山东省青岛市2020届高三数学4月一模试题（Word版有答案）

青岛市 2020 年高三统一质量检测 数学试题 2020.04 全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟｡ 一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 则 z 的共轭复数 z 的虚部为 A. –i B.1 C. i D. -1 2.已知集合 ,集合 B={x∈R||x-1|c>a D. c>a>b 5.已知函数 为自然对数的底数),若 f(x)的零点为 α,极值点 为 β,则 α+β= A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上,且 EF//底面 ABCD,则 异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° 7.在同一直角坐标系下,已知双曲线 C: 的离心率为 双曲线 C 的 一个焦点到一条渐近线的距离为 2,函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 D, 点 A,B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 A.2 D.1 8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题 型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为 且各次答对与 1 2 ,iz i −= 2{ | log 2}A x R x= ∈ < ξ 2(2000,100 ),N ξ 2( , ),N µ σ ( 2 2 ) 0.9544P µ σ ξ µ σ− < < + = 0.22 ,a b= = 2, log 0.2,c = 3 9, 0( ) ( 2.718... , 0 x x xf x e xe x  − ≥= = > 2, sin(2 )6y x π= + 3 π . 3B . 2C 4 ,5否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 二､多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求｡全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分｡ 9.已知向量 设 的夹角为 θ,则 D. θ=135° 10.已知函数 x∈R,则 A. -2≤f(x)≤2 B. f(x) 在区间(0,π)上只有 1 个零点 C. f(x) 的最小正周期为 π 为 f(x)图象的一条对称轴 11.已知数列 的前 n 项和为 S 数列 的前 n 项和 为 则下列选项正确的为 A.数列 是等差数列 B.数列 是等比数列 C.数列 的通项公式为 12. 已 知 四 棱 台 的 上 下 底 面 均 为 正 方 形 , 其 中 则下述正确的是 A.该四棱合的高为 C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱合外接球的表面积为 16π 三､填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分｡ 13.若∀x 恒成立,则实数 a 的取值范围为____ 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则 f(2)=____ 15. 已知 a∈N,二项式 展开式中含有 项的系数不大于 240,记 a 的取值集合为 A, 则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 . 16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆 Q 的 圆心,圆 Q 过坐标原点 O;点 L､S 均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半径都等于 2,圆 S､圆 L 均与圆 Q 外切｡ 已知直线 l 过点 O . 112. 125A 80. 125B 113. 125C 124. 125D (1,1), ( 3,1), (1,1),a b a b c+ = − = − =    ,a b . | | | |A a b=  .B a c⊥  . / /C b c  2 2( ) sin 2 3sin cos cos ,f x x x x x= + − . 3D x π= { }na 1 1, 1, 2 1,n n na S S a+= = + + 1 2{ } n n na a +⋅ *, ,nT n N∈ { 1}na + { 1}na + { }na 2 1n na = − . 1nD T < 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2,AB = 1 1 1 1 12, 2,A B AA BB CC= = = = 3 1 1.B AA CC⊥ 1(0, ),4x x a−∈ +∞ + ≥ 61( )ax x ++ 2x(1) 若直线 l 与圆 L､圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为____ ; (2)若直线 l 截圆 L､圆 S､圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d=____. (本题第一个空 2 分,第二个空 3 分) 四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10 分) 设 等 差 数 列 的 前 n 项 和 为 等 比 数 列 的 前 n 项 和 为 已 知 n∈N*. (1)求 的通项公式; (2)是否存在正整数 k,使得 且 ？若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由｡ 18.(12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, . (1)求角 C ; (2)若 D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积 S=4 且 B> A; 条件②: 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡ 19. (12 分) 在如图所示的四棱锥 E-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,△BCE 为边长为 2 的等边三角 形,AB=AE,点 F,O 分别为 AB, BE 的中点, OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线｡ { }na ,nS { }nb .nT 1 1 2,a b = 2 36, 12,SS = = 2 4 ,3T = { }, { }n na b 6kS k< 13 9kT > 2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A= + − − 2 10,c = 2 5cos .5B =(1)证明:平面 ABE⊥平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 20. (12 分) 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜 爱｡ (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元） 9 12 17 21 27 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x=1, 2016 年为 x=2,……依次类推)的线性回 归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ; (2)在 2020 年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加 A､B 两 店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在 A､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 p､q,记 该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 X . ( i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k≥2,k∈N* )件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数 量为 Y,假设 ,求 E(Y)取最大值时正整数 k 的值. 附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: . 21. (12 分) 已知 O 为坐标原点,椭圆 C 的左,右焦点分别为点 又恰为 2 7sin sin ,4 4 k kp qk k k π π π= − = ˆˆy bx a= + 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ) ˆ ˆ; ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x = = = = − ⋅ − − = = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2, ,F F 2F抛物线 D 的焦点,以 为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若 直 线 l 与 D 相 交 于 A,B 两 点 , 记 点 A,B 到 直 线 x=-1 的 距 离 分 别 为 直线 l 与 C 相交于 E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为 (i)证明: 的周长为定值; (ii)求 的最大值. 22. (12 分) 已知函数 的图象在点(1,1)处的切线方程为 y=1. (1)当 x∈(0,2)时,证明: 0< f(x)