2020 年高考（文科）数学二模试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
2．设复数 z 满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
3．Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S15＝0，则 a8＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量 K2 的观测
值 k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（ ）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
A．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝ ，且 ， 夹角为 ，则（ + ）•（2 ﹣ ）＝（ ）
A． B． C． D．
6．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系
统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十
六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算器体积 的近似
公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么近似公式 相
当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 α，β 是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题中正确的是（ ）
A．若 α⊥β，则 m∥β B．若 α⊥β，则 m⊥β
C．若 m∥β，则 α∥β D．若 m⊥β，则 α⊥β8．函数 y＝xcosx+sinx 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．要得到函数 的图象，可将 y＝2sin2x 的图象向左平移（ ）
A． 个单位 B． 个单位 C． 个单位 D． 个单位
10．数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函
数的一条性质：
甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称；丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．若双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的
弦长为 2．则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 f（x）＝ ，函数 F（x）＝f（x）﹣b 有四个不同的零点 x1，
x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则 的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知等比数列{an}满足 a1+a3＝10，a2+a4＝5，则 a5＝ ．14．若实数 x，y 满足不等式组 则目标函数 z＝3x﹣y 的最大值为 ．
15．曲线 f（x）＝x+lnx 在 x＝1 处的切线方程是 ．
16．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥平面 ABC，若 PC＝BC＝ ，AB＝2，PA 与平面 ABC 所
成线面角的正弦值为 ，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 ．
三.解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
17．在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 ＝2csinA
（1）确定角 C 的大小；
（2）若 c＝ ，且△ABC 的面积为 ，求 a+b 的值．
18．扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，
每天上午第三节课后全校大课间活动时长 35 分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用
简单随机抽样法抽取了 100 名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进
行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：
分组 [0，30） [30，60） [60，90） [90，120） [120，150） [150，180]
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于 120 分钟的学生称为“锻炼达人”．
（1）将频率视为概率，估计我校 7000 名学生中“锻炼达人”有多少？
（2）从这 100 名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取 5 人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这 5 人中随机抽取 2 人作为组长候选人，求抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率．
19．如图，三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中，BB1⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，
D 是 CC1 的中点，E 是 AB 的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面 C1BA1；
（Ⅱ）F 是线段 CC1 上一点，且 CF＝2FC1，求 A1 到平面 ABF 的距离．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的焦距是 2 ，长轴长为 4．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）A，B 是椭圆 C 的左右顶点，过点 F（﹣ ，0）作直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，
若△MAB 的面积是△NAB 面积的 2 倍，求直线 l 的方程．
21．已知函数 f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝ mx2+x（m∈R），令 F（x）＝f（x）+g
（x）．
（1）当 m＝ 时，求函数 f（x）的单调递增区间；
（2）若关于 x 的不等式 F（x）≤mx﹣1 恒成立，求整数 m 的最小值．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记
分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数且 t≠0，a∈[0，
π）），曲线 C2 的参数方程为 （θ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．
（1）求 C2 的普通方程及 C3 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与曲线 C2C3 分别交于点 A，B，求|AB|的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若 a＝﹣1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集；
（2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：集合 A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则 A∩B＝（2，
3），
故选：A．
2．设复数 z 满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求
解．
解：由（1+i）z＝3+i，得 z＝ ，
∴|z|＝ ．
故选：D．
3．Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S15＝0，则 a8＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．
解：Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S15＝ ＝15a8＝0，
则 a8＝0，
故选：B．
4．通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量 K2 的观测
值 k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（ ）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024A．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【分析】通过计算得到统计量值 k2 的观测值 k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结
论．
解：∵计算得到统计量值 k2 的观测值 k≈4.892＞3.841，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．
故选：C．
5．已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝ ，且 ， 夹角为 ，则（ + ）•（2 ﹣ ）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．
解：（ + ）•（2 ﹣ ）＝2 2﹣ 2+ • ＝2﹣3+1× ＝
故选：A．
6．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系
统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十
六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算器体积 的近似
公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么近似公式 相
当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设圆锥底面圆的半径 r，高 h，写出底面周长 L，写出圆锥体积，代入近似公式即
可求出 π 的近似值．
解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，
依题意，L＝2πr， ＝ ，
∴ π＝ ，即 π＝ ．即 π 的近似值为 ．
故选：C．
7．已知 α，β 是两个不同的平面，直线 m⊂α，下列命题中正确的是（ ）
A．若 α⊥β，则 m∥β B．若 α⊥β，则 m⊥β
C．若 m∥β，则 α∥β D．若 m⊥β，则 α⊥β
【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．
解：对于选项 A：若 α⊥β，则 m∥β 也可能 m⊥β，故错误．
对于选项 B：若 α⊥β，则 m⊥β 也可能 m∥β，故错误．
对于选项 C：若 m∥β，则 α∥β 也可能 α 与 β 相交，故错误．
对于选项 D，直线 m⊂α，m⊥β，则 α⊥β 是面面垂直的判定，故正确．
故选：D．
8．函数 y＝xcosx+sinx 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区
特值排除 A 和 C，则答案可求．
解：因为函数 y＝xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B，
由当 x＝ 时， ，
当 x＝π 时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．
由此可排除选项 A 和选项 C．
故正确的选项为 D．
故选：D．
9．要得到函数 的图象，可将 y＝2sin2x 的图象向左平移（ ）A． 个单位 B． 个单位 C． 个单位 D． 个单位
【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的
图象变换规律，得出结论．
解：由于函数 f（x）＝sin2x+ cos2x＝2（ sin2x+ cos2x）＝2sin（2x+ ）＝2sin[2
（x+ ）]，
故将 y＝2sin2x 的图象向左平移 个单位，可得 f（x）＝2sin（2x+ ）的图象，
故选：A．
10．数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函
数的一条性质：
甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称；丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】如果甲乙正确，那么丙丁都是错的，与题干矛盾；根据函数图象的性质，乙丙不
会同时成立，故乙的说法错误
解：假设甲，乙两个同学回答正确，
∵在[0，+∞）上函数单调递增；∴丙说“在定义域 R 上函数的图象关于直线 x＝1 对称”
错误．
此时 f（0）是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说
的正确”矛盾．
∴只有乙回答错误．
故选：B．
11．若双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的
弦长为 2．则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率
即可．解：双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
圆 x2+y2﹣4x+2＝0 即为（x﹣2）2+y2＝2 的圆心（2，0），半径为 ，
双曲线的一条渐近线被圆 x2+y2﹣4x+2＝0 所截得的弦长为 2，
可得圆心到直线的距离为： ＝1＝ ， ，
解得：e＝ ＝ ，
故选：B．
12．已知函数 f（x）＝ ，函数 F（x）＝f（x）﹣b 有四个不同的零点 x1，
x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则 的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据函数图象得出 4 个零点的关系及范围，进而求得结论．
解：作出 f（x）的函数图象如图所示：
由图象知 x1+x2＝﹣4，x3x4＝1，
∴ ＝ ＝﹣4．
故 的值是﹣4．
故选：A．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知等比数列{an}满足 a1+a3＝10，a2+a4＝5，则 a5＝ ．
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比 q 及首项，进而可求．
解：因为 a1+a3＝10，a2+a4＝（a1+a3）q＝10q＝5，
所以 q＝ ，
∴ ，
所以 a1＝8
则 a5＝8× ＝ ．
故答案为：
14．若实数 x，y 满足不等式组 则目标函数 z＝3x﹣y 的最大值为 12 ．
【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
解：作出实数 x，y 满足不等式组 可行域如图，由 ，解得 A
（4，0）
目标函数 y＝3x﹣z，
当 y＝3x﹣z 过点（4，0）时，z 有最大值，且最大值为 12．
故答案为：12．15．曲线 f（x）＝x+lnx 在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x﹣1 ．
【分析】求出曲线的导函数，把 x＝1 代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，1）和斜率
写出切线的方程即可．
解：由函数 y＝x+lnx 知 y′＝1+ ，
把 x＝1 代入 y′得到切线的斜率 k＝1+1＝2
则切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即 y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1
16．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥平面 ABC，若 PC＝BC＝ ，AB＝2，PA 与平面 ABC 所
成线面角的正弦值为 ，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为 16π ．
【分析】根据已知可得 AB⊥BC，可得三棱锥 P﹣ABC 的外接球，即为以 PC，AC，AB 为
长宽高的长方体的外接球，根据已知 PC、AC、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体
对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．
解：∵PC⊥平面 ABC，PA 与平面 ABC 所成线面角的正弦值为 ，∴ ，⇒PA＝
4，
根据勾股定理可得 AC＝ ，
在△ABC 中，BC＝ ，AC＝ ，AB＝2，则△ABC 为直角三角形．三棱锥 P﹣ABC 外接球即为以 PC，AC，AB 为长宽高的长方体的外接球，
故 2R＝ ，三棱锥外接球的表面积为 S＝4πR2＝16π．
故答案为：16π．
三.解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
17．在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 ＝2csinA
（1）确定角 C 的大小；
（2）若 c＝ ，且△ABC 的面积为 ，求 a+b 的值．
【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得 sinC，进而求得
C．
（2）利用三角形面积求得 ab 的值，利用余弦定理求得 a2+b2 的值，最后求得 a+b 的值．
解：（1）∵ ＝2csinA
∴正弦定理得 ，
∵A 锐角，
∴sinA＞0，
∴ ，
又∵C 锐角，
∴
（2）三角形 ABC 中，由余弦定理得 c2＝a2+b2﹣2abcosC
即 7＝a2+b2﹣ab，
又由△ABC 的面积得 ．
即 ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25
由于 a+b 为正，所以 a+b＝5．
18．扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，
每天上午第三节课后全校大课间活动时长 35 分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用
简单随机抽样法抽取了 100 名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进
行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：分组 [0，30） [30，60） [60，90） [90，120） [120，150） [150，180]
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于 120 分钟的学生称为“锻炼达人”．
（1）将频率视为概率，估计我校 7000 名学生中“锻炼达人”有多少？
（2）从这 100 名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取 5 人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这 5 人中随机抽取 2 人作为组长候选人，求抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率．
【分析】（1）100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，由此能求出我校 7000 名学生中
“锻炼达人”的人数．
（2）①100 名学生中的“锻炼达人”有10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．从 10 人中按性
别分层抽取 5 人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，5
人中随机抽取 2 人，利用列举法能求出抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率．
解：（1）由表可知，100 名学生中“锻炼达人”的人数为 10 人，
将频率视为概率，我校 7000 名学生中“锻炼达人”的人数为 （人）
（2）①由（1）知 100 名学生中的“锻炼达人”有 10 人，其中男生 8 人，女生 2 人．
从 10 人中按性别分层抽取 5 人参加体育活动，则男生抽取 4 人，女生抽取 1 人．
②抽取的 5 人中有 4 名男生和 1 名女生，四名男生一次编号为男 1，男 2，男 3，男 4，
则 5 人中随机抽取 2 人的所有结果有：
男 1 男 2，男 1 男 3，男 1 男 4，男 1 女，男 2 男 3，男 2 男 4，男 2 女，男 3 男 4，男 3
女，男 4 女．共有 10 种结果，
且每种结果发生的可能性相等．
记“抽取的 2 人中男生和女生各 1 人”为事件 A，
则事件 A 包含的结果有男 1 女，男 2 女，男 3 女，男 4 女，共 4 个，
故抽取的 2 人中男生和女生各 1 人的概率 ．
19．如图，三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中，BB1⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，
D 是 CC1 的中点，E 是 AB 的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面 C1BA1；
（Ⅱ）F 是线段 CC1 上一点，且 CF＝2FC1，求 A1 到平面 ABF 的距离．
【分析】（Ⅰ）取 AA1 的中点 G，连接 EG，DG，利用 D 是棱 CC1 的中点，G 是棱 AA1 的
中点，可得线线平行，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明 DE∥平面
C1BA1；
（Ⅱ）连接 AF，BF，A1F，由已知可得 BC⊥平面 AA1B，则 F 到底面 AA1B 的距离为 BC
＝1．再求出三角形 AA1B 与三角形 ABF 的面积，设 A1 到平面 ABF 的距离为 h，则由
列式求解 A1 到平面 ABF 的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AA1 的中点 G，连接 EG，DG，
∵D 是棱 CC1 的中点，G 是棱 AA1 的中点，
∴DG∥A1C1，EG∥BA1，
∵DG⊄平面 C1BA1，C1A1⊂平面 C1BA1，EG⊄平面 C1BA1，BA1⊂平面 C1BA1，
∴DG∥平面 AB1C1，BA1∥平面 AB1C1，
又∵EG∩DG＝G，
∴平面 DEG∥平面 BA1C1，
∵DE⊂平面 DEF
∴DE∥平面 BA1C1；
（Ⅱ）解：连接 AF，BF，A1F，
由已知 BB1⊥平面 ABC，AB⊥BC，可得 BC⊥平面 AA1B，则 F 到底面 AA1B 的距离为 BC
＝1．
又 AB＝2，AA1＝BB1＝3，∴ ．
由 CF＝2FC1，得 CF＝2，则 BF＝ ， ．设 A1 到平面 ABF 的距离为 h，则由 ，
得 ，则 h＝ ．
故 A1 到平面 ABF 的距离 ．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的焦距是 2 ，长轴长为 4．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）A，B 是椭圆 C 的左右顶点，过点 F（﹣ ，0）作直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，
若△MAB 的面积是△NAB 面积的 2 倍，求直线 l 的方程．
【分析】（1）由题意求得 a 与 c 的值，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得，直线 MN 与 x 轴不重合，设直线 MN：
x＝my﹣ ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一元二次方程，由面积关系可得
M，N 的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解 m，则直线方程可求．
解：（1）由题意，2c＝2 ，2a＝4，则 a＝2，c＝ ．
∴b2＝a2﹣c2＝2．
∴椭圆 C 的方程为 ；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），
由已知可得，直线 MN 与 x 轴不重合，设直线 MN：x＝my﹣ ．
联立 ，整理得 ．
△＝8m2+8（m2+2）＝16m2+16＞0．， ＜0．
由 S△MAB＝2S△NAB，得|y1|＝|y2|，即 y1＝﹣2y2，
从而 ．
解得 ，即 m＝ ．
∴直线 MN 的方程为：x﹣ 或 x+ ．
21．已知函数 f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝ mx2+x（m∈R），令 F（x）＝f（x）+g
（x）．
（1）当 m＝ 时，求函数 f（x）的单调递增区间；
（2）若关于 x 的不等式 F（x）≤mx﹣1 恒成立，求整数 m 的最小值．
【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；
（2）关于 x 的不等式 F（x）≤mx﹣1 恒成立，即为 lnx﹣ mx2+（1﹣m）x+1≤0 恒成立，
令 h（x）＝lnx﹣ mx2+（1﹣m）x+1，求得导数，求得单调区间，讨论 m 的符号，由最
大值小于等于 0，通过分析即可得到 m 的最小值．
解：（1）当 m＝ 时，f（x）＝lnx﹣ x2，（x＞0），
由 f′（x）＝ ﹣x＝ ＞0，得
x＜1，又∵x＞0，
∴函数 f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）关于 x 的不等式 F（x）≤mx﹣1 恒成立，即为
lnx﹣ mx2+（1﹣m）x+1≤0 恒成立，
令 h（x）＝lnx﹣ mx2+（1﹣m）x+1，h′（x）＝ ﹣mx+1﹣m＝ ，
当 m≤0 可得 h′（x）＞0 恒成立，h（x）递增，无最大值，不成立；
当 m＞0 时，h′（x）＝ ，
当 x＞ ，h′（x）＜0，h（x）递减，当 0＜x＜ ，h′（x）＞0，h（x）递增，则有 x＝ 取得极大值，且为最大值．
由恒成立思想可得 ln ﹣ + ≤0，
即为 2mlnm≥1，
显然 m＝1 不成立，m＝2 时，4ln2≥1 即有 24≥e 成立．
整数 m 的最小值为 2．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记
分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数且 t≠0，a∈[0，
π）），曲线 C2 的参数方程为 （θ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．
（1）求 C2 的普通方程及 C3 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与曲线 C2C3 分别交于点 A，B，求|AB|的最大值．
【分析】（1）由 消去参数 θ 得 C2 的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由 ρ＝
4cosθ 得 ρ2＝4ρcosθ 得 C3 的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1 的极坐标方程为：θ＝α，C2 的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将 θ＝α 分别代入 C2，C3
的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．
解：（1）由 消去参数 θ 得 C2 的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；
由 ρ＝4cosθ 得 ρ2＝4ρcosθ 得 C3 的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1 的极坐标方程为：θ＝α，C2 的极坐标方程为：ρ＝2sinθ
将 θ＝α 分别代入 C2，C3 的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，
∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2 sin（α+φ）| ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若 a＝﹣1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集；
（2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
【分析】（1 ）当 a＝﹣1 吋，函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，
求出对应不等式的解集；
（2）当 a＞0 吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应 f（x）的最小值 f（x）min，再解关于 a 的不等式，从而求出 a 的取值范围．
解：（1 ）当 a＝﹣1 吋，函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，
当 x≤ 时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，
不等式 f（x）+1＞0 化为﹣x﹣2+1＞0，解得 x＜﹣1；
当 ＜x＜3 时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，
不等式 f（x）+1＞0 化为 3x﹣4+1＞0，解得 x＞1，取 1＜x＜3；
当 x≥3 时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，
不等式 f（x）+1＞0 化为 x+2+1＞0，解得 x＞﹣3，取 x≥3；
综上所述，不等式 f（x）+1＞0 的解集为{x|x＜﹣1 或 x＞1}；
（2）当 a＞0 吋，若 x≤﹣ ，则 f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，
此时 f（x）min＝f（﹣ ）＝﹣ ﹣3，则 f（x）+3a≥ a﹣3＞2，解得 a＞2；
若﹣ ＜x＜3，则 f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，
此时 f（x）＞f（﹣ ）＝﹣ a﹣3，则 f（x）+3a＞ a﹣3＞2，解得 a＞2；
若 x≥3，则 f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，
此时 f（x）min＝f（3）＝6+a，则 f（x）+3a≥4a+6＞2 恒成立；
综上所述，不等式 f（x）+3a＞2 对任意 x∈一、选择题恒成立时，a 的取值范围是 a＞2．
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