内蒙古呼和浩特市2020届高三数学（文）下学期第一次质量调研试题（Word版有答案）

2020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、 考生号、座位号涂写在答题卡上本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C ． D． 2.若复数 ，则当 时，复数 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.在等差数列 中，若 ， ，则 （ ） A．10 B．20 C．25 D．30 4.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统 计图（每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），由此可知，以下结论错误的是（ ） A．回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 { |0 3}A x Z= ∈  { |( 1)( 2) 0}B x x x= + − ≤ A B∩ = {1,2} {0,1,2} { |0 2}x x  { | 1 3}x x− ≤ ≤ cos sinz iα α= + 2 π α π< < z { }na 1 2 5a a+ = 3 4 15a a+ = 5 6a a+ =C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 5.若 5 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是 （ ） A． B． C． D． 6.已知 ， ， 则（ ） A． B． C． D． 7.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于圆柱 的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 8.已知抛物线 ， 是焦点， 是抛物线准线上一点， 为线段 抛物线的交点，定 义 .当点 坐标为 时， （ ） A． B．4 C． D．2 9.如图，已知正三棱柱 的侧棱长为底面边长的 2 倍， 是侧棱 的中点， 则异面直线 和 所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 10.已知定义在 上的偶函数 ，当 时，其解析式为 ，则 在点 处的切线方程为（ ） A． B． 3 10 2 5 3 5 7 10 2log 3a = 2 1log 31 2b  =    5log 6c = b a c> > b c a> > c a b> > c b a> > 1 2 2 3 3 4 4 5 2 4y x= F P Q PF | |( ) | | PFd P FQ = P ( 1,4 2)− ( )d P = 4 2 2 2 1 1 1ABC A B C− M 1CC 1AB BM 3 10 20 − 3 16 − 3 10 20 3 16 R ( )f x 0x > 21( ) 2 xf x xe x= + ( )f x ( 1, ( 1))f− − 1(2 1) 2y e x e= − + − − 1(2 1) 2y e x e= + − −C． D． 11.已知函数 ，给出下列四个结论： ①函数 的最小正周期是 ； ②函数 在区间 上是减函数； ③函数 的图象关于直线 对称； ④函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到其中所有正确结论 的编号是（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 12.已知定义在实数集 的函数 满足 ，且的 的导函数 在 上恒有 ，则不等式 的解集为： A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答；第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13.已知 ， ，若 与 共线，则 _______. 14.在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机数是 6 台，并且从第一轮开 始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的 10 台，那么到第 6 轮后，被感染的计算机的 台数为_____（用数字作答）. 15.给出下列四个命题： ①“ ”是“ ”的必要不充分条件 ②函数 的最小值为 2 ③命题“ ， ”的否定是“ ， ” 3(2 1) 3 2y e x e= − + + + 3(2 1) 3 2y e x e= + + + 2( ) sin2 2sin 1f x x x= − + ( )f x π ( )f x 5,8 8 π π     ( )f x 3 8x π= − ( )f x 2 sin2y x= 4 π R ( )f x (2) 7f = ( )f x ( )f x′ R ( ) 3f x′ < ( )x ∈R ( ) 3 1f x x< + (1, )+∞ ( , 2)−∞ − ( ,1) (1, )−∞ ∪ +∞ (2, )+∞ (3,2)a = ( 1,2 )b x x= − a b x= 3x < − ln( 4) 0x + < 2 2 1( ) 2 2 f x x x = + + + 0x∀ > (2020) 2020 0x + > 0 0x∃  0(2020) 2020 0x + ④已知双曲线 过点 ，且渐近线为 ，则离心率 ，其中所有正确命 题的编号是：_______. 16.动直线 与圆 交于点 ，则动直线 必过定点______；当弦 最短时，直线 的方程为______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.在 中， ， ，且 （Ⅰ）求 边长； （Ⅱ）求 边上中线 的长. 18.呼和浩特市地铁一号线于 2019 年 12 月 29 日开始正式运营有关部门通过价格听证会，拟定 地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了 50 人，他们的月收入情况与对地铁票价格态度 如下表： 月收入（单 位：百元） 认 为 票 价 合 理 的 人 数 1 2 3 5 3 4 认 为 票 价 偏 高 的 人 数 4 8 12 5 2 1 （Ⅰ）若以区间的中点值作为月收人在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为 票价合理者”的月平均收人与“认为票价偏高者”的月平均收人的差是多少（结果保留 2 位 小数）； （Ⅱ）由以上统计数据填写下面 列联表分析是否有 的把握认为“月收入以 5500 元 为分界点对地铁票价的态度有差异” 月收入不低于 5500 元 人数 月 收 入 低 于 5500 元 人数 合计 认为票价偏高者 C (3, 2) 3 3y x= ± 2 3 3e = :(1 2 ) ( 1) 3( 1) 0( )l m x m y m m+ + − − + = ∈R 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = A B、 l AB l A B C△ 45B∠ = ° 10AC = 2 5cos 5C = BC AB CD [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 2 2× 99%认为票价合理者 合计 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 19.如图，在矩形 中， ， ， 在 边上，且 ，将 沿 折到 的位置，使得平面 平面 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 20. 已 知 函 数 有 极 值 ， 且 导 函 数 的 极 值 点 是 的零点. （Ⅰ）求 关于 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明： . 21.已知椭圆 的离心率是 ， 、 分别是椭圆的左右焦点，点 为椭圆上一点， 面积的最大值为 （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作关于 轴对称的两条不同直线 ，分别交椭圆于点 ， ，且 ，证明直线 过定点，并求 的面积 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0P k k 0k ABCD 4AB = 2AD = E D C 1DE = ADE△ AE AD E′△ AD E′ ⊥ ABCE AE BD′⊥ A BCD′− 3 2( ) 1( 0, )f x x ax bx a b= + + + > ∈R ( )f x′ ( )f x b a 2 3b a> 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 1F 2F P 1 2F PF△ 3 C (4,0)A x 1 2,l l ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2x x≠ MN AMN△ S22.已知椭圆 的普通方程为： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，正方形 的顶点都在 上，且 逆 时针依次排列，点 的极坐标为 （Ⅰ）写出曲线 的参数方程，及点 的直角坐标； （Ⅱ）设 为椭圆 上的任意一点，求： 的最大值. 23.已知函数 ， （Ⅰ）当 时，求关于 的不等式 的解集； （Ⅱ）已知 ，若对任意 ，都存在 ，使得 成立， 求实数 的取值范围. 2020 高三年级第一次质量普查调研考试数学文科答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C D D A B B C A C D 13. 14.666666 15.1，4 16. ， 17.解：（1） ， ， . 由 ，得 ， ， ， （2） ， 为中点， 1C 2 2 14 9 x y+ = x 2C 4ρ = ABCD 2C ABCD A 4, 6 π    1C , ,BC D P 1C 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD+ + + ( ) |2 | 2| 1|f x x a x= − + + 1a = x ( ) 6f x  ( ) | 1| 2g x x= − + 1x ∈ R 2x ∈R ( ) ( )1 2f x g x= a 1 2 − (2, 1)− 1 0x y+ − = 2cos 5 C = 1sin 5 C∴ = 3sin sin( ) sin45 cos cos45 sin 10 A B C C C° °= + = + = sin sin b a B A = 10 32 102 a= 2a = 2B C = sin sin c b C B = 2c = D 1BD∴ = 2 2 2 2 cosCD BC BD BC BD B= + − ⋅ ⋅18 解：（1）设 表示“认为价格合理者”的月平均收入， 表示“认为价格偏高者”的月 平均收入 所以“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距为 11.81（百元） （2）根据条件可到列联表如下： 月收入不低于 5500 元 人数 月 收 入 低 于 5500 元 人数 合计 认为票价偏高者 3 29 32 认为票价合理者 7 11 18 合计 10 40 50 因为 所以没有 的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异. 19.（1）证明：连接 设 ， 在矩形 中， ， 平面 ， （2）解： 平面 ， 2 2 2(3 2) 1 2 3 2 1 cos45 13CD = + − ⋅ °⋅ ⋅ = 13CD = x y 20 1 30 2 40 3 50 5 60 3 70 4 50.561 2 3 5 3 4x × + × + × + × + × + ×= ≈+ + + + + 20 4 30 8 40 12 50 5 60 2 70 1 38.754 8 12 5 2 1y × + × + × + × + × + ×= =+ + + + + 2 2 2 ( ) 50 (3 11 7 29) 6.27( )( )( )( ) 32 18 10 40 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = ≈+ + + + × × × 6.27 6.635< 99% BD AE BD O∩ = ABCD 2AD AB AE AD = = ADE DCB △ ∽ △ AE BD∴ ⊥ AE BO AE D O AE BO D O O ⊥  ′⊥ ⇒ ⊥ ′∩ =  BD O′ AE BD′∴ ⊥ AD E ABCE AD E ABCE AE D O D O AE   ′⇒ ⊥ ′ ⊥  ′ ⊥ ′ ∩ = 平面 平面 平面 平面 ABCE20.解：（1） ， ， ， 是 的零点， 即 ， ， 又 ， （2）要证 ， 只要证 只要证 只要证 设 ， ， ， 2 5 DO′ = A BCD D ABCV V′ ′− −= 1 1 2 8 54 23 2 155 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 23( ) 3 2f x x ax b= + + 24 12 0a b∆ = − > 2 3a b> 2 2 3 3 a ax = − = −× ( )f x 03 af  − =   3 2 1 03 3 3 a a aa b     − + ⋅ − + ⋅ − + =           22 3 9b a a = + 2 3a b> 3a∴ > 22 3 , 39b a aa ∴ = + > 2 3b a> 3a > 3b a> 22 3 39 a aa + > 3 2 3 2 2 3 39 a a + > 3 2t a= 3 3t > 2 3( ) 9g t t t = + 2 2 2 2 2 2 2 3 2 27 27( ) 09 9 9 t t tg t t t t − + −′ = − = = > 2 27t > ( ) (3 3) 3g t g∴ > = 2 3b a∴ >21.解：（1） ， ， ， ， 椭圆的标准方程为 . （2）从特殊位置分析，定点可能在 轴上， 设直线 方程为 ， ，代入椭圆 ， 得 ， ， 设： 点关于 轴的对称点 与 关于 轴对称， 三点共线 即 整理得 直线 过定点 点 到直线 的距离 则 3 2 ce a = = 1 2 b a = 1 32S c b= ⋅ ⋅ = 2a = 1b = 3c = 2 2 14 x y+ = x MN x ty m= + 0t ≠ 2 2 14 x y+ = ( )2 2 24 2 4 0t x tmy m+ + + − = ( )2 216 4t m∆ = + − 1 2 2 2 4 tmy y t −+ = + 2 1 2 2 4 4 my y t −= + N x ( )1 2 2,N x y− 1l 2l x 1, ,M N A∴ 1 2 1 24 4 y y x x −∴ =− − ( ) ( )1 2 2 14 4 0y ty m y ty m+ − + + − = ( )1 2 1 22 ( 4)ty y m y y+ − + 1m = ∴ MN (1,0) ( )2 2 2 2 1 2 16 3 | | 1 1 4 t MN t y y t t + = + − = + + A MN 2 3 1 d t = + 1 | |2AMNS MN d= ⋅， 22.（1） ， 为参数， 的极坐标为 的直角坐标为 旋转 得 同理 （2） 的最大值为 100 23.解（1）当 时， ， 不等式 2 2 2 2 3 66 14 3 3 AMN tS t t t += =+ + + + 0t ≠ 2 3 3t∴ + > 2 2 1 43 33 t t ∴ + + > + 3 30 2S∴ < < 1 2cos 3sin xC y θ θ =  = θ A 4, 6 π    A∴ (2 3,2) 90° ( 2,2 3)B − ( 2 3, 2)C − − (2, 2 3)D − (2cos ,3sin )P θ θ 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD+ + + 2 2 2 2(2cos 2 3) (3sin 2) (2cos 2) (3sin 2 3)θ θ θ θ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 2 3) (3sin 2) (2cos 2) (3sin 2 3)θ θ θ θ+ + + + + − + + ( )2 2 2 22 4cos 12 9sin 4 4cos 4 9sin 12θ θ θ θ= + + + + + + + ( )24 20 5sin θ= + 2 2 2 2| | | | | | | |PA PB PC PD∴ + + + 1a = ( ) |2 1| |2 2|f x x x= − + +当 时， 当 时， 当 时， 不等式的解集是 （2） ， 由题意得 或 的取值范围是 1 2x > 2 1 2 2 6x x− + + ≤ 5 4x ≤ 1 5 2 4x∴ < ≤ 11 2x− ≤ ≤ (2 1) 2 2 6x x− − + + ≤ 3 6< 11 2x∴− ≤ ≤ 1x < − (2 1) (2 2) 6x x− − − + ≤ 7 4x ≥ − 7 14 x∴− ≤ < − ∴ 7 5| 4 4x x − ≤ ≤   ( ) | 1| 2 2g x x= − + ≥ ( ) |2 | |2 2| | 2|f x x a x a= − + + ≥ + | 2| 2a + ≥ 0a ≥ 4a ≤ − a∴ ( , 4] [0, )−∞ − ∪ +∞