2020 年高考（理科）数学二模试卷
一、单选题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
2．设复数 z 满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知实数 1，m，9 成等比数列，则椭圆 +y2＝1 的离心率为（ ）
A．2 B． C． 或 2 D． 或
4．在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 BC 的中点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．9
5．由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信
行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及
效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近
年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
6．已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）可以为（ ）A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲
方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作
成边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上
油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面 α，β，γ 满足 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C．随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），若 P（0＜ξ＜1）＝0.4，则 P（ξ＞
0）＝0.8
D．设 x 是实数，“x＜0”是“ ”的充分不必要条件
9．将函数 f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位后得到函数 y＝g
（x）的图象，若函数 y＝g（x）为偶函数，则函数 y＝f（x）在 的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
10．若双曲线 的一条渐近线与函数 f（x）＝ln（x+1）的图象相切，
则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．如图，在四棱锥 C﹣ABCD 中，CO⊥平面 ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且 AB＝2OD＝
12，AD＝6 ，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30°，点 O，B，C，D 都在同一个球面上，
则该球的半径为（ ）A．3 B．4 C． D．
12．已知函数 f（x）＝ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y＝﹣1 的
对称点在 y＝kx﹣1 的图象上，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（2x2+ ）5 展开式中4 系数为 ．
14．在各项均为正数的等比数列{n}中，1＝2，且2，4+2，5 成等差数列，记n 是数
列{n}的前 n 项和，则6＝
15．已知直线 L 经过点 P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25 截得的弦长为 8，则
直线 L 的方程是 ．
16．已知 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一
个零点，则函数 g（x）＝mx+ （x＞1）的最小值为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60
分．
17．如图，在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD，底面 ABCD 满足 AD∥BC，
且 AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2 ．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面 ADD1A1；
（Ⅱ）求直线 AB 与平面 B1CD1 所成角的正弦值．
18．在△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为，，，若 2 A＝ B+A．
（1）求角 A；
（2）若 2＝+，且△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 的面积．
19．2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60
万，其中青年学生约有 50 万人．现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选
取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于
5000），并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语
测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出 m 的最
小值．（结论不要求证明）
20．已知 F1，F2 分别是椭圆 E： 的左，右焦点，点 在椭
圆 E 上，且抛物线 y2＝4x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点．
（1）求 a，b 的值：
（2）过点 F2 作不与 x 轴重合的直线 l，设 l 与圆 x2+y2＝a2+b2 相交于 A，B 两点，且与椭
圆 E 相交于 C，D 两点，当 时，求△F1CD 的面积．
21．已知 f（x）＝ x2+aex﹣lnx．
（1）设 x＝ 是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间；
（2）当 a＞0 时，求证：f（x）＞ ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数且 t≠0，a∈[0，
π）），曲线 C2 的参数方程为 （θ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．
（1）求 C2 的普通方程及 C3 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与曲线 C2C3 分别交于点 A，B，求|AB|的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若 a＝﹣1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集；
（2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．参考答案
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：集合 A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则 A∩B＝（2，
3），
故选：A．
2．设复数 z 满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求
解．
解：由（1+i）z＝3+i，得 z＝ ，
∴|z|＝ ．
故选：D．
3．已知实数 1，m，9 成等比数列，则椭圆 +y2＝1 的离心率为（ ）
A．2 B． C． 或 2 D． 或
【分析】先根据等比数列中项公式求出 m 的值，然后根据椭圆的几何性质即可求出离心
率．
解：∵实数 1，m，9 成等比数列，∴m2＝9，即 m＝±3，
∵m＞0，∴m＝3，椭圆的方程为 ，∴a＝ ，b＝1，c＝
∴离心率为 ，
故选：B．
4．在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 BC 的中点，则 ＝（ ）A． B． C． D．9
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算
即可．
解：如图所示，边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，
∴ • ＝2×2×cos60°＝2；又 E 为 BC 中点，
∴ ＝ + ＝ + ，且 ＝ + ，
∴ • ＝（ + ）•（ + ）
＝ + • + ＝4+ ×2+ ×4＝9．
故选：D．
5．由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信
行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及
效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近
年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
【分析】本题结合图形即可得出结果．解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，
而后期是信息服务商处于领先地位，故 D 项表达错误．
故选：D．
6．已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）可以为（ ）
A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
【分析】由图象可知，函数的定义域为 R，且为奇函数，当 x→0 时，f（x）→0，结合选
项即可得出正确答案．
解：由图象可知，函数的定义域为 R，而选项 B 中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除 B；
又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项 C 不具有奇偶性，故可排除 C；
又 x→0 时，f（x）→0，而选项 D 当 x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除 D．
故选：A．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲
方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作
成边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上
油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216
个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，
共有 6×16＝96 个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的
概率．
解：有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 6×16＝96 个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p＝ ＝ ．
故选：C．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面 α，β，γ 满足 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C．随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），若 P（0＜ξ＜1）＝0.4，则 P（ξ＞
0）＝0.8
D．设 x 是实数，“x＜0”是“ ”的充分不必要条件
【分析】在 A 中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x
≤0，2x＞sinx”；在 B 中，α 与 β 相交或平行；在 C 中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；
在 D 中，设 x 是实数，则“x＜0”⇒“ ”，“ ”⇒“x＜0 或 x＞1”．
解：在 A 中，由特称命题的否定可知：
命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sinx”，故 A 错误；
在 B 中，若平面 α，β，γ 满足 α⊥γ，β⊥γ，则 α 与 β 相交或平行，
如右图的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，
平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，平面 BCC1B1⊥平面 ABCD，平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1；
平面 ABB1A1⊥平面 ABCD，平面 BCC1B1⊥平面 ABCD，平面 ABB1A1∩平面 BCC1B1＝BB1．
故 B 错误；
在 C 中，∵随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于 x＝1 对称，
∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，
∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，
∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，
∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故 C 错误；
在 D 中，设 x 是实数，则“x＜0”⇒“ ”，“ ”⇒“x＜0 或 x＞1”，
∴“x＜0”是“ ”的充分不必要条件，故 D 正确．
故选：D．9．将函数 f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位后得到函数 y＝g
（x）的图象，若函数 y＝g（x）为偶函数，则函数 y＝f（x）在 的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
【分析】由题意利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再利用
正弦函数的定义域和值域，求得函数 y＝f（x）在 的值域．
解：将函数 f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位后得到函数 y＝
g（x）＝2sin（2x+ +φ）的图象，
若 函 数 y＝ g（ x） 为 偶 函 数 ， 则 +φ＝ ， ∴ φ＝ ， 故 函 数 f（ x） ＝ 2sin
（2x+ ）．
∵x∈ ，2x+ ∈[ ， ]，∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，2sin（2x+ ）∈[﹣
1，2]，
则函数 y＝f（x）在 的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
10．若双曲线 的一条渐近线与函数 f（x）＝ln（x+1）的图象相切，
则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的
离心率即可．解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为
函数 f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），
，
∴ ．
故选：A．
11．如图，在四棱锥 C﹣ABCD 中，CO⊥平面 ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且 AB＝2OD＝
12，AD＝6 ，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30°，点 O，B，C，D 都在同一个球面上，
则该球的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO＝30°，求出 OC，利用补形法得到长方
体的对角线长度即为外接球的直径．
解：由条件可知 AB∥OD，所以∠CDO 为异面直线 CD 与 AB 所成角，
故∠CDO＝30°，而 OD＝6，故 OC＝ODtan30°＝2 ，
在直角梯形 ABOD 中，易得 OB＝6，以 OB，OC，OD 为相邻的三条棱，
补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 R 即为所求的球的半径，
由（2R）2＝（2 ）2+62+62＝84，故 R＝ ．
故选：C．
12．已知函数 f（x）＝ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y＝﹣1 的
对称点在 y＝kx﹣1 的图象上，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可化为函数 f（x）图象与 y＝﹣kx﹣1 的图象有且只有四个不同的交点，结
合题意作图求解即可
解：∵函数 f（x）＝ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y＝﹣1
的对称点在 y＝kx﹣1 的图象上，而函数 y＝kx﹣1 关于直线 y＝﹣1 的对称图象为 y＝﹣kx﹣1，
∴f（x）＝ 的图象与 y＝﹣kx﹣1 的图象有且只有四个不同的交点，
作函数 f（x）＝ 的图象与 y＝﹣kx﹣1 的图象如下，
易知直线 y＝﹣kx﹣1 恒过点 A（0，﹣1），
设直线 AC 与 y＝xlnx﹣2x 相切于点 C（x，xlnx﹣2x），
y′＝lnx﹣1，
故 lnx﹣1＝ ，
解得，x＝1；
故 kAC＝﹣1；
设直线 AB 与 y＝x2+ x 相切于点 B（x，x2+ x），
y′＝2x+ ，
故 2x+ ＝ ，
解得，x＝﹣1；
故 kAB＝﹣2+ ＝﹣ ；
故﹣1＜﹣k＜﹣ ，
故 ＜k＜1；
故选：A．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（2x2+ ）5 展开式中4 系数为 80 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得展开
式中 x4 的系数．
解：∵（2x2+ ）5 展开式的通项公式为 Tr+1＝ •25﹣r•x10﹣3r，令 10﹣3r＝4，求得 r＝2，
故展开式中 x4 的系数为 •23＝80，
故答案为：80．
14．在各项均为正数的等比数列{n}中，1＝2，且2，4+2，5 成等差数列，记n 是数
列{n}的前 n 项和，则6＝ 126
【分析】由 a2，a4+2，a5 成等差数列，可得 a2+a5＝2（a4+2），把已知代入解得 q．再利
用求和公式即可求得6．
解：设正数的等比数列{an}的公比为 q＞0，a1＝2，
∵a2，a4+2，a5 成等差数列，
∴a2+a5＝2（a4+2），
∴2q+2q4＝2（2q3+2），解得 q＝2．
∵S6＝ ＝126．
故答案为：126．
15．已知直线 L 经过点 P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25 截得的弦长为 8，则直线 L 的方程是 x＝﹣4 和 4x+3y+25＝0 ．
【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦
心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即
可．
解：圆心（﹣1，﹣2），半径 r＝5，弦长 m＝8，
设弦心距是 d，
则由勾股定理，
r2＝d2+（ ）2
d＝3，
若 l 斜率不存在，直线是 x＝﹣4，
圆心和它的距离是﹣3，符合题意，
若 l 斜率存在，设直线方程 y+3＝k（x+4），
即 kx﹣y+4k﹣3＝0，
则 d＝ ＝3，
即 9k2﹣6k+1＝9k2+9，
解得 k＝﹣ ，所以所求直线方程为 x+4＝0 和 4x+3y+25＝0，
故答案为：x＝﹣4 和 4x+3y+25＝0．
16．已知 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一
个零点，则函数 g（x）＝mx+ （x＞1）的最小值为 5 ．
【分析】函数的零点转化为方程的根，由函数 f（x）的奇偶性和单调性可得 f（x2+2）＝f
（2x+m）有唯一解，整理可得二次方程由判别式为 0 解出 m 的值，代入 g（x）中，由均
值不等式可得函数 g（x）的最小值．
解：函数 y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，可得：f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）＝0
有唯一解，
即 f（x2+2）＝﹣f（﹣2x﹣m），
又 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，所以 f（x2+2）＝f（2x+m），即 x2+2＝2x+m，
所以 x2﹣2x﹣m+2＝0 有唯一解，即△＝4﹣4（﹣m+2）＝0，解得 m＝1，所以函数 g（x）＝mx+ （x＞1）＝x﹣1+ +1 +1＝5，当且仅当 x﹣1＝
（x＞1），即 x＝3 时取等号．
所以函数 g（x）＝mx+ （x＞1）的最小值为 5，
故答案为：5．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60
分．
17．如图，在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD，底面 ABCD 满足 AD∥BC，
且 AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2 ．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面 ADD1A1；
（Ⅱ）求直线 AB 与平面 B1CD1 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出 AB⊥AA1，AB⊥AD，由此能证明 AB⊥平面 ADD1A1．
（Ⅱ）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出直线 AB 与平面 B1CD1 所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD，
底面 ABCD 满足 AD∥BC，且 AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2 ．
∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，
∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面 ADD1A1．
（Ⅱ）解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），
＝（2，0，0）， ＝（0，﹣4，2）， ＝（﹣2，﹣2，2），
设平面 B1CD1 的法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，取 y＝1，得 ＝（1，1，2），设直线 AB 与平面 B1CD1 所成角为 θ，
则直线 AB 与平面 B1CD1 所成角的正弦值为：
sinθ＝ ＝ ＝ ．
18．在△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为，，，若 2 A＝ B+
A．
（1）求角 A；
（2）若 2＝+，且△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosA，进而可求 A；
（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求 bc，然后结合三角形的面积公式即可
求解．
解：（1）因为 2ccosA＝acosB+bcosA．
由正弦定理得 2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，从而可得 2sinCcosA＝sinC，
又 C 为三角形的内角，所以 sinC≠0，于是 ，
又 A 为三角形内角，因此 ；
（2）设△ABC 的外接圆半径为 R，则 R＝1， ，
由余弦定理得 ，即 3＝12﹣3bc，
所以 bc＝3．所以△ABC 的面积为： ．
19．2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60万，其中青年学生约有 50 万人．现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选
取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于
5000），并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语
测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出 m 的最
小值．（结论不要求证明）
【分析】（I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为 ，再求
出结论即可；
（II）根据题意，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人，
X＝0，1，2，求出分布列和数学期望；
（III）根据题意，求出即可．
解：（I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为 ，
在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数约为 50×0.1＝5 万人；
（II）由图表得，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人，
记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，则 X＝0，1，
2，
则 P（X＝0）＝ ，
P（X＝1）＝ ，P（X＝2）＝ ，
X 的分布列如下：
x
0
1
2
p
故 E（X）＝0 ，
（III）m 的最小值为 4．
20．已知 F1，F2 分别是椭圆 E： 的左，右焦点，点 在椭
圆 E 上，且抛物线 y2＝4x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点．
（1）求 a，b 的值：
（2）过点 F2 作不与 x 轴重合的直线 l，设 l 与圆 x2+y2＝a2+b2 相交于 A，B 两点，且与椭
圆 E 相交于 C，D 两点，当 时，求△F1CD 的面积．
【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出 a，b；
（2）联立直线与圆的方程可以求出 t2，再联立直线和椭圆的方程化简，有根与系数的关系
的到结论，继而求出面积．
解：（1）∵y2＝4x 的焦点为 F（1，0），
则 F1（﹣1，0），F2（1，0），
∴2a＝|PF1|+|PF2|＝ ，
解得 ，c＝1，b＝1．
（2）由已知，可设直线 l 的方程为 x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，得
（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，
易知△＞0，
则 ， ，
∴ ＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝ ．
因为 ，
所以 ＝1，解得 t2＝3．
联立 ，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，△＝8（t2+1），
设 C（x3，y3），D（x4，y4），则 ， ，
∴ ＝ ＝ ．
21．已知 f（x）＝ x2+aex﹣lnx．
（1）设 x＝ 是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间；
（2）当 a＞0 时，求证：f（x）＞ ．
【分析】（1）求得 ，利用 f ＝ ﹣2＝0．求得 a＝
．再求 f（x）的单调区间．
（ 2 ） 证 法 1 ， 由 （ 1 ） 可 得 a ＞ 0 时 ， ∃x0∈ （ 0 ， 1 ） 使 得 f ′ （ x0 ） ＝ 0 ， 即
．f（x）min＝f（x0）＝ ，
（0＜x0＜1）
令 ．利用导数可得 f（x）＞ ．
方 法 2， 令 g（x） ＝ ， （x＞0） ， 利 用 导 数 可 得 ． 即 可 得
．
解：（1）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）．
又 ，∵x＝ 是 f（x）的极值点，∴f ＝ ﹣2＝0．
∴a＝ ．
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且 f ．
∴f′（x）＞0 时，x ，f′（x）＜0 时， ．
∴f（x）的递减区间为（0， ），递增区间为（ ，+∞）．
（2）证法 1，由（1）可得 a＞0 时，f′（x）＝x+aex﹣ 在（0，+∞）上单调递增．
又因为 f′（1）＝1+ae﹣1＝ae＞0，当 x 趋近于 0 时，f′（x）趋近于﹣∞．
∴∃x0∈（0，1）使得 f′（x0）＝0，即 ．
当 x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．
∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．
∴f（x）min＝f（x0）＝ ，（0＜x0＜1）
令 ．
，在（0，1）上 g′（x）＜0，
∴g′（x）单调递减，∴ ．
∴当 a＞0 时，f（x）＞ ．
方法 2，令 g（x）＝ ，（x＞0）
，
当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
∴ ，∴ ．
∵a＞0，∴aex＞0．
∴ ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数且 t≠0，a∈[0，
π）），曲线 C2 的参数方程为 （θ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．
（1）求 C2 的普通方程及 C3 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与曲线 C2C3 分别交于点 A，B，求|AB|的最大值．
【分析】（1）由 消去参数 θ 得 C2 的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由 ρ＝
4cosθ 得 ρ2＝4ρcosθ 得 C3 的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1 的极坐标方程为：θ＝α，C2 的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将 θ＝α 分别代入 C2，C3
的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．
解：（1）由 消去参数 θ 得 C2 的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；
由 ρ＝4cosθ 得 ρ2＝4ρcosθ 得 C3 的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1 的极坐标方程为：θ＝α，C2 的极坐标方程为：ρ＝2sinθ
将 θ＝α 分别代入 C2，C3 的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，
∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2 sin（α+φ）| ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若 a＝﹣1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集；
（2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
【分析】（1 ）当 a＝﹣1 吋，函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，
求出对应不等式的解集；
（2）当 a＞0 吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应 f（x）的最小值 f（x）min，
再解关于 a 的不等式，从而求出 a 的取值范围．
解：（1 ）当 a＝﹣1 吋，函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，
当 x≤ 时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，
不等式 f（x）+1＞0 化为﹣x﹣2+1＞0，解得 x＜﹣1；
当 ＜x＜3 时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，
不等式 f（x）+1＞0 化为 3x﹣4+1＞0，解得 x＞1，取 1＜x＜3；
当 x≥3 时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，不等式 f（x）+1＞0 化为 x+2+1＞0，解得 x＞﹣3，取 x≥3；
综上所述，不等式 f（x）+1＞0 的解集为{x|x＜﹣1 或 x＞1}；
（2）当 a＞0 吋，若 x≤﹣ ，则 f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，
此时 f（x）min＝f（﹣ ）＝﹣ ﹣3，则 f（x）+3a≥ a﹣3＞2，解得 a＞2；
若﹣ ＜x＜3，则 f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，
此时 f（x）＞f（﹣ ）＝﹣ a﹣3，则 f（x）+3a＞ a﹣3＞2，解得 a＞2；
若 x≥3，则 f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，
此时 f（x）min＝f（3）＝6+a，则 f（x）+3a≥4a+6＞2 恒成立；
综上所述，不等式 f（x）+3a＞2 对任意 x∈一、选择题恒成立时，a 的取值范围是 a＞2．
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