高三考试数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若 ，则（ ）
A. 的实部大于 的实部 B. 的实部等于 的实部
C. 的虚部大于 的虚部 D. 的虚部小于 的虚部
2.已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
3.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）
如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A. B. C. D.
4.若函数 ，则（ ）
A. 的最大值为 1
B.
C. 的最小正周期为 2
D.
( )(1 2 2 3 )z i i= − −
z 3 8i− − z 3 8i− −
z 3 8i− − z 3 8i− −
{ }3, 2,2,4,6A = − − { | ( 2)(5- ) 0}B x x x= + > A B =
{ }2,4 { }2,2,4− { }2,2− { }3, 2,2− −
6.25% 7.5% 10.25% 31.25%
( ) 1 sin 2 5f x x
ππ = + −
( )f x
7( ) 10f x f x = −
( )f x
7( ) 10f x f x = − − 5.设非零向量 ， 满足 ， ，， 则 （ ）
A. B. C.2 D.
6.设双曲线 ， ， 的离心率分别为 ， ， 则（ ）
A. B. C. D.
7.将 60 个个体按照 01，02，03，…，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始向右
读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9 行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
则抽取的第 11 个个体的编号是（ ）
A.38B.13C.42D.02
8.若 ，则 的最小值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象关于点 对称，当 时， ，且 在
上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11 如图，在正四棱柱 中， ， , 分别为 ， 的中点，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则（ ）
A.直线 与直线 异面，且
a b 3a b= 1cos( , ) 3a b = ( ) 16a a b⋅ − = b =
2 3 5
2
2 13
yx − =
2 2
12 5
x y− =
2 2
12 7
y x− = 1e 2e 3e
3 2 1e e e< < 3 1 2e e e< < 1 2 3e e e< < 2 1 3e e e< <
2 1log log 1x y+ = 2x y+
2 3 2 2
1tan 3tan
α α+ = 4cos a =
7
9
− 1
9
− 7
9
1
9
( )f x ( )1,0 1x > 2( ) 5f x x mx= − + ( )f x
( 0),−∞ m
[4, )+∞ [2, )+∞ ( ,4]−∞ ( ,2]−∞
1 1 1 1ABCD A B C D−
12AB AA= E F AB BC
1AB 1C F m
1A E 1C F 2
3m =B.直线 与直线 共面，且
C.直线 与直线 异面，且
D.直线 与直线 共面，且
12.已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点，直线 与抛物
线 ： 交于 ， 两点，设 ，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. ， ， ， 分 别 为 内 角 ， ， 的 对 边 . 已 知 ， 则
________.
14.四面体 的每个顶点都在球 的球面上， ， ， 两两垂直，且 ，
， ，则四面体 的体积为________，球 的表面积为________ .（本题
第一空 2 分，第二空 3 分）
15.小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平
均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为________.
16.函数 的最小值为________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.如图，四棱锥 的底面是正方形， 为 的中点， ， ，
， .
（1）证明： 平面 .
（2）求三棱锥 的侧面积.
1A E 1C F 2
3m =
1A E 1C F 3
3m =
1A E 1C F 3
3m =
( -1)y k x= C 2 4y x= A B ( )2 2y k x= −
D 2 8y x= M N 2AB MNλ = −
16λ < − 16λ = − 12 0λ− < < 12λ = −
a b c ABC△ A B C 5a bsinA= sinB =
ABCD O AB AC AD 1AB =
2AC = 3AD = ABCD O
( ) 2( ) 4 3 e xxf x = −
P ABCD- E AB PD CE⊥ 1AE =
3PD = 13PC =
AD ⊥ PCD
B CEP−18. 某公司 产品生产的投入成本 （单位：万元）与产品销售收入 （单位：十万元）存在
较好的线性关系，下表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据计算得
到 关于 的线性回归方程为 .
（万元） 6 7 8 11 12 14 17 21
（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9
（1）求 的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 产品投入成本 30 万元后产品的销售收入
（单位：元）.
（2）该公司 产品生产的投入成本 （单位：万元）与产品销售收入 （单位：十万元）也
存在较好的线性关系，且 关于 的线性回归方程为 .
（ⅰ）估计该公司 产品投入成本 30 万元后的毛利率(毛利率= )；
（ⅱ）判断该公司 ， 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大.
19. 设 为数列 的前 项和， ，且 .
（1）证明：数列 为等比数列，并求 .
（2）求数列 的前 项和 .
20. 已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）若 ，求不等式 的解集.
21.已知椭圆 ： 过点 ，过坐标原点 作两条互相垂直的射线与
椭圆 分别交于 ， 两点.
（1）证明：当 取得最小值时，椭圆 的短轴长为 .
A x y
y x 0.7604y bx= +
x
y
b A
B u v
v u 0.15 0.5v u= +
B 100%×收人- 成本
收入
A B
nS { }na n 1 1a = 1 2 1n nS S n+ = + −
{ }nS n+ na
2
n
n
a n nT
3( )f x x ax= +
( )f x ( ),a +∞
3a ≥ − ( ) ( )2 22 4 3 2f x x f x− + < +
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 31, 2
O
C M N
2 29a b+ C 11（2）若椭圆 的焦距为 2，是否存在定圆 与直线 总相切？若存在，求定圆 的方程；
若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.
22.在直角坐标系 中，已知点 ， 的参数方程为 （ 为参数），以
坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设曲线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值.
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）设 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，证明： .
高三考试数学试卷
参考答案（文科）
1.C 因为 ，所以 的实部小于 的实部， 的虚部大于
的虚部.
2.A 因为 ，所以 .
3.A 水费开支占总开支的百分比为 .
4.B 的最大值为 2， 的最小正周期为 1，
.
5.A ， ， ， .
C O MN O
xOy 31, 2M
1C
1 ,2
3
x t
y t
= +
=
t
O x 2C
2
2
3 2 cos θρ = +
1C 2C
1C 2C A B
1 1
| | | |MA MB
+
( ) | -3| | -1|f x x x= +
( ) 6f x ≤
( )f x M a b 2 24a b M+ = 2 4a b ab+ ≥
(1 2i)(2 3i) 4 7iz = − − = − − z 3 8i− − z
3 8i− −
{ | ( 2)(5 ) 0} { | 2 5}B x x x x x= + − > = − < < {2,4}A B =
250 20% 6.25%250 450 100
× =+ +
( )f x ( )f x
7 61 sin 2 1 sin 2 ( )10 5 5f x x x f x
π ππ π π − = + − = + − − =
| | 3| |a b=
1cos , 3a b〈 〉 = 2 2 2( ) 9 | | | | 8| | 16a a b b b b∴ ⋅ − = − = = | | 2b∴ =6.D 因 为 双 曲 线 的 离 心 率 为 ， 且 ， 所 以
.
7.D 随机数表第 9 行第 9 列为 2，抽取的个体分别为 29，56，07，52，42，44，38，15，51，
13，02，第 11 个个体为 02.
8.C 因为 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 4.
9.D 因 为 ， 所 以 ， 所 以
.
10.C 依题意可得 f(x)在(2,+∞)上单调递增,则\
11.B 连接 ， ， ， ，易证 ，所以直线 与直线 共面.易证
，所以异面直线 与 所成角为 .设 ，则 ，
则 ， ， ， 由 余 弦 定 理 ， 得
.
12.D 设 ， 联立 得 ，则
.因为直线 经过 的焦点，所以 .同
理可得 ， .
13. 因为 ，所以 ，又 ，所以 .
14.1； 因为 ， ， 两两垂直，且 ， ， ，所以四面体
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2
21 b
a
+ 5 3 7
2 1 2
< <
2 1 3e e e< <
( )2 2
2 4 4 4 4log log log log log 1x y x y x y+ = + = = 2 4( 0, 0)x y x y= > >
2 22 4x y x y+ ≥ = 2 2x y= = 2x y+
1 sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2
α αα α α α α+ = + = = 2sin 2 3
α =
2 1cos4 1 2sin 2 9
α α= − =
EF 1 1AC 1C D DF 1 1EF AC∥ 1A E 1C F
1AB CD∥ 1AB GF 1DC F∠
1 2AA = 12 2AB AA= =
5DF = 1 3C F = 1 6C D =
1
3 6 5 2cos 32 3 6
m DC F
+ −= ∠ = =
× ×
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
( 1),
4 ,
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
21x x+ =
2
2 2
2 4 42k
k k
+ = + ( )1y k x= − C 1 2 2
4| | 4AB x x p k
= + + = +
2| | 8 2
kMN = + 4 16 12λ = − = −
1
5 5 sina b A= sin 5sin sinA B A= sin 0A > 1sin 5B =
14π AB AC AD 1AB = 2AC = 3AD =的体积 ，球 的表面积为 .
15. 记牛奶薄荷味的两颗糖为 ， ，巧克力味的两颗糖为 ， ，草莓味的两颗糖为 ，
， 则 的 儿 子 分 到 的 糖 的 所 有 情 况 为
，
，
，共 20 种，其中
都含 ， ， ，的有 8 种，故所求概率为 .
16. 令 ， ， .
当 时， ；当 时， .
故 .
17.（1）证明：因为 为 的中点， ，
所以 ，
所以 ，从而 .
又 ， ，
所以 底面 ，所以 .
因为四边形 是正方形，所以 .
又 ，所以 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 的面积为 .
易证 ，
所以 的面积为 .
ABCD 1 11 2 3 13 2V = × × × × = O
2
2 2 21 2 34 142
π π
+ +× =
2
5 1A 2A 1B 2B 1C
2C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , ,A A B A A B A A C A A C A B B A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B C A B C A B C A C C A B B A B C A B C A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,A B C A C C B B C B B C B C C B C C
A B C 8 2
20 5
=
2e− 2 ( 0)x t t= > ( )2( ) 3 ( 0)tg t t e t= − > ( )2( ) 2 3 tg t t t e′ = + −
0 1t< < ( ) 0g t′ < 1t > ( ) 0g t′ >
min min( ) ( ) (1) 2f x g t g e= = = −
E AB 1AE =
2CD AB= =
2 2 2CD PD PC+ = PD CD⊥
PD CE⊥ CD CE C=
PD ⊥ ABCD PD AD⊥
CD CE C= AD CD⊥
CD PD D= AD ⊥ PCD
AD ⊥ PCD BC AD∥ BC ⊥ PCD
PC ⊂ PCD BC PC⊥
PBC△ 1 2 13 132
× × =
PBC PBA△ ≌△
PBE△ 13
2故三棱锥 的侧面积为 .
18.解：（1） ， ，
，
解得 .
当 时， ，
故公司 产品投入成本 30 万元后产品的销售收入约为 元.
（2）（i）当 时， ， 产品对应的毛利率为 .
（ ii ） 当 时 ， ， 产 品 对 应 的 毛 利 率 为
，
故 产品的毛利率更大.
19.（1）证明： ， ，
又 ，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
则 ， ，
当 时， ，
故 .
（2）解：当 时， ，
则
.
又 ，
.
B CEP− 1 13 2 3 131 2 132 2 2
+× × + + =
12x =
16.5 2.06258y = =
ˆ2.0625 12 0.7604b∴ = +
ˆ 0.1085b =
30x = ˆ 0.1085 30 0.7604 4.0154y = × + =
A 401540
30u = 5υ = B 50 30 100% 40%50
− × =
30x = 4.0154y = A
40.154 30 10.154100% 100% 40%40.154 40.154
− × = × <
B
1 2 1n nS S n+ = + − ( )1 1 2 2 2n n nS n S n S n+∴ + + = + = +
1 1 2S + = { }nS n+
2n
nS n+ = 2n
nS n= −
∴ 2n ≥ 1 1
1 2 2 ( 1) 2 1n n n
n n na S S n n− −
− = − = − − − − = −
1
1, 1
2 1, 2n n
na n−
== − ≥
2n ≥ 1 1
2 2 2
n
n n
a = −
2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n
nT = + − + − +⋅⋅⋅+ − = − + +…+
1
1 1
1 14 2
12 2 21 2
n
n n
n nT
+− −∴ = − = +
−
1
1 1 1 1
2 2 2T
−= = +
1 1
2 2n n
nT
−∴ = +20.解：（1） .
当 时， ，则 在 上单调递增.
当 时，令 ，得 .
（i）当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 得单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（ii）当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 或 .
所以 得单调减区间为 ，单调递增区间为 ， .
（iii）当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，故所求不等式的解集为 .
21.（1）证明：∵椭圆 经过点 ， ，
2( ) 3f x x a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ),a +∞
0a < ( ) 0f x′ =
3
ax = ± −
1
3a = −
3
a a− − =
( ) 0f x′ < a x a< < − ( ) 0f x′ > x a> −
( )f x ( ),a a− ( ),a− +∞
1
3a < −
3
a a− − >
( ) 0f x′ <
3 3
a ax− − < < − ( ) 0f x′ >
3
aa x< < − −
3
ax > −
( )f x ,3 3
a a − − −
, 3
aa
− −
,3
a − +∞
1 03 a− < <
3
a a− − <
( ) 0f x′ <
3
aa x< < − ( ) 0f x′ >
3
ax > −
( )f x , 3
aa
−
,3
a − +∞
3a ≥ − ( ) 2 23 3 3f x x a x= + ≥ − 1x ≥ ( ) 0f x′ ≥
( )f x [1, )+∞
2 22 4 3 2( 1) 1 1x x x− + = − +
2 2 1x + >
2 22 4 3 2x x x− + < +
2 3 2 3x− < < + ( )2 3,2 3− +
C 31, 2
2 2
1 9 14a b
∴ + =，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ， ， 的短轴长为 .
（2）解： 椭圆 的焦距为 2， ，又 ，
， .
当直线 的斜率不存在时，由对称性，设 ， ，
在椭圆 上， ， ，
到直线 的距离 .
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，即 ，
到直线 的距离 .
综上，到直线 的距离为定值，且定值为 存在定圆 ，使得圆 与直
( ) 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 9 85 9 9 85 9 9 1219 9 24 4 4 4 4 4
b a b aa b a ba b a b a b
∴ + = + + = + + + ⋅ =
2 2
2 2
9 9
4
b a
a b
= 2 22a b=
2 2
1 9 14a b
+ = 2 11
4b∴ = C∴ 2 11b =
C 2 2 1a b∴ − = 2 2
1 9 14a b
+ =
2 4a∴ = 2 3b =
MN ( )0 0,M x x ( )0 0,N x x−
MN C
2 2
0 0 14 3
x x∴ + = 2
0
12
7x∴ =
O∴ MN 0
12 2 21
7 7d x= = =
MN MN y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( )2 2 2(8 ) 4 3 4 4 12 0km k m∆ = − + − >
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
OM ON⊥ 1 2 1 2 0x x y y∴ + =
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m∴ + + + = + + + + =
( ) 2 2 2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4
m k mk mk k
−∴ + ⋅ − + =+ +
( )2 27 12 1m k= +
O∴ MN 2
| | 12 2 21
7 71
md
k
= = =
+
MN 2 21
7
2 2 12: 7O x y+ = O线 总相切.
22.解：（1）由 的参数方程 （ 为参数），消去参数可得 .
由曲线 的极坐标方程为 ，得 ，
所以 的直角坐标方程为 ，即 .
（2）因为 在曲线 上，
故可设曲线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 化简可得 .
设 对应的参数分别为 ，则 ， ，
所以 .
23.（1）解： ，
不等式 ，即 或 或 ，
即 或 或 ，
所以所求不等式的解集为 .
（2）证明： ， .
因为 ， ，
所以要证 ，只需证 ，
即证 ，
MN
1C
1
2
3
x t
y t
= +
=
t 33 2y x= −
2C 2
2
3 2 cosρ θ= + 2 2 22 cos 3ρ ρ θ+ =
2C 2 23 2 3x y+ =
2
2 2 13
yx + =
31, 2M
1C
1C
11 2
3 3
2 2
x t
y t
= +
= +
t
2 23 2 3x y+ = 23 8 2 0t t+ + =
A B， 1 2,t t 1 2
8
3t t+ = − 1 2
2
3t t =
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 4| | | |
t t
MA MB t t t t
++ = + = =
4 2 , 1
( ) 2,1 3
2 4, 3
x x
f x x
x x
−
= <
2 4a b ab+ ≥ ( )2 2 22 16a b a b+ ≥
2 2 2 24 4 16a b ab a b+ + 因为 ，所以只要证 ，
即证 ，
即证 ，因为 ，所以只需证 ，
因为 ，所以 成立，
所以 .
2 24 2a b+ = 2 22 4 16ab a b+ ≥
28( ) 2 1 0ab ab− −
(4 1)(2 1) 0ab ab+ − 4 1 0ab + > 1
2ab ≤
2 22 4 4a b ab= + ≥ 1
2ab ≤
2 4a b ab+ ≥
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