天津市滨海新区2020届高三数学学习反馈检测试题（Word版有答案）

2020 年滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题 （数学学科 A 卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写 在答题卡上，答在试卷上的无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号. 2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 参考公式： 如果事件 、 互斥，那么 如果事件 、 相互独立，那么 柱体的体积公式 . 球的表面积、体积公式： 锥体的体积公式 . ， ， 其中 表示柱（锥）体的底面积, 其中 为球的半径． 表示柱（锥）体的高. 一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 ， ， ，则集合 (A) (B) (C) (D) （2）设 ，则“ ”是“ ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 （3）某校有 200 位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估 计，每周锻炼时间在 小时内的人数为 • A B • A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B= + ( ) ( ) ( )P AB P A P B= • V Sh= • 1 3V Sh= 24S R= π 34 3V R= π S R h { }1,2,3,4,5,6U = { }1,3,5A= { }2,3,4B= U =A B { }1,3,5,6 { }1,3,5 { }1,3 { }1,5 x R∈ 2 1x − > 2 4 3 0x x− + > [10,12]( A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72 （4）函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为 (A) (B) (C) (D) （5）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体 积为 ， ， ， ，则此球的表面积等于 (A) (B) (C) (D) （6）已知函数 ，且 则 的大小 关系为 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数 ，其图象相邻两条对称轴 之间的距离为 ，且函数 是偶函数，下列判断正确的是 (A) 函数 的最小正周期为 （A）8 （B）6 （C）5 （D）4 3 1( ) ( 1) x x ef x x e += − e 1 1 1ABC A B C− 3 2AB = 1AC = 60BAC∠ =  8π 9π 10π 11π 1 2 ( ) 2 logxf x x= − 1 2 3 1(ln ), log , (2 ),2 3a f b f c f − = = =   , ,a b c c a b< < b c a< < a c b< < b a c< < ( ) sin( )( 0, )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 2 π ( )12f x π+ ( )f x 2π （第 3 题图）(B) 函数 的图象关于点 对称 (C) 函数 的图象关于直线 对称 (D) 函数 在 上单调递增 （8）已知双曲线 的左焦点为 ,抛物线 的准线与 双曲线的一个交点为 ,点 为线段 的中点，且 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为 (A) (B) (C) (D) （9）已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 2020 年滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题 (数学学科 A 卷) 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 11 小题，共 105 分. ( )f x 7 012 π（ ，） ( )f x 7 12x π= − ( )f x 3 4 π π    ， 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b − = > > ( ,0)F c− 2 4y cx= P M PF OFM∆ C 2 2 1+ 5 1 2 + 10 2 2 + 22 , 0 ( )= 1 , 0 x x x f x xx  − ≥ 3 4 5 28a a a+ + = 4 2a + 3 5,a a { }nb 1 1b = { }1( )n n nb b a+ − n 22n n+ { }na { }nb ,A B 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F 1BA BF⋅ =  1 2 C P M AP y AP x N OP 1k MN 2k 2 1 2 8bk k a ⋅ = − O AP（20）（本小题满分 16 分） 已知 ， Ⅰ 求 在 处的切线方程以及 的单调性； Ⅱ 对 ，有 恒成立，求 的最大整数解； （III）令 ，若 有两个零点分别为 ，且 为 的唯一的极值点，求证： . 2020 年滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测 （数学学科 A 卷）参考答案及评分标准 一.选择题（本大题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D C B D A C D B A 二.填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.)(试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分) 10 11 12 13 14 15 三.解答题(本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． （16）（本小题满分 14 分） 解： Ⅰ 在 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 ,……………2 分 的面积为 , （ ） （ ） 2( ) 4 6lnf x x x x= − − ( )f x (1, (1))f ( )f x (1, )x∀ ∈ +∞ 2 1( ) ( ) 6 (1 ) 12xf x f x x k x ′ − > + − − k ( ) ( ) 4 ( 6)lng x f x x a x= + − − ( )g x 1 2 1 2, ( )x x x x< 0x ( )g x 1 2 03 4x x x+ > i− 60 2 23) ( 2) 25（x y− + − = 9 3 50 5 ， 1 12 ， 2− （ ） ABC∆ 21 2 21, , 13 3b c cosA sinA cos A− = = ∴ = − = ABC∆ 1 2 2 2 2 2, 6, 3, 22 2 3 3 bcbc sinA bc bc b c⋅ = ⋅ = = ∴ = ∴ = =．……………5 分 再根据正弦定理可得 ,即 ．……………7 分 Ⅱ ……………9 分 ,……………11 分 故 ． ……………14 分 （17）（本小题满分 15 分） Ⅰ ∵平面 平面 ABCD， ，平面 平面 ABCD ， 平面 ABCD，∴ 平面 ; ……………4 分 （II）取 的中点 ，连接 ，由于 是等边三角形，所以 ，由平面 平面 ABCD，得 平面 ， ……………6 分 以 为 轴， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 则 ， ， ， ， ，……………7 分 （ ） 2 2 12 9 4 2 3 2 33a b c bc cosA∴ = + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = a c sinA sinC = 3 2 4 2, 92 2 3 sinCsinC = ∴ = （ 2 2 1 4 22 2 2 ,3 3 9sin A sinAcosA∴ = = × × =） 2 72 2 1 9cos A cos A= − = − 7 3 4 2 1 4 2 7 32 2 26 6 6 9 2 9 2 18cos A cos Acos sin Asin π π π −− = + = − ⋅ + ⋅ =（ ） PAD ⊥ AC AD⊥ PAD  AD= AC ⊂ AC ⊥ PAD AD O PO PAD∆ PO AD⊥ PAD ⊥ PO ⊥ ABCD 3PO = AP x AC y A PO z (0,0,0)A (2,0,0)D (0,1,0)C 1 1( , ,0)2 2B − (1,0, 3)P， ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ，则 ， ， ，……………9 分 平面 的一个法向量为 ， ， 从而 ，……………10 分 ∴平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的正弦值为 ；……………11 分 （III）假设棱 PD 上存在一点 E，使得 平面 PBC，设 ， 由（II） ， ， ，……………13 分 又平面 的一个法向量是 ， ∴ ，解得 ，∴ . ∴棱 PD 上存在一点 E，使得 平面 PBC，且 . ……………15 分 （18）（本小题满分 15 分） 解：（1）由题知 ， 是 的等差中项， 所以 ,解得 ，所以 .……………4 分 （2）设 ，数列 前 项和为 . ( 1,1, 3)PC = − − 1 1( , ,0)2 2BC = PBC ( , , )n x y z= 3 0 1 1 02 2 n PC x y z n BC x y  ⋅ = − + − = ⋅ = + =   1x = − 1y = 2 3 3z = 2 3( 1,1, )3n = − PAD (0,1,0)m = 2 2 2 1 30cos , 102 31 ( 1) 1 ( )3 m nm n m n ⋅< >= = = × − + +      70sin , 10m n< >=  70 10 / /AE PE PDλ=  (0 1)λ≤ ≤ (1,0, 3)PD = − (1,0, 3)AP = 1 0 3 3)AE AP PE AP PDλ λ λ= + = + = + −     ( ，， PBC 2 3( 1,1, )3n = − 2 31 3 3 03 ( )AE n λ λ⋅ = − − + − =  1 3 λ = 1 3 PE PD = / /AE 1 3 PE PD = 3 4 5 28a a a+ + = 4 2a + 3 5,a a a a a3 5 42 4+ = + ，a q4 8 2= = n na 12 −= n n n nc b b a1( )+= − { }nc n nS由 解得 .……………7 分 由（1）可知 ， 所以 ，故 ………9 分 ……………11 分 ， 所 以 所以 ，……………13 分 又 ，所以 .…………… 15 分 （19）（本小题满分 15 分） 解：（I）依题意知： ， ， ， ， ， 则 ，又 ， ， 椭圆 的标准方程为 .……………5 分 （II）由题意 ，设直线 的斜率为 ，直线 方程为 所以 ，设 ， 中点为 ， 由 消去 得 ……………5 分 n n n S nc S S n 1 1 , 1, , 2.− ==  − ≥ nc n4 1= − n na 12 −= （ ）（ ）n n nb b n 1 1 14 1 2 − + − = − ⋅ （ ）（ ）n n nb b n n2 1 14 5 , 22 − −− = − ⋅ ≥ n n n n nb b b b b b b b b b1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )− − −− = − + − + ⋅⋅⋅ + − + − （ ）（ ）n nn n2 3 1 01 1 1 14 5 (4 9) ( ) 7 ( ) 3 ( )2 2 2 2 − −= − ⋅ + − ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ + ⋅ （ ）（ ）n n nT n n n0 1 3 21 1 1 13 ( ) 7 ( ) (4 9) ( ) 4 5 , 22 2 2 2 − −= ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + − ⋅ + − ⋅ ≥ nT =1 2 n nn n2 2 11 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 − −⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + − ⋅ + − ⋅ n n nT n2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 − −= + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ − − ⋅ n nT n n2114 (4 3) ( ) , 2,2 −= − + ⋅ ≥ b1 1= n nb n 2115 (4 3) ( )2 −= − + ⋅ ( ,0)A a− 0( , )B b 0(c, )F ( , )BA a b= − − ( , )BF c b= − 2 1BA BF ac b⋅ = − + =  1 2 ce a = = 2 3 a b =∴ = ∴ C 2 2 14 3: x yC + = ( )2 0,A − AP k AP 2( )y k x= + 0 2( , )M k ( ),p pP x y AP ( ),H HH x y ( )0,NN x 2 2 2 14 3 ( )y k x x y = + + = y ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ + + − =……………9 分 中垂线方程为： 令 得 . ……………11 分 ， ……………13 分 ……………14 分 解得 . 直线 的方程为 ， 即 ……………15 分 （20）（本小题满分 16 分） 解：（I） 所以定义域为 2 2 16 122 3 4( ) P kx k −∴ − ⋅ = + 2 2 2 6 8 12 3 4 3 4,k kP k k  −∴  + +  2 2 2 8 6 3 4 3 4,k kH k k  −∴  + +  AP∴ 2 2 2 6 1 8 3 4 3 4 k ky xk k k  −− = − − + +  0y = 2 2 2 3 4N kx k −= + 2 2 2 ,03 4 kN k  −∴  +  2 6 3 41 P P y kk x k ∴ = = − 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 k kk k k k += = + 2 2 2 6 3 4 8 123 41 2 k k bk k k k a  + ⋅ = ⋅ = − = −  −    2 9 4k = 3 2k∴ = ± ∴ AP 3 22 ( )y x= ± + 3 2 6 0x y± + = 2( ) 4 6lnf x x x x= − − ( )0,+∞； ； 所以切线方程为 ；……………3 分 ， 令 解得 令 解得 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .……………5 分 （II） 等价于 ； ，……………7 分 记 ， ，所以 为 上的递增函数， 且 ， ，所以 ，使得 即 ，……………9 分 所以 在 上递减，在 上递增， 且 ； 所以 的最大整数解为 .……………10 分 （III） ， 得 ， 当 ， ， ， ； 所以 在 上单调递减， 上单调递增，……………11 分 6( ) 2 4f x x x ′∴ = − − (1) 8f ′ = − (1) 3f = − 8 5y x= − + 2 1 3( ) ( )( )f x x xx ′ = + − 0( )f x′ > 3x > 0( )f x′ < 0 3x< < ( )f x ( )0 3, 3( , )+∞ 2 16 1 12( ) ( )xf x f x x k x  ′ − > + − −   1 min ln ( )x x xk h xx +< =− 2 2 1 ln( ) ( ) x xh x x − −′∴ = − 2( ) lnm x x x= − − 11 0( )m x x ′ = − > ( )m x 1( , )+∞ 3 1 3 0( ) lnm = − < (4) 2 ln4 0m = − > 0 3 4( , )x∃ ∈ ( )0 0m x = 0 02 0lnx x− − = ( )h x ( )01, x ( )0 ,x +∞ ( ) 0 0 0 0 0 0 3 41min ln( ) ( , )x x xh x h x xx += = = ∈− k 3 2( ) lng x x a x= − 2 22 0( )( )( ) a x a x ag x x x x + −′ = − = = 0 2 ax = 0 2, ax   ∈    0( )g x′ < 2 ,ax   ∈ +∞    ( ) 0g x′ > ( )g x 0, 2 a      ,2 a  +∞   而要使 有两个零点，要满足 ， 即 ； 因为 ， ，令 ， 由 ， ，……………12 分 即： ， ……………13 分 而要证 ， 只需证 ， 即证： 即： 由 ， 只需证： ，……14 分 令 ，则 令 ，则 ……15 分 故 在 上递增， ； 故 在 上递增， ； .…………16 分 ( )g x ( )0 0g x < 2 ln 0 22 2 2 a a ag a a e     = − < ⇒ >          10 2 ax< < 2 2 ax > 2 1 x tx = 1( )t > ( ) ( )1 2f x f x= 2 2 1 1 2 2ln lnx a x x a x∴ − = − 2 2 2 1 1 1 1ln lnx a x t x a tx− = − 2 1 2 1 lna tx t ∴ = − 1 2 03 4x x x+ > 1(3 1) 2 2t x a+ > 2 2 13 1 8( )t x a+ > 2 2 ln(3 1) 81 a tt at + >− 0a > 1t > 2 23 1 8 8 0( ) lnt t t+ − + > 2 2( ) (3 1) ln 8 8h t t t t= + − + 1( ) (18 6)ln 7 6h t t t t t ′ = + − + + 1( ) (18 6)ln 7 6n t t t t t = + − + + 2 6 1( ) 18ln 11 0tn t t t −′ = + + > ( 1)t > ( )n t (1, )+∞ ( ) (1) 0n t n> = ( )h t 1( , )+∞ ( ) (1) 0h t h> = 1 2 03 4x x x∴ + >