）＝ ，
P（X＝60）＝ ，
P（X＝90）＝ ，
P（X＝120）＝ ．
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 30 60 90 120
P
数学期望 E（X）＝ ．
20．已知函数 f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．
（Ⅰ）若 a＝1，求函数 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f（x）有两个极值点；x1、x2，且 x1＜x2，求证：f（x1）＜0 且 f（x2）＞﹣
．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；
（II）结合函数的极值与导数零点的关系及函数的性质进行合理的变形可证．
解：（I）a＝1 时，f（x）＝x（lnx﹣x），f（1）＝﹣1，
因为 f′（x）＝lnx+1﹣2x，f′（1）＝﹣1，
所以 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y+1＝﹣（x﹣1）即 x+y＝0；
（II）由已知可得，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x＞0，
由 f′（x）＝0 可得，2a＝ ，
令 g（x）＝ ，则 ，易得 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且 g（1）＝1，g（ ）＝
0，
故当 x＞1 时，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）→0，
数 f（x）有两个极值点；x1、x2，且 x1＜x2，即 f′（x）＝0 有两个零点 x1、x2，且 x1＜
x2，则 0＜2a＜1，
所以 0 ，
∴x1＜1＜x2，
当 x∈（x1，1）时， ＞2a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以 f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，
当 x∈（1，x2）时， ＞2a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x2） ，
综上，f（x1）＜0 且 f（x2）＞﹣ ．
21．椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）中，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的
面积为 1，|AB|＝ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是椭圆 C 上一点，F1、F2 是椭圆的左右两个焦点，直线 F1P、F2P 分别交 x＝4
于 M、N，是否存在点 P，使 S△PMN＝5S ，若存在，求出 P 点的横坐标；若不存
在，请说明理由．
【分析】（I）由三角形的面积公式可得 ab＝2，结合两点的距离公式解得 a，b，进而得到
椭圆方程；
（II）假设存在点 P，使 S△PMN＝5S ，设 P（x0，y0），求得 D 的坐标，过 P 作 x
轴的垂线交 x 轴于 Q（x0，0），运用三角形的面积公式和三角形的相似性质，结合坐标运
算，解方程可得所求值．
【解答】 解：（I）由题意可得，△OAB 的面积为 ab＝1，
又|AB|＝ ，可得 a2+b2＝5，解得 a＝2，b＝1，
则椭圆 C 的方程为 +y2＝1；（II）假设存在点 P，使 S△PMN＝5S ，
设 P（x0，y0），x＝4 与 x 轴交于 D（4，0），过 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q（x0，0），
又 F1（﹣ ，0），F2（ ，0），
由 S△PMN＝5S ，
可得 |PM|•|PN|•sin∠MPN＝5• |PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2，
即|PM|•|PN|＝5|PF1|•|PF2|，
可得 ＝5• ，则 ＝5• ，
即 ＝5• ，可得 4x02+8x0﹣31＝0，或 6x02﹣8x0+1＝0，
又﹣2＜x0＜2，则 x0＝ ∈（0，2）或 x0＝ ∈（0，2），
故存在 P，且 P 的横坐标为 或 或 ．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系：xOy 中曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），M 是 C1 上的动
点，P 点满足 ＝3 ，P 点的轨迹为曲线 C2．
（Ⅰ）求 C2 的参数方程；
（Ⅱ）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 y＝ x 与 C1 的异于极点
的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，将曲线 C1、C2 的方程转化为极坐标方程后，
求|AB|．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的变换的应用求出结果．
解：（Ⅰ）设 P（x，y）由于 P 点满足 ＝3 ，所以 M（ ），由于点 M 在 C1 上，
所以 ，整理得 C2 的参数方程 （α 为参数）．
（Ⅱ）曲线 C1 的参数方程转换为极坐标方程为 ρ＝2sinθ，曲线 C2 的参数方程转换为极坐
标方程为 ρ＝6sinθ，
直线 y＝ x 转换为极坐标方程为 ．
所以 ，解得 ρA＝1，
同理 ，解得 ρB＝3，
故|AB|＝|ρA﹣ρB|＝3﹣1＝2．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，g（x）＝x+2．
（Ⅰ）当 m＝﹣1 时，求不等式 f（x）＜3 的解集；
（Ⅱ）当 x∈[﹣m， ）时 f（x）＜g（x），求 m 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义，去绝对值符号，可得 x 的不等式组，解不等式，求并集
可得所求解集；
（Ⅱ）由题意可得 m＜2x+1 在 x∈[﹣m， ）恒成立，运用一次函数的单调性可得 y＝2x+1
的最小值，可得 m 的不等式，注意﹣m＜ ，解不等式可得 m 的范围．
解：（Ⅰ）当 m＝﹣1 时，|2x﹣1|+|x﹣1|＜3，
等价为 或 或 ，
解得 1≤x＜ 或 ＜x＜1 或﹣ ＜x≤ ，
则原不等式的解集为（﹣ ， ）；（Ⅱ）当 x∈[﹣m， ）时 f（x）＜g（x），
即为 1﹣2x+x+m﹣（x+2）＜0，即 m＜2x+1 在 x∈[﹣m， ）恒成立，
可得 m＜﹣2m+1，可得 m＜ ，但﹣m＜ ，即 m＞﹣ ，
可得 m 的取值范围为（﹣ ， ）．
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